A.9
B.8
C.7
D.6
6.图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）（150，155）内的学生人数）.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是
A.i<6
B. i<7
C. i<8
D. i<9
7.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为
A.15
B.16
C.17
D.18
8.设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b ∈S ，对于有序元素对（a,b ）,在S 中有唯一确定的元素a*b 与之对应），若对任意的a,b ∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b ∈S,下列等式中不恒成立的是
A.（a*b ）*a=a
B.［a*(b*a)］*(a*b)=a
C.b*(b*b)=b
D.(a*b)* ［b*(a*b)］=b
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只能选做二
题，三题全答的，只计算前两题得分.
9.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 .（答案用分数表示）
10. 若向量b ,a 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a a ?+?a ＝
11.在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A （2，1），若线段OA 的垂直平分线过抛物线
)0(22φp px y =的焦点，则该抛物线的准线方程是 . 12.如果一个凸多面体n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的
直线共
有 条.这些直线中共有)(n f 对异面直线，则)4(f ＝ ; )(n f ＝ .（答案用数字或n 的解析式表示）
13.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
)(33R t t y t x ∈??
?-=+=参数，圆C 的参数方程为[])20(2sin 2cos 2πθθθ
，参数∈?
??+==y x ，则题C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 .
14.（不等式选讲选做题）设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围是 .
15.（几何证明选讲选做题）如图5所法，圆O 的直径6=AB ，C
为
圆周上一点，3=BC ，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ，则
∠DAC ＝ ，线段AE 的长为 .
图5
三、解答题：本大题共有6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分） 已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、.
（1）若5=c ，求sin ∠A 的值;
（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围.
17.(本题满分12分)下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
（1（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y =a x b )
)+;
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5）
18.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直
线y=x 相切于坐标原点O .椭圆92
22
y a
x +＝1与圆C 的一个交点到椭圆两点的距离之和为10.
（1）求圆C 的方程.
（2）试探安C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点P 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分14分）如图6所示，等腰△ABC 的底边
AB =66,高CD =3，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记
BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积.
（1）求V (x )的表达式；
（2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？
（3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值
20.（本小题满分14分）已知a 是实数，函数f (x )=2ax 2+2x -3-a ,如果函数y =f (x )在区间［-1,1］上有零点，求a 的取值范围.
21.（本小题满分14分）已知函数f (x )=x 2+x -1,α、β是方程f (x )=0的两个根（α>β）.f ′
(x )是f (x )的
导数.设a 1＝1，a n +1=a n -)
()
(n n a f a f '(n =1,2,…). (1)求α、β的值；
(2)证明：任意的正整数n ，都有a n >a ;
(3)记b n -α
β
--n n a a ln (n =1,2,…),求数列{b n }的前n 项和S n .
2007年普通高等学校全国招生统一考试
(广东卷)数学(理科)参考答案
9.91 10.21 11.x= -25
12.2)1(
+n n ，12
，2)1)(2(--n n n
13.(0，2)，22 14. 6 ，[ -1，1]
15.30°，3
三、解答题
16. 解：(1)
(3,4)
AB =--u u u r
, (3,4)
AC c =--u u u r
当c=5时，
(2,4)
AC =-u u u r
cos cos ,A AC AB ∠=<>==
u u u r u u u r
进而
sin 5A ∠==
(2)若A 为钝角，则
AB ﹒AC= -3(c -3)+( -4)2
<0
解得c>325
显然此时有AB 和AC 不共线，故当A 为钝角时，c 的取值范围为[325
，+∞)
17. 解： (1)如下图
(2)y x i
n
i i ∑=1
=3?2.5+4?3+5?4+6?4.5=66.5
x =46543+++=4.5
y =45.4435.2+++=3.5
∑=n
i x i
1
2
=32+42
+52+6
2
=86
266.54 4.5 3.566.563?0.7864 4.58681b
-??-===-?- ?? 3.50.7 4.50.35a Y bX =-=-?=
故线性回归方程为y=0.7x+0.35
(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7?100+0.35=70.35 故耗能减少了90-70.35=19.65(吨)
18. 解： (1)设圆心坐标为(m ，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x -m )2+(y -n )2=8已知该圆与直线y=x 相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则
2n m -=22 即n
m -=4 ①
又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 m 2+n 2=8 ②
联立方程①和②组成方程组解得
??
?=-=22n m
92
y
252
x
故圆的方程为(x +2)2+y 2=8 (2)
a
=5，∴a 2=25，则椭圆的方程为 + =1
其焦距c=925-=4，右焦点为(4，0)，那么OF
=4。
要探求是否存在异于原点的点Q ，使得该点到右焦点F 的距离等于OF
的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F 为顶点，半径为4的圆(x ─4)2+y 2=8与(1)所求的圆的交点数。
通过联立两圆的方程解得x=54
，y=512
即存在异于原点的点Q(54，512
)，使得该点到右焦点F 的距离等于OF
的长。
19. 解：(1)已知EF ⊥AB,那么翻折后，显然有PE ⊥EF,又PE ⊥AE,从而PE ⊥面ABC,即PE 为四棱锥的
高。
四棱锥的底面积BEF ABC S S S ??-= 而△BEF 与△BDC 相似，那么
BDC BEF S S ??=263???? ??x ， BEF S ?=10826322
ABC
ABC S x S x ??=???
? ??
则1082ABC ABC S x S S ??-= =???? ??-10812x ?21?66?3=96???
? ??-10812
x 故四棱锥的体积V(x)=31Sh=31?
96x x ???? ??-10812 = x ?63???
? ??-10812x (06x 2
(00,V(x)单调递增；x ∈(6，36)时V’(x)><0,V(x)单调递减；
因此x=6时， V(x)取得最大值V(x)max= V(6)=126
(3)过F 作AC 的平行线交AE 于点G ，连结FG 、PG ，则EG=6，EF=6，GF=PF=42，PG=26，
7
1
42
422724242cos =
??-+=
∠PFG
20. 解：当a=0时，函数为f (x)=2x -3，其零点x=23
不在区间[-1，1]上。
当a ≠0时，函数f (x) 在区间[-1，1]分为两种情况： ①函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时
??
?≤--=-≥---=?0)1)(5()1()1(0)3(84a a f f a a
或???
?
?≤-≤-=---=?12110)3(84a a a
解得1≤a ≤5或a=27
3--
②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时
()()20824401
1121010a a a a f f >?
??=++>??-<-
?
≥?
?
-≥?
或
()()20824401
1121010a a a a f f
??=++>??-<-
?
≤?
?
-≤?
解得a ≥5或a<27
3--
综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a 的取值范围为
273--
(-∞, ]∪[1, +∞)
21. 解： (1)解方程x 2+x-1=0得x=251±-
由α>β知α=251+-,β=251--
1
21
2
++a a n n 1
212
+-+a a a n n n
a n
(2) f’ (x)=2x+1
a n 1+
= - =
下面我们用数学归纳法来证明该结论成立
①当n=1时，a 1=1<251+-=α成立，
②假设n=k(k ≥1, k ∈N*)时，结论也成立，即a k <α成立，
③那么当n=k+1时，
a k 1+=1212
++a a k k =a k 21-41+)12(45+a k <α21-41
+)12(45+α=α
21+α21=α
这就是说，当n=k+1时，结论也成立，故对于任意的正整数n ，都有a n <α
(3) αβ-++-++1
211212
2
a a a a n n n n
αβ
αβ2
2
22
22+-+-a a a a n n n n 12122
2
+--+--ααββa a a a n n n n
αβ--++a a n n 11=
= =
=(αβ--a a n n )
2
由题意知a n >α,那么有a n >β，于是对上式两边取对数得
ln αβ--++a a n n 11=ln(αβ--a a n n )2
=2 ln(α
β
--a a n n )
253+
即数列{b n }为首项为b 1= ln(25112511+--
---
)=2ln( )，公比为2的等比数列。
故其前n 项和
25
3+ 2112
--n 253+
S n =2ln( ) =2ln( )(2n -1)
