抛物线顶点坐标的求法(公式法)
抛物线顶点坐标的求法（公式法）
1、二次函数表达式的“一般形式”为 ； 李丹与王涓（2019届bobo ）
2、二次函数表达式的“配方形式”为 ；
一、怎样由“公式法”来求抛物线的顶点坐标
1、先把“一般形式”的二次函数
c
bx ax y 2++=（
0a ≠）转化成“配方形式”
为 ，再依据由“配方式”看顶点坐标的方法，可知其顶点坐标
为 ，我们把这个“坐标结论”称为二次函数的“顶点坐标公式”； ①、求二次函数35x 2x y
2+=－的顶点坐标以及最值
解：由顶点坐标公式得：==2a
b
x －
顶横
； ==4a
b 4a
c y 2－顶纵
；
∴ 顶点坐标为 ；
又∵ 抛物线开口向 ，有最 点，∴ y 有最 值； 即：当=x 时， = ；
②、求二次函数3112x 2x y
2－－+=的顶点坐标，并对函数的增减性作出描述
解：由顶点坐标公式得：==2a
b
x －
顶横 ； 把=顶横
x 代入函数表达式得：=顶纵y
= ； ∴ 顶点坐标为 ；
又∵ 抛物线开口向 ，所以，
在对称轴的左侧，即当自变量x 时，y 的值随x 的增大而 ； 在对称轴的右侧，即当自变量x 时，y 的值随x 的增大而 ；
③、求二次函数3112x 2x y
2－－+=的顶点坐标、并在当4＜5x ≤时，求函数y 的最值
解：由顶点坐标公式得：==2a
b
x －
顶横 ； ∴ 可设抛物线的表达式为：(
)()k x
y
2+=，易求=k ；
∴ 原表达式化为配方式为 ，则顶点坐标为 ； 又=顶横
x ，不在“4＜5x ≤”的范围内，∴ 函数y 的最值“不在”顶点处取，
由图形可知，当=x 时，=min y ；
变式：如果把“4＜5x
≤”改为“5x 4≤≤”
，问y 有最大值吗答： ； 点评：第①题是严格运用“顶点坐标”公式，分别求顶横x 和顶纵y （不妨命名为：全求分别法）； 第②题是先求顶横x ，然后代入函数表达式，再求出顶纵y （不妨命名为：半求代入法）； 第③题是先求顶横x ，然后“拼凑”出配方式，再求出k y =顶纵
（不妨命名为：半求拼凑法）；
以上“三种”方法，请根据实际情况灵活选择，以便于计算作为“选择依据”！！！
二、怎样由“交点式”来求抛物线的顶点坐标
1、基本事实依据：什么叫抛物线的对称轴
答：第一种说法，经过抛物线的顶点，且垂直于 轴的直线，叫做抛物线的对称轴； 第二种说法，抛物线上任意一对“对称点”连线的 线，叫做抛物线的对称轴； 2、二次函数的表达式的“交点形式”为()()21x x x x a y －－=（0a ≠）.
其中，“a 值”与“一般形式”c bx ax y 2++=（0a ≠）中“a 值”的相等，而“1x 、2x ”
分别代表抛物线c bx ax y 2++=（0a ≠）与x 轴的交点横坐标，即是说“1x 、2x ”是一元二次方
程0c bx ax
2
=++（0a ≠）的二根，所以抛物线的“交点形式”，也可称“二根形式”。
3、重要思路?：如果抛物线c bx ax y
2++=（0a ≠）与x 轴有两个交点，分别为A （1x ，0）、
B （2x ，0），那么线段AB 的“垂直平分线”必为抛物线的 ，这条对称轴的表达式为：
直线顶横也x 2
x x x 2
1=+=
（关于这一结论，可以通过举例，来加以理解！）。 知道了顶横x ，就可以根据表达式()()21x x x x a y
－－=，利用“半求代入法”，求出“顶纵y ”，
岂不快哉！如此一来，也能“又快、有准”地写出“配方形式”()k h x a y
2
++=，岂不美哉！
①、求二次函数()()6x 1x 3y +=－的顶点坐标以及最值，并把解析式化为配方式.
解： 联立 得：()()06x 1x 3
=+－，解得：=1x ，=2x ；
∴ 抛物线的对称轴为：直线=x = ；
把=顶横
x 代入()()6x 1x 3y +=－，得=顶纵y = ；
()()??
?=+=0
y x 6x 1x 3y 轴：－
抛物线：
∴ 顶点坐标为 ，∴当=x 时， = ；
则抛物线的配方形式为 ； ②、求抛物线16x 9x y 2－－+=的顶点坐标，并在x 1≤－＜4的范围内，求函数y 的最值
③、某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x (元)满足关系：2x 140m －=，
(1)、写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式；
(2)、如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适最大销售利润为多少
4、提出问题?：如果抛物线c bx ax y 2++=（0a ≠）与
x 轴“没有交点”，那么怎样由“交
点式”来求抛物线的顶点坐标呢
思路：假设抛物线与平行于x 轴的“某条直线”： 如m y =有两个交点， 则联立 得：m c bx ax
2
=++，即：0m c bx ax 2=++－，设此方程的二根为1x 、2x ，
由韦达定理可知：a
b
a b x x 21
－原始原始－
==+，
??
?=++=m
y x c
bx ax y 2轴：抛物线：
而点A （1x ，m ）、点B （2x ，m ）必然是抛物线上的一对“对称点”，
∴ 对称轴为：直线顶横也－x 2a
b
2x x x 21==+=
然后把2a
b
x －
顶横
=代入抛物线表达式c bx ax y
2
++=可得：4a
b 4a
c y 2－顶纵
=
∴ 抛物线的顶点坐标为 ；
启示：无论抛物线与x 轴是否有公共点，其顶点横标，即对称轴直线“永远”为：2a
b
x －
顶横=，
再借“三法之一”就可求出顶点的纵坐标！！！
三、应用练习
1、函数7x 3x y 2+=－－化为配方式为 ，可知顶点坐标为 ，
当=x
时，y 有最 值为 ；
2、抛物线()()5x 3x y
+=－－先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得新抛物线的表
达式为 ，新抛物线的顶点坐标为 ；
3、已知点A （6－，1y ）、B （5－，2y ）、C （1－，3y ）在抛物线()k ++=2
4x a y
上，且直
线ax y =经过第二、四象限，试比较1y 、2y 、3y 的大小关系 （用“＜”来连接）；
4、抛物线()()3x 6x 3y －－=的顶点坐标为 ，当自变量x 的取值范围满
足：x 2≤
＜5时，函数y 的取值范围满足： ；
5、已知抛物线c bx ax y
2++=的对称轴是直线2x －=，函数y 的取值范围是9y －≥，则抛
物线的开口向 ，若抛物线与y 轴的交点坐标是（
0，3）
，则抛物线的表达式为 ，它与x 轴的两个交点的坐标为 ；
6、已知抛物线c bx ax y 2++=与x x 2y 2+=的开口方向相反，开口大小程度一样，且它与直
线
3y =的两个交点的横坐标分别为15和－－，则抛物线的表达式
为 ，它与x 轴的两个交点的距离为 ；
7、如图，△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 开始,沿AB 边向点B 以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 开始，沿着BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果P 、Q 同时出发，问经过几秒钟△PBQ 的面积最大最大面积是多少
B
Q C
A