矩阵论_第1_2章_线性空间与线性变换2矩阵分析简明教程曾祥金张亮(20200919183133)

几类特殊线性变换及其二阶矩阵优秀教学设计

几类特殊线性变换及其二阶矩阵【教学目标】 1．了解二阶矩阵的概念，线性变换与二阶矩阵之间的关系。 2．熟练运用旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示解决具体问题。 3．亲历几类特殊线性变换的探索过程，体验分析归纳得出其二阶矩阵，进一步发展学生的探究、交流能力。【教学重难点】重点：掌握几类特殊线性变换及其二阶矩阵。难点：旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换的实际应用。【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习几类特殊线性变换及其二阶矩阵，这节课的主要内容有旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解线性变换与二阶矩阵内容，形成初步感知。（2）首先，我们先来学习线性变换及其相关概念，它的具体内容是：在平面直角坐标系xoy 内，很多几何变换都具有下列形式：x ax by y cx dy '=+??'=+? ③；其中系数a ，b ，c ，d 均为常数，我们把形如③的几何变换叫做线性变换。 ③式叫做这个线性变换的坐标变换公式。 (,)P x y '''是(,)P x y 在这个线性变换作用下的像。像这样，由4个数a ，b ，c ，d 排成的正方形表a b c d ?? ???称为二阶矩阵。数a ，b ，c ，d 称为矩阵的元素元素全为0的二阶矩阵0000?? ???称为零矩阵，简记为0。

矩阵1001?? ??? 称为二阶单位矩阵，记为E 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。例：在直角坐标系xoy 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是30°的旋转变换。求点(1,0)A 在这个旋转变换作用下的像A '。解析：教师板书。（3）接着，我们再来看下旋转变换的概念，它的具体内容是：在直角坐标系xOy 内的每个点绕原点O 按逆时针方向旋转α角的旋转变换（通常记为n R ）的坐标变换公式：cos sin sin cos x x y y x y αααα'=-??'=+?，对应的二阶矩阵为：cos sin sin cos αααα-?? ??? 。它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。例：例：在直角坐标系xoy 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是30°的旋转变换，写出这个旋转变化的表达式。解析：教师板书。（4）接着，我们再来看下反射变换内容，它的具体内容是：一般地，我们把平面上的任意一点P 变成它关于直线l 的对称点P '的线性变换叫做关于l 的反射。它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。例：在直角坐标系xoy 内，直线l 过原点，倾斜角为α。求关于直线l 的反射变换的坐标变换公式。学生板书，教师纠正解答。（5）接着，我们再来看下伸缩变换内容，它的具体内容是：在直角坐标系xOy 内，将每个点的横坐标变为原来1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍，其中1k ，2k 均为非零常数，我们称这样的几何变换为伸缩变换。它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。例：直角坐标系xOy 内，将每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标保持不变。（1）试确定该伸缩变换的坐标变换公式及其对应的二阶矩阵。（2）求点A (1,1)-在该伸缩变换作用下的像A ' 教师请同学上讲台解答，并纠正总结。

(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)矩阵与变换第1课时线性变换、二阶矩阵及其乘法

《最高考系列高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）选修4－2 矩阵与变换第1课时线性变换、二阶矩阵及其乘法 1. (选修42P 34习题第1题改编)求点A(2，0)在矩阵???? ?? 1 00－2对应的变换作用下得到的点的坐标．解：矩阵?? ?? ?? 1 00－2表示横坐标保持不变，纵坐标沿y 轴负方向拉伸为原来的2倍的伸压变换，故点A(2，0)变为点A′(2，0) 2. 点(－1，k)在伸压变换矩阵???? ?? m 001之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m 、k 的值．解：??????m 001??????－1 k ＝??????－2－4，??? ?? －m ＝－2，k ＝－4. 解得? ????m ＝2， k ＝－4. 3. 已知变换T 是将平面内图形投影到直线y ＝2x 上的变换，求它所对应的矩阵．解：将平面内图形投影到直线y ＝2x 上，即是将图形上任意一点(x ，y)通过矩阵M 作用变换为(x ，2x)，则有??????a 0b 0??????x y ＝?????? x 2x ，解得? ?? ??a ＝1，b ＝2， ∴ T ＝?? ?? ??10 20 .

4. 求曲线y ＝x 在矩阵???? ?? 0110作用下变换所得的图形对应的曲线方程．解：设点(x ，y)是曲线y ＝x 上任意一点，在矩阵?? ?? ?? 01 10 的作用下点变换成(x′， y ′)，则??????0110???? ??x y ＝?????? x′y′，所以? ????x′＝y y′＝x .因为点(x ，y)在曲线y ＝x 上，所以x′＝y′，即x ＝y. 5. 求直线x ＋y ＝5在矩阵?? ?? ?? 0011 对应的变换作用下得到的图形．解：设点(x ，y)是直线x ＋y ＝5上任意一点，在矩阵???? ?? 0011的作用下点变换成(x′， y ′)，则?? ????0011???? ?? x y ＝?????? x′y′，所以? ????x′＝0y′＝x ＋y .因为点(x ，y)在直线x ＋y ＝5上，所以y′＝x ＋y ＝5，故得到的图形是点(0，5)． 1. 变换一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y)，若按照对应法则T ，总能对应唯一的一个平面点(向量)(x′，y ′)，则称T 为一个变换，简记为T ：(x ，y )→(x′，y ′)或T ：???? ? ? x y →?? ?? ?? x′y′. 一般地，对于平面向量的变换T ，如果变换规则为T ：??????x y →??????x′y′＝???? ?? ax ＋by cx ＋dy ，那么根据二阶矩阵与列向量的乘法规则，可以改写为??????x y →??????x′y′＝??????a b c d ???? ?? x y (a 、b 、c 、d∈R )的矩阵形式，反之亦然． 2. 几种常见的平面变换

矩阵论课程教学大纲

《矩阵论》课程教学大纲一、课程基本信息课程编号： xxxxx 课程中文名称：矩阵论课程英文名称：Matrix Theory 课程性质：学位课考核方式：考试开课专业：工科各专业开课学期：1 总学时：36学时总学分： 2学分二、课程目的和任务矩阵论是线性代数的后继课程。在线性代数的基础上，进一步介绍线性空间与线性变换、欧氏空间与酉空间以及在此空间上的线性变换，深刻地揭示有限维空间上的线性变换的本质与思想。为了拓展高等数学的分析领域，通过引入向量范数和矩阵范数在有限维空间上构建了矩阵分析理论。从应用的角度，矩阵代数是数值分析的重要基础，矩阵分析是研究线性动力系统的重要工具。为了矩阵理论的实用性，对于矩阵代数与分析的计算问题，利用Matlab计算软件实现快捷的计算分析。三、教学基本要求（含素质教育与创新能力培养的要求）通过本课程的学习，使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。并着重培养学生将所学的理论知识应用于本专业的实际问题和解决实际问题的能力。本课程还要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论，会证明简单的一些命题和结论，从而培养逻辑思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法，如各种标准型、矩阵函数等，为今后在相关专业中实际应用打好基础。四、教学内容与学时分配 (一) 线性空间与线性变换 8学时 1. 理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；

2. 掌握子空间与维数定理，了解线性空间同构的含义； 3. 理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵表示。 (二) 内积空间 6学时 1. 理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系； 2. 了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的方法； 3. 理解酉空间的概念，会判定一个空间是否为酉空间 4. 掌握酉空间与实内积空间的异同； 5. 掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质。 (三) 矩阵的对角化与若当标准形 6学时 1. 掌握矩阵相似对角化的判别方法； 2. 理解埃尔米特二次型的含义； 3. 会求史密斯标准形； 4. 会求若当标准型。 (四) 矩阵分解4学时 1. 会求矩阵的三角分解和UR分解； 2. 会求矩阵的满秩分解和单纯矩阵的谱分解； 3. 了解矩阵的奇异值和极分解。 (五) 向量与矩阵的重要数字特征4学时 1. 理解向量范数、矩阵范数； 2. 有限维线性空间上向量范数的等价性； 3. 向量范数与矩阵范数的相容性。 (六) 矩阵分析 4学时 1. 理解向量和矩阵的极限的概念； 2. 掌握矩阵幂级数收敛的判定方法； 3. 理解矩阵的克罗内克积； 4. 会求矩阵的微分与积分。 (七) 矩阵函数 4学时 1. 理解矩阵多项式的概念； 2. 掌握由解析函数确定的矩阵函数； 3. 掌握矩阵函数的计算方法。五、教学方法及手段（含现代化教学手段）本课程的所有授课内容，均使用多媒体教学方式，教案采用PowerPoint编写，教师使

线性变换与矩阵地关系

线性变换与矩阵的关系学院：数学与计算机科学学院班级：2011级数学与应用数学：学号：

线性变换与矩阵的关系（西北民族大学数学与应用数学专业， 730124）指导教师一、线性变换定义1 设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=T α,( α∈V)。设α∈V，T(α)= β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。即 T(V)={ β=T(α)|α∈V}, 显然T(V) ?U 注：变换的概念实际上是函数概念的推广。定义2 设V n,U m分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m得变换，如果变换满足（1）任给α1 ，α2∈V n，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2); （2）任给α∈V n，k∈R，都有 T(kα)=kT(α)。那么，就称T为从V n到U m的线性变换。说明：

○1线性变换就是保持线性组合的对应的变换。 ○2一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元 α在变换下的象。 ○3若U m=V n，则T是一个从线性空间V n到其自身的线性变换，称为线性空 V n中的线性变换。下面主要讨论线性空间V n中的线性变换。二、线性变换的性质设T是V n中的线性变换，则 (1)T(0)=0,T(-α)=-T(α); (2)若β=k1α1+k2α2+…+k mαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+k m Tα m; (3)若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关；注：讨论对线性无关的情形不一定成立。 (4)线性变换T的象集T(V n)是一个线性空间V n的子空间。记S T={α|α∈V n,T α=0}称为线性变换T的核，S T是V n的子空间。设V和W是数域F上的向量空间，而σ：V→W是一个线性映射。那么 (i)σ是满射Im(σ)=W; (ii)σ是单射Ker(σ)={0}

选修4-2 矩阵与变换第一节线性变换与二阶矩阵

第一节线性变换与二阶矩阵 1．矩阵的相关概念 (1)由4个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表?????? a b c d 称为二阶矩阵，数a ，b ，c ，d 称为矩阵的元素．在二阶矩阵中，横的叫行，从上到下依次称为矩阵的第一行、第二行；竖的叫列，从左到右依次称为矩阵的第一列、第二列．矩阵通常用大写的英文字母A ，B ，C ，…表示． (2)二阶矩阵?? ?? ?? 00 0称为零矩阵，简记为0，矩阵?? ?? ??1 00 1称为二阶单位矩阵，记作E 2. 2．矩阵的乘法 (1)行矩阵[]a 11a 12与列矩阵?? ?? ?? b 11b 21的乘法规则：为[]a 11a 12?? ? ? ?? b 11b 21＝[]a 11×b 11＋a 12×b 21. (2)二阶矩阵??????a 11 a 12a 21 a 22与列向量??????x 0y 0和乘法规则：??????a 11 a 12a 21 a 22??????x 0y 0＝??????a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：

??????a 11 a 12a 21 a 22??????b 11 b 12b 21 b 22＝???? ??a 11×b 11＋a 12×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 11＋a 22×b 21 a 21×b 12＋a 22×b 22. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律即(AB )C ＝A (BC )， AB ≠BA ，由AB ＝AC 不一定能推出B ＝C . 一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 3．线性变换的相关概念 (1)我们把形如???? ? x ′＝ax ＋by y ′＝cx ＋dy (*)的几何变换叫做线性变换，(*)式叫做这个线性变换的坐标变换公式，P ′(x ′，y ′)是P (x ，y )在这个线性变换作用下的像． (2)对同一个直角坐标平面内的两个线性变换σ、ρ，如果对平面内任意一点P ，都有σ(P )＝ρ(P )，则称这两个线性变换相等，简记为σ＝ρ，设σ，ρ所对应的二阶矩阵分别为A ，B ，则A ＝B . 4．几种常见的线性变换 (1)由矩阵M ＝?? ?? ??1 00 1确定的变换T M 称为恒等变换，这时称矩阵M 为恒等变换矩阵或单位矩阵，二阶单位矩阵一般记为E .平面是任何一点(向量)或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己． (2)由矩阵M ＝???? ?? a 00 1或M ＝?? ?? ??1 00 k (k >0)确定的变换T M 称为(垂直)伸压变换，这时称矩阵M ＝?? ?? ?? k 00 1或M ＝?? ?? ??1 00 k 伸压变换矩阵．当M ＝?? ?? ??k 00 1时确定的变换将平面图形作沿x 轴方向伸长或压缩，当k >1时伸长，当 01时伸长，当 0

高等代数与解析几何第七章(1-3习题)线性变换与相似矩阵答案

第七章线性变换与相似矩阵习题 7.1 习题 7.1.1 判别下列变换是否线性变换？（1）设是线性空间中的一个固定向量，（Ⅰ），，解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。（Ⅱ），；解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。（2）在中，（Ⅰ），解：不是的线性变换。因对于，有，，所以。（Ⅱ）；解：是的线性变换。设，其中，，则有，

。（3）在（Ⅰ）解：是中，，的线性变换：设，则，，。（Ⅱ）解：是，其中的线性变换：设是中的固定数；，则，，。（4）把复数域看作复数域上的线性空间，共轭复数；解：不是线性变换。因为取，时，有，即。，其中是的，（5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。解：是的线性变换。对，，有，。习题7.1.2 在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向

旋转 900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。证明（表示恒等变换），，；并说明是否成立。证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可知：，，，；；，，，，即，故。因为因为，，所以，，所以。。因为，，所以。习题 7.1.3 在中，，，证明。证明：在中任取一多项式，有。所以。习题 7.1.4 设，是上的线性变换。若，证明。证明：用数学归纳法证明。当时，有

命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对也成立。因有，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。习题 7.1.5 证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且。证明：（进而（2）因1）设，都是都是的逆变换，则有，。即的逆变换唯一。上的可逆线性变换，则有。，同理有由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得。习题7.1.6 设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。证明，，，线性无关。证明：设，依次用可得，得，而，故即得；同理有：；依次类推可得，即得，得，，进而得。

线性变换和矩阵.

§3 线性变换和矩阵一、线性变换关于基的矩阵设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式 n n x x x εεεξ+++= 2211 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系： A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211） =1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) (2) 上式表明，如果知道了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ 的像也就知道了，或者说 1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，如果线性变换?与?在这组基上的作用相同，即 A i ε= B i ε， ,,,2,1n i = 那么A = B . 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21 一定有一个线性变换?使 A i ε=i α .,,2,1n i = 定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个向量.存在唯一的线性变换?使

A i ε=i α .,,2,1n i = 定义2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出： ???????+++=+++=+++=. ,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示就是 A （n εεε,,,21 ）=（A (1ε)，A ?(2ε)，…， A (n ε)） =A n ),,,(21εεε (5) 其中 ?????? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221 11211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵. 例 1 设m εεε,,,21 是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为V 的一组基n εεε,,,21 .指定线性变换A 如下 ???+====. ,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i i i εεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明 A 2=A 投影A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是

线性变换的矩阵表示式

§5 线性变换的矩阵表示式上节例10中，关系式 ()T x Ax = ()n x R ∈ 简单明了地表示出n R 中的一个线性变换. 我们自然希望n R 中任何一个线性变换都能用这样的关系式来表示. 为此，考虑到n n Ae Ae ==αα,,11 （n e e ,,1 为单位坐标向量），即 ()n i Ae i i ,,2,1 ==α，可见如果线性变换T 有关系式()Ax x T =，那么矩阵A 应以()i e T 为列向量. 反之，如果一贯个线性变换T 使()()n i e T i i ,,2,1 ==α，那么T 必有关系式 ()11122(), ,() n n n T x T e e x T x e x e x e ==++ +???? 1122()()() n n x T e x T e x T e =++ + ()11(),,()(,,)n n T e T e x x Ax αα=== 总之，n R 中任何线性变换T ，都能用关系式 ()()n R x Ax x T ∈=表示，其中1((),,())n A T e T e =. 把上面的讨论推广到一般的线性空间，我们有定义7 设T 是线性空间n V 中的线性变换，在n V 中取定一个基 n αα,,1 ，如果这个基在变换T 下的象（用这个基线性表示）为 11112121212122221122(),(),(), n n n n n n n nn n T a a a T a a a T a a a αααααααααααα=++ +??=+++???? =++ +? 记()()()()n n T T T αααα,,,,11 = ，上式可表示为

矩阵论

这个帖子对于矩阵论学的不够好的同学很有帮助，对学的好的人也有益处。具体我就不说了，看完自有体会。如果觉得好，就赞一个吧！学习过线性代数的朋友也可以看看，也能从中受益的。帖子的内容是对矩阵论的一个串讲，个人觉得还不错，能够帮助梳理知识点。加深理解。矩阵论主要研究的是线性空间以及在线性空间中的一些操作，主要是线性变换。当然书中主要是针对有限维的情况来讨论的，这样的话就可以用向量和矩阵来表示线性空间和线性变换，同其他的数学形式一样，矩阵是一种表达形式（notation），而这一方面可以简洁地表达出我们平时遇到的如线性方程和协方差关系的协方差矩阵等，另一方面又给进一步的研究或者问题的简化提供了一个平台。如特征值分析、稳定性分析就对应着诸如统计分布和系统稳定性等实际问题。而一系列的分解则可以方便方程的数值计算。作为矩阵论的学习，我们需要了解具体的一些计算究竟是怎么算的，但更关键的是要知道各个概念和方法的实际意义，各个概念之间的关系。首先介绍的是线性空间，对于线性空间中的任意一个向量的表示由基（相当于度量单位）和坐标（相当于具体的尺度），基既然作为度量标准了，当然要求对每一个向量都适用，同时这个标准本身也应该尽可能的简洁，那么就得到了基定义的两点约束１、基的组成向量线性无关；２、线性空间中的任一个向量都可以由基的线性表示。基作为一种“计量标准”，当然可能会存在多种形式，只要满足上面的两点条件，因而就有必要解决不同的度量标准之间的转换关系，从而得到过渡矩阵的概念，同时可以使用这种转换关系（过渡矩阵）去完成度量量（坐标）之间的转换。在完成了线性空间这一对象的认识和表达之后，下面需要研究对象和对象之间的关系。这里主要是线性变换，线性变换针对于实际对象主要完成类似于旋转和尺度变换方面的操作，而这种操作也牵涉到表达的问题。为了保持与空间的一致性，我们也同样是在在特定的基下来表示，从而线性变换就具体化为一个变换矩阵，并且，在不同的基下对应的变换矩阵当然也不相同，这里的不同的变换矩阵的关系就是相似的概念。到此，我们完成了空间中向量的表示和线性变换的矩阵表达。这里涉及了基、坐标、过渡矩阵、变换矩阵、相似矩阵这几个重要的概念。上面算是内涵上的认识，下面我们需要知道线性空间里究竟有些什么东西，它是如何组成的，各个组成成分之间的关系，也就是空间的结构性方面的东西。首先认识子空间（空间的组成部分），当然既然也是空间，也就要满足空间的加法和数乘的封闭性，要满足那八条定律。后者可以由父空间保证，前面的就要子空间自身素质了。同时要看子空间之间的并、交、直和运算和相应的秩的关系。这里提到了维数，就要多说几句了，空间中的元素往往是连续过渡的，但是对于有限空间而言还有离散的性质，那就是维数，我称其为“不伸则已，一伸则增一”，从这也就说明了为什么可以用若干个子空间的直和可以等价于原线性空间。子空间的形式很多，有生成子空间、值域空间、零空间和特征子空间等等，我们重点看看特征子空间。一个空间可以划分为若干个特征子空间的直和形式，而每个特征子空间的共同特征就是具有相同的特征值，范围就是对应着这个特征值的若干特征向量的生成子空间。

线性变换与二阶矩阵

线性变换与二阶矩阵学习目标 1.理解线性变换、矩阵、单位矩阵、零矩阵的概念； 2.掌握旋转变换的矩阵表示和其几何意义。教学重点：旋转变换的矩阵表示和其几何意义。教学过程 1.旋转变换 P （x,y ）绕原点逆时针旋转180o 得到P ’(x ’,y ’),称P ’为P 在此旋转变换作用下的象。其结果为''x x y y ?=-?=-?，也可以表示为''00x x y y x y ?=-+??=?-?。问题1. P （x,y ）绕原点逆时针旋转30o 得到),(///y x p ,试完成以下任务①写出象/p ； ②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式. 事实上，在平面直角坐标XOY 内，很多几何变换都具有下列形式： dy cx y by ax x +=+=// ，其中d c b a ,,,均为常数。我们把形如上式的几何变换叫做线性变换。该式叫做这

),(///y x p 是P （x,y ）在这个线性变换作用下的像。我们引进正方形数表a b c d ??? ???，那么上述线性变换可由a b c d ??????唯一确定，反之，a b c d ??????也可以由上述线性变换唯一确定。像这样，由4个数d c b a ,,,排成的正方形数表a b c d ?????? 称为二阶矩阵，数d c b a ,,,称为矩阵的元素。元素全为0的二阶矩阵?? ????0000称为零矩阵，简记作0. 矩阵?? ????1001称为二阶单位矩阵，记为2E 。问题2.把问题2中的旋转30o 改为旋转α角，其结果又如何？四、简单应用

1.设矩阵A=1001-??????，求点P(2,2)在A 所对应的线性变换下的象。练习： P 13 1.2.3.4.5

矩阵心得体会

矩阵心得体会 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

《矩阵论》学习心得体会 2011-2012第一学期，我在李胜坤老师的引领下，逐步学习了科学出版社出版、徐仲和张凯院等编著的《矩阵论简明教程》第二版。该书是大学本科期间所学习的《线性代数》的矩阵部分内容的深化，从数域扩展到矩阵，要想充分理解“矩阵论”的精髓，就得先好好的将《线性代数》复习——掌握其基本概念及重要定理、结论。该书有8个章节，第一章是矩阵的相似变换，第二章讲的是范数理论，第三章介绍的是矩阵分析，第四章详细介绍的是矩阵分解，第五章罗列的是特征值的估计与表示，第六章介绍的是广义逆矩阵，第七章介绍的是矩阵的直积，最后一章介绍的是线性空间与线性变换。下面分章节谈论。第一章中的特征值与特征向量、矩阵的相似对角化、向量内积是本科期间《线性代数》中的内容，我想作者的目的是借助以前大家都熟悉的知识，将我们引领到另一个崭新的知识领域，起到承上启下的作用，让我们对《矩阵论》感到不陌生。该章中的Jordan标准形、Hamilton-Cayley定理、酉相似的标准形是本科期间不曾深入学习的知识，这些知识为后续学习《矩阵论》吹响了号角。总之，第一章就是高等数学中的知识与“矩阵论”的衔接章节，同时也是后续章节学习的非常重要基础章节。我们要学好《矩阵论》就得学好该章，理解记忆其中的概念、结论。第二章介绍向量范数与矩阵范数及其应用。介绍了向量范数的三公理、酉不变性、1范、2范、无穷范、p范、加权范数（也叫椭圆范数）以及很重要的一个不等式——Cauchy-Schwarz不等式、向量的收敛、发散性；矩阵范数的定义、m1范、m无穷范、F范及其酉不变性，矩阵范数与向量范数的相容性等。范数与矩阵的谱半径紧紧相连，有了范数作为研究矩阵的数学工具，我们将会更易更深入的理解、研究矩阵，并用矩阵指导实际生产实践。第三章矩阵分析和第四章矩阵分解各是矩阵论的最重要章节之一。通过对矩阵的收敛性、矩阵级数、矩阵函数、矩阵微分、矩阵积分、矩阵四种分解等系统性学习研究，让我明白了矩阵理论在实际生活中的巨大作用——矩阵论将大大减少工程运算量及提高计算速度、精度。有了矩阵理论作指导，现实生活中很多不能解决或者很难解决的数学问题等都能够得到很好的解决。比如，提高计算机的计算速度、优化数字信号处理算法等。第五章介绍了矩阵的非常重要的参数——特征值的估计及其表示，介绍了特征值界定估计、特征值包含区域等，让我们对特征值有了更进一步的了解，用书中的方法可以很高效的确定特征值的范围、估计特征值的个数。是研究矩阵的有效方法，为计算特征值指明了方向，解决了以前计算特征值的困扰。第六章介绍的是广义逆矩阵，是逆矩阵的推广。广义逆矩阵是将可逆的方阵推广到不可逆矩阵、长方矩阵。介绍了广义逆矩阵的概念、逆矩阵的应用、Moor-Penrose逆A+的计算、性质以及在解线性方程组中的应用。我想该章更大的应用应该在解线性方程组中，解决生活中的计算问题，提供了又一高效办法。第七章矩阵的直积是很易懂的知识，是以前向量直积在矩阵中的推广。对矩阵直积的研究对信号处理与系统理论中的随机静态分析与随机向量过程分

#第七章线性变换(小结)

第七章线性变换(小结) 本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换和矩阵的一一对应关系. 线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是分析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是和之相适应的矩阵理论和方法)在分析几何、微分方程等许多其它使用学科,都有极为广泛的使用. 本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换和矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算 1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换和逆变换; 线性变换的值域和核，秩和零度; 线性变换的和和差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式. 2. 基本结论 (1) 线性变换保持零向量、线性组合和线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组 (2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换. (3) 线性变换的基本运算规律(略). (4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法和数量乘法作成一个线性空间. (5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 和核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 和核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基 n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }. ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}. (c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n . (d)A 是双射?A 是单射? Ker(A )={0}?A 是满射.

二阶矩阵、二阶矩阵

第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。一、二阶矩阵 1.矩阵的概念 ① →→??????2 3 ③概念一：象??????2 3 80908688??????23324m ????-?? 的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A 、B 、C…表示，横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列. 名称介绍： ①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。 ②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。 ③行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行） ④列矩阵：???? ??a 11 a 21 （仅有一列） ⑤向量a → ＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ?????? ，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量x y ??????的形式。练习1： 1.已知???? ??-=243x A ,?? ????-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,, 2.设23x A y ??=????，2m n x y B x y m n ++??=??--??，若A=B ，求x,y,m,n 的值。概念二：由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ??? ??? 称为二阶矩阵。a,b,c,d 称为矩阵的元素。 ①零矩阵：所有元素均为0，即0000?????? ，记为0。 ②二阶单位矩阵：1001??????，记为E 2. 二、二阶矩阵与平面向量的乘法 — 2 — 3 — 231,3242x y mz x y z ++=??-+=?简记为23324m ????-??

矩阵论简明教程课后复习题与答案解析

习题一 13. 设A ∈ C n n ?是Hermite 矩阵。证明A 是Hermite 正定矩阵的充分必要条件是，存在Hermite 正定矩阵B ，使得A=B 2。解：若A 是Hermit 正定矩阵,则由定理1.24可知存在n 阶酉矩阵U , 使得 U H AU =???? ?? ? ? ?n λλλO 2 1, i λ﹥0, I =1, 2, ,Λn . 于是 A =U ?? ??? ?? ??n λλλO 21U H = U ??????? ??n λλλO 2 1U H U ?????? ? ? ?n λλλO 2 1U H 令 B =U ?????? ? ? ?n λλλO 2 1 U H 则 A =B 2. 反之,当 A =B 2且B 是Hermit 正定矩阵时,则因Hermit 正定矩阵的乘积仍为Hermit 正定矩阵,故A 是Hermit 正定的. 14. 设A ∈ C n n ?是Hermite 矩阵，则下列条件等价:（1）A 是Mermit 半正定矩阵。（2）A 的特征值全为非负实数。（3）存在矩阵P ∈ C n n ?,使得A=P H P 解：(1)?(2). 因A 是Hermit 矩阵,则存在酉矩阵U,使得 U H AU =diag(n λλλ,,,21Λ) 令x =Uy , 其中 y =e k . 则 x ≠0. 于是 x H Ax =y H (U H AU )y =k λ≧0 (k =1, 2, ,Λn ). (2)?(3). A =U diag(n λλλ,,,21Λ)U H =U diag(n λλλ,,,21Λ)diag(n λλλ,,,21Λ)U H 令 P =diag(n λλλ,,,21Λ)U H , 则 A =P H P . (3)?(1). 任取x ≠0, 有 x H Ax =x H P H Px =22 Px ≧0. 习题二

线性变换及其矩阵

第三讲线性变换及其矩阵一、线性变换及其运算定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到自身的一个映射，使得对于V 中的任意元素x 均存在唯一的 y ∈V 与之对应，则称T 为V 的一个变换或算子，记为 y x T =)( 称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。若变化T 还满足 )()()(y T x T y x T +=+ )()(x kT kx T = K k V y x ∈∈?,, 称T 为线性变换。 [例1] 二维实向量空间12 2i R R ξξξ?? ??=∈???????? ，将其绕原点反时针方向旋转θ 角的操作即 ??? ? ?????? ??-=???? ??2121cos sin sin cos ξξθθ θθ ηη就是一个线性变换。 [例2] 次数不超过 n 的全体实多项式n P 构成实数域上的一个 1n +维的线性空间，其基可选为 {}2 1,,,,n x x x ，微分算子d D dx = 是n P 上的一个线性变换。 [例3] 取定矩阵n n K C B A ?∈,,，定义n n K ?的变换C XB AX X T ++= )( n n K X ?∈,是否是线性变换 2. 性质（1）线性变换把零元素仍变为零元素（2）负元素的象为原来元素的象的负元素（3）线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的。但（4）如果线性变换是一个单射，则把线性无关的元素组变为线性无关的元素组 3. 线性变换的运算（1）恒等变换e T ：,e x V T x x ?∈= （2）零变换0T ：0,0x V T x ?∈= （3）变换的相等：1T 、2T 是V 的两个线性变换，x V ?∈，均有12T x T x =，则称1T ＝2T （4）线性变换的和1T +2T ：x V ?∈，1212()T T x T x Tx +=+ （5）线性变换的数乘kT ：x V ?∈，()()kT x k Tx = 负变换：()()T x Tx -=-

本科数学论文开题报告.doc

本科数学论文开题报告选题的意义及研究状况意义： (1)通过对若尔当标准型理论的深入研究，有助于对若尔当标准型的进一步和巩固，能更好的体现数学的思想方法在科技，生活各个方面的应用。通过对若尔当标准理论应用的学习，有助于更好地理解数学和生活的密切联系，提高逻辑思维能力，从而更好地处理问题。比如对若尔当标准形的推导过程和过渡矩阵的求法及在n阶矩阵中标准形的求法研究状况：若尔当标准型理论是以矩阵的若尔当标准型为基础的一种数学思想方法。矩阵其中有王莲花发表的关于若尔当标准形与有理标准形的探究及其他数学家在若尔当标准形上进行的一系列关于矩阵的秩和正交矩阵个方面的应用。主要内容、研究方法和思路主要内容： (1)矩阵的历史背景和发展状况，矩阵若尔当标准形的基本定义及计算; (2)矩阵若尔当标准形的求法; (3)依据具体实例论述若尔当标准形理论的应用，并阐述自己的观点见解。

研究方法： (1)文献资料法：搜集整理相关研究资料，为研究做准备; (2)总结说明法：对微积分中值定理的推广及应用进行逻辑分析。思路：首先说明若尔当标准形理论是以矩阵的若尔当标准形为基础的一种数学思想方法，矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要组成部分，然后说明它通过数字矩阵的相似变换得到，那么可以知道矩阵的标准形具有结构简单、易于计算等优点，尤其关于化矩阵为若尔当标准形的理论及方法，然后着重总结说明矩阵的若尔当标准形在线性代数上的广泛应用，例如解矩阵方程，求矩阵的秩，分解矩阵等。准备情况(已发表或撰写的相关文章、查阅过的文献资料及调研情况、现有仪器、设备情况等) [1]王莲花，矩阵的若尔当标准形与有理标准形的关系探究[j]，《河南教育学院学报(自然科学版)》，XX(03) [2]王英，若尔当标准形问题新探[j]，《湖南理工学院学报(自然科学版)》，XX(01) [3]顾江永，若尔当标准形的一个标注[j]，《河南教育学院学报(自然科学版)》，XX(04) [4]高芳征，常瑾瑾;若尔当标准形的标注[j]，《安阳师范学院学报》，XX(02) [5]北京大学数学系几何与代数小组，高等代数[m].北京:

高等代数与解析几何第七章(1-3习题) 线性变换与相似矩阵答案

第七章线性变换与相似矩阵习题7.1 习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？（1）设是线性空间中的一个固定向量，（Ⅰ），，解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。（Ⅱ），；解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。（2）在中，（Ⅰ），解：不是的线性变换。因对于，有，，所以。（Ⅱ）；解：是的线性变换。设，其中，，则有，

。（3）在中，（Ⅰ），解：是的线性变换：设，则，，。（Ⅱ），其中是中的固定数；解：是的线性变换：设，则，，。（4）把复数域看作复数域上的线性空间，，其中是的共轭复数；解：不是线性变换。因为取，时，有，，即。（5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。解：是的线性变换。对，，有，。习题7.1.2在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向

旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。证明（表示恒等变换），，；并说明是否成立。证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可知：，，；，，；，，，即，故。因为，，所以。因为，，所以。因为，，所以。习题7.1.3在中，，，证明。证明：在中任取一多项式，有。所以。习题7.1.4设，是上的线性变换。若，证明。证明：用数学归纳法证明。当时，有

命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对也成立。因有，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。习题7.1.5证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且。证明：（1）设都是的逆变换，则有，。进而。即的逆变换唯一。（2）因，都是上的可逆线性变换，则有，同理有由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得。习题7.1.6设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。证明，，，线性无关。证明：设，依次用可得，得，而，故；同理有：，得，即得；依次类推可得，即得，进而得。

线性变换和矩阵

§3 线性变换和矩阵一、线性变换在某组基下对应的矩阵设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21ΛV 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21Λ线性表出，即有关系式 n n x x x εεεξ+++=Λ2211 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标. 由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系： A ξ=A （n n x x x εεε+++Λ2211） =1x A(1ε)+2x A(2ε)+…+n x A (n ε) (2) 上式表明，如果知道了基n εεε,,,21Λ的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就知道了，或者说 1. 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，如果线性变换A 与?在这组基上的作用相同，即 A i ε= B i ε， ,,,2,1n i Λ= 那么A= B. 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21Λ一定有一个线性变换 A , 使 A i ε=i α .,,2,1n i Λ=

定理1 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21Λ是V 中任意n 个向量. 存在唯一的线性变换A 使 A i ε=i α .,,2,1n i Λ= 定义2 设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换. 基向量的像可以被基线性表出： ???????+++=+++=+++=. ,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεεΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 用矩阵表示就是 A （n εεε,,,21Λ）=（A(1ε)，A(2ε)，…， A(n ε)） =A n ),,,(21εεεΛ (5) 其中 ?????? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ2122221 11211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵. 例1 设m εεε,,,21Λ是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为 V 的一组基n εεε,,,21Λ.指定线性变换A 如下 ???+====.,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i i i ΛΛεεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明 A 2=A 投影A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵是 ]练习：7, 8, 9