三角恒等变换的常用技

三角恒等变换的常用技巧

在不改变结果的前提下，运用基本公式及结论，从角、名、次方面入手，把一个三角函数式转化成结构比较简单、便于研究的形式，这种变形叫做三角恒等变换.

三角恒等变换的常见变换技巧归纳如下：

题型一：常值代换（特别是“1”的代换）

【知识链接】

22 丄 2 丄2 2 丄2

1 sin cos tan sec tan esc cot

【巩固与应用】

Q S ________

1.若x (-,-)，则.1 sinx 可化为( ) D

2 2

A.亦（：4）

B. ■ 2cos(2 ；) C . 2cos(-) 2 4 D .宓

（：-）

2 .已知tan 题型二：公式变形【知识链接】—2，求值：2si n2sin cos 2

cos .

tan tan

【巩固与应用】

(1 mta n tan )ta n( ).

1.化简：tan 10o tan20o tan20o tan60o tan 10o tan60o.

2 . (1)已知 A B 4,求证：(1 tanA)(1 tanB) 2 ;

(2)化简：(1 tan 1o)(1 tan 2°)L(1 tan44o)(1 tan4-0).

题型三：升次降次

【知识链接】

2 2 2 2

2sin 1 cos2 , 2cos 1 cos2 , cos sin cos2 , 2sin cos sin2 4sin-3sin sin3 , 4cos-cos- -cos .

上面公式正用降次，反用升次.

【巩固与应用】

6 .求函数y sinx sinx cosx

的单调区间。增

8.已知函数 f (x) 2cosxsin x — 3sin 2x sin xcosx

(1) 求：函数f (x)的最大值及最小值； (2) 求：函数f(x)的最小正同期、单调递增区间；

3)该函数图像可由 y si n2x 图像作怎样变化而得到。

题型四：公式活用【知识链接】

公式正用、公式逆用、公式变形后使用【巩固与应用】

1 .求值：tan 10o ta n20° ta n20°ta n60° 2.已知

为第三象限角，且sin 4 0 cos 4 0

cosAcosB + sin AcosB cosAsinB

则厶ABC 为

2 2

4?函数y sin x cos x 2的最小正周期是(

1 .若

2 孑，则1 cos()的值是

A . sin

B . cos —

sin —

D . cos —

2 .求值:

3 .求值: 4

n cos

一 8 sin 2

20 4

sin — 8 cos 2 50o sin 20o cos50°.

(08宁夏、海南理7) o

3 sin 70 2 cos 210o

B .

C .

(07陕西理 4)已知 sin a 5 5，则 ?4

sin a 4 cos a 的值为

B .

C .

. . 2

7.已知 cos( n 4 x) 3 5 , 17n 12 x 7n 4，求 sin2x 2sin x 的

值。

1 tanx 结果n A . 2、

3 B . 2.2 3 C . 2 3

D .

，减

tan60 tan 10

,那么sin2 B 等于(A )

.在△ ABC 中，若 sinAsinB

等腰直角三角形

B. 2

C. n

6. （06全国U理10）

若

f (si nx) 3 cos2x ，则f (COS X)等

于

3 cos2x 3 2sin 2x C. 3 cos2x D. 3 2sin 2x （07浙江理12）已知sin cos

，贝U

cos2

的值是

题型五：弦切互化

【知识链

接】

能实现转化的公式有: tan如

cos

tan

1 cos2

si n2

sin 2

1 cos2

【巩固与应用】

1.求值：(ta n5o

1 、sin 20o

ta n5o) 1 cos20o.-2

2. 求值：sin 50°(1 -h tan10°)

3 .已矢卩tan(45°1 2，则

tan 2 a

cos2 a

tan 2 a

cos2 a

4 .求值：

丄4cos10o. tan 10

5.求证：

1 f

2 sin2x( tanx 2) 4cos x.

tanx 2

则tan

6 .若sin 0 cos 00

tan 0

-4

题型六：辅助角变换

【知识链

接】

1.辅助角公式: asinx b cosx a2b2sin(x ）.（其证明附后）

2 .推论: sin x cosx .2 sin(x );

4 .3sin x cosx 2sin(x ) ; sinx '空cosx

2sin(x );

cosx sin x ? 2cos(xm—) ；.3cosx sinx

2cos(xm6)；cosx 3sinx2cos(xm3).

3 ?利用公式厝tan(x 7)及普诙("

4 X)引入.

【巩固与应用】

4.与y 2sinx cosx的周期、振幅都相同的函数是( A )

题型七：角的和差拆分变换【知识链接】

1.原则：化未知为已知.

2 .拆分技巧：再如10 30 20 .

如2% (a 3) (a 3);()(),() (),

4 2 4 3 2 6

a (a 3) 3 ( a 3) B 字?一宁牛等.

2 2 2 2

a a a

3 .半角与倍角的相对性：女口a是2 a的半角，同时也是 -的倍角；-是a的半角，同时也是一的

2 2 4倍角；

【巩固与应用】

已知sin(2 a 3) ,sin 3 5 ，且a , n , 3

13 2

-,0，求sin a的值.

0)个单位，所得的图像关于y轴对称则m 的最小正值是()

2 5

A.—

B.—

C.— D .—

6 3 3 6

3 .函数y sin2x cos2x 的最小正周期为

sin2x cos2x

4 .求函数y sinx (sin x cosx)的单调区间.

3 .当一x —时，函数 f x sin x . 3 cosx 的值(D

B .最大值是1最小值是1 2

C .最大值是2最小值是-2

D .最大值是2最小值是-1

A . y .5 sinx

B . y 2sin x C. y 3 cosx D. y sin xcosx

函数y 3sin( 2x) cos2x 的最小值是(

2 .把函数y cosx

)

A .最大值是1，最小值是-1

(06重庆理13)已知,

(08天津理17)已知cos(x (,),sin( 4

值.

(07江苏理11)若cos( cos(

(08山东理5)已知COS(a sin

A . 23 5 B. 2.35

5. (08上海春理6)化简：cos(-

6. (08江苏理15)在平面直角坐标系

3 12

) ,sin( ) ,则cos( )

5 4 13 4

—.(1)求的sinx值；(2)求sin 2x 的

)3，则

5 tan tan

sin

xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角a、B，它们的终边

B两点.已知A、B的横坐标分别为?一2 10、2.5 5 .

(1) 求ta n( )的值；

(2) 求2的值.

7 .已知0

,sin

A. 0 B . 0 或—

C .

8. sin7o cos15sin8的值等于(

cos7 sin15 sin8

A. 2 .3 B2 3

分别与单位圆相交于A、

9 .设sin( 2 )3sin,则3 /

,cos(

) -，则sin

25 25

)

C. 2 3 D 2 3

3 2

tan

10 .已知tan

A. 1318

—,tan -,那么tan 的值是(B )

5 4 4 4

B. 3 22

C. 13 22

D. 318

11.已知是锐角，cos a 4 5 , tan( a ?13，求cos的值。cos B 50 10题型八：和积互化(不要求)

【知识链

接】

1 .积化和差公式

2.和差化积公式

3 .禾口 sin x cosx 积 sin x cosx 互化.

1 .如果 (0,

), sin

cos

—，贝y cos2

为（

)

A 廳 B

3 D . 3 2 2

2 .已知sin 1巧

cos

(0,)那么 tan 的值是 ( )

A . 3 3

B .

C .

3 3

D . 3

【巩固与应用】 2 2

3 .化简：cos 2 A+cos 2 (

A)+COS 2( A).

4 .已知x 是第二象限角，且 sinx cosx a （ a 1），求下列各式的值:

值。 (1) tan x cotx ;

1_s inx 1_cosx ■ 1 si nx ■ 1 cosx

5 .已知tan , tan 是方程x 2

2x 4

0的两根,

6.已知三角形 ABC 中的三个内角 A, B, C 满足

解法（I ）:由题设条件B 60 ， 120

cos2 cos2

的值. si n2 si n2 1 2B ,

cosA cosC

2 cosB

求cosA~C 的

2 Q 」

cos60 o A C 2cos —

2 2.2丄 cosA A C cos — 2 1

cosC

2[cos(A cosA cosC 2.2 cosAcosC

C) cos(A C)]

将 cos —

cos 60

A C cos —

辽2c

由 cos(A 2

C) 2cos

4 3 cos

C c 2cos

C (2cos

2)(2 2(

解法（II ）：因为

cos(A C)

C 2 B 60 ，

0Q2

云0S 2

3 0 cos

C 120

则 AC 2 a A 60 a ， C 60 a

cos A cosC cos(60 a

cos(60

1 、3 . —cos a ---- sin a

2 2

1 ,3 . —cos a ---- s in a

2 2

COS

a 1 2 —cos

a 4

3 . sin

4 2

cos cos a 3

a —

cos a 2

cos a —

4 2 cos B

cos a 3

cos a

(2.2 cos a

3)(2cos

附录一起点公式的证明 1 ?两角和余弦公式的推导 2 ?两角和正弦公式的推导

3.半角公式tan sin

—

2 1 cos 1 sin

cos 4 ?辅助角的推导及其推论 asin x bcosx a 2 b 2 sin(x 2.2

4 2 cos 2 a 2cos a 3 2

的推导 tan

由asinx bcosx 的系数a,b 可得点P （a,

角的终边，设为，于是有： b

—；bcosx a b ）（一定要注

意

所以其中,

推论: tan b ，cos a

a sin x bcosx cos a ----- (Q cos a

A C cos

— 2

asinx ■. a 2 b 2 cos(x a 与b 顺序），射线OP ),tan

（O 为坐标原点）可作为某

个

a .a 2

b 2 a 2 b 2

cos ,sin b .a 2 b 2 a 2 b 2 sin

■. a 2 b 2 (sin xcos cosxsin ) 薦_b sin( x ) 叫做辅助角，它所在象限取决于点 P （a, b ）所在象限，它的一个函数值为: tan

sin x cosx . 2 sin(x ) ; 3sin x cosx 2sin(x -) ; sinx 4

3 cos x

2sin(x

cosx sinx

2cos(xm —)； “再cosx sin x 2cos(xm —) ； cosx 4 6

3sin x 2cos(xm-) ?

口诀：正余化正，加减不变，余正化余，加减颠倒，前

附录二些常用的结果

1 ? (cos sin cos )2

1 sin2

高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结

第三章三角恒等变换一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-．三、辅助角公式： () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x ， 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由，决定

四、三角变换方法：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④ ()4 24 π π π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。（3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。（5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名，高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。

简单三角恒等变换典型例题

简单三角恒等变换复习一、公式体系 1、和差公式及其变形：（1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )s i n (s i n c o s c o s s i n βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )c o s (s i n s i n c o s c o s βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )t a n t a n 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形：（1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα22 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 c o s 2c o s 12αα=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2c o s 24c o s 12=+ 或 αα2c o s 24c o s 12 =+】 α α αααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2s i n 2c o s 12αα=- 或 2 s i n 2c o s 12αα=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2s i n 24c o s 12 =- 或 αα2s i n 2 4c o s 12=-】

三角恒等变换公式大全

三角函数 cos (a+ B)=CoS a'-cos B - sin a - sin B cos (a-B)=cos a-cos B + sin a - sin B sin (a+ B)=S in a'-cos B cos a - sin B sin (a-B)=sin a-cos B - cos ,a?sin B tan (a+ B)=(ta n a+ta n B)/ (1-tan a - tan B) tan (a-B)=(ta n a-ta n B)/ (1+ta n a - tan B) 二倍角 sin (2a) =2sin a - cos a =2tan (a) /[1-ta门(a)] cos (2 a) =cosA2 (a) -si 门八2 (a) =2cosA2 (a)-1=1-2si nA2 (a)=[1-ta 门八(a)]/[1+tanA2 (a)] tan (2a) =2tan a /[1 -ta门八2 (a)] 三倍角 sin3 a =3sin a -4sinW (a) C0S3 a =4COS A3 (a) - 3C0S a tan3 a = (3tan a -ta门八3 (a))*( 1-3ta门八2 (a)) sin3 a =4sin aX sin ( 60- a) sin (60+a) C0S3 a =4cos aX COS ( 60- a) C0s ( 60+a) tan3 a =tan aX tan ( 60- a) tan (60+a) 半角公式 sin A2 (a /2 )= (1-cos a) /2 cosA2 (a /2 )= (1+cos a) /2 tan A2 (a /2 )= (1-CoS a) / ( 1+cos a) tan ( a /2 ) =sin a / ( 1+cos a) = ( 1- CoS a) /si n a 半角变形 sinA2 (a /2 ) = (1-cos a) /2 sin(a/2 ) =V[ (1-cos a) /2] a/2 在一、二象限 =-V[ (1-cos a) /2] a/2 在三、四象限 C0SA2 (a /2 ) = (1+cos a) /2 cos(a/2 ) =V[ (1+cos a) /2] a/2 在一、四象限 =-V[ (1+cos a) /2] a/2 在二、三象限 tan A2 (a 12 ) = ( 1-COS a) / ( 1+COS a) tan (a /2 ) =S in a / ( 1+COS a) =( 1- COS a) /si n a =V[ ( 1-COS a) / ( 1+COS a)] a/2在一、三象限 =-V [ ( 1- COS a) / ( 1+COS a) ] a/2 在二、四象限

三角恒等变换问题(典型题型)

三角恒等变换问题三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换常考的题型及解析总结如下，供大家参考。例1 （式的变换---两式相加减，平方相加减）已知11cos sin ,sin cos 2 3 αβαβ+=-=求sin()αβ-的值. 解：两式平方得，221 cos 2cos sin sin 4ααββ++= 两式相加得，1322(cos sin sin cos )36 αβαβ+-= 化简得，59sin()72 βα-=- 即59sin()72 αβ-= 方法评析：式的变换包括： 1、tan(α±β)公式的变用 2、齐次式 3、 “1”的运用（1±sin α, 1±cos α凑完全平方） 4、两式相加减，平方相加减 5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）

例2 （角的变换---已知角与未知角的转化）已知7sin()24 25π αα-= =，求sin α及tan()3 π α+．解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得 )cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即5 7 cos sin =-αα ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得故5 1sin cos -=+αα ② 由①和②式得5 3sin =α，5 4cos -=α，于是3 tan 4 α=- 故3 tan()34πα-+=== 方法评析： 1.本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到． 2.在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．例3（合一变换---辅助角公式）

三角恒等变换~最全的总结·学生版

三角恒等变换---完整版三角函数------三角恒等变换公式：考点分析：（1）基本识别公式，能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”（2）二倍角公式的灵活应用，特别是降幂、和升幂公式的应用。（3）结合同角三角函数，化为二次函数求最值（4）角的整体代换（5）弦切互化（6）知一求二（7）辅助角公式逆向应用

（1）熟悉公式特征：能结合诱导公式中两个常用的小结论“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”快速进行逻辑判断。注意构造两角和差因子 1、（二倍角公式）（2007文）下列各式中，值为 3 2 的是（） A ．2sin15cos15 B ．2 2 cos 15sin 15- C ．2 2sin 151- D ．22 sin 15cos 15+ 2、（二倍角公式+平方差公式）(2008六校联考)(sin 75sin15)(cos15cos 75)-+的值是 A.1 B. 1 2 C. 22 D. 32 3、（两角和差公式+诱导公式）(2009四校联考) 84cos 54sin 6cos 36sin -等于 A ．－1 2 B ．12 C ．－ 32 D ． 32 4.（两角和差公式）下列各式中值为的是（）. A ． s in45°cos15°+cos45°sin15° B ． sin45°cos15°﹣cos45°sin15° C ． cos75°cos30°+sin75°sin30° D ． 5、（拆角+两角和差公式）（一中2014届高三10月段考数学（理）试题）化简三角式=- 5 cos 5sin 355cos 2（） A ． 2 3 B ．1 C ．2 D ．3 6、（补全公式）（2013六校联考回归课本题）cos20°·cos40°·cos60°·cos80°＝（） A ． 14 B ．18 C ．116 D ．1 32 常见变式：计算sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的＝__. 7、（构造两角和差因子+两式平方后相加）若sin α－sin β＝32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为()A.1 2 B. 32C.3 4 D ．1 8．（诱导公式）【2015高一期末】sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于 B A ．－ 12 B. 12 C 33 9、（构造两角和差因子+两边平方）【2015高考，理12】=+ 75sin 15sin .. 10、（逆向套用公式）tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°的值是________．

三角恒等变换知识点和例题

三角恒等变换基本解题方法 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令＝＝ αβαβαβαβααα αα αβααβααβααααα =±=???→=-↓=-=-±±=?-↓=-m m 如（1）下列各式中，值为12 的是 A 、1515sin cos o o B 、221212cos sin ππ - C 、22251225tan .tan .-o o D （2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件（3）已知35 sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____ （4 ）11080sin sin -o o 的值是______ (5)已知0tan110a =，求0tan 50的值（用a ，乙求得的结果是212a a -，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______ 2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--， 22αβαβ++=?，()() 222αββααβ+=---等），

简单的三角恒等变换(基础)

第20讲：简单的三角恒等变换【学习目标】 1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧； 3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化； 4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力； 5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力．【要点梳理】要点一：升（降）幂缩（扩）角公式升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-= 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2 α α-= 要点诠释：利用二倍角公式的等价变形：2 1cos 2sin 2α α-=，2 1cos 2cos 2 α α+=进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．要点二：辅助角公式 1．形如sin cos a x b x +的三角函数式的变形： sin cos a x b x + x x ??? 令cos ??= = sin cos a x b x + )sin cos cos sin x x ??+ )x ?+ （其中?角所在象限由,a b 的符号确定，?角的值由tan b a ?= 确定，或由sin ?= 和cos ?= 2．辅助角公式在解题中的应用通过应用公式 sin cos a x b x + = )x ?+（或 sin cos a x b x + =)α?-），将形如sin cos a x b x +（,a b 不同时为零）收缩为一

三角恒等变换公式

三角恒等变换公式 1.两角和与差的三角函数和（差）角公式： sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β tan(α±β)= β αβαtan tan 1tan tan ± 倍角公式： sin 2α =2sin αcos α cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1 - sin 2α tan2α=αα2tan 1tan 2- 2.和差化积与积化和差公式积化和差公式： 2sin αcos β=sin(α+β)+sin(α-β) 2cos αsin β= sin(α+β)-sin(α-β) 2cos αcos β= cos(α+β)+cos(α-β) -2sin αsin β=cos(α+β)-cos(α-β) 和差化积公式： sin α+ sin β=2sin 2βα+cos 2 β α- sin α- sin β=2cos 2βα+sin 2 βα- cos α+ cos β=2cos 2βα+cos 2 βα- cos α- cos β=-2sin 2βα+sin 2βα- 3.万能公式与半角公式万能公式：

sin α=2tan 12tan 22 αα+ cos α=2tan 12tan 12 2 αα+- tan α=2tan 12tan 22 αα- 半角公式： sin 2 cos 12αα -±= cos 2 cos 12αα+±= tan ααα cos 1cos 12+-± ==ααsin cos 1-=ααcos 1sin + 其他： cos 2 2cos 12αα+= sin 22cos 12αα-= 1+cos2α=2cos α2 1-cos2α=2sin α2

三角恒等变换知识点总结

、知识点总结 1、两角和与差的正弦、 ⑴cos cos ⑶sin si n 三角恒等变换专题余弦和正切公式: cos sin si n :⑵ cos cos cos si n si n cos cos si n :⑷ sin si n cos cos si n ⑸tan tan tan 1 tan tan ⑹ta n tan tan 1 tan tan 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴ sin 2 2si n cos 1 sin 2 ⑵ cos2 cos 2 ?2 sin 2cos 2 升幕公式 1 cos 2cos 2 — 2 降幕公式 2 cos cos2 1 (tan (tan 1 cos 2 ,1 sin 2 .2 sin tan tan 2 cos tan tan 2 sin cos tan tan tan tan (si n ）； ). cos )2 1 2si n 2 2sin 2 — 2 1 cos2 ⑶tan2 1 2ta n tan 2 万能公式半角公式 2 tan a cos - 2 a tan - 2 1 "一个三角函数，一个角，一次方”的y A sin （ x a 2 2 a tan — 2 2 a tan - 2 4、合一变形把两个三角函数的和或差化为形式。 sin 2 si n ，其中tan 5. (1)积化和差公式 1 cos = [sin( 2 1 cos =— [cos( 2 和差化积公式 si n cos (2) si n + )+sin( + )+cos( +sin = 2 sin ------ cos --- 2 2 )] )] cos si n si n 1 sin = [sin( + )-sin( 2 1 sin = - — [cos( + )-cos( 2 )] )] -sin = 2 cos ----- sin --- 2 2

三角恒等变换考点典型例题

江苏省成化高级中学09届一轮复习三角专题（二）三角恒等变换一、考点、要点、疑点：考点：1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切； 2、理解二倍角的正弦、余弦、正切； 3、了解几个三角恒等式；要点： 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其变形 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形 3、 )sin(cos sin 22?ωωω++= ?+=x B A y x B x A y 4、几个三角恒等式的推导、证明思路与方法疑点： 1、在三角的恒等变形中，注意公式的灵活运用，要特别注意角的各种变换．（如,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-= ?? ? ??--??? ??-=+βαβαβα222 等） 2、三角化简的通性通法：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有：切割化弦、用三角公式转化出现特殊角、异角化同角、异名化同名、高次化低次 3、辅助角公式：()θ++=+x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的象限由a, b 的符号确定，θ角的值由a b =θtan 确定)在求最值、化简时起着重要作用。二、激活思维： 1、下列等式中恒成立的有 ① βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- ② βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=- ③ )]sin()[sin(21 cos sin βαβαβα-++=? ④ )]cos()[cos(2 1 sin sin βαβαβα--+=? 2、化简： ① 0 53sin 122sin 37sin 58cos +＝ ② )sin()sin()cos()cos(βαβαβαβα+-++?-＝ 3、已知),2 ( ,5 3cos ππ θθ∈-=，则)3 cos( θπ -＝，)23 cos( θπ -＝ 4、若αtan 、βtan 是方程0652 =-+x x 的两根，则)tan( βα+＝

知识讲解-三角恒等变换-基础

三角恒等变换【考纲要求】 1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 【知识网络】【考点梳理】考点一、两角和、差的正、余弦公式 ()sin()sin cos cos sin ()S αβαβαβαβ±±=± ()cos()cos cos sin sin ()C αβαβαβαβ±±=m ()tan tan tan()()1tan tan T αβαβ αβαβ ±±±= - 要点诠释： 1．公式的适用条件(定义域) ：前两个公式()S αβ±,()C αβ±对任意实数α，β都成立，这表明该公式是R 上的恒等式；公式()T αβ±③中,∈，且R αβk (k Z)2 ±≠ +∈、、π αβαβπ 2．正向用公式()S αβ±,()C αβ±，能把和差角()±αβ的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()±αβ 的弦函数。公式()T αβ±正向用是用单角的正切值表示和差角 ()±αβ的正切值化简。考点二、二倍角公式 1. 在两角和的三角函数公式()()(),,S C T αβαβαβαβ+++=中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式 222,,S C T ααα： sin 22sin cos ααα= 2()S α；

ααα22sin cos 2cos -=2()C α； 22tan tan 21tan α αα = -2()T α。要点诠释： 1．在公式22,S C αα中，角α没有限制，但公式2T α中，只有当)(2 24 Z k k k ∈+≠+ ≠ππ αππ α和时才成立； 2. 余弦的二倍角公式有三种：ααα2 2 sin cos 2cos -=＝1cos 22 -α＝α2 sin 21-；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。 3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍， 24α α是的二倍，332 α α是的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键。考点三、二倍角公式的推论降幂公式：ααα2sin 21 cos sin = ； 22cos 1sin 2 αα-=； 22cos 1cos 2 αα+=. 万能公式：α α α2 tan 1tan 22sin +=； α α α2 2tan 1tan 12cos +-=. 半角公式：2cos 12 sin α α -± =； 2cos 12 cos α α +± =； α α α cos 1cos 12 tan +-± =. 其中根号的符号由2 α 所在的象限决定. 要点诠释： (1)半角公式中正负号的选取由 2 α 所在的象限确定； (2)半角都是相对于某个角来说的，如2 3α 可以看作是3α的半角，2α可以看作是4α的半角等等。 (3)正切半角公式成立的条件是α≠2k π+π(k ∈Z)

简单的三角恒等变换(讲义)

简单的三角恒等变换【学习目标】 1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧； 3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化； 4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力； 5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力．要点梳理】要点一：升（降）幂缩（扩）角公式升幂公式： 22 1 cos2 2cos ， 1 cos2 2sin 降幂公式： 2 1 cos 2 2 1 cos2 cos ， sin 22 要点诠释：利用二倍角公式的等价变形： 1 cos 2sin 2 ， 1 cos 2cos 2 进行“升、降幂”变换，即由左边的 22 “一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为 “降幂”变换．要点二：辅助角公式 1．形如 asinx b cosx 的三角函数式的变形： asin x bcosx asin x b cosx = a 2 b 2 sin x cos a 2 b 2 sin(x ) （其中角所在象限由 a,b 的符号确定，角的值由 tan b 确定，或由 sin b 和 a 确定，或由 a 2 b 2 a cos 共同确定．） a 2 b 2 2．辅助角公式在解题中的应用通过应用公式 asinx bcosx = a 2 b 2 sin （x ）（或 asinx bcosx = a 2 b 2 cos （）），将形如 asinx bcosx （ a, b 不同时为零）收缩为一个三角函数 a 2 b 2 sin （x ）（或 a 2 b 2 cos （））．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． a a 2 b 2 sinx cosx 令 cos a a 2 b 2 ,sin cosxsin b a 2 b 2 b

简单三角恒等变换典型例题

简单三角恒等变换一、公式体系 1、和差公式及其变形：（1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形：（1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα2 2 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 cos 2cos 12α α=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα 2cos 2 4cos 12=+】 α ααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是 2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2 sin 2cos 12α α=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα 2sin 2 4cos 12=-】

必修四三角函数和三角恒等变换知识点及题型分类的总结

三角函数知识点总结 1、任意角：正角：；负角：；零角：； 2、角α的顶点与重合，角的始边与重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为终边在x 轴上的角的集合为终边在y 轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、已知α是第几象限角，确定()*n n α ∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α 终边所落在的区域． 5、叫做1弧度． 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是． 7、弧度制与角度制的换算公式： 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l= ．S= 9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是() 220r r x y =+>，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：． 12、同角三角函数的基本关系：(1) ; (2) ;(3) 13、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．

高中数学函数、三角函数、三角恒等变换公式

函数、三角函数、三角恒等变换重要公式 1. B A = {|,}x x A x B ∈∈或 ;B A = {|,}x x A x B ∈∈且; {|,}U C A x x U x U =∈?且 2、当n 为奇数时， a a n n =；当n 为偶数时，a a n n =. 3、 ⑴m n m n a a =()1,,,0*>∈>m N n m a ； ⑵()01 >= -n a a n n ； 4、运算性质： ⑴()Q s r a a a a s r s r ∈>=+,,0；⑵()()Q s r a a a rs s r ∈>=,,0；⑶()()Q r b a b a ab r r r ∈>>=,0,0. 5、指数函数解析式：()1,0≠>=a a a y x 6、指数函数性质： 7、指数与对数互化式：log x a a N x N =?=； 8、对数恒等式：log a N a N = 9、基本性质：01log =a ，1log =a a . 10、运算性质：当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： ⑴()N M MN a a a log log log +=；⑵N M N M a a a log log log -=?? ? ??；⑶M n M a n a log log =. 11、换底公式：a b b c c a log log log = ()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a . 12、重要公式：log log n m a a m b b n = 13、倒数关系：a b b a log 1 log = ()1,0,1,0≠>≠>b b a a .

三角恒等变换知识点总结详解

第三章三角恒等变换一、知识点总结 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= +? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=．2 2 2 )cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2 222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ?升幂公式2 sin 2cos 1,2cos 2cos 12 2 α αα α=-=+ ?降幂公式2cos 21cos 2αα+= ，2 1cos 2sin 2 αα-=． ⑶2 2tan tan 21tan α αα = -． 3、 ? （后两个不用判断符号，更加好用） 4、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(??形式。()sin cos ααα?A +B = +，其中tan ?B = A ． 5．（1）积化和差公式 sin α·cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)]cos α·sin β=21 [sin(α+β)-sin(α-β)] cos α·cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)]sin α·sin β= -2 1 [cos(α+β)-cos(α-β)] （2）和差化积公式 sin α+sin β= 2 cos 2 sin 2β αβ α-+sin α-sin β=2 sin 2 cos 2β αβ α-+ αααα ααα半角公式cos 1cos 12tan 2cos 12sin ;2cos 12cos : +-±=-± =+±=2 tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin : 2 2 2α α αααα万能公式+-=+=

简单的三角恒等变换(教案)

简单的三角恒等变换(一) 张掖中学宋娟一、教学目标知识与技能：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用；过程与方法：通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、方程、逆向使用公式的数学思想，提高学生推理能力；情感、态度与价值观：通过例题的讲解，让学生体会化归、变形使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生推理能力. 二、教学重、难点教学重点：利用公式进行简单的恒等变换；教学难点：利用倍角公式推出半角公式，并利用变形的方法解决问题. 三、教学方法：探究式教学法. 四、教学类型：新授课. 五、教学内容复习引入(学生组织完成) 问题1：和差角的正弦、余弦、正切公式(六个)；问题2：二倍角的正弦、余弦、正切公式(三个)；问题3：二倍角的变形公式(四个). 新课讲解思考1(学生组织完成)：如何用cos α表示222sin cos tan 222 ααα、、？分析：观察α与2 α 的关系是2倍的关系，所以我们要利用刚刚学过的二倍角的变形公式. 解：α是2α的二倍角.在倍角公式2cos 212sin αα=-中，以α代替2α，以2 α 代替α，即得2cos 12sin 2 α α=-，所以21cos sin 22 αα -=； ① 在倍角公式2cos 22cos 1αα=-中，以α代替2α，以2 α 代替α，即得 2cos 2cos 12 α α=-，所以21cos cos 22 αα +=. ② 将①②两个等式的左右两边分别相除，即得 21cos tan 21cos ααα-=+. 思考2：若已知cos α，如何计算sin cos tan 222 ααα、、？

高一数学必修一三角恒等变换公式

三角恒等变换公式教学目标： 1、掌握二倍角公式、和差公式的应用； 2、掌握拼凑法在求解角度三角函数值的应用。重难点分析：重点：1、和差公式、二倍角公式的记忆； 2、公式变换与求解三角函数值。难点：1、二倍角公式的灵活使用； 2、整体代换思想与求解三角函数值。知识点梳理 1、和差公式 sin()__________________±=αβcos()________________±=αβtan()___________ ±=αβ。 2、二倍角公式 sin 2_______________α=； cos 2___________________________________α===； tan 2____________α=。 3、半角公式[升（降）幂公式] 2sin ____________α=、2cos _________α=、sin cos _________αα=。 4、合一公式[辅助角公式] sin cos ____________a b αα+=（?由,a b 具体的值确定）； )sin(cos sin 22?ααα++= +b a b a )sin ,(cos 2 2 2 2 b a a b a b += += ?? 注意：公式中的α是角度代表，可以是α2、2 α 等。

知识点1：利用公式求值（1）和差公式【例1】cos79°cos34°＋sin79°sin34°＝【】 A ．2 1 B ．1 C ． 2 2 D ． 2 3 【例2】sin 27cos63cos27sin63??+??=【】 A ．1 B ．1- C ． 22 D ．2 2- 【随堂练习】 1、sin15°cos75°＋cos15°sin75°等于【】 A ．0 B ． 2 1 C ． 2 3 D ．1 2、cos12°cos18°－sin12°sin18°＝【】 (A )2 1- (B )2 3- (C )2 1- (D ) 2 3 3、sin70°sin25°＋cos70°cos25°=________。 4、sin34sin 26cos34cos26??-??=【】 A ．12 B ．1 2 - C ．32 D ．32- 5、式子cos cos sin sin 12 6 12 6 π π π π -的值为【】

三角恒等变换各种题型归纳分析

三角恒等变换基础知识及题型分类汇总 /4的两倍，3α是 “二倍角”的

题型一：公式的简单运用例1: 题型二：公式的逆向运用例2: 题型三：升降幂功能与平方功能的应用例3. 提高题型：题型一：合一变换（利用辅助角公式结合正余弦的和角差角公式进行变形）例1 方法：角不同的时候，能合一变换吗？ .cos sin ,,cos sin .cos sin cos sin )(;cos sin cos sin )(.cos )(;cos )(; sin )(;sin )(.x x x x x 2203132212212221221121420131240111和求已知化简：化简下列各式： πθ θθθθθθθα α<<=+--+-++-+-?+-?+).2tan(,21)tan(,,2,53sin ][).22tan(,2tan ,54cos ][.tan ,cos ,sin ,,22,13122cos ][.4tan ,4cos ,4sin ,2 4,1352sin ][y x y x x B A B A ABC -=-??? ??∈=+==??? ??∈-=<<=求已知提高练习求中，在△课本例题求已知同型练习求已知课本例题πππαααππαααααπαπα????? ??-??? ??---?-?-???72cos 36cos )2(;125cos 12cos )1(.34cos 4sin )3(;23tan 23tan 1)2(;2cos 2sin )1(.275sin 21)3(;15tan 115tan 2)2(;5.22cos 5.22sin )1(.124422πππααπαααα求值：化简下列各式：求下列各式的值：.)70sin(5)10sin(3.3.2cos )31(2sin )31(,.212 cos 312sin .1的最大值求大值有最大值？并求这个最取何值时当锐角?++?+=-++-x x y θθθππ