点应力状态概念及其表示方法

一点应力状态概念及其表示方法

凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向）截面上。因为受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的，通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。例如，图8-1弯曲梁横截面上各点具有不同的正应力与剪应力；

图8-2通过轴向拉伸杆件同一点的不同（方向）截面上具有不同的应力。

２．一点处的应力状态是指通过一点不同截面上的应力情况，或指所有方位截面上应力的集合。应力分析就是研究这些不同方位截面上应力随截面方向的变化规律。如图8-3是通过轴向拉伸杆件内点不同（方向）截面上

的应力情况（集合）

３．一点处的应力状态可用围绕该点截取的微单元体（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。如图8-4（a,b）为轴向拉伸杆件内围绕点截取的两种微元体。

特点：根据材料的均匀连续假设，微元体（代表一个材料点）各微面上的应力均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系。

§8-２平面应力状态的工程实例

１．薄壁圆筒压力容器

为平均直径，为壁厚

由平衡条件

得轴向应力：（8-1a）

图8-5c（Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ为相距为的横截面，H-H为水平径向面）

由平衡条件或, 得环向应力：（8-1b）

2．球形贮气罐（图8-6）

由球对称知径向应力与纬向应力相同，设为对半球写平衡条件：

得（8-2）

3．弯曲与扭转组合作用下的圆轴4．受横向载荷作用的深梁

§8-3平面一般应力状态分析——解析法

空间一般应力状态

如图8-9a所示，共有9个应力分量：面上的，，；面上的，，；面上的，，。

1）应力分量的下标记法：第一个下标指作用面（以其外法线方向表示），第二个下标指作用方向。由剪应力互等定理，有：

，

，

。

2）平面一般应力状态如图8-9b所示，即空间应力状态中，方向的应力分量全部为零（）；或只存在作用于x-y平面内的应力分量，，，，其中，分别为，的简写，而= 。

3）正负号规定：正应力以拉应力为正，压为负；剪应力以对微元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负。

2．平面一般应力状态斜截面上应力

如图8-10所示，斜截面平行于轴且与面成倾角，由力的平衡条件：和

可求得斜截面上应力，：

（8-3a）

(8-3b)

注意到：1）

图8-10b中

应力均为正

值，并规定倾

角自轴

开始逆时针

转动者为正，

反之为负。2）式中均为面上剪应力，且已按剪应力互等定理将换成。3．正应力极值——主应力

根据（8-3a）式，由求极值条件，得

即有（8-4a）

为取极值时的角，应有，两个解。

将相应值，分别代入(8-3a)，(8-3b)即得：

（8-4b） ; (8-4c)

说明：1）当倾角转到和面时，对应有，，其中有一个为极大值，另一个为极小值；而此时，均为零。可见在正应力取极值的截面上剪应力为零（如图8-11a）。

2）定义：正应力

取极值的面（或

剪应力为零的

面）为主平面，

主平面的外法线

方向称主方向，

正应力的极值称

主应力，对平面一般应力状态通常有两个非零主应力：，，故也称平面应力状态为二向应力状态。

4．剪应力极值——主剪应力

根据(8-3b)式及取极值条件，可得：（8-5a）

为取极值时的角，应有，两个解。将相应值，分别代入(8-3b)，(8-3a)即得：

(8-5b) ；

说明： 1）当倾角转到和面时，对应有，，且二者大小均为，方向相反，体现了剪应力互等定理，而此两面上正应力大小均取平均值（如图8-11b）。

2）定义：剪应力取极值的面称主剪平面，该剪应力称主剪应力。注意到：

；或

因而主剪平面与主平面成夹角。

平面一般应力状态分析——应力圆法

1．应力圆方程

由式（8-3a）和(8-3b)消去，得

到(8-6)

此为以，为变量的圆方程，以为横坐标轴，为纵坐标轴，则此圆圆心

坐标为，半径为，此圆称应力圆或莫尔（Mohr）圆。

2．应力圆的作法

应力圆法也称应力分析的图解法。作图8-12a所示已知平面一般应力状态的应力圆及求倾角为的斜截面上应力，的步骤如下：

1）根据已知应力，，值选取适当比例尺；

2）在坐标平面上，由图8-12a中微元体的1-1，2-2面上已知应力作1（，），2（，-）两点；

3）过1，2两点作直线交轴于点，以为圆心，为半径作应力圆；4）半径逆时针（与微元体上转向一致）转过圆心角得3点，则3点的横坐标值即为，纵坐标值即为。

3．微元体中面上应力与应力圆上点的坐标的对应关系

1）=，= 的证明：

=

已知：

；

则，让，对照上式与式（8-3a），可知= 。

对照上式与式（8-3b），可知= 。

2）几个重要的对应关系

；

（即式（8-5b））

主平面位置：应力圆上由1点顺时针转过到点。

，（即式（8-4a）），对应微元体内从面顺时针转过角（面）。

应力圆上继续从点转过到，对应微元体上从面继续转过到面，此时（即式（8-4c））

建议读者对，点（对应主剪应力）作同样讨论。

空间应力状态的主应力与最大剪应力

1．主应力

对于空间一般应力状态（如图8-9a），可以证

明，总可将微元体转到某一方位，此时三对微

面上只有正应力而无剪应力作用（如图8-13）。

此三对微面即主平面，三个正应力即主应力（正

应力极值）。空间一般应力状态一般具有三个非零的主应力，故也称三向应力状态。

约定：三个主应力按代数值从大到小排列，即。

例8-1 式（8-1a），(8-1b)所示薄壁圆筒为二向应力状态，有两个主应力

，

内壁有内压

工程上略去不计，则有：，，。

例8-2 图8-7所示受弯曲与扭转组合作用圆轴中的1点，可用图8-14所示应力圆求其主应力：

，二向应力状

态。所以，，

2．主剪应力，最大剪应力

若已知（或已求得）三个主应力，可求：

1）平行方向的任意斜截面上应力（如图8-15a）。由于不参加图8-15b 所示微元体的力平衡。可利用式（8-3a）、(8-3b)：

；

相应于图8-15c中，构成的应力圆，此时主剪应力：

，（图8-15c上的点）。

2）平行方向斜截面上的主剪应力（见图8-16a，b，c）

主剪应力：。（见图8-15c中，构成的应力圆上点）。

3）求平行方向斜截面上的主剪应力（见图8-15c中点）。

。

结论：在按约定排列的三个非零主应力，，作出的两两相切的三个应力圆中，可以找到三个相应的主剪应力，，，其中最大剪应力值为：

处在与，作用面成的面上。

例8-1中： , 而非

。

例8-2中：

※3．任意斜截面上应力

已知主应力，，，设斜截面法线的方向余弦为，，。求任意斜截面上应力。

设斜面面积，则三个侧面面积：

，，

三个方向余弦满足关系：（a）

由平衡条件，和有：

，，（b）

由总应力的三个分量可得总应

力：（c）

也可分解为法线方向的正应力和面上剪应力（图8-17c），则

有（d）

由式（d），（c）得：（e），，在斜面法线上投影之代数和为，注意到式（b），则有：（f）

由式（a），（e），（f）可解得：

(8-7)

讨论：

1）在以为横坐标，为纵坐标的坐标平面内，以上三式分别表示三个应力圆，且交于一点，此点坐标即为斜截面上的应力（，）。

2）由于、、，在约定条件下，可由以上三式证明任意斜截面上应力均落在图8-14c所示三个主应力圆包围的阴影线面积内。

3）当，式（8-7）第一式即为图8-14c中，组成的应力圆方程，在所有平行方向的斜截面中，与，成的斜面上具有主剪应力

，同理，当，和时，对应有，及，组成的应力圆方程，分别可得主剪应力：

和，可见，。

建立强度理论的基本思想

１．不同材料在同一环境及加载条件下对“破坏”（或称为失效）具有不同的抵抗能力（抗力）。

例1常温、静载条件下，低碳钢

的拉伸破坏表现为塑性屈服失

效，具有屈服极限，铸铁破坏

表现为脆性断裂失效，具有抗拉

强度。图9-1a,b

２．同一材料在不同环境及加载

条件下也表现出对失效的不同抗力。

例2常温静载条件下，带有环形深切

槽的圆柱形低碳钢试件受拉时，不再

出现塑性变形，而沿切槽根部发生脆

断，切槽导致的应力集中使根部附近

出现两向和三向拉伸型应力状态。图

（9-2a,b）

例3 常温静载条件下，圆柱形铸铁试件受压时，不再出现脆性断口，而出现塑性变形，此时材料处于压

缩型应力状态。图（9-3a）

例4 常温静载条件下，圆

柱形大理石试件在轴向压

力和围压作用下发生明显

的塑性变形，此时材料处

于三向压缩应力状态下。

图９－３b

３．根据常温静力拉伸和

压缩试验，已建立起单向

应力状态下的弹性失效准

则，考虑安全系数后，其

强度条件为，根

据薄壁圆筒扭转实验，可

建立起纯剪应力状态下的

弹性失效准则，考虑安全系数后，强度条件为。

建立常温静载一般复杂应力状态下的弹性失效准则——强度理论的基本思想是：１）确认引起材料失效存在共同的力学原因，提出关于这一共同力学原因的假设；

２）根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验（如拉伸），建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的弹性失效准则和强度条件。

３）实际上，当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和塑性屈服两类失效形式，分别提出共同力学原因的假设。

关于脆性断裂的强度理论

１．最大拉应力准则（第一强度理论）

基本观点：材料中的最大拉应力到达材料的正断抗力时，即产生脆性断裂。

表达式：

复杂应力状态

，当，

简单拉伸破坏试验中材料的正断抗力

，

最大拉应力脆断准则：(9-1a)