中学数学教师招聘考试专业基础知识试卷

中学数学教师招聘考试专业基础知识试卷(三）

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一． 选择题:（本大题共10小题，每小题5分,共5０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。）

1． 若复数112

m i

z i -=+

-是纯虚数,则实数m 等于 ( ) (Ａ)1 （B ）1- (Ｃ)12 （D ）1

2

-

2． 设全集U R =,集合{}

220A x x x =+->,{}

2

230B x x x =--<,则()U A B =（ ）

(A ）[)2,1- (B ）[)2,3- (C)()1,3 (D ）(]1,1-

3．已知命题:p 实数x 满足log log (1)a a x x >-,其中01a <<;命题:q 实数x 满足11x -<<；则p 是q 的（ ) (Ａ)充分不必要条件 (B ) 必要不充分条件 (C ) 充要条件 (Ｄ)既不充分也不必要条件 4.下列函数中，周期为π且图像关于直线3

x π

=对称的函数是（ )

?（A) ()2sin()23x f x π=+

(B) ()2sin(2)3f x x π

=+ (C) ()2sin()26x f x π=-?(D) ()2sin(2)6

f x x π

=-

5.已知,m n 是两条异面直线，点P 是直线,m n 外的任一点,有下面四个结论： ① 过点P 一定存在一个与直线,m n 都平行的平面。 ② 过点P 一定存在一条与直线,m n 都相交的直线。 ③ 过点P 一定存在一条与直线,m n 都垂直的直线。

④ 过点P 一定存在一个与直线,m n 都垂直的平面。则四个结论中正确的个数为( ） (A ）. １ （B)．?2 （C). 3 (D ）. ４ ６.若函数1()mx

f x e n

-=

的图象在1(0,)M n 处的切线l 与圆22:1C x y +=相交，则点(,)P m n 与圆C 的位置关系是( )

(Ａ)圆内 (B )圆外 （C )圆上 (D ) 圆内或圆外 7．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ,若12315a a a =,且133551315535

S S S S S S ++=，则2a =（ ） A ．2 B.

12 Ｃ. 3 8. 如果执行右面的程序框图，那么输出的S 为（ ）

（A) 3S = (B) 4

3S =

（Ｃ） 1

2S = (Ｄ）2S =-

9．已知12,F F 分别是双曲线22

22:1x y C a b

-=

(0,0)a b >>的左，右焦点。过点2F 与双曲线的一条渐

01290F MF ∠=，则双曲线的离心率为( C )

(A)2? （B) 3? (C ） 2? (D ） 3１0.已知函数31,0()3,0

x x f x x

x x ?+>?=??+≤?,则方程2

(2)f x x a +=(2a >)的根的个数不可能为 ( A ) （ A)3 （B)．4 (Ｃ).５ （Ｄ).6

第Ⅱ卷(非选择题,共10０分）

二、填空题：(本大题共7小题，每小题４分,共28分,把答案填在题中横线上.)

11. 如图， 是从参加低碳生活知识竞赛的学生中 抽出6０名,将其成绩整理后画出的频率分布直方 图,则这些同学成绩的中位数为_＿__＿__. (保留一位小数）

12.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是边长为2的

正三角形，侧视图是直角三角形,则此几何体的体积为_＿＿＿____ 。

13.已知实数,x y 满足不等式组20302x y x y x y m -≤??

+-≥??+≤?

，

且z x y =-的最小值为3-,则实数m 的值是__＿＿____＿。

14. 在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知点

D 是BC 边的中点，且21

()2

AD BC a ac ?=-，则角B =_____＿＿__。

1５.某人要测量一座山的高度，他在山底所在的水平面上,选取在同一直线上的,,A B C 三点进行测量。他在A 点测得山顶的仰角是45,在B 点测得山顶的仰角是60,在C 点测得山顶的仰角是30，若AB BC a ==,则这座山的高度为 _＿_ (结

果用a 表示)。

16. 在多项式6

10()(1)x x x

+

-的展开式中,其常数项为_＿＿＿＿＿__＿_。 17.在等比数列

{}n a 中，若前n 项之积为n

T ,则有3

23(

)n n

n

T T

T =。则在等差数列{}n b 中，若前n 项之和为n S ,用类比的方法得到的结论是____＿__。三、解答题：本大题含5个小题,共７２分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18． （本小题满分14分） 在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 已知,26

A a π

==；设内角B x =，ABC ?的面

积为y 。

(1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求函数()y f x =的值域。 第12题图

俯视图 侧视图

正视图

1

1

3

5

1９.(本小题满分1４分) 某公司在招聘员工时,要进行笔试，面试和实习三个过程。笔试设置了3个题，每一个题答对得5分,否则得0分。面试则要求应聘者回答3个问题,每一个问题答对得5分,否则得0分。并且规定在笔试中至少得到１0分,才有资格参加面试,而笔试和面试得分之和至少为25分，才有实习的机会。现有甲去该公司应聘,假设甲答对笔试中的每一个题的概率为3

4

,答对面试中的每一个问题的概率为12。(1)求甲获得实习机会的概率;

(２)设甲在去应聘过程中的所得分数为随机变量ξ，求ξ的数学期望。

20．（本小题满分14分）如图,在几何体SABCD 中， AD ⊥平面SCD ,BC ⊥平面SCD ，2,1AD DC BC ===,又2,SD =，

120SDC ∠=。

(1）求SC 与平面SAB 所成角的正弦值；

(2) 求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值。

２1． (本小题满分１5分）已知椭圆2

2:14

x E y +=，直线:1l x my =+与椭圆交于不同的两点,A B 。 (１)．若直线(0)y kx k =>与椭圆交于不同的两点,C D ,当1m =-时，求四边形ACBD 面积的最大值;

（２）在x 轴上是否存在点M ，使得直线MA 与直线MB 的斜率之积为定值。若存在，求出点M 的坐标;若不存在，请说明理由。 S

A

B

C

D

22.(本题满分15分) 已知函数3

2

()(63)x

f x x x x t e =-++，t R ∈． (1)若函数()y f x =依次在,,()x a x b x c a b c ===<<处取到极值。 ①求t 的取值范围；

②若2

2a c b +=，求t 的值。

⑵ 若存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈,不等式 ()f x x ≤恒成立。求正整数m 的最大值。

答案

一．选择题: 1．B,(1)111

12222

m i i m m z i m +-+-=

+=+∴=-是纯虚数，. 2.D,

(](1,)(,2),(1,3),)1,1.U A B C A B =+∞?-∞-=-∴?=-（

3.A,1

01,0,,.2

p x x x p q q p <<-<<∴?若为真，则即不能推出 4．Ｄ,

,.T x D π

π==

∴所以选B 或D ，关于对称，选3

５.A, ①错。因为过直线m 存在一个与直线

n 平行的平面，当点P 在这个平面内时,就不满足结论。②错。因为过直线m 存在一个与直线n 平行的平面,当点P 在这个平面内时，就不满足结论。③对。④错。若结论成立,则有m n 。 6．B,2

2

221,11.x y m n +=<∴+>切线l 的方程为mx+ny=1,与相交

7.C,

113253123122313

3111

,3,S 5,,15.5S a S a a a a a a a a a a a ===∴=++=

3a a a

a

８.B,1,,2,3,2010,.2

S k S --==4

4

是周期为4的一个数列当时33

９.C, 1212c bc 3c bc c bc

(,-),F (,0),(,0),(-,),(,),22a 22a 22a

M c F c MF MF -==

221203, 2.MF MF b a e =∴==

10.Ａ.153515351535

24,,5,3,6.512512512

a a a a <<

=≥>或>3,个根个根个根 二.填空题：

11． ７2.８ ,７２.8左右两边的矩形面积和各为０.5． １

118222S =??=

13． 6 ,作出线性区域后可得,z 在(6-2m,2m-３)处取得最大值-3. 14

3π,2221111(AB+AC)(AC AB)=()(),cos ,.22223

AD BC b c a ac B B π?=--=-∴== 1５．

,,.h CE =设山顶为D,在底部的射影为E,设DE=h,则AE=h,BE=3

222222

()())0,.332a 32a a h h a h h a h

h

+-+-+=∴= １6.495-，610322

2

22

6106100417210610610610(1)(1)320,0,4,1,7.2,10.22(1)495.

k r

r

k k k r r k r

r C x x

C x

C C x

r

k k r k r k r C C C C C C ---

+--=-∴+-=======+-+=-展开式的通项为

17. 323()n n n S S S =- 。类比可得． 三.解答题：

１8．解:（１)设ABC ?的外接圆的半径为R ，则224,2sin

6

R R π

=

=∴=。

则115()sin 2sin 2sin 4sin sin()246

y f x bc A R B R C x x π

==

=??=-, 定义域为5

|06x x π??

<<

???

?

。………………7分 (２)

51()4sin sin(

)

4sin (cos

)622

f x

x x x x x

π=-=+ 22sin cos sin 222sin(2)3

x x x x x x π

=+==-

而540

,26333

x x ππππ<<∴-<-<。

则sin(2)1x π

<-≤，故函数()y f x =的值域为(

0,2。………………14分

19.解;(1）笔试和面试得分之和为２5分的概率为

22333

3221333331131127()()()()442422128

p C C C C =????+????=

, 笔试和面试得分之和为30分的概率为333

31333127()()42512p C C =???=,

则甲获得实习机会的概率为1212727135

128512512

p p p p =+==+=

。………７分 （2)ξ的取值为0，5，10，15,20，2５，3０。

3

3311(0)()464p C ξ==?=，

1

23319(5)()4464p C ξ==??=

， 220

33331127(10)()()442512p C C ξ==????=

, 2213330

3333331131108(15)()()()()44242512p C C C C ξ==????+???=

, 2223331

3333331131162(20)()()()()44242512p C C C C ξ==????+???=

， 由(１)知108(25)512p ξ==,27

(30)512

p ξ==。

则1927108162108271125

051015202530646451251251251251264

E ξ=?+?+?+?+?+?+?=

………………14分

２0.解:如图,过点D 作DC 的垂线交SC 于E ，以D 为原点， 分别以,,DC DE DA 为,,x y z 轴建立空间上角坐标系。

00120,30SDC SDE ∠=∴∠=,又2SD =,则点S 到y 轴的

距离为1,到x

则有(0,0,0)D

,(S -,(0,0,2)A ,(2,0,0)C ,

(2,0,1)B 。………………4分

（1)设平面SAB 的法向量为(,,)n x y z =

,

(2,01),(2)AB AS =-=--.

则有2020

x z x z -=??

?-+-=??

，取x =

(3,5,n

=，又(3,SC =，

设SC 与平面SAB 所成角为θ,

则sin cos ,20SC n θ=<>=

=, 故SC 与平面

SAB 9分 （2)设平面SAD 的法向量为(,,)m x y z =

，

(0,02),(2)AD AS =-=--,

则有2020z x z -=??

?-+-=??

，取x =(3,1,0)m =。

cos ,210n m n m n

m

∴<>=

=

=?,

故平面SAD 与平面SAB 14分 2１.(1)2

22

1

83:1,58x=0 A(0,1),B(,-)5544

x y l x y x x

y =-+?=-+∴-∴?

+=? 2222(14)4,CD 44

y kx k x x y =

?∴+=∴

=?+=?

ABCD 1S CD ()2A CD B CD d

d --=+=

=

()'()f

x f x =

=

=令max 111()(0,),(,+).,444ABCD f x k S ∞∴==在上递增上递减…………８分

(2)01122(,0),(,),(,)M x A x y B x y 设

22224y 4

(4)y 2301x m my x my ?+=∴++-=?

=+?

1212

020********

22000022

(my +1-)(my +1-)

334

3-2m

(x -4)m 4(1)()(1)(1)44

MA MB y y y y k k x x x x m x m x m x m m =

=

----+==

+-?-

+-?+-++1x x

31

(2,0),,(2,0),.412

MA MB MA MB M k k M k k =--=-…………15分

2２．解:(1）①23232()(3123)(63)(393)x x x

f x x x e x x x t e x x x t e '=-++-++=--++

32()3,39303,,.f x x x x t a b c ∴--++=有个极值点有个根 322()393,'()3693(1)(3)g x x x x t g x x x x x =--++=--=+-令

()(-,-1),(3,+)(-1,3)g x ∞∞在上递增,上递减.()3824.(3)0

g x t g ?∴∴-<0

有个零点…………5分

3232393(x-a)(x-b)(x-c)=x ()()x x x t a b c x ab bc ac x abc ∴--++=-+++++-

3

93a b c ab ac bc t abc

++=??

∴++=-??+=-?

31(b (-1,3))2b ∴=-∈或

舍

1181a b t c ?=-?

∴=∴=??

=+? 0

(2)不等式 ()f x x ≤,即3

2

(63)x

x x x t e x -++≤，即32

63x t xe x x x -≤-+-。

转化为存在实数[]0,2t ∈,使对任意的[]1,x m ∈,不等式3263x

t xe x x x -≤-+-恒成立。

即不等式32063x

xe x x x -≤-+-在[]1,x m ∈上恒成立。

即不等式2063x

e x x -≤-+-在[]1,x m ∈上恒成立。

设2()63x

x e

x x ?-=-+-，则()26x x e x ?-'=--+。

设()()26x

r x x e x ?-'==--+,则()2x r x e -'=-，因为1x m ≤≤,有()0r x '<。

故()r x 在区间[]1,m 上是减函数。又1

23(1)40,(2)20,(3)0r e r e r e ---=->=->=-<

故存在0(2,3)x ∈，使得00()()0r x x ?'==。

当01x x ≤<时，有()0x ?'>,当0x x >时，有()0x ?'<。 从而()y x ?=在区间[]01,x 上递增,在区间[)0,x +∞上递减。 又1

2

3(1)40,(2)5>0,(3)6>0,e e

e ???---=+>=+=+

456(4)5>0,(5)20,(6)30.e e e ???---=+=+>=-<

所以当15x ≤≤时,恒有()0x ?>;当6x ≥时，恒有()0x ?<; 故使命题成立的正整数m 的最大值为5。…………15分