数学竞赛专题讲座七年级第1讲 跨越—从算术到代数含答案

第一讲跨越——从算术到代数

“加里宁曾经说过:数学是锻炼思维的体操,体操能使你身体健康，动作敏捷；数学能使你的思想正确敏捷,有了正确的思想，你们才有可能爬上科学的大山．”_＿____＿华罗庚.

华罗庚,我国现代有世界声誉的数学家，初中毕业后,靠自学成才，在数论、矩阵几何等许多领域中做出过卓越贡献．

纵观历史，数学的发展创造了数学符号，新的数学符号的使用又反过来促进了数学的发展.历史是这样一步一步走过来的，并将这样一步一步地继续走下去,数学的每一个进步都必须伴随着新的数学符号的产生．在文明和科学的发展过程中，人类创造用符号代替语言、文字的方法，这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性。

“算术”可以理解为“计算的方法",而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”.著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．”

用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别．

字母表示数使得数学具有简洁的语言,能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用．

例题讲解

【例1】观察下列等式9—l=８， 16—4＝１2,２５—９＝16，36—１6＝20，……

这些等式反映出自然数间的某种规律,设n表示自然数，用关于n的等式表示出来：

。

（河南省中考题）

思路点拨在观察给定的等式基础上，寻找数字特点,等式的共同特征，发现一般规律。

链接:从个别事物中发现一般性规律．这种研究问题的方法叫“归纳法",是由特殊到一般的思维过程，是发明创造的基础．

【例2】某商品200２年比2００１年涨价5％,2０0３年又比２002年涨价1０%,20０4年比2００3年降价12%，则2004年比2001年（）．

A.涨价3％Ｂ．涨价1.64％Ｃ涨价１．２％Ｄ。降价1。2％

思路点拨设此商品2０01年的价格为a元，把相应年份的价格用a的代数式表示，由计算

作出判断． 【例3】 计算

)2001

13121)(20021211()2001131211)(200213121(++++++-+++++++ 思路点拨 直接计算复杂而繁难,注意括号内数式的联系，引入字母，将复杂的数值计算转化为简单的式的计算．

【例4】 有—张纸,第1次把它分割成4片,第2次把其中的1片分割成4片,以后每一次都把前面所得的其中一片分割成４片，如此进行下去，试问： (１)经５次分割后,共得到多少张纸片？ （2）经n 次分割后，共得到多少张纸片?

(3）能否经若干次分割后共得到2003张纸片?为什么? （江苏省竞赛题）

思路点拨 从简单情形人手，发现纸片数的特点是解本例的关键. 【例5】在右图中有9个方格，要求每个方格填入不同的的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等,问:右图上角的数是多少？ 思路点拨 虽然要求的只是右上角的数,但是题目的条件还与其他的数有关，因此,需恰当地引进不同的字母表示数，以便充分运用已知条件． 【例６】如图,在图１中，互补重叠的三角形共有4个，在图2中,互不重叠

的三角形共有７个，在图３中,互不重叠的三角形共有10个，…，则在第n 个图形中,互不重叠的三角形共有_＿____个（用含n 的代数式表示）. (重庆市中考题)

思路点拨 从三角形个数规律或图形生成特点入手。 【例7】（1）计算：)2005

1211()20041211()200513121

(+++-+++?+++

)2004

1

3121(+++? ； （广西竞赛题）

图3

图2

图1

（2)设A ＝1005

10041005100410041003100410034343323221212

222222222?++?+++?++?++?+ ，求A 的整数部分. （2008年北京市竞赛题)

思路点拨 对于(１）,直接计算复杂而繁难，注意括号内数式的联系,引入字母,将复杂的数

值计算转化为简单的式的计算；对于（2）,从分析A 中第n 项)

1()1(2

2+?++n n n n 的特征入手.

【例8】有这样的两位数，交换该数的数码所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数。例如,29就是这样的两位数，因为2

111219229==+,请你找出所有这样的两位数. 思路点拨 设原数为ab ，则新数为ba ，发现ba ab +的特点是解本例的关键． 【例9】现有a 根长度相同的火柴棒，按如图1摆放时可摆成m 个正方形,按如图2摆放时可摆成n 2个正方形．

（1） 用含n 的代数式表示m ;

当这a 根火柴棒还能摆成如图３所示的形状时，求a 的最小值．

思路点拨 设图3中有３p 个正方形（为什么这样设?)，无论怎样摆放,火柴棒的总数相同，这样可以建立含m 、n 、p 的等式．

链接：① 用字母表示数，有利于运用代数式揭示问题中的数量关系，便于找到数量的相依关系或相等不等关系，具有设元意识，会用代数式表示，是由算术习惯向代数过渡的重要步骤，是突破算术方法的定势的关键.② 本例的3个小题,反映了我们认识事物、探究问题的基本过程．第(１)小题是研究具体对象,第(2）小题是归纳出一般规律，第(3)小题是再运用这些规律去分析、研究、解决问题．有些问题涉及的量比较多，关系复杂,我们就需要引入不同的字母，便于把数量关系表示出来,在解题中我们不需(或不能）求出所有字母的值，只需求出关键的字母的值，这种方法我们称之为“设而不求”．

图3

图2

图1

??????

?????????

???

基础训练

1。给出下列算式：

21112?=+,32222

?=+,43332

?=+，……

观察上面一列算式，你能发现什么规律，用代数式子表示这个规律: ．

（福州市中考题) 2。已知：3223222?=+

,8338332?=+，154415442?=+，……,若b

a b a ?=+21010 （b a 、为正整数），则b a += . (２00３年武汉市中考题)

3。若)(n m +人完成一项工程需要m 天，则n 个人完成这项工程需要 天． （假定每个人的工作效率相同) （江苏省竞赛题)

4．某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用90分钟，若往返都坐车.全部行程只需３０分钟，如果往返都步行，那么需要的时间是 . (河南省竞赛题)

５．一项工程，甲建筑队单独承包需要a 天完成,乙建筑队单独承包需要b 天完成，现两队联合承包，完成这项工程需要（ )天。 Ａ.

b a +1 B.b a 11+ C. b a ab + Ｄ．ab

1 ６．某专卖店在统计20０3年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加１０％，三月份比二月份减少10％，那么三月份比一月份（ )．

A ．增加10％ B.减少10% Ｃ.不增不减 D ．减少1％ （河南省中考题)

7.如图,在长方形ABCD 中,横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积,其面积是( ）。

A ．2

c ac ab bc ++- B 。2c

ac bc ab +--

C.ac bc ab a -++2

Ｄ．ab a bc b -+-2

2

（河北省中考题）

８。为了绿化环境、美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同,那么它们的面积S １、S ２的大小关系是( )．

A 。S 1>S 2 B.S 1< S 2 C 。Ｓ1=S ２ Ｄ。无法比较 9．从1开始，连续的奇数相加，和的情况如下： 211=； 2

2431==+； 239531==++; 2

4167531==+++； 252597531==++++；

(1）请你推测出，从1开始,n 个连续的奇数相加,它们的和s 的公式是什么？ （２)计算：

①191715131197531+++++++++; ②2523211917151311+++++++.

(3）已知225)12(531=-++++n ,求整数n 的值．

10．从小明的家到学校，是一段长度为a 的上坡路接着一段长度为b 的下坡路（两段路的长度不等但坡度相同)。已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20％，走下坡路时的速度比走平路时的速度快2０％，又知小明上学途中花1０分钟，放学途中花1２分钟．

（1）判断a 与b 的大小；

（2）求a 与b 的的比值。 （江苏省竞赛题)

11．观察下列各正方形图案，每条边上有n （2 n ）个圆点，每个图案中圆点的总数是S.

按此规律推断出S 与n 的关系式是 . （200１年广西中考题）

１２。如图，将面积为2a 的小正方形与面积为2b 的大正方形放在一起(b

＞a ＞0），用b a 、表示ABC 的面积为 ． (天津市竞赛题)

13。已知17个连续整数的和是306，那么，紧接在这17个数后面的那17个整数的和为

。

１４.用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律．拼成若干个图案：

（１)第4个图案中有白色地面砖 块；

（2)第n 个图案中有白色地面砖 块。 (200３年南昌市中考题)

15．下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（ ).

A 。16２7３84950

B 。２3456７８９10

C ． 357９１11300

D 。４69２５814７0

（江苏省竞赛题)

16.给出两列数:l,３，5，7，9，…,20０1和1，6，1l ，1６，21，…,20０１，同时出现在

两列数中的数的个数为（ )．

Ａ。１９9 B 。2０0 C. 20１ D ．２02 （重庆市竞赛题）

1７.—种商品每件进价为a 元，按进价增加25%定出售价,后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能盈利（ ）。

A 。0。1２５a

B ．0．15a

C ．0。２5a

D ．1。2５a （山东泰安市中考题）

１8．如果用a 名同学在b 小时内搬运c 块砖,那么c 名同学以同样的速度搬运a 块砖所需的小时数是( ）。

A ．b a c 22 Ｂ．ab c 2 C.2c

ab Ｄ.22c b a

19．已知n

n a a 1

111+=

+ （n =l ，2，3，…2０0２）．

求当11=a 时,20032002433221a a a a a a a a ++++ 的值．

20。在一次数学竞赛中,组委会决定用NS 公司的赞助款购买一批奖品，若以1台NS 计算器和３本《数学竞赛讲座》书为一份奖品.则可买100份奖品；若以1台NS 计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品．则可买80份奖品。问这 笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书，可各买多少？ （湖北省黄冈市竞赛题）

２1。将1~1６这16个整数填入44?方格中，使每行、每列、

每条对角线上四个数之和都相等，如图所示,恰有8个小方格中填的数被一个淘气的小朋友擦掉了,请你将这擦掉的8个数设法恢复出来。

22．阅读下列材料：十六大提出全面建设小康社会,国际上常用

恩格尔系数(记作n ）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况,它的计算公式为：%100?=消费支出总额

食品消费支出总额

n ,各类家庭的恩格尔系数如下

表所示：

根据上述材料，解答下列问题：某校初三学生对我市一个乡的农民家庭进行抽样调查.

2103

8

1249

14

从1997年至2002年间，该乡每户家庭消费支出总额每年平均增加500元，其中食品消费支出总额每年平均增加２00元,19９7年该乡农民家庭平均刚达到温饱水平,已知该年每户家庭消费支出总额平均为8００0元．

求:(1）１997年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元？

（2)设从1９97年起m 年后该乡平均每户的恩格尔系数为m n （m 为正整数）．请

用m 的代数式表示该乡平均每户当年的恩格尔系数m n ，并利用这个公式计算２0０３年该乡平均每户的恩格尔系数（百分号前保留整数）.

（3）按这样的发展,该乡将于哪年开始进入小康家庭生活?该乡农民能否实现十六大提出的2020年我国全面进入小康社会的目标? （桂林市中考题) 答案：

1。ｎ2

＋n=n （n+1） ２．１０9 3。

()

m m n n

4。150分钟 5．C 6.Ｄ ７.Ｂ 8。B

9.（1)S=n ２ （2）①１００ ②132—52

=１４4 (3)n=15 10.（1)a<ｂ，(２）把骑车走平路时的速度作为“1"，则 ,得0.8a ＋1.2b =56（1.2a +0.8

b ），得

a b =38

。 11。S=4ｎ-４ 1２．

12

ｂ２

1３。595 14.（1）18；（2)4ｎ＋２ 15。A 设自然数从a+1开始，这100个连续自然数的和为

（a+1)＋(ａ＋2）＋?…+(a+10０）=10０a+5050.

16.C 第一列数可表示为2ｍ＋1,第二列数可表示为5ｎ+1，

由2m+1=5n ＋1，得n=

2

5

m,m ＝０,5,１0…１０00

17．A

18．D 提示：每一名同学每小时所搬砖头为c

ab

块,c 名同学按此速度每小时搬砖头2c ab 块．

19.提示:ａ１=1，a 2=

12，a ３=13……,a ｎ=1n ，原式=2002

2003

． ２0.设每台计算器ｘ元，每本《数学竞赛讲座》书y 元，则100（x+3y)=８0(x ＋５y)，解得x=5ｙ，故可购买计算器

100(3)10085x y y x y +?==16０（台),书100(3)1008x y y

y y

+?==

８00(本）．

21。提示：设所填表中每行、每列、每条对角线四数之和为Ｓ，则 ４Ｓ=1+2+3+…1６=

1617

2

?，得S=3４. 再设左上角所擦的数为x,则左下角擦的数为14－ｘ，右下角擦掉的数为15+ｘ,其余各格中擦掉的数都可以表示为x 的代数式,?再将主对角线上的数相加应得34,?即30+4x=３４，解得x=1.

（2)n m =

48002008000500m m ++，即n m =482805m

m

++

当ｍ=200３—1９97=6时.n 6＝4826

8056

+?+?≈０.５５=55%。

(3）取n ＝0。5，即482805m m ++=1

2

,解得m=16,

即1997+1６=2０13<20２0年,所以，2013?年该村进入小康生活，并能实现十六大提出的目标．

提高训练

1．用同样大小的黑棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去,则第n 个图形需棋子＿＿_______枚（用含n 的代数式表示)．

(2０0８年海南省中考题）

●●●●●●

●●●

●●●●●●●●●

●●●

2.如图，一块拼图卡片的长度为cm 5,两块相同的拼图卡片拼接在一起的长度为cm 9，则n 块相同的拼图卡片拼接在一起的长度为＿_____cm （用含n 的代数式表示). (２008年长春市中考题)

３.如果a 是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数，这个四位数是( )． A ．11000+a Ｂ.1100+a Ｃ.110+a D 。1+a （重庆市竞赛题）

4．图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的。设y 为第n 层(n 为正整数）三角形的个数，则下列关系式中正确的是（ ）. Ａ。44-=n y B ．n y 4= C ．44+=n y

Ｄ．2

n y =

(吉林省中考题）

５。某商场经销一批电视机，进价为每台a 元，原零售价比进价高%m ，后根据市场变化，把零售价调整为原零售价的%n ，调整后的零售价为每台( ）元。 A 。%)%1(n m a ?+ Ｂ．%%)1(n m a +

C ．%)1%)(1(n m a -+ Ｄ。%)1%(n m a -? (2008年广东省竞赛题)

6．已知n 是整数，现有两个代数式：(１）32+n ，（2）14-n 。其中，能表示“任意奇数"的（ ）。

A ．只有（１）

B ．只有（2) Ｃ。有（１）和（２) D ．一个也没有 ７．有一张纸，第1次把它分割成4片，第2次把其中的1片分割成４片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成４片，如此进行下去，试问: (１）经五次分割后,共得到多少张纸片?

n 1块

????

???????

▲▲▲▲

▲

▲

▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲

▲▲▲

▲▲

（２）经n 次分割后，共得到多少张纸片？

（3）能否经若干次分割后共得到20０3张纸片？why ? (第１７届江苏省竞赛题)

8．如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空:当黑色瓷砖为２０块时，白色瓷砖为＿__＿__块;当白色瓷砖为2

n (n 为正整数)块时，黑色瓷砖为_＿＿___

块． （宜昌市中考题)

9.在图甲中取阴影等边三角形各边的中点，连成一个等边三角形,将其挖去，得到图乙;对图乙中的每个阴影等边三角形仿照先前的做法,得到图丙,如此继续．如果图甲的等边三角形面积为1，则第n 个图形中所有阴影三角形面积的和为__＿＿__。

(第１8届江苏省竞赛题）

１0.已知21=x ,n

n x x 1

11-

=+(n ＝1,2，３，…），则2004x =___＿_＿. （重庆市竞赛题) １1．老师报出一个5位数，同学们将它的顺序倒排后得到的5位数减去原数，学生甲、乙、丙、丁的结果分别是 34５６7，3405６，２3456，3495６。老师判定4个结果中只有一个正确，答对的是( ）．

A ．甲 B.乙 C 。丙 D ．丁 （第16届“五羊杯"竞赛题)

１２．如图，正方形ABCD 和CEFG 的边长分别为m ,n ,那么△AEG 的面积的值( ）.

A.只与m 的大小有关 B ．只与n 的大小有关

D

G

F A