高阶系统的零、极点分析 自控课设

课程设计任务书

学生姓名： 专业班级：

指导教师： 工作单位：自动化学院

题 目: 高阶系统的零、极点分析 初始条件：设单位系统的开环传递函数为

2

(),()(48)p K s b

G s D s s s s s a

+=

=+++ 要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写

等具体要求）

1、 当系统开环传递函数为()p G s 时，绘制根轨迹并用Matlab 求取当K=15单

位阶跃响应、单位斜坡响应，并求取动态和稳态性能指标。

2、 当系统开环传递函数为()()p G s D s ，a=0.1,b=0.11时，绘制根轨迹并用

Matlab 求取当K=15单位阶跃响应、单位斜坡响应，并求取动态和稳态性

能指标。

3、 当系统开环传递函数为()()p G s D s ，a ＝b=20时，绘制根轨迹并用Matlab 求取K=15单位阶跃响应、单位斜坡响应，并求取动态和稳态性能指标。

4、 比较上述三种情况的仿真结果，分析原因，说明偶极子对系统的影响。

时间安排：

指导教师签名： 年 月 日

系主任（或责任教师）签名：年月日

目录

摘要................................................................ I

1 线性高阶系统的零极点分析简介 (2)

2 线性高阶系统的数学模型 (3)

3 高阶系统零极点分布对系统性能影响分析 (4)

3.1系统开环传递函数为

()

p

G s

的根轨迹 (4)

3.1.1系统开环传递函数为

()

p

G s

,单位阶跃输入时的根轨迹 (5)

3.1.2系统开环传递函数为

()

p

G s

,单位斜坡输入时的根轨迹 (6)

3.1.3动态性能、稳态性能分析 (7)

3.1.4参考程序法 (8)

3.2系统开环传递函数为

()()

p

G s D s

（a=0.1,b=0.11）的根轨迹 (9)

3.2.1系统开环传递函数为

()()

p

G s D s

,单位阶跃输入时的根轨迹 (9)

3.2.2系统开环传递函数为

()()

p

G s D s

,单位斜坡输入时的根轨迹 (10)

3.2.3动态性能、稳态性能分析 (11)

3.3系统开环传递函数为

()()

p

G s D s

（a＝b=20）的根轨迹 (12)

3.3.1系统开环传递函数为

()()

p

G s D s

,单位阶跃输入时的根轨迹 (13)

3.3.2系统开环传递函数为

()()

p

G s D s

,单位斜坡输入时的根轨迹 (13)

3.3.3动态性能、稳态性能分析 (14)

4 分析比较 (16)

4.1三种仿真结果的比较： (16)

4.2高阶系统偶极子对系统性能的影响 (16)

4.3 综合分析 (18)

5 心得体会 (19)

参考文献 (20)

摘要

三阶及三阶以上的系统通常称为高阶系统，即用高阶微分方程描述的系统。在控制工程中，高阶系统非常普遍，而分析起来却十分复杂。

在自动控制系统中，对系统的各项性能如稳定性、动态性能和稳态性能等有一定的要求。稳定性是控制系统的本质，指的是控制系统偏离平衡状态后自动回复到平衡状态的能力。系统动态性能是在零初始条件下通过阶跃响应来定义的，对于稳定的系统，动态性能一般指的系统的超调量、超调时间、上升时间、调整时间，描述的是系统的最大偏差以及反映的快速性；稳态性能指的是系统的稳态误差，描述的是系统的控制精度。

在本文中，主要分析高阶系统的各项性能指标，对于高阶系统，分析其各项性能指标有很多方法，本文采用高阶零级点的分布来研究系统的各项性能指标，主要借助工程软件Matlab通过编程来绘制系统的根轨迹与阶跃响应、斜坡响应曲线，研究系统的零极点分布，进而分析系统的各项性能指标。

关键词：自动控制动态性能稳态性能高阶系统阶跃响应斜坡响应

高阶系统的零、极点分析

1 线性高阶系统的零极点分析简介

线性系统的动态性能与系统的闭环零极点在S 平面的分布有着密切的联系，系统的开环零极点一般是比较容易求得的，但对于高阶系统，利用古典的分解因式的方法求闭环特征方程的极点是十分困难的，当系统的某一参数发生改变时，需要反复的求解特征方程的根，从而研究系统的动态性能。这里，选用根轨迹的方法研究闭环系统零极点分布对系统性能的影响。

当闭环传递函数在S 平面的右半平面存在极点时，系统是不稳定的；只有闭环传递函数的极点均位于S 平面的左半平面，系统才稳定；当闭环极点位于坐标虚轴上时，系统临界稳定。

如果闭环系统无零点且闭环极点均为实数极点，则系统的响应是单调的；如果闭环极点均为复数极点，那么响应一般是振荡的。

闭环系统的超调量%p σ主要由闭环传递函数复数主导极点的衰减率

1//d σωζ=决定，而且还与其它闭环零、极点接近坐标原点的程度密切相关。

闭环系统的调节时间s t 主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点实部绝对值

1σ=n ζω；如果实数极点距离虚轴最近而且其附近没有实数零点，则系统的调节

时间主要由该极点的模值决定。

给闭环控制系统增加零点减小了系统的阻尼比，使系统的超调时间p t 减小，超调量%p σ增大，而闭环系统的极点增大了系统的阻尼比，使系统的超调时间变长，而超调量减小。

闭环零极点的对高阶系统性能的影响随其接近坐标原点的程度而增强。

2 线性高阶系统的数学模型

系统的闭环传递函数为

()()

()()1()()

C s G s s R s G s H s Φ=

=

+ （2-1） 式（1）中，R(s)为系统输入的Laplace 变换，C （s ）为系统输出的Laplace 变换，G(s)为前向通道传递函数，H(s)为反馈传递函数。在一般情况下，G （s ）和H(s)都是s 的多项式之比，故式（1）可以写

1()011(),1()011m m b s b s b s b M s m m s m n n n D s a s a s a a

n n

-++++-Φ==

≤-++++- （2-2） 为了便于求取高阶系统的单位阶跃输入响应和单位斜坡输入响应，一般将式（2）的分子多项式和分母多项式利用根轨迹法进行因式分解，写成如下因式的乘积形式

11

()

()()

()()()

()

m

i i n

j

j K s z C s M s s R s D s s s ==-Φ===

-∏∏ （2-3）

式（3）中，i z 为闭环系统的零点，j s 为闭环系统的极点，K 为开环根轨迹增益。由于M(s)和D(s)均为实系数多项式，故i z 和j s 只能是实数或共轭复数。在实际控制系统中，一般闭环极点都不相同，因此一般将输出量的Laplace 变换写为

1

2

21

1

()

()()(2)

m

i i q r

j

k k k j k K s z C s s s s

w s w ξ===-=

-++∏∏∏ （2-4）

式（4）中，q+2r=n,q 为实数极点的个数，r 为共轭复数极点的对数。 在本次设计中，2(),()(48)p K s b

G s D s s s s s a

+=

=+++（a=0.01,b=0.011或

a=b=20）, ()G s H s ?（）=()p G s 或()G s H s ?（）=()p G s D （s ）。

3 高阶系统零极点分布对系统性能影响分析

根轨迹是指当开环系统的某一参数从零变到无穷大时，闭环系统的极点复平面上移动的轨迹。一般情况下，根轨迹指的是当增益K 由零变到无穷大时根的轨迹。当高阶系统开环传递函数某一参数发生改变时，利用根轨迹可以很直观的观察出开环零极点对闭环系统特性的影响，并且进行高阶系统各项特性的分析与计算。借助Matlab 软件，可以利用其中提供的rlocus 函数直接进行系统根轨迹的绘制。

3.1系统开环传递函数为()p G s 的根轨迹

当开环传递函数为2

()(48)

p K

G s s s s =

++时，在Matlab 中首先构建开环传递 函数，然后直接调用rlocus 函数精确的绘制系统的根轨迹，具体的程序代码如下：

num=[0,1]; %开环系统传递函数分子 den=[1,4,8,0]; %开环系统传递函数分母 G=tf(num,den); %构建开环系统传递函数 K=[15];

rlocus(G) % 直接调用函数画根轨迹图

程序运行结果如图3-1所示。

图3-1 ()p G s =

2

(48)

K

s s s ++（k=15）时系统的根轨迹图 3.1.1系统开环传递函数为()p G s ,单位阶跃输入时的根轨迹

当系统输入为单位阶跃函数时，输入函数Laplace 变换R(s)= 1/s ，开环传递函数()G s H s ?（）= ()p G s 或()p G s D （s ）

。 当开环传递函数为()2G s H s ()(48)

p K

G s s s s ?==++（）

时，在Matlab 中首先

构建开环传递函数，然后直接调用rlocus 函数精确的绘制系统的根轨迹，具体的程序代码如下： sys=tf(15,[1 4 8 0]); sysc=feedback(sys,1);

step(sysc)

程序运行结果如图3-2所示。

图3-2 ()G s H s ?（）=

2(48)

K

s s s ++（k=15）单位阶跃响应时系统的根轨迹图

3.1.2系统开环传递函数为()p G s ,单位斜坡输入时的根轨迹

当系统输入为单位斜坡函数时，r(t)=t,输入函数Laplace 变换R(s)= 2

1s ， 开环传递函数G(s)H(s)= ()p G s =

2(48)

K

s s s ++，系统均为I 型单位反馈系统。单

位斜坡输入系统稳态误差也被称为速度误差，但并非指系统稳态输出与输入之间存在速度上的误差，而是指系统在斜坡输入作用下，系统输出与输入之间存在位置上的误差。系统在单位斜坡输入时的根轨迹，具体的程序代码如下：

num=[0 0 0 15]; den=[1 4 8 0]; step(num,den,3) grid

程序运行结果如图3-3所示

图3-3 ()G s H s ?（）=

2

(48)

K

s s s ++（k=15）单位斜坡响应时系统的根轨迹图 3.1.3动态性能、稳态性能分析

稳定是控制系统能够运行的首要条件，在此，分析动态性能时一般以阶跃输入为代表，测定计算系统动态性能，稳态性能分析单位阶跃输入的稳态误差为标准。

单位阶跃输入响应下其动态性能分析如下，如上图2所示可得：

上升时间risetime：0.699sec

调节时间settingtime：7.65sec

峰值peakamplitutd：1.37

稳定值final valvue： 1

超调量overshoot ：36.8 at time：1.83sec

稳态误差：0.0625

3.1.4参考程序法

另可采用程序求动态稳态性能，程序如下:

G=tf([0 0 0 1], [1 4 8 0]);

[y,t]=step(G);

C=dcgain(G); %求调节时间setllingtime

i =length(t);

while(y(i)>0.98*C)&(y(i)<1.02*C)

i =i-1;

end

setllingtime=t(i)

C=dcgain(G); %最大（百分比）超调量percentovershoot [Y,k]=max(y);

percentovershoot=100*(Y-C)/C

[Y,k]=max(y); %峰值时间（ timetopeak ）

timetopeak=t(k)

C=dcgain(G); %上升时间risetime

n =1

while y(n)

n =n+1;

end

risetime=t(n)

3.2系统开环传递函数为()()p G s D s （a=0.1,b=0.11）的根轨迹

当开环传递函数为()p G s D （s ）=

())

1.0)(84(11.02

++++s s s s s K 时，在Matlab 中首先 构建开环传递函数，然后直接调用rlocus 函数精确的绘制系统的根轨迹，具体的程序代码如下： n=[0 0 0 15 1.65] d=[1 4.1 8.4 0.8 0] rlocus (n,d)

程序运行结果如图3-4所示

图3-4 ()p G s D （s ）=

())

1.0)(84(11.02

++++s s s s s K （k=15）时系统的根轨迹图 3.2.1系统开环传递函数为()()p G s D s ,单位阶跃输入时的根轨迹

当开环传递函数为()p G s D （s ）=

())

1.0)(84(11.02

++++s s s s s K 时，在Matlab 中首先 构建开环传递函数，然后直接调用rlocus 函数精确的绘制系统的根轨迹，具体的程序代码如下：

sys=tf([0 0 0 15 1.65], [1 4.1 8.4 0.8 0]); sysc=feedback(sys,1); step(sysc)

程序运行结果如图3-5所示

图3-5()p G s D （s ）=

())

1.0)(84(11.02

++++s s s s s K （k=15）在单位阶跃响应下系统的根轨迹图 3.2.2系统开环传递函数为()()p G s D s ,单位斜坡输入时的根轨迹

系统在单位斜坡输入时的根轨迹，具体的程序代码如下：

num=[0 0 0 15 1.65];

den=[1 4.1 8.4 0.8 0]; step(num,den,3) grid

程序运行结果如图3-6所示

图3-6()p G s D （s ）=

())

1.0)(84(11.02

++++s s s s s K （k=15）在单位斜坡响应下系统的根轨迹图 3.2.3动态性能、稳态性能分析

单位阶跃输入响应下其动态性能分析如下，如上图5所示可得： 上升时间risetime ： 0.697sec 调节时间settingtime ： 7.82sec 峰值 peakamplitutd ：1.38 稳定值 final valvue ： 1

超调量 overshoot ： 37.6 at time ：1.83sec 稳态误差：0.0667

3.3系统开环传递函数为()()p G s D s （a ＝b=20）的根轨迹

当开环传递函数为()p G s D （s ）=

)

20)(84()

20(2

++++s s s s s K 时，在Matlab 中首先 构建开环传递函数，然后直接调用rlocus 函数精确的绘制系统的根轨迹，具体的程序代码如下： n=[0 0 0 15 300] d=[1 24 88 160 0] rlocus (n,d)

程序运行结果如图3-7所示

图3-7 ()p G s D （s ）=

)

20)(84()

20(2

++++s s s s s K （k=15）时系统的根轨迹图

3.3.1系统开环传递函数为()()p G s D s ,单位阶跃输入时的根轨迹

当开环传递函数为()p G s D （s ）=

)

20)(84()

20(2

++++s s s s s K 时，在Matlab 中首先 构建开环传递函数，然后直接调用rlocus 函数精确的绘制系统的根轨迹，具体的程序代码如下：

sys=tf([0 0 0 15 300], [1 24 88 160 0]); sysc=feedback(sys,1); step(sysc)

程序运行结果如图3-8所示

图3-8 ()p G s D （s ）=

)

20)(84()

20(2

++++s s s s s K （k=15）单位阶跃响应系统的根轨迹图 3.3.2系统开环传递函数为()()p G s D s ,单位斜坡输入时的根轨迹

系统在单位斜坡输入时的根轨迹，具体的程序代码如下：

num=[0 0 0 15 300]; den=[1 24 88 160 0]; step(num,den,3) grid

程序运行结果如图3-9所示

图3-9 ()p G s D （s ）=

)

20)(84()

20(2

++++s s s s s K （k=15）单位斜坡响应系统的根轨迹图 3.3.3动态性能、稳态性能分析

单位阶跃输入响应下其动态性能分析如下，如上图8所示可得： 上升时间risetime ： 0.699sec 调节时间settingtime ： 7.65sec 峰值 peakamplitutd ：1.37

稳定值final valvue： 1

超调量overshoot ：36.8 at time：1.83sec 稳态误差：0.0667

4 分析比较

4.1三种仿真结果的比较：

表格 1三种情况下的动态性能对照表

（1）系统开环传递函数为

p 时与系统开环传递函数为p ，

a=0.1,b=0.11时较：系统开环传递函数为()()

p G s D s ，a=0.1,b=0.11时，系统零

点、极点数增加，使得上升时间减小，调节时间增大，超调量增大，稳态误差变大，峰值和峰值时间不变。

（2）系统开环传递函数为()()

p G s D s ，a=0.1,b=0.11时与系统开环传递函数为()()p G s D s ，a ＝b=20时比较：系统开环传递函数为()()

p G s D s ，a ＝b=20时上升时间增大，调节时间减小，峰值减小，超调量减小，稳态值、稳态误差和峰值时间都不变。

（3）系统开环传递函数为

()

p G s 时与系统开环传递函数为

()()

p G s D s ，a ＝b=20

时比较：由于两者传递函数一样，动态性能近乎完全相同，仅仅是稳态误差存在误差，但相差不大。

4.2高阶系统偶极子对系统性能的影响

如果闭环系统的零极点相距很近，那么这样的闭环零极点则被称为偶极子。偶极子有实数偶极子和复数偶极子之分，而复数偶极子是以共轭复数的形式出现的。对于远离坐标原点的偶极子，其对系统动态性能的影响几乎可以忽略不计。

在本设计中，给定的开环传递函数为()2G s H s (48)

K

s s s ?=++（）

，由前面的

分析可知，闭环传递函数增加一对接近原点的偶极子时，系统的根轨迹基本上没有变化，系统在增益K 值一定的情况下，其对阶跃输入的闭环系统的动态性能产生了影响，使系统的超调量增加，峰值时间滞后，但对系统的稳态性能没有

影响；对于斜坡输入的闭环系统，增加的这对接近原点的偶极子提高了系统的稳态误差系数，使系统的稳态性能得到了改善。当增加一对远离坐标原点的偶极子时，在增益K 值相同情况下，阶跃输入系统的动态性能和稳态性能均没有改变，斜坡输入的稳态性能也没有改变，由此可得，当系统增加了一对远离坐标原点的偶极子时，其对系统的动态性能几乎没有影响。

下面分析偶极子离坐标原点不同位置时对系统性能造成不同影响的原因。

（1）当输入为阶跃信号时，研究闭环传递函数为

2

2()

()(

)()(22)

a s a s a s a s s δδ++Φ=++++时系统的响应，在这种情况下，闭环系统有一对 复数极点1j -±，一个实数极点a -和和一个实数零点()a δ-+。当0δ→时，实数闭环零极点十分接近，构成偶极子，当a -不非常接近坐标原点时，系统单位阶跃响应为

222()1()(22)()11

sin(135)1

1

at t

a h t e e a a a a t arctg

arctg

a a δδδδ--=-+?

+-++?+--+-- （5）

当0δ→时上式可简化为

2

2()1sin(135)1sin(135)(22)

at t t h t e e t e t a a a δ

---≈-

-=--+ （6） 当a -远离原点时，式（6）可进一步简化为

()1sin(135)t h t e t -≈+

- （7）

此时，偶极子的影响完全可以忽略不计，系统的单位阶跃响应完全由主导极点决定。

当偶极子十分接近坐标原点时，0a →时，式（6）只可简化为

()1sin(135)t h t e t a

δ

-≈-

+

- （8）

此时，δ与a 可比，a

δ

影响不能忽略，所以接近坐标原点的偶极子对系统动态性

能的影响必须考虑。

以上结论对不同闭环传递函数的高阶系统同样适用，在本设计中，增加的偶极子为—0.11和—0.1时，十分接近原点，其对系统的动态性能的影响不能够忽