(完整版)向量与三角,不等式等知识综合应用
第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用
常熟市中学 蔡祖才
一、高考要求
平面向量与三角函数、不等式等知识的综合应用是高考的主要考查内容之一.掌握向量的几何表示、向量的加法与减法和实数与向量的积,掌握平面向量的坐标运算、平面向量的数量积极其几何意义,掌握向量垂直的条件,并且能熟练运用,掌握平移公式.注重等价转化、分类讨论等数学思想的渗透. 二、考点解读
考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识,考查推理和运算能力.
考查平面向量的概念和计算,三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能,着重考查数学运算能力.平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一. 三、课前训练
1.把曲线y cos x +2y -1=0先沿x 轴向右平移
2
π
个单位,再沿y 轴向下平移1个单位,得到的曲线方程是 ( )
(A)(1-y )sin x +2y -3=0 (B)(y -1)sin x +2y -3=0 (C)(y +1)sin x +2y +1=0 (D) -(y +1)sin x +2y +1=0
2.函数y =sin x 的图象按向量a =(32
π
-
,2)平移后与函数g (x )的图象重合,则g (x )的函数表达式是 ( ) (A )cos x -2 (B )-cos x -2 (C )cos x +2 (D )-cos x +2
3.已知向量a = (1,sin θ),b = (1,cos θ),则 | a - b | 的最大值为
.
4.如图,函数y =2sin(πx+φ),x ∈R,(其中0≤φ≤
2
π
)的图象与y 轴交于点(0,1). 设P 是图象上的最高点,M 、N 是图象
与x 轴的交点,则PM PN u u u u r u u u r
与的夹角余弦值为 .
四、典型例题
例1 已知a =(3sin ωx ,cos ωx ),b =(cos ωx ,cos ωx )(ω>0),记函数f (x )= a · b ,且f (x )的最小正周期是π,则ω= ( )
(A) ω=1 (B) ω=2 (C) 21=
ω ( D) 3
2
=ω 例2 在△OAB 中,O 为坐标原点,]2
,0(),1,(sin ),cos ,1(π
θθθ∈B A ,则△OAB 的面
积达到最大值时,=θ ( )
(A)
6π (B) 4π (C) 3π (D) 2
π
例3 设向量a r =(sin x ,cos x ),b r =(cos x ,cos x ),x ∈R ,函数f(x)=a r ·(a r +b r
).
使不等式f (x )≥
2
3
成立的x 的取值集合为 .
例4 在△ABC 中,O 为中线AM 上的一个动点,若AM =2,则()OA OB OC ?u u u r u u u r u u u r
+的最
小值是 .
例5 已知函数f (x )=a +b sin2x +c cos2x 的图象经过点A (0,1),B (
4
π
,1),且当x ∈[0, 4
π
]时,f (x )取得最大值22-1.(Ⅰ)求f (x )的解析式;(Ⅱ)是否存在向量m ,使得将f (x )的图象按向量m 平移后可以得到一个奇函数的图象?若存在,求出满足条件的一个m ;若不存在,说明理由.
例6 已知向量m =(cos ,sin )θθ和n =sin ,cos ),(,2)θθθππ∈,且| m + n |
=
,5求cos()28
θπ
+的值.
第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 过关练习
1.已知i r ,j r 为互相垂直的单位向量,2a i j =-r r r ,b i j λ=+r r r ,且||||a b r r
与的夹角
为锐角,则实数λ的取值范围是
( )
(A )),21(+∞ (B ))2
1,2()2,(-?--∞ (C )),32()32,2(+∞?- (D ))2
1,(-∞
2.在直角坐标系中,O 是原点,OQ =(-2+cos θ,-2+sin θ) (θ∈R),动点P 在直线x =3上运动,若从动点P 向Q 点的轨迹引切线,则所引切线长的最小值为 ( )
(A ) 4 (B ) 5 (C ) 26 (D )26
3.已知||2||0a b =≠r r ,且关于x 的方程2
||0x a x a b ++?=r r r 有实根,则a r 与b r 的夹角
的取值范围是 ( )
(A )[0,
6π] (B )[,]3ππ (C )2[,]33ππ (D )[,]6
ππ 4.设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=u u u r u u u r
,若
OP AB PA PB ?≥?u u u r u u u r u u u r u u u r
,则实数λ的取值范围是 ( )
(A )
1
12
λ≤≤ (B )11λ-≤≤
(C )
1122
λ≤≤+ (D )1122λ-≤≤+ 5. 已知向量a r =(cos α,sin α),b r =(cos β,sin β),且a b ≠±r r ,那么a b +r r 与a b
-r r
的夹角的大小是 .
6. 已知向量].2
,0[),2sin ,2(cos ),23sin
,2
3(cos π∈-==x x x x x 且若||2)(x f +-?=λ的最小值为3
2
-,则λ的值为 .
7.已知A 、B 、C 是ABC ?三内角,向量(m =-u r
(cos ,sin ),n A A =r 且 1.m n ?=u r r
(Ⅰ)求角A ; (Ⅱ)若
22
1sin 23cos sin B
B B
+=--,求tanC . 8.设函数f (x )=a b ?r r ,其中向量a r =(2cos x ,1),b r
=(cos x ,3sin2x ),x ∈R .
(Ⅰ)若f(x)=1-3且x ∈[-3π,3
π
],求x ; (Ⅱ)若函数y =2sin2x 的图象按向量c r =(m ,n )(|m |<2
π
)平移后得到函数y =f (x )的图象,
求实数m 、n 的值.
第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 参考答案
课前训练部分
1.C
2.D
3.
4.
1517
典型例题部分
例1 A
例2 111
1sin cos (1cos )(1sin )222
ABC S θθθθ?=-
---- 当2θπ=即2
π
θ=
时,面积最大.
例3 3,8
8x k x k k Z π
πππ??
-
≤≤+
∈???
?
例4 如图,OM OA OC OB OA -≥-=??=+?2)(
=.222-=?- 即)(+?的最小值为:-2.
例5 (Ⅰ)由题意知???=+=+,
1,1b a c a ∴b =c =1-a , ∴f (x )=a +2(1-a )sin(2x +4π
).∵x
∈[0,
4π], ∴2x +4π∈[4π,4
π
3].当1-a >0时,由a +2(1-a )=22-1, 解得a =-1; 当1-a <0时, a +2(1-a )·
2
2
=22-1,无解; 当1-a =0时,a =22-1,相矛盾. 综上可知a =-1. ∴f (x )=-1+22sin(2x +
4
π). (Ⅱ)∵g (x )=22sin2x 是奇函数,将g (x )的图象向左平移8
π
个单位,再向下平移一个单位就可以得到f (x )的图象. 因此,将f (x )的图象向右平移
8
π
个单位,再向上平移一个单位就可以得到奇函数g(x )=22sin2x 的图象.故m u r =(8
π
,1)是满足条件的一个向量.
例6 (cos sin sin )m n θθθθ+=-++u r r
m n +=u r r
由已知m n +=u r r ,得7cos()425πθ+=又2cos()2cos ()1428
πθπθ+=+- 过关练习部分
1.B
2.C
3.B
4.B 5、
2
π
6. 21
7(Ⅰ)∵1m n ?=u r r
∴(()cos ,sin 1A A -?= cos 1A A -=
12sin cos 12A A ???= ? ???
, 1sin 62A π?
?-= ??? ∵50,666A A π
π
ππ<<-
<-
<
∴66A ππ-= ∴3
A π= (Ⅱ)由题知22
12sin cos 3cos sin B B B B
+=--,整理得22
sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2
tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-
而tan 1B =-使2
2
cos sin 0B B -=,舍去 ∴tan 2
B =
8.(Ⅰ)依题设可知,函数的解析式为f (x )=a b ?r r =2cos 2x +3sin2x =1+2sin(2x +6
π
).
由1+2sin(2x +
6π)=1-3,可得三角方程sin(2 x +6
π
)=-23.
∵-
3π≤x ≤3π,∴-2π≤2x +6π≤6
5π,∴2x +6π=-3π,即x =-4π
. (Ⅱ)函数y =2sin2x 的图象按向量c r
=(m ,n )平移后得到函数y =2sin2(x -m )+n 的图象,
即函数y =f(x)的图象.
由(1)得 f(x)=2sin2(x +12
π
)+1. ∵|m |<
2π,∴12
m π
=-, 1.n =