高中数学《全称量词与存在量词-量词否定》教案3 新人教A版选修2-1

1.4.2全称量词与存在量词（二）量词否定

教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.

教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化；

教学难点：隐蔽性否定命题的确定；

课 型：新授课

教学手段：多媒体

教学过程：

一、创设情境

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ?”与“?”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，,p q p q ∨∧都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

二、活动尝试

问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

（3）?x ∈R ，x 2-2x+1≥0

分析：（1）?∈x M,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；?∈?x M,p(x)

（2）?∈x M,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；?∈?x M,p(x)

（3）?∈x M,p(x)，否定：?x ∈R ，x 2-2x+1<0；?∈?x M,p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.

三、师生探究?

问题2：写出命题的否定

（1）p ：? x ∈R ，x 2＋2x +2≤0；

（2）p ：有的三角形是等边三角形；

（3）p ：有些函数没有反函数；

（4）p ：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；

分析：（1）? x ∈R ，x 2＋2x+2>0；

（2）任何三角形都不是等边三角形；

（3）任何函数都有反函数；

（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；

从集合的运算观点剖析：()U U U A B A B =I U 痧?,()U U U A B A B =U I 痧?

四、数学理论

1.全称命题、存在性命题的否定

一般地，全称命题P ：? x ∈M,有P （x ）成立；其否定命题┓P 为：?x ∈M,使P （x ）不成立。存在性命题P ：?x ∈M ，使P （x ）成立；其否定命题┓P 为：? x ∈M,有P （x ）不成立。 用符号语言表示：

P:?∈M, p(x ）否定为? P: ?∈M, ? P （x ）

P:?∈M, p(x ）否定为? P: ?∈M, ? P （x ）

在具体操作中就是从命题P 把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.

2.关键量词的否定

例1 写出下列全称命题的否定：

（1）p ：所有人都晨练；

（2）p ：?x ∈R ，x 2＋x+1>0；

（3）p ：平行四边形的对边相等；

（4）p ：? x ∈R ，x 2－x +1＝0；

分析：（1）? P ：有的人不晨练；（2）? x ∈R ，x 2＋x +1≤0；（3）存在平行四边形，它的的

对边不相等；（4）?x ∈R ，x 2－x+1≠0；

例2 写出下列命题的否定。

（1） 所有自然数的平方是正数。

（2） 任何实数x 都是方程5x-12=0的根。

（3） 对任意实数x ，存在实数y ，使x+y ＞0.

（4） 有些质数是奇数。

解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。

（2）的否定：存在实数x 不是方程5x-12=0的根。

（3）的否定：存在实数x,对所有实数y ，有x+y≤0。

（4）的否定：所有的质数都不是奇数。

解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x ＞3，则x 2＞9”。

在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。

例3 写出下列命题的否定。

（1） 若x 2＞4 则x ＞2.。

（2） 若m≥0,则x 2+x-m=0有实数根。

（3） 可以被5整除的整数，末位是0。

（4） 被8整除的数能被4整除。

（5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。

解（1）否定：存在实数0x ，虽然满足20x ＞4，但0x ≤2。或者说：存在小于或等于2的数0x ，满足2

0x ＞4。（完整表达为对任意的实数x, 若x 2＞4 则x ＞2）

（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个0x ，使20x + 0x -m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x 2+x-m=0有实数根。）

（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。

（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)

（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。）

例4 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。

（1）p ：若x ＞y,则5x ＞5y ；

（2）p ：若x 2+x ﹤2,则x 2-x ﹤2；

（3）p ：正方形的四条边相等；

（4）p ：已知a,b 为实数，若x 2+ax+b≤0有非空实解集，则a 2-4b≥0。

解：（1）? P ：若 x ＞y ，则5x≤5y； 假命题

否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题

（2）? P ：若x 2+x ﹤2，则x 2-x≥2；真命题

否命题：若x 2+x≥2，则x 2-x≥2）；假命题。

（3）? P ：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。

（4）? P ：存在两个实数a,b ，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a 2-4b ﹤0。假

命题。

否命题：已知a,b 为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a 2-4b ﹤0。真命题。

评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：

1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P 则q”提出来的。2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。

3． 原命题“若P 则q” 的形式，它的非命题“若p ，则?q ”；而它的否命题为 “若┓p ，则┓q”，既否定条件又否定结论。

六、回顾反思

在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。

七、课后练习

1．命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是（ ）

A.存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根；

B.不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根；

C.对任意的实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根；

D.至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根；

2．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论显然是错误的，是因为（ ）

A ．大前提错误

B ．小前提错误

C ．推理形式错误

D ．非以上错误

3．命题“?x ∈R ，x 2-x+3>0”的否定是

4．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的

否定形式是

否命题是

5．写出下列命题的否定，并判断其真假：

（1）p ：?m ∈R ，方程x 2+x-m=0必有实根；

（2）q ：?∈R ，使得x 2+x+1≤0；

6．写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假：

（1）若m>1，则方程x 2-2x+m=0有实数根．

（2）平方和为0的两个实数都为0．

（3）若ABC ?是锐角三角形， 则ABC ?的任何一个内角是锐角．

（4）若abc=0，则a,b,c 中至少有一为0．

（5）若(x-1)(x-2)=0 ，则x ≠1,x ≠2．

八、参考答案：

1． B

2．C

3．? x ∈R ，x 2-x+3≤0

4．否定形式：末位数是0或5的整数，不能被5整除

否命题：末位数不是0且不是5的整数，不能被5整除

5．（1）?p ：?m ∈R ，方程x 2+x-m=0无实根；真命题。

（2）?q ：?∈R ，使得x 2+x+1>0；真命题。

6． ⑴ 若m>1，则方程x 2-2x+m=0无实数根，(真)；

⑵平方和为0的两个实数不都为0(假)；

⑶若ABC ?是锐角三角形， 则ABC ?的任何一个内角不都是锐角(假)； ⑷若abc=0，则a,b,c 中没有一个为0(假)；

⑸若(x-1)(x-2)=0，则1=x 或2=x ，(真)．