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浅论闭区间上连续函数的性质
中山大学数学与应用数学04级数统基地班黎俊彬
摘要:本文就闭区间上连续函数的性质进行了一定程度上的探讨，从直观感觉和理论论证两面方面论述了有界性，最值定理,介值定理和一致连续性定理，并且将之与开区间上连续函数及不连续函数作一定的对比.
关键字：闭区间连续函数实数的连续性和闭区间的紧致性
实数的连续性和闭区间的紧致性，使闭区间上的连续函数有丰富的性质，而且可由实数的各等价命题推出?本文主要从对连续函数的直观理解深入到纯分析的论证?在论证过程屮，严格地不出现微分学和积分学的内容，只是从连续函数本身的性质及实数系的性质入手.
从直观上理解，连续函数的图像是一条连续不断的曲线，这对于一?般初等函数來说都是成立的?而闭区间b"］上的连续函数/（X）的图像两端必须紧紧地连接着定义在端点处的点（67,/?））,（/>,/⑹X-8 v ./（Q），/⑹V +8）上形成一条封闭的曲线，即与直线x = a,x = b.y =0形成一个或多个封闭的区域.直观理解虽然不完全正确，但却能帮助我们了解和发现闭区间连续函数的性质，某些时候还能帮助我们找到证明.但直观的认识不一定是正确的，的确存在一些连续函数,其图像并不能作岀来?直观认识，在科学里面只是充当一个开路先锋的角色，到最后，一定要用严格的推理来证明.
先看何谓闭区间上的连续函数?连续的定义首先是点连续的定义.
称/（X）在兀=兀0连续，如果lim /（%） = /（x0）,
2X（）
B|j/（x）4x o附近有定义W > 0,? > 0,当X G u（x°0）时有|/（x）-/（x°）| < 称/⑴在兀=兀0左连续，如果w > o,? > 0,当兀w （兀0 - 兀0 ］时有（兀）-f（兀0 ）| < ￡? 称
f（x）在兀=%右连续，如果>0,3^ >0,当x w ［x0,x0 +5）时有|/（兀）-/（%）| <
若函数该点的极限值不等于函数值，经验告诉我们函数在该点必定断开，连续的定义与我们的直观认识相符合?而若函数在［G,b］连续,是指函数在区间的每点都连续，在左端点右连续,右端点左连续.下面讨论闭区间连续函数的相关性质, 并从直观和理论上与非闭区间的情况作比较,体会闭区间的独特的性质.
1.闭区间连续函数在其定义域上有界.
闭区间连续函数的图像是封闭的连续不断的曲线，可以想象这条曲线不可能纵向3轴方向)无限延伸,而开区间上的连续函数可以在端点处无限延伸.
若函数在某点冇极限，则在某点附近有界，而连续函数每点的极限都存在，因而在每点的附近都有界.只耍用有限覆盖定理，就可以知道只需耍有限个有界的区间就可以把函数的定义域覆盖?因而函数在其定义域上也是有界的.
现在来证明定义丁仏,切的连续函数广⑴在上有界.
证明：/(兀)G C［a, b］ => Vx\lim /(x) = f (%')
故m兀，当X w U(*，C J c［Q,b］口寸,|/(x)| < > 0
又E =Q(#,”)|x* ［a,b］提［a,b］的一个覆盖.
由有限覆盖定理知,E,(i = 1,2,???,刃)，
使得［讹］uUua,%)?
;=1
取M = max{M“,％???％},则有|/(兀)| < M*x e ［a,b］.
于是/(x)在［心］上有界证完.
若命题条件改为开区间，有限覆盖定理的条件不充分,该命题的证明使进行不下去.由此可见闭区间的条件是必须的?而连续的条件可以减弱,令每一点的极限都存在，可以同样推出函数在闭区间上冇界.
闭区间上的连续函数有界，由确界定理知道该函数必有上下确界.由此可以联想到闭区间上连续函数总能取得最大最小值，分别对应于上下确界.
2.闭区间连续函数必定在定义域上取得最大最小值.
已经证明了上下确界的存在?只需耍证明函数能够取到上下确界的值.
(x = c)
/(c) - ￡ 证明：设函数r （x ）的上确界为M ,由确界的性质可知，
对6 =丄,都存在X”使M -丄< /（xj n n 又r” e [a,b],存在子列％ }，使S T c w [a,b],伙 T +oo ）. 故有 M-—< f{x n ） < M, 5 k 两边令￡ -> +oo 取极限，有了（5 ） -> M,又6 T c \\] Heine 定理及/⑴的连续性可得广（c ） = M. 最小值情况证明类似?证完. 分析条件在证明中的作用.由函数的连续性知limf （x ） = /（c ）,这是连续函数 的定义，也是一条重要的性质,求初等函数极限值采用直接代入函数值的方法就 是以此为依拯的?而闭区间的作用是令子列的极限值限制在闭区间0"]里面.因 为在Q v x 腻.v b 两边取极限，可能得到c = a 或c = b,总之c 《（G,b ）. 即使是一个有界的函数，只要不是闭区间上的连续函数，都不能保证能在定 义域上取得最借.可以想象将闭区间连续函数的图像的最人值点向 下移动一?段距 离,得到一个有界的不连续函数gd ） = （X ° ° （￡ > 0）的图像（不妨 h （x ） = x 2（0 3. 连续函数介值定理. 这是一条重要的性质?连续函数在区间内必能取得介于端点函数值的值，称 之为介值?从育观上看来，这是显然的?一条连续变化的曲线必会在某个吋刻经过 介值点?若连续函数的取值可止可负，那么此函数必定存在零点，称Z 为零点定理. 而介值立理是零点疋理的直接推论，只需在原函数加减一个常数即可?下面给岀 用到确界定理的证明 . 设/（兀）有且只有一个最大值点），那么这个函数在定义域内就不可能取得最大值. -X 1 零点定理：若f(x) E C[G,b],若/Xd) < 0, f(b) > 0,则必存在g e (G,b),使得/￡) = 0. 证明:记集合E = {XG [a,列/(兀)>o},易知E 丰0, 由于E 有下界Q,故必有下确界，记为歹二inf E, 故Vx G [Q,g),/(X )< 0.叨边取极限X T 歹一,由于/(兀)e C[Q,b],有/(g) < 0. 因此§电E,故可在自选取数列&”},使X” -> g? T 00). 在/'(兀”)> 0两边取极限有/⑷> 0.故/、⑷=0证完. 可以同样构造一个这样的集合E,用反证法来证明，如下： 往证/⑷=0?若/Xg) > 0,有介E, R/(x) G C[a,b],故” > 0,使Vx G UD 吋旬(0 > 0. 取0 <夕< 5,旬Q —夕)> 0,与$ = inf E 孑盾. 若/? < 0.必”]> 0,使V 兀G )吋有/'⑴< 0. 取勺 < ①,不存在兀e E 使工v § -勺.与"inf E 孑盾即/(§) = 0证完 两个证明除了用到确界定理外几乎没有用到其它性质，譬如第二个证明，只 是用到函数极限的保号性?这根本在于用确界眾理给出了数集的下确界乙?确界泄 理是函数连续性的一个刻画，而介值性的结论可以由连续性从直观上得到，只要 给出了连续性一个理论上的刻画，余下的证明就像从直观上得到一般简单?但不 连续的函数，就未必具有介值性?至于闭区间的条件并没有用到，原因是任何一个 连续函数都可以截出某一个闭区间，在这个闭区间上讨论介值的问题?在这里自 然引出一个问题，具有介值性，即其值域为连续系的函数是否连续?如果不连续, 要补充什么条件才能保证函数连续？ 如下面一个处处不连续的函数，其值域是[-1,1].这说明具有介值性的函数不 ?定连续. 兀是有理数，月必工(),1 X 是 无理数 x = 0 X = 1 只要加强条件，令函数在定义域上单调，就一定有函数连续?有以下命题: 若函数y = /(x)定义在|[°#]上,/(兀)G [力,甸,且02 e [A 9B],3X G [询好⑴=A 刃⑴在[a,b]上单调，则f(x) e C[aM 这个命题的正确性在直观上很显然?证明也只需耍简单的说明?用反证法，设 函数不连续.由于单调函数只能有第一类间断点，并且间断点的取值要么是左极 限,要么是右极限.那么只要 通过极限保号性，说明函数不能取得间断点左极限和右极限Z间的值便可. 有界性，最值定理和介値定理合起来，说明了闭区间上的连续函数其值域也是闭区间，并且函数值能够取遍值域.用映射的语言来说，连续映射/：XT/(X)把0"］映射成反过来，这个命题说明了闭区间连续函数的这三条性质. 4.闭区间上的连续函数必定一致连续. 先给出一致连续的定义： 称/G)在区间/上一致连续，如呆/'⑴在区间/上有定义则对任意￡ > 0, 都存在5 > 0,使对任意才，兀上厶只要当忖-刃| <耐，都有|/(*)-/(*')| < & 一致连续的直观意义，就是函数的图像不会在很小的区间内变化任意大，图像每处切线的斜率不至于任意大?规定一个因变量的变化幅度，则自变量对应的变化幅度不能任意小. 由于一致连续的函数必定连续，故闭区间上的函数，连续跟一致连续是等价的?下而给出闭区间上的连续函数必定一致连续的证明: （Cantor定理）已知/（兀）e C[a,b],证明/（兀）在[a,b]一致连续. 证明:/（x）在兀=Q右连续，故〉0,羽〉0, V*,** 0卫+ 5） u [讪, 此时便有兀'一亡V力，且/（X，）-/（X M） <￡? 令E={XG（67,A]3^V X\X M G[67,X],只要疋-疋V 5,便有/（r）-/（x M） <4 由上述论证知a 4- 8a {8a < 5） e E.故E H 0.又Vx e E,都有x < b.故加=sup￡ e [a,b]. 要注意到，对不同的&E是不同的，现在只针对某一个E进行讨论. 因/（X）在兀=Q连续（若a = b,则左连续），对上述￡,3S a > 0, W,兀上（a -心,⑵u [a,b], 有|八甸v氏，且|/E）_/X）|v￡. 由上确界的定义知-戈，⑵，且羽妙>0, V X\X M G归,0],只要|*-甸 < %有|/（才）-/（疋）| < & 取5 = min（/#,0-a + 5a）,则色‘用‘引⑦⑵’只要|x‘-科< 3, 或者兀段飞[彳0]咸者心，⑵,无论如何，都有|/（疋）-/（*'）|<￡? 这就说明了对每一个￡所确定的= supE G E. 往证每一个E的上确界。=b.现在同样只对上述的E进行讨论. 用反证法，若a 冷，兀隹（a -和,a +石）,有|/（*）一 /（刘）| v e 又3f3^（a-5a\al且込、0, Vx\x M e 0,01只要|*-甸 < %,有|/（*） -/（x M）| < ￡? 只需要取可知+ 只要卜‘一疋| <夕，都冇|/（疋）一/（疋）| v &这与Q = supE矛盾.故a = b 这就说明了 V￡〉0,都羽〉0,只要|才-甸 < a,b]）,都有|/（x*）- /（x n）| < ￡.故/（x）在[讪上一致连续证完. 对CM"定理的证明，可以通过函数的点连续，把附近的点联系起来,使函数在一个小的区间里而冇类似一致连续定义的性质.然后通过闭区间的条件，把这种类似的性质拓展开去，变成整个区间上真正的一致连续?这个用确界定理的证明用到类似的思想,通过确界的定义找出0,通过0描述04]的性质?最后得出a=b的结论.确界定理的运用，与零点定理的证明一样，篇幅不多，但却是最主要的部分.而闭区间条件在证明中的反映,则是在“/⑴在处连续”处体现,若不是闭区间，“= a处连续”未必成立.这引出了闭区间的条件是否能够削弱的 问题，后面将会讨论到?下面给出用区间套定理的证明?区间套套出的点人就是所谓的“联络点”? 已知/*(%) G C［a,b］,求证/(x)在［a,b］—?致连续. 证明：用反证法，若/'(x)在［a,b］不一致连续，即五° >0,0/ >0,3x\x''e［a,b］, 肖八科 < 耐有|/(x,)-/(x n)| > ￡。.若区间/对固定的匂满足这样的性质，记为/ e P. 先证明若［Q,C］电p,［c,b］电P,则［°,切电P. 即对勺,》］> 0,Vx\r*G ［a,c］,只要< 几冇|/(y)-/(x M)| < 久. 坯 > o,vy,y*e ［c,b］,只要|”-川 < %，有L/V)-/(*)| < % 又门兀)在x = c连续，故对￡ =空,日刃〉0, Vx w U(c0),都有|/(x) - /(c)| <空令5 = minQ020)，0x』丘［。,切,只要卜-刘< 8. 或者e |Q,C］,或者兀,尹w［c,b］,有|/(兀)-/(尹)| <匂,又或者X』w U(c,5J 则W|/(x) - f(y)\ <\f(x)一/(c)| + |/(y) -f(c)\ <号 + 号=匂?即［恥］电 P. 记［Q］,b］］ = ［d,b］,将［d,b］二等分，则至少有一个区间满足性质P,记为［°2，筠］如此下去构造出一个区间套，其屮S”,仇］e P. 00 由区间套定理知存在唯一的厂G「|［知如u ［a.h］. 1=1 /(兀)在兀=厂处连续，故对弘込 >(),只要玖讥u(y，6),便有|/(*)-/(x M)| < % 由于T r(n -> 00),故IV,当〃 > N时,［。”,仇］u U(尸,％)? 此时Vx'，疋w ［色,仇］,都有|/(x') -/(x**)| <弘与［為,切」w P矛盾. 故/Xx)在［。,切上一致连续. 闭区间上的连续函数有紧致性，即直观理解上的封闭性，所以具有一些开区间上连续函数不具冇的性质.反过来，开区间连续函数多了一些不可控的性质，譬如函数图像在端点可以纵向无限延仲，如函数/(X)=-,或者如函数/(x) = sini X X 般，其图像在端点处无限折曲?这些性质都是由于在自变量很小的变化下，因变量产生了不可控制的变化?这是一致连续的其屮一个反而.开区间上一致连续的函数，除了端点外，能不能产生与闭区间连续函数相似的整体性质呢？ 先讨论导致连续函数在开区间和闭区间上冇相异性质的根本原因?开区间上的连续函数跟闭区间上的连续函数的根木差别在于,其左端点的右极限和右端点的左极限是否存在(开区间函数在端点没有定义，所以只从极限是否存在角度讨论，而不是从是否连续的角度)?开区间的连续函数在端点不存在左(右)极限，所以端点附近的性质如此“顽劣”：可以无限“延伸”，或无限“折曲”?在上文对 H<=H：补充端点处的定义，令g(x) = lim f (x) a 有界性和介值定理的讨论里面，特别强调了闭区间条件所起的作用?闭区间有紧致性，可以通过相关的几个命题來刻画?而这些性质在开区间函数上不成立的原因，就在于端点处的左(右)极限不存在.因为只要加强开区间连续函数的条件，令左端点的右极限，右端点的左极限都存在，这时补充端点处的定义,令端点处的函数值与极限值相等，就得岀一个闭区间的连续函数?这样的开区间连续函数就会在除端点外与闭区间连续函数有相似的整体性质，如有界性，证明和闭区间的几乎一样?而最值对应确界，要么能取得，要么就等于端点的极限优 回到一开始的讨论，左右端点的极限是否存在和一致连续有什么关系？可以证明，两者之间是等价的.有以下命题： 若e C(Q"),则/⑴的⑺“)一致连续当且仅当lim /(兀)与lim /⑴都存在. XT" * XTb 证明/(兀)在(d,z>)—致连续，故Vg > 0,期 > 0,只要兀 j" v S,x\x n e (a,b), 都有|/(r)-/(x M)| < &于是\7门兀隹(Q,G +〃)， W|x-x M| < §故|/(x')-/(x M)| < ￡? Ftl Cauchy收敛原理知lim /(x)存在，同理可知lim /⑴存在必要性证完. lim /(x) X—>"+ 显然g(x) G C[d,b],故g⑴在[d,b]-致连续，可知/⑴在(。劝一致连续?充分性证完. 从直观上理解，一致连续把开区间的连续函数的两端给“封闭”了，由此可以看出一致连续和闭区间的紧致性紧密相连. 参考文献： 邓东皋、尹小玲编著，数学分析简明教程，高等教育出版社，1999年版裘兆泰等编，数学分析学习指导，科学出版社，2004年版 同济大学应用数学系编，微积分(上册)，高等教育出版社，2002年版 求函数的连续区间，并求极限 2 解：x 3x 2 0 (x 1)(x 2) 0 x 1 , x 2 （初等函数在其定义区间内是连续的） 1 函数f（x）二的连续区间是（，1）（1,2）（2,） x 3x 2 lim0 f (x)lim 2 x 0 x2 3x 2 把0代入式 1 lim 2解得x 0 x2 3x 2，解得 lim —1- x 0 x 3x 2 2 2. f(x)\ x1 x，lim f (x) x 5 解：x10，x1 8x0，x8（初等函数在其疋乂区间内是连续 的） 函数f (x)vx 18x的连续区间是[1,8] lim f (x) lim v x 1 \ 8 x x 5 x 5 把5代入式lim x 1 「8 x，解得 x 5 lim x x 1 \ 8 x 2 \ 3 x 5 1. f(x) 厂厂，！叩（刈 3. f (x) ln(1 x 2 )， l j m i f (x) X 2 解：1 x 2 0， 1 x 1 （初等函数在其定义区间内是连续的） 4 f （x ） & e x ， lim f （x ） X 1 解：1 e 0， x 0 （初等函数在其定义区间内是连续的） X e ，解得 lim \'1 e x 丁1 e X 1 函数 f(x) ln(1 x ）的连续区间是［1,1］ lim ln( x 2 1 x 2) 把2代入式 lim ln(1 X 夕 2 、 ） lim 1 l n( 1 X 2 ) in 4 函数f (x) X e 的连续区间是［ ,0] lim X 1 f (x) 1代入式 「X X 因把2代入式X im 2 —2)3后，分母为o,故X im 2 —2『不 存在 X X 2 是函数y E 的第二类间断点 解：X 2 3X 2 0，X 1，X 2 / 小 X 1 X 1，x 2是函数y — X X 1 叽 m ，但函数 X 1 x 2 3x 2在 X 1 处无定 义。 ^x 2 3x 2不存在。 X 1 X 1 是函数y 严厂 的可去间断点，X 2是函数 1. y X （X 2）3 解： x 2 0，x 2 求函数的间断点，并判断其类型 2是函数y x （X 2） 3 的间断点 2. y X 1 X 2 3X 2 3X 2的间断点。 特征函数的概念及意义 目录： 一．特征函数的定义。 二．常用分布的特征函数。 三．特征函数的应用。 四．绪论。 一．特征函数的定义 设X 是一个随机变量，称 ()() itX e t E =?, +∞<<∞-t , 为X 的特征函数. 因为＝１Ｘit e ，所以() itX e E 总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的. 当离散随机变量X 的分布列为() ,3,2,1,P p k ===k x X k ，则X 的特征函数为 ()∑+∞ ==1k k itx p e t k ?, +∞<<∞-t . 当连续随机变量X 的密度函数为()x p ,则X 的特征函数为 ()()?+∞ ∞-=dx x p e t k itx ?, +∞<<∞-t . 与随机变量的数学期望，方差及各阶矩阵一样，特征函数只依赖于随机变量的分布，分布相同则特征函数也相同，所以我们也常称为某分布的特征函数. 二．常用分布的特征函数 1、单点分布：().1P ==a X 其特征函数为 ().e t it a =? 2、10-分布：()(),10x p 1p x X P x 1x =-==-，，其特征函数为 ()q pe t it +=?，其中p 1q -=. 3、泊松分布()λP ：()λλ-= =e k k X P k ！ ，k=0,1， ，其特征函数为 ()()∑+∞ =---===0k 1e e k ikt it it e e e e k e t λλλλλ?！ . 4、均匀分布()b a U ,：因为密度函数为 ()?????<<-=.;, 0, 1其他b x a a b x p 所以特征函数为 ()() ? --= -=b a iat ibt itx a b it e e dx a b e x ?. 5、标准正态分布()1,0N ：因为密度函数为 ()2 221x e x p -= π ， +∞<<∞-x . 所以特征函数为 ()() ? ?∞+∞-∞+∞ ---- - ∞== dx it x t x itx e e dx e x 22 22 222121 π ? =? -∞+-∞--- - =it it t t t e dz e e 2 2 2 22221π . 其中 ? -∞+-∞-- =it it x dz e π22 2 . 三．特征函数的应用 1、在求数字特征上的应用 求() 2N σμ，分布的数学期望和方差. 由于()2N σμ，的分布的特征函数为()2 t i 2 2e t σμ ?=, §4.2 闭区间上连续函数的性质 一、 性质的证明 定理1.（有界性）若函数)(x f 在闭区间[a,b]连续，则函数)(x f 在闭区间[a,b]有界，即?M >0,∈?x [a,b],有|)(x f |≤M . 证法：由已知条件得到函数)(x f 在[a,b]的每一点的某个邻域有界.要将函数 )(x f 在每一点的邻域有界扩充到在闭区间[a,b]有界，可应用有限覆盖定理，从 而得到M >0. 证明：已知函数)(x f 在[a,b]连续，根据连续定义， ∈?a [a,b]，取0ε=1，0δ?>0,∈?x (00,δδ+-a a )?[a,b],有 |)(x f )(a f -|<1.从而∈?x (00,δδ+-a a )?[a,b]有 |)(x f |≤|)(x f )(a f -|+|)(|a f <|)(|a f +1 即∈?a [a,b]，函数)(x f 在开区间(00,δδ+-a a )有界。显然开区间集 { (00,δδ+-a a )|∈a [a,b] }覆盖闭区间[a,b].根据有限覆盖定理（4.1定理3），存在有限个开区间，设有n 个开区间 {（k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b] }，k=1,2,3,…,n 也覆盖闭区间[a,b] ，且 ∈?x （k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b]，有|)(x f |≤|)(|k a f +1，k=1,2,3,…,n 取M =max{|)(||,......,)(||,)(|21n a f a f a f }+1. 于是∈?x [a,b]，∈?i {1，2,…，n},且∈x （i i a i a i a a δδ+-,）?[a,b]， 有|)(x f |≤|)(|i a f +1≤M 定理2（最值性）：若函数()f x 在闭区间[],a b 连续，则函数()f x 在区间 根式函数b ax y += 2的性质及其应用 摘要： 关键词： 1、 引言 高考题中经常会出现含根式函数b ax y +=2的相关试题，根据试题的条件和结论的内在联系，抓住关键的结构特征，借助其图象和性质，即可快速准确地解决试题. 下面，我们对形如)0,(2>+=b a b ax y 的根式函数的性质进行归纳，以期抛砖引玉. 2、 性质归纳 性质1（定义域） R 性质2（ 值域 ） ),[+∞b 性质3（单调性） 在()0,∞-上单调递减，在()+∞,0上单调递增 性质4（奇偶性） 偶函数 性质5（对称性） 关于y 轴对称 将根式函数)0,(2>+=b a b ax y 变形为),0,(22b y b a b ax y ≥>=-，得 性质6（特殊性） ① 该函数的图象是焦点在y 轴上的双曲线的上支 ② 有两条渐近线，方程为x a y ±= ③ 该函数是R 上的凹函数 有了性质作辅助，遇题便有章可依. 3、 典例分析 例1 已知+∈R b a ,，且1=+b a ，求证：22141422≥+++b a 证明：设函数14)(2 +=x x f ，它的图象是双曲线14 12 2 =-x y 的上支(如右图) )(x f 是R 上的凹函数， ∴ )2 (2)()(b a f b f a f +≥+ ∴ 124214142 22+?? ? ??+≥+++b a b a 即得2214142 2≥+++b a 证毕. 推广： 若),,2,1(n i R x i i =∈，且11 =∑=n i i x ，则有21 2bn a b ax n i i +≥+∑= 例2 已知R b a ∈,，求证：||2|1414|22b a b a -≤+-+ 证明：① 若b a =，显然成立. ② 若b a ≠，原不等式等价于2|1 414|22≤-+-+b a b a 设函数14)(2 +=x x f ，则b a b a -+-+1 41422可看作函数)(x f 图象上任意两点 ()14,2+a a P ，() 14,2+b b Q ()b a ≠连线的斜率， 即转化为求导函数)('x f 的值域问题. 1 44)(2'+= x x x f ，∴ 2| |2| |41 4||4|)(|2'<< += x x x x x f ∴ 2|1 414| 22≤-+-+b a b a . 综上所述，||2|1414|22b a b a -≤+-+ 点拨：本题的实质是考查双曲线上支上任意两点连线的斜率必介于两渐近线的斜率2-与2之间. 例3 当b a <<0时，求证：()14414142 22+-> +-+a a b a a b 证明：原不等式等价于 1 441 4142 22+>-+-+a a a b a b 设函数14)(2 +=x x f ，则a b a b -+-+1 41422可看作函数)(x f 图象上任意两点 ()()a f a P ,，()()b f b Q ,连线的斜率.由高等数学中的拉格朗日中值定理可知，在 ()b a ,上存在一点ξ，使得 )() ()('ξf a b a f b f =--. 第17、18课时： 【教学目的】 1、 掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质； 2、 熟练掌握零点定理及其应用。 【教学重点】 1、介值性定理及其应用； 2、零点定理及其应用。 【教学难点】 介值性定理及其应用 §1. 10 闭区间上连续函数的性质 一、有界性与最大值与最小值 最大值与最小值: 对于在区间I 上有定义的函数f (x ), 如果有x 0∈I , 使得对于任一x ∈I 都有 f (x )≤f (x 0 ) (f (x )≥f (x 0 )), 则称f (x 0 )是函数f (x )在区间I 上的最大值（最小值）. 例如, 函数f (x )=1+sin x 在区间[0, 2π]上有最大值2和最小值0. 又如, 函数f (x )=sgn x 在区间(-∞, +∞)内有最大值 1和最小值-1. 在开区间(0, +∞)内, sgn x 的最大值和最小值都是1. 但函数f (x )=x 在开区间(a , b )内既无最大值又无最小值. 定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值. 定理1说明, 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 那么至少有一点ξ1∈[a , b ], 使f (ξ1)是f (x )在[a , b ]上的最大值, 又至少有一点ξ 2∈[a , b ], 使f (ξ 2)是f (x )在[a , b ]上的最小值. 注意: 如果函数在开区间内连续, 或函数在闭区间上有间断点, 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值. 例: 在开区间(a , b ) 考察函数y =x . 又如, 如图所示的函数在闭区间[0, 2]上无最大值和最小值. ?????≤<+-=<≤+-==2 1 31 110 1)(x x x x x x f y . 定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 二、零点定理与介值定理 零点: 如果x 0 使f (x 0 )=0, 则x 0 称为函数f (x )的零点. 定理3（零点定理）设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 且f (a )与f (b )异号, 那么在开区间(a , b )内至少有一点ξ 使f (ξ)=0. 定理4（介值定理）设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 且在这区间的端点取不同的函数值 f (a )=A 及f (b )=B , “双勾函数”的性质及应用 问题引入 ：求函数2y = 的最小值． 问题分析 ：将问题采用分离常数法处理得，2y = =，此时 如果利用均值不等式， 即2y = ，等式成立的条件 为 = 显然无实数解，所以“=”不成立，因而最小值 不是2，遇到这种问题应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢？是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢?带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质． 一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质 1．“双勾函数”的定义 我们把形如()k f x x x =+ （k 为常数，0k >）的函数称为“双勾函数”．因为函数()k f x x x =+ （k 为常数，0k >）在第一象限的图像如“√”，而该函数为奇函数，其图像关于原点成中心对称，故此而得名． 2．类比“二次函数”与“双勾函数”的图像 3．类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质 （1）“二次函数”的性质 ①当0a >时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 二次函数图像 “双勾函数”图像 的增大而增大；当2b x a =-时，函数y 有最小值2 44ac b a - ． ②当0a <时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小．当2b x a =-时，函数y 有最大值2 44ac b a -． （2）“双勾函数”性质的探究 ①当0x > 时，在x =y 随着x 的增大而减小；在x =y 随着x 的增大而增大；当x = y 有最小值． ②当0x <时， 在x =y 随着x 的增大而增大； 在x =y 随着x 的增大而减小．当x =y 有最大值-． 综上知，函数()f x 在(,-∞ 和)+∞ 上单调递增，在[ 和上单调递减． 下面对“双勾函数”的性质作一证明． 证明：定义法．设12,x x ∈R ，且12x x <，则 1212121212121212 ()()()()()(1)x x x x k a k k f x f x x x x x x x x x x x ---=+ --==-- ． 以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？ 首先0x ≠，∴0x =就是一个分界点，另外我们用“相等分界法”，令120x x x ==， 2 010k x - = 可得到x = 因此又找到两个分界点 这样就把()f x 的定义域 分为(,-∞ ，[ ， ，)+∞四个区间，再讨论它的单调性． 设120x x <<120x x -<，120x x >，120x x k <<， ∴120x x k -<． ∴121212121212 ()()()()0x x x x k k k f x f x x x x x x x ---=+ --=> ，即12()()f x f x >． ∴()f x 在上单调递减． 同理可得，()f x 在)+∞ 上单调递增；在(,-∞ 上单调递增；在[上 浅论闭区间上连续函数的性质 中山大学数学与应用数学04级数统基地班黎俊彬 摘要:本文就闭区间上连续函数的性质进行了一定程度上的探讨，从直观感觉和理论论证两面方面论述了有界性，最值定理,介值定理和一致连续性定理，并且将之与开区间上连续函数及不连续函数作一定的对比. 关键字：闭区间连续函数实数的连续性和闭区间的紧致性 实数的连续性和闭区间的紧致性，使闭区间上的连续函数有丰富的性质，而且可由实数的各等价命题推出?本文主要从对连续函数的直观理解深入到纯分析的论证?在论证过程屮，严格地不出现微分学和积分学的内容，只是从连续函数本身的性质及实数系的性质入手. 从直观上理解，连续函数的图像是一条连续不断的曲线，这对于一?般初等函数來说都是成立的?而闭区间b"］上的连续函数/（X）的图像两端必须紧紧地连接着定义在端点处的点（67,/?））,（/>,/⑹X-8 v ./（Q），/⑹V +8）上形成一条封闭的曲线，即与直线x = a,x = b.y =0形成一个或多个封闭的区域.直观理解虽然不完全正确，但却能帮助我们了解和发现闭区间连续函数的性质，某些时候还能帮助我们找到证明.但直观的认识不一定是正确的，的确存在一些连续函数,其图像并不能作岀来?直观认识，在科学里面只是充当一个开路先锋的角色，到最后，一定要用严格的推理来证明. 先看何谓闭区间上的连续函数?连续的定义首先是点连续的定义. 称/（X）在兀=兀0连续，如果lim /（%） = /（x0）, 2X（） B|j/（x）4x o附近有定义W > 0,? > 0,当X G u（x°0）时有|/（x）-/（x°）| < 称/⑴在兀=兀0左连续，如果w > o,? > 0,当兀w （兀0 - 兀0 ］时有（兀）-f（兀0 ）| < ￡? 称 f（x）在兀=%右连续，如果>0,3^ >0,当x w ［x0,x0 +5）时有|/（兀）-/（%）| < 若函数该点的极限值不等于函数值，经验告诉我们函数在该点必定断开，连续的定义与我们的直观认识相符合?而若函数在［G,b］连续,是指函数在区间的每点都连续，在左端点右连续,右端点左连续.下面讨论闭区间连续函数的相关性质, 并从直观和理论上与非闭区间的情况作比较,体会闭区间的独特的性质. 求函数的连续区间，并求极限 1. 2 31)(2 +-= x x x f ，)(lim 0 x f x → 解： 0232 ≠+-x x 0)2)(1(≠--x x 1≠x ，2≠x （初等函数在其定义区间内是连续的） ∴函数2 31)(2 +-= x x x f 的连续区间是),2()2,1()1,(+∞??-∞ 231lim )(lim 2 0+-=→→x x x f x x 把0代入式 231 lim 2 0+-→x x x ，解得 2 12 31lim 2 0= +-→x x x 2. x x x f ---= 81)(，)(lim 5 x f x → 解： 01≥-x ，1≥x 08≥-x ，8≤x （初等函数在其定义区间内是连续的） ∴函数x x x f ---= 81)(的连续区间是]8,1[ x x x f x x -- -=→→81lim )(lim 5 5 把5代入式 x x x -- -→81lim 5 ，解得 3281lim 5 - =---→x x x 3. )1ln()(2x x f -=，)(lim 2 1 x f x → 解： 012 >-x ，11<<-x （初等函数在其定义区间内是连续的） ∴函数)1ln()(2x x f -=的连续区间是]1,1[- )1ln(lim )(lim 2 2 12 1x x f x x -=→ → 把 2 1代入式 )1ln(lim 2 2 1 x x -→ ，解得 43ln )1ln(lim 2 2 1=-→ x x 4. x e x f -=1)(，)(lim 1 x f x -→ 解： 01≥-x e ， 0≤x （初等函数在其定义区间内是连续的） ∴函数x e x f -=1)(的连续区间是]0,[-∞ x x x e x f -=-→-→1lim )(lim 1 1 把1-代入式 x x e --→1lim 1，解得 1 1 11lim --→-=-e e x x 特征函数（Characteristic Function ）的性质 1．;1)0(|)(|=≤??t ).0(11|||||)(|??==≤≤=E e E Ee t itX itX 2. )()(t t ??=-. )()(t Ee e E Ee t itX itX itX ??====--. 3. 若Y=aX+b, 其中a 和b 为常数，则 ).()(at e t X ibt Y ??= 4． 若X 的l 阶矩存在，则 .1,|)(0l k EX i t dt d k k t k k ≤≤==? k k t itX k k t itX k k t k k EX i e X E i Ee dt d t dt d ======000|)(||)(?. 注意求导和期望可交换的条件. 可利用特征函数求随机变量的各阶矩. 5. 特征函数具有一致连续性. ? ><>?>?M x dx x p t s M ||)(. .,0,0εε ? ∞ ∞ =-=-+|)()1(||)()(|x dF e e t h t itx ihx ?? ?∞ ∞--≤)(|1|x dF e ihx ?? ->-+-=M M M x i h x i h x x dF e x dF e ||)(|1|)(|1| |||2 sin |2)(||1|2 /2 /2 /hx hx e e e e ihx ihx ihx ihx ≤=-=-- x hx e e e e ihx ihx ihx ihx ?≤=-=--,2|2 sin |2)(||1|2 /2 /2 / ? ?>-+≤-+M x M M x dF x dF x h t h t ||)(2)(|||)()(|?? ?-+≤+≤M M hM x dF hM εε22)(. 取,/M εδ=则 对 任意实数t ，和),0(δ∈h 有 .3|)()(|ε??≤-+t h t 所以，特征函数是一致连续的. 引理：狄利克雷积分 ). (2 1 21 00 2 1)sin(1)(0a sign a a a dt t at a I =??? ????<-=>==?∞+π 证明： ? ∞ = sin )(1 )(dt t t a sign a I π 以下证明 ? +∞ =0 2 sin π du u u . §2 闭区间上连续函数性质的证明 教学目的：掌握闭区间上连续函数性质证明思路与方法，加深对实数完备性若干定理的理解。 重点难点：重点与难点为其证明思路与方法。 教学方法：讲练结合。 在本节中，我们利用实数完备性的基本定理，来证明闭区间上连续函数的基本性质． 有界性定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界． 证 [证法一](应用有限覆盖定理) 由连续函数的局部有界性(定理4．2)，对每一点[],,b a x ∈'都存在邻域);(x x U ''δ及正数x M '，使得[].,);(,)(b a x U x M x f x x '''∈≤δ 考虑开区间集 []{} b a x x U H x ,);(∈''='δ, 显然H 是[]b a ,的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集 ()[]{}k i b a x x U i i i ,,2,1,,;* =∈=H δ 覆盖了[]b a ,，且存在正数k M M M ,,,21 ，使得对一切()[]b a x U x i i ,; δ∈有 ().,,2,1,k i M x f i =≤ 令 ,m a x 1i k i M M ≤≤= 则对任何[]b a x ,∈，x 必属于某()()M M x f x U i i i ≤≤?δ;．即证得f 在[]b a ,上有界． [证法二](应用致密性定理) 倘若f 在[]b a ,上无上界，则对任何正整数n ，存在[]b a x n ,∈，使得()n x f n >．依次取 ,2,1=n ，则得到数列{}[]b a x n ,?．由致密性定理，它含有收敛子列{} k n x ，记ξ=∞ →k n k x lim 。由b x a k n ≤≤及数列极限的保不等式性，[]b a ,∈ξ．利用f 在点ξ连续，推得 () ()+∞<=∞ →ξf x f k n k lim 另一方面，由n x 的选取方法又有()() +∞=?+∞→≥>∞ →k k n k k n x f k n x f lim 与(1)式矛盾．所以f 在[]b a ,有上界．类似可证f 在[]b a ,有下界，从而f 在[]b a ,上有界. 最大、最小值定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有最大值与最小值． 证 (应用确界原理) 已证f 在[]b a ,上有界，故由确界原理，f 的值域[]()b a f ,有上确界，记为M ．以下我们证明：存在[]b a ,∈ξ，使()M f =ξ．倘若不然，对一切[]b a x ,∈都有()M x f <．令 习题1-9 1. 求函数6 33)(2 2 3-+--+= x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0 x f x →, )(lim 3 x f x -→及)(lim 2 x f x →. 解 ) 2)(3()1)(1)(3(6 33)(2 2 3 -++-+= -+--+= x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续 的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点x =0处, 2 1)0()(lim 0 = =→f x f x . 在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞ =-++-+=→→) 2)(3()1)(1)(3(lim )(lim 2 2 x x x x x x f x x , 5 82 ) 1)(1(lim )(lim 3 3 - =-+-=-→-→x x x x f x x . 2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数 ?(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续. 证明 已知)()(lim 00 x f x f x x =→, )()(lim 00 x g x g x x =→. 可以验证 ] |)()(|)()([21 )(x g x f x g x f x -++=?, ] |)()(|)()([2 1 )(x g x f x g x f x --+=ψ. 因此 ] |)()(|)()([2 1 )(00000x g x f x g x f x -++=?, ] |)()(|)()([2 1 )(00000x g x f x g x f x --+=ψ. 因为 ] |)()(|)()([2 1lim )(lim 0 x g x f x g x f x x x x x -++=→→? ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210 x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++= ] |)()(|)()([2 1 0000x g x f x g x f -++==?(x 0), 所以?(x )在点x 0也连续. 同理可证明ψ(x )在点x 0也连续. 3. 求下列极限: (1)5 2lim 2 +-→x x x ; 用特性函数G与特征变量p,T求所有热力学函 数的表达式 1.热力学函数间的关系 (1) H=U+pV (2) A=U-TS (3) G=H-TS (4) G=A+pV 根据定义，五个热力学函数有如下关系。这些关系一方面反映了体系的热力学函数之间的联系，另一方面可以利用这种关系从已知函数值求未知函数值。它们的关系用图示的方法可看得更清楚。 (1) 这是焓的定义式，因为在等压，不作非膨胀功的条件下，焓变等于等压热效应。等压热效应容易测定，所以定义了焓。 (2) 这是亥姆霍兹自由能的定义式。在等温可逆条件下，亥氏自由能的降低等于对外所作的最大功，可以衡量体系的作功能力，所以又称功函。 (3) 这是吉布斯自由能的定义式。在等温等压可逆条件下，吉布斯自由能的下降等于对外所作的最大非膨胀功。 (4) 从上面三个公式可导出G与A之间的关系式，该式也可看作吉布斯自由能的定义式. 2. 用特性函数G与特征变量p,T求所有热力学函数的表达式。 用特性函数及其特征变量可以求出所有热力学函数的表达式。现以吉布斯自由能G为特性函数，其特征变量为T，p，从而求出热力学能，焓，熵，亥氏自由能和体积的表达式。之所以可以这样做是因为U，H，S，A，G，T，p，V这8个量之间只有两个变量是独立的，其它都是这两个变量的函数。所有根据两个变量热力学函数之间的关系可以写出其它热力学量的表达式。 画面中间是G与特征变量T，p之间的关系式。 (1) 保持p不变，对T求偏导，得到熵的表达式 (2) 保持T不变，对p求偏导，得到体积V 的表达式 (3) 根据焓的定义式代入熵的表达式，得到焓的表达式 (4) 根据亥氏自由能的定义式，代入体积的表达式，得到亥氏自由能的表达式 (5) 根据焓的定义式，代入焓和体积的表达式，就得到热力学能的表达式。 闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法连续函数是数学分析中非常重要的一类函数，下面是小编搜集整理的一篇探究闭区间上连续函数的有界性定理证明的论文范文，欢迎阅读参考。 一、引言 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定联系的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。 在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基 本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。 二、一种新的证明方法 (一)预备知识 (二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。 三、有界性定理在数学建模中的应用 本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。 在2013年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基于投保人、保险公司和政府三方面的利益，按照公平合理的定价原则设计，由保险公司经营的保险产品，三方各承担不同的责任、义务和风险。根据题目中附件所给的P省的具体情况，可以将有界性定理灵活的用在自然灾害保险的风险评估和费率拟定上。假设时间是一个连续状态，则以时间t为自变量，根据题中所给数据，以日最高最低气温为例，很明显它与时间t是呈周期性变化的，以一年为一个周期，故只考虑在某一年内的变化规律，即. 将日最高最低气温拟合成一个关于时间的函数f(t),则由于自变量 高等数学II 练习题 第二章 极限与连续 ________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______ 习题2.6 闭区间上连续函数的性质 一．选择题 1．若1,1 ()1, 1x x f x x +≠?=? =?，则下列说法中正确的是 （ B ） （A ）()f x 无间断点 （B ）()f x 只有一个间断点 （C ）()f x 只有2个间断点 （D ）()f x 只有3个间断点 2．若函数ln 1()sin ,12 x x f x a x x π ≥?? =? §1 母函数（生成函数）简介 对于取值非负整数的随机变量，其母函数有极其良好的性质且又便于计算和分析，因此引入母函数是非常必要的。母函数又称生成函数(Generating function)。 母函数的定义 ● 定义：对于数列}0,{≥n a n ，称幂级数 )1(0 ≤∑∞ =s s a n n n 为}0,{≥n a n 的母函数。 ● 定义：设X 为取值于非负整数随机变量，分布率为 ,2,1,0,}{===k p x X P k k ，则 称 1)(?)(0 ≤==∑∞ =s s p s E s g k k k X 为随机变量X 的概率母函数，简称母函数。 一些常用分布的母函数 （1） 若).(~p n B X ，则n sp q s g )()(+= （2） 若)(~λPo X ，则)1()(-=s e s g λ （3） 若)(~p G X ，则qs ps s g -=1)( 母函数的基本性质 （1）X 的母函数与其分布率是一一对应的，且有! ) 0()(k g p k k = （2）设非负整值随机变量n X X X ,,,21 相互独立，而n g g g ,,,21 分别是它们的母函数，则∑== n k k X Y 1 的母函数为： )()()()(21s g s g s g s g n Y = （3）设随机变量X 的母函数为)(s g ，则有： （a ）)1()(g X E '= （b ）2)]1([)1()1()()(g g g X Var X D '-'+''== 母函数的应用 （4） 设n X X X ,,,21 独立同分布，且).1(~p B X i ，求∑== n k k X Y 1 的分布。 （5） 设21,X X 独立，且2,1,).(~=i p n B X i i ，证明),(~2121p n n B X X ++。 （6） 设21,X X 独立，且2,1,)(~=i Po X i i λ，证明)(~2121λλ++Po X X 。 §2 特征函数 1． 特征函数的定义 ● 定义：如果Y X ,均为概率空间),,(P ∑Ω上的实值随机变量，则称Y i X +=ξ为一复 随机变量，且定义复随机变量的数学期望为EY i EX E +=ξ。 由以上定义，有}{sin }{cos }sin {cos }{X t iE X t E X t i X t E e E X t i +=+=。 ● 定义：若随机变量X 的分布函数为)(x F X ，则称： )()sin (cos ?)(?)(x dF tx i tx x dF e Ee t X X itx itX ??∞ ∞ -∞∞ -+===? 为随机变量X 的特征函数（c.f.） ● 特征函数其实就是随机变量函数的数学期望。 ● 特征函数的简单性质 （1）由于1≤itX e ，所以对任意随机变量，特征函数都有意义 （2）特征函数是一实变量的复值函数 （3）特征函数只与分布函数有关，因此又称为某一分布的特征函数 （4）若X 的特征函数为)(t ?，则bX a +的特征函数为)(}exp{ bt ita ?函数 （5）1)0(=? （6）对离散型的随机变量X ，其分布率为 2,1}{===j p x X P j j ，则其特征函数为∑∞ == 1 }exp{)(j j j itx p t ?，若是连续型随机变量，概率密度为)(x f ，则其特征函数为 ?∞ ∞ -=dx x f itx t )(}exp{)(?。 分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 2 1)10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1==--→→x x f x x 11lim )(lim 1 1==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 21)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 00x f x f x f x x x x x x →→→+-=才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2+-=x x x f ， （1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象； （2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0x f x x →，再让)(lim )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2-=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2-=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ???-=--≠+-=)2(4)2(24)(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致． 第六讲 Ⅰ 授课题目： §1.9连续函数的运算与初等函数的连续性 §1.10闭区间上连续函数的性质 Ⅱ 教学目的与要求： 1明确初等函数连续性的结论；会利用初等函数连续性求函数的极限。 2掌握闭区间上连续函数的性质 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：会利用初等函数求函数的极限及介质定理 难点：介值定理的应用 Ⅳ 讲授内容： §1.9连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 定理1 若)(x f 和)(X g 在点0X 连续，则它们的和（差）g f ±，积f g ?及商g f （当连续时）都在点0)(00x g x ≠ 二、反函数与复合函数的连续性 定理2 如果函数)(x f y =在区间x I 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的 反函数)(1y f x -=也在对应的区间{}x x I x x f y y I ∈==),(|上单调增加（或单调减 少）且连续。如sin y x =与arcsin y x = 定理3 设函数??)(x g f y =由函数)(u f y =与函数)(x g u =复合而成，,00 )(g f d x U ?? 若0)(lim 0u x g x x =→，而函数)(u f y =在0u u =连续，则[])()(lim )(lim 000u f u f x g f u u x x ==→→ 例3 求93lim 23--→x x x 解 932--=x x y 可看作由u y =与9 32--=x x u 复合而成，因为6193lim 23=--→x x x ，而函数u y =在点6 1=u 连续，所以 9 3lim 23--→x x x =93lim 23--→x x x =6661= 定理4 设函数??)(x g f y =由函数)(u f y =与函数)(x g u =复合而成，,00 )(g f d x U ??若函数)(x g u =在0x x =连续，且00)(u x g =，而函数)(u f y =在0u u =连续，则复合函数??)(x g f y =在0x x =也连续。 三、初等函数的连续性： 结论1 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 结论2 一切初等函数在其定义域内都是连续的 浅论闭区间上连续函数的性质 中山大学数学与应用数学 04级数统基地班 黎俊彬 摘要:本文就闭区间上连续函数的性质进行了一定程度上的探讨,从直观感觉和理论论证两面方面论述了有界性,最值定理,介值定理和一致连续性定理,并且将之与开区间上连续函数及不连续函数作一定的对比. 关键字:闭区间 连续函数 实数的连续性和闭区间的紧致性 实数的连续性和闭区间的紧致性,使闭区间上的连续函数有丰富的性质,而且可由实数的各等价命题推出.本文主要从对连续函数的直观理解深入到纯分析的论证.在论证过程中,严格地不出现微分学和积分学的内容,只是从连续函数本身的性质及实数系的性质入手. 从直观上理解,连续函数的图像是一条连续不断的曲线,这对于一般初等函数来说都是成立的.而闭区间[]b a ,上的连续函数()x f 的图像两端必须紧紧地连接着定义在端点处的点()()()()()()()+∞<<∞-b f a f b f b a f a ,,,,上,形成一条封闭的曲线,即与直线0,,===y b x a x 形成一个或多个封闭的区域.直观理解虽然不完全正确,但却能帮助我们了解和发现闭区间连续函数的性质,某些时候还能帮助我们找到证明.但直观的认识不一定是正确的,的确存在一些连续函数,其图像并不能作出来.直观认识,在科学里面只是充当一个开路先锋的角色,到最后,一定要用严格的推理来证明. 先看何谓闭区间上的连续函数.连续的定义首先是点连续的定义. .)()(),[,0,0,)(.)()(],(,0,0,)(.)()(),(,0,0,)(),()(lim ,)(00000000000000 εδδεεδδεεδδε<-+∈>?>?=<--∈>?>?=<-∈>?>?==→x f x f x x x x x x f x f x f x x x x x x f x f x f x U x x x f x f x f x x x f x x 时有当如果右连续在称时有当如果左连续在称时有当附近有定义在即如果连续在称 若函数该点的极限值不等于函数值,经验告诉我们函数在该点必定断开,连求函数的连续区间
特征函数的概念及意义
(整理)闭区间上连续函数的性质
根式函数的性质及其应用
高数闭区间上连续函数的性质教案
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求函数的连续区间
特征函数(Characteristic Function)的性质.
闭区间上连续函数性质证明
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连续函数的运算 闭区间上连续函数的性质
闭区间上连续函数的性质