高中数学人教版 必修五 数列经典例题 高考题(附解析答案)

黄冈经典例题高考题（附答案，解析）

等差数列

例1、在等差数列{a n}中：

1、若a1－a4－a8－a12＋a15=2，则a3＋a13=___________.

2、若a6=5，a3＋a8=5，则a10=___________.

3、若a1＋a4＋a7=39，a2＋a5＋a8=33，则a3＋a6＋a9=___________.

例 2、已知数列{a n}的通项，试问该数列{a n}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数，若没有，说明理由.

例 3、将正奇数1，3，5，7，……排成五列，（如下图表），按图表的格式排下去，2003所在的那列，从左边数起是第几列？第几行？

1 3 5 7

15 13 11 9

17 19 21 23

31 29 27 25

…………

例 4、设f(x)=log 2x－log x4（0

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）判断该数列{a n}的单调性.

1.(2009年安徽卷)已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5=105，a2＋a4＋a6=99，则a20等于（）

A.－1

B.1

C.3

D.7

2.（2009年湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：

他们研究过图（1）中的1，3，6，10，……，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图（2）中的1，4，9，16，……这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）

A．289 B．1024 C．1225 D．1378

3.(江西卷)在数列{a n}中，，则a n=( )

A.2＋lnn

B.2＋(n－1)lnn

C.2＋nlnn

D.1＋n＋lnn

等差数列前N项和、等比数列

例 1 、在等差数列 {a n}中，

（1）已知a15=33，a45=153，求a61；

（2）已知S8=48，S12=168，求S4；

（3）已知a1－a4－a8－a12＋a15=2，求S15；

（4）已知S7=42，S n=510，a n－3=45，求n.

例 2 、已知数列 {a n}的前n项和，求数列{|a n|}的前n项和S n′.

例 3 、设数列 {a n}的首项a1=1，前n项之和S n满足关系式：3tS n－(2t＋3)S n－1=3t（t>0，n=2，3，4…）

（1）求证：数列{a n}为等比数列；

（2）设数列{a n}的公比为f(t)，作数列{b n}，使（n=2，3，4，…），求b n.

（3）求和：b1b2－b2b3＋b3b4－…＋(－1)n＋1b n b n＋1.

例 4、一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么 24分钟可注满水池，如果开始时，全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙

头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？

例 5 、在 XOY平面上有一个点列P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，P n（a n，b n），…，对每个自然数n，点P n位于函数y=2000（0

（2）若对每个自然数n，以b n，b n＋1，b n＋2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；

（3）设B n=b1·b2·…·b n（n∈N*）.若a取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列{B n}的最大项的项数.

1.（2009年宁夏、海南卷）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知，,则m=（）

A.38

B.20

C.10

D.9

2.(2009年全国1卷)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=72,则=_________.

3.（2009年福建卷）等比数列中，已知.

（1）求数列的通项公式；

（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和.

等比数列前N项和、数列的应用

例 1 、 {a n} 为等差数列（d≠0） , {a n} 中的部分项组成的数列恰为等比数列，且 k1=1 ，k2=5 ， k3=17 ，求 k1＋k2＋k3＋……＋k n的值 .

例 2、已知数列 {a n} 满足条件： a1=1 ， a2=r(r ﹥ 0) 且 {a n·a n+1} 是公比为 q(q ﹥ 0) 的等比数列，设 b n=a2n －1＋a2n(n=1,2, …… ).

（1）求出使不等式 a n a n+1＋a n+1a n+2> a n+2 a n+3 (n ∈ N*) 成立的 q 的取值范围；

（2）求 b n；

（3）设，求数列的最大项和最小项的值 .

例 3 、某职工年初向银行贷款 2万元用于购房，银行为了推行住房制度改革，贷款优惠的年利率为10%，按复利计算，若这笔贷款要求分10年等额还清，每年一次，并且从贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？（精确到1元）

例 4、在一次人才招聘会上，有 A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资比上一年的月工资的基础上递增5%.设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：

（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？

（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？

（3）在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元？（精确到1元）并说明理由.

1.(2009年全国2卷)设等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则=___________.

2.（2009年北京卷）若数列满足：，则___________；前8项的和___________.（用数字作答）

3.（2009年辽宁卷）等比数列{a n}的前n 项和为S n，已知,,成等差数列.

（1）求{a n}的公比q；

（2）若a1－a3＝3，求S n.

答案&解析

等差数列

例一分析：

利用等差数列任两项之间的关系：a m=a n＋(m－n)d以及“距首末两端等距离两项的和相等”的性质可简化解答过程．

解：，

故 5=10－d，∴ d=5.

故 a10=a6＋4d=5＋4×5=25.

例二分析：

考察数列{a n}在哪一范围是递增数列，在哪些范围是递减数列，即可找到最大项．

解：由有n≤9.

而 a n>0，∴当n≤9时，有a n＋1≥a n.

即 a1a11>a12>…

∴数列{a n}中存在最大项，最大项的项数为9或10，

最大项为.

点评：最大项与最大项的项数是不同概念，一个是项，一个是项号．

例三分析：

考虑到每行占有四个数，利用周期性进行处理，每一个周期占两行用 8个数，只须确定2003是第几个正奇数，问题就得到解决. 解：设2003是第n个正奇数.

则 2003=1＋(n－1)·2．

∴ n=1002.

而 1002=8×125＋2.

∴ 2003在第251行第3列.

例四分析：

依据条件列出关于a n的方程，解方程并注意f(x)的定义域0

解：（1）

又∵ f(x)定义域为0

（2）

则数列{a n}为递增数列．1. 答案：B

2.答案：C

解析：

根据图形的规律可知第n个三角形数为，第n个正方形数为b n=n2,由此可排除D（1378不是平方数），将A、B、C选项代入到三角形数表达式中检验可知，符合题意的是C选项，故选C．

3.答案：A

等差数列前N项和、等比数列

例1 解析：（1） a45 －a15=30d=153 －33 得 d=4 ， a61=a45＋16d=217.

（2）方法 1 S4， S8－S4， S12－S8成等差数列，

则 S4＋（168 －48） =2（48 －S4）解得 S4= －8

方法 2 成等差数列，则，∴ d=2.

故.

则 S4= －8.

（3）∵

（4） S7=7a4=42 ∴ a4=6

∴ n=20

例二解析：

∴ a n=63 －3n≥0 有 n ≤ 21 误解一

=

误解二

例三解析：（1）∵ n≥2 时

∴ {a n} 为等比数列 .

（2）∵

则 {b n} 为等差数列，而 b1=1.

∴

（3）∵.

∴当 n 为偶数时，

当 n 为奇数时

例四解析：

设有 n 个水龙头，每个水龙头放水时间依次为 x1， x2， x3，…， x n，则数列 {x n} 为等差数列且每个水龙头 1 分钟放水池水，

故最后关闭的水龙头放水时间为 40 分钟 .

例五解析：（1）∵.

（2）∵ 0

要使 b n， b n＋1， b n＋2为边能构成三角形，

（3）

故{B n} 中最大项的项数为n=20.

1.答案：C

解析：

因为{a n}是等差数列，所以，由，得：2－＝0，所以＝2，又，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10，故选C.

2.答案：24

解析：

∵{a n}是等差数列,由,得，

.

3.解析：

（1）设的公比为，

由已知得，解得.

.

（2）由（1）得，，则，.

设的公差为，则有，解得.

从而.

所以数列的前项和.

等比数列前N项和、数列的应用

例一解答：设公比为 q ，

例二解答：（1）由题意得 rq n－1＋rq n＞ rq n+1.

由题设 r ﹥ 0,q ﹥ 0 ，故上式 q2－q－1﹤0 ，

（2）因为，

所以，

b1=1＋r≠0 ，所以 {b n} 是首项为 1＋r ，公比为 q 的等比数列，

从而 b n=(1＋r)q n－1．

（3）由（2）知 b n=(1＋r)q n－1，

从上式可知当 n－20.2 ＞ 0 ，即 n ≥ 21(n ∈ N) 时， c n随 n 的增大而减小，故

①

当 n－20.2＜0 ，即 n ≤ 20(n ∈ N) 时， c n也随着 n 的增大而减小，故

②

综合①、②两式知对任意的自然数 n 有 c20≤ c n≤ c21

故 {c n} 的最大项 c21=2.25 ，最小项 c20=－4.

例三解一：我们把这类问题一般化，即贷款年利率为 a ，贷款额为 M ，每年等额归还 x 元，第 n 年还清，各年应付款及利息分别如下：

第 n 次付款 x 元，这次欠款全还清 .

第 n－1 次付款 x 元后，过一年贷款全部还清，因此所付款连利息之和为 x(1＋a) 元；

第 n－2 次付款 x 元后，过二年贷款全部还清，因此所付款连利息之和为 x(1＋a)2元；

……

第一次付款 x 元后，一直到最后一次贷款全部还清，所付款连利息之和为 x(1＋a)n－1元．

将 a=0.1 ， M=20000 ， n=10 代入上式得

故每年年初应还 3255 元．

解二：设每年应还 x 元，第 n 次归还 x 元之后还剩欠款为 a n元；

则 a0=20000 ， a1=20000(1＋10%)－x ，

a n＋1=a n(1＋10%)－x ，

∴ a n＋1－10x=1.1(a n－10x) ，

故数列 { a n－10x} 为等比数列．

∴ a n－10x= (a0－10x)×1.1n，

依题意有 a10=10x＋(20000－10x) ×1.110=0 ．

．

故每年平均应还 3255 元．

例四解答：（1）此人在 A 、 B 公司第 n 年的月工资数分别为：

a n=1500＋230 × (n－1)(n ∈ N*) ，

b n=2000(1＋5%)n－1(n ∈ N*) ．

（2）若该人在 A 公司连续工作 10 年，则他的工资收入总量为：

12(a1＋a2＋…＋a10)=304200 （元）；

若该人在 B 公司连续工作 10 年，则他的工资收入总量为：

12(b1＋b2＋…＋b10) ≈ 301869 （元）．

因此在 A 公司收入的总量高些，因此该人应该选择 A 公司 .

（3）问题等价于求 C n=a n－b n=1270＋230n－2000×1.05n－1(n ∈ N*) 的最大值 .

当 n ≥ 2 时， C n－C n－1=230－100×1.05n－2，

当 C n－C n－1＞ 0 ，即 230－100×1.05n－2＞ 0 时， 1.05n－2＜2.3 ，得 n＜19.1,

因此，当 2 ≤ n ≤ 19 时， C n－1＜C n；于是当 n ≥ 20 时， C n≤ C n－1.

∴ C19=a19－b19≈ 827 （元） .

即在 A 公司工作比在 B 公司工作的月工资收入最多可以多827 元．

1.答案：3

解析：

设等比数列的公比为q.

当q=1时，.

当q≠1时，由.

2. 答案：16；255

解析：

依题知数列{a n}是首项为1，且公比为2的等比数列，

.

3. 解析：

（1）依题意有.

由于，故.

又，从而.

（2）由已知可得.

故.

从而.