小学数学不定方程与不定方程组的解法
不定方程与不定方程组
知识框架
一、知识点说明
历史概述
不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．
考点说明
在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、不定方程基本定义
（1）定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
（2）不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。（3）研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解
三、不定方程的试值技巧
（1）奇偶性
（2）整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）
（3）余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）
重难点
（1）b利用整除及奇偶性解不定方程
（2）不定方程的试值技巧
（3）学会解不定方程的经典例题
例题精讲
一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程2x－3y＝8的整数解
【考点】不定方程
【解析】方法一：由原方程，易得2x＝8＋3y，x＝4＋3
2
y，因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对
应，并且，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解
可表为：
3
4
2
x k
y k
?
=+
?
?
?=
?
，其中k为任意数．说明由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多
组解．
方法二：根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x－3y＝8成立，y必为偶数，当y＝0，x＝4；当y＝2，x＝7；当y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。
【答案】无穷多个解
【巩固】求方程2x＋6y＝9的整数解
【考点】不定方程
【解析】因为2x＋6y＝2(x＋3y)，所以，不论x和y取何整数，都有2|2x＋6y，但29，因此，不论x和y取什么整数，2x＋6y都不可能等于9，即原方程无整数解．
说明：此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。
【答案】无整数解
【例 2】求方程4x＋10y＝34的正整数解
【考点】不定方程
【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得2x＋5y＝17，5y的个位是0或5两种情况，2x是偶数，要想和为17，5y的个位只能是5，y为奇数即可；2x的个位为2，所以x的取值为1、6、11、16……
x＝1时，17－2x＝15，y＝3，
x＝6时，17－2x＝5，y＝1，
x＝11时，17－2x＝17 －22，无解
所以方程有两组整数解为：
16
,
31 x x
y y
==??
??
==??
【答案】
16
,
31 x x
y y
==??
??
==??
【巩固】求方程3x＋5y＝12的整数解
【考点】不定方程
【解析】由3x＋5y＝12，3x是3的倍数，要想和为12（3的倍数），5y也为3的倍数，所以y为3的倍数即可，所以y的取值为0、3、6、9、12……
y＝0时，12－5y＝12，x＝4，
x＝3时，12－5y＝12－15，无解
所以方程的解为：
4
0 x
y
=?
?
=?
【答案】
4
0 x
y
=?
?
=?
【例 3】求719213
x y
+=的所有正整数解．
【考点】不定方程
【解析】按照顺序逻辑讨论，从y值讨论，由y=1开始，当y=2时，x=25，当y=9时，x=6. 【答案】x=25，y=2
X=6，y=9
【巩固】求62290
x y
+=的自然数解
【考点】不定方程
【解析】按照顺序逻辑思维先考虑y的取值，当y=0时，x=15，当y=3时，x=4.
【答案】x=15，y=0
X=4，y=3
二、利用余数性质解不定方程
【例 4】求方程3x＋5y＝31的整数解【考点】不定方程
【解析】方法一：利用欧拉分离法，由原方程，得x＝315
3
y
-
，即x＝10－2y＋
1
3
y
+
，要使方程有整数
解1
3
y
+
必须为整数．
取y＝2，得x＝10－2y＋1
3
y
+
＝10－4＋1＝7，故x＝7，y＝2
当y＝5，得x＝10－2y＋1
3
y
+
＝10－10＋2＝2，故x＝2，y＝5
当y＝8，得x＝10－2y＋1
3
y
+
＝10－16＋3无解
所以方程的解为：
72
,
25 x x
y y
==??
??
==??
方法二：利用余数的性质
3x是3的倍数，和31除以3余1，所以5y除以3余1（2y除以3余1），根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为：
取y＝1，2y＝2，2÷3＝0……2（舍）
y＝2，2y＝4，4÷3＝1……1（符合题意）
y＝3，2y＝6，6÷3＝2（舍）
y＝4，2y＝8，8÷3＝2……2（舍）
y＝5，2y＝10，10÷3＝3……1（符合题意）
y＝6，2y＝12，12÷3＝4（舍）
当y＞6时，结果超过31，不符合题意。
所以方程的解为：
72
,
25 x x
y y
==??
??
==??
【答案】
72
,
25 x x
y y
==??
??
==??
【巩固】解方程7489
x y
+=，（其中x、y均为正整数）
【考点】不定方程
【解析】方法一：7489
x y
+=，4y是4的倍数，和89除以4余1，所以7x除以4余1（7÷4≡3），可以看成3x除以4余1，根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为（x＜13）
x＝1，3x＝3，3÷4≡3（舍）
x＝2，3x＝6，6÷4≡2（舍）
x＝3，3x＝9，9÷4≡1（符合题意）
x＝4，3x＝12，12÷4≡0（舍）
x＝5，3x＝15，15÷4≡3（舍）
x＝6，3x＝18，18÷4≡2（舍）
x＝7，3x＝21，21÷4≡1（符合题意）x＝8，3x＝24，24÷4≡0（舍）
x＝9，3x＝27，27÷4≡3（舍）
x＝10，3x＝30，30÷4≡2（舍）
x＝11，3x＝33，33÷4≡1（符合题意）x＝12，3x＝36，36÷4≡0（舍）
所以方程的解为：
3711
,,
17103 x x x
y y y
===???
???
===???
方法二：利用欧拉分离法，由原方程，
8971
222
44
x x
y x
-+
==-+
，
()1
x+
的取值为4的倍数即
可，所以方程的解为：
3711
,,
17103 x x x
y y y
===???
???
===???
【答案】
3711
,,
17103 x x x
y y y
===???
???
===???
【例 5】求方程5322
x y
+=的所有正整数解．
【考点】不定方程
【解析】因为能被5整除的数的末位数字是0或者5，所以3y的末尾数字应为2或者7，所以当y=4时，x=2.
【答案】x=2，y=4.
三、解不定方程组
【例 6】解方程
1800120080016000
15
a b c
a b c
++=
?
?
++=
?
（其中a、b、c均为正整数）
【考点】不定方程【难度】3星【题型】解答
【解析】根据等式的性质将第一个方程整理得
96480
15
a b c
a b c
++=
?
?
++=
?
，根据消元的思想将第二个式子扩大4倍
相减后为：(964)4()80415a b c a b c ++-++=-?，整理后得5220a b +=，根据等式性质，2b 为
偶数，20为偶数，所以5a 为偶数，所以a 为偶数，当2a =时，52220b ?+=，5b =，所以8c =，
当4a =时，54220b ?+=，5b =，所以无解。所以方程解为258a b c =??=??=?
【答案】258a b c =??=??=?
【例 7】 解不定方程1531003100
x y z x y z ?++=???++=? (其中x 、y 、z 均为正整数)
【考点】不定方程 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 根据等式的性质将第一个方程整理得159300100
x y z x y z ++=??++=?，根据消元思想与第二个式子相减得148200x y +=，根据等式的性质两边同时除以2得：74100x y +=，根据等式性质4y 为4的倍
数，100为4的倍数，所以7y 为4的倍数，所以y 为4的倍数试值如下481218,11,4788184x x x y y y z z z ===??????===??????===???
【答案】481218,11,4
788184x x x y y y z z z ===??????===??????===???
课堂检测
【随练1】 解不定方程：2940x y +=（其中x,y 均为正整数）
【考点】不定方程
【解析】 方法一：2x 是偶数，要想和为40（偶数），9y 也为偶数，即y 为偶数，也可以化简方程2940x y +=，
40920522x y x y -==-+知道y 为偶数，所以方程解为：112,24x x y y ==????==??
【答案】112,24x x y y ==????==??
【随练2】求不定方程7111288
+=的正整数解有多少组？
x y
【考点】不定方程
【解析】本题无论x或是y，情况都较多，故不可能逐一试验．检验可知1288是7的倍数，所以11y也是7的倍数，则y是7的倍数．
设7
=，原方程可变为11184
y z
+=，z可以为1，2，3，……16．由于每一个z的值都确定了原
x z
方程的一组正整数解，所以原方程共有16组正整数解．
【答案】16组
家庭作业
【作业1】求23734
++=的正整数解．
x y z
【考点】不定方程
【解析】本题按照逻辑顺序思维，先确定z的值再讨论x与y的值
【答案】略
【作业2】求x+2y+5z=18的自然数解
【考点】不定方程
【解析】本题按照逻辑顺序思维，先讨论z的取值，因为5z的值变化较大
【答案】z分别等于0、1、2.共三组解
不定方程常用解题方法
整除法 【例题1】：某国家对居民收入实行下列税率方案：每人每月不超过3000美元的部 分按照1%税率征收，超过3000美元不超过6000美元的部分按照X%税率征收，超过6000 美元的部分按Y%税率征收（X,Y为整数）。假设该国居民月收入为6500美元，支付了120 美元所得税，则Y为多少？ A.6 B.3 C.5 D.4 【参考答案】：A. 【解析】：整除法。列方程可得，3000×1%+3000×X%+500×Y%=120,化简可得 6X+Y=18,观察发现，18以及X的系数6都是6的倍数，根据整除可以确定Y一定是6的倍数，所以结合选项答案选择A选项。 【小结】：当列出的方程中未知数的系数以及结果是同一个数的倍数的时候，可以考 虑用整除法结合选项选择答案。 奇偶法 【例题2】：装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒能装11个，小盒每盒能装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？ A.3,7 B.4,6 C.5,4 D.6,3 【参考答案】：A. 【解析】：奇偶法。设需要大、小盒子分别为x、y个，则有11x+8y=89,由此式89为 奇数，8y一定为偶数，所以11x一定为奇数，所以x一定为奇数，结合选项，排除B和D,剩余两个代入排除，可以选择A选项。 【小结】：列出的方程未知数系数和结果奇偶性可确定时，可以考虑用奇偶性结合选 项破解题目。 尾数法 【例题3】：有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小 客车有20个座位。为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是：
A.1辆 B.3辆 C.2辆 D.4辆 【参考答案】：B. 【解析】：尾数法。大客车需要x辆，小客车需要y辆，可列37x+20y=271,20y的尾数一定是0,则37x的尾数等于271的尾数1,结合选项x只能是3,所以选择B选项。 【小结】：列出方程的未知数的系数出现5或10的倍数时，尾数可以确定，可以考虑用尾数法结合选项来选择答案。
不定方程的解法与应用
摘要 不定方程是初等数论的一个重要内容，在相关学科和实际生活中也有着广泛的应用．本文首先归纳了整数分离法、系数逐渐减小法和辗转相除法等几种常用的二元一次不定方程的解法；其次进一步讨论了求n元一次不定方程和二次不定方程整数解的方法；最后论述了不定方程在中学数学竞赛题、公务员行测试题和其他学科中的应用，并举例说明． 关键词：不定方程；二元一次不定方程；数学竞赛；公务员试题
Abstract The integral solutions of indeterminate equation solving method is an important content of elementary number theory, has been widely used in related disciplines and in real life. This paper summarizes the integer separation method, coefficient decreases and the Euclidean algorithm and several commonly used two element indefinite equation solution, secondly is further discussed. For n linear indeterminate equation and the method of two time indefinite equation integer solution, and finally discusses the indeterminate equation applied in secondary school mathematics, civil servants for test and other subjects, and illustrated with examples. Key words: i ndeterminate equation; two element indefinite equation; Mathematics contest; civil service examination.
试验5线性代数方程组的数值解法
实验6 线性代数方程组的数值解法 [实验目的] 1. 1. 学会用MATLAB 软件数值求解线性代数方程组，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析； 2. 2. 通过实例学习用线性代数方程组解决简化的实际问题。 [实验内容] 5-5 输电网络：一种大型输电网络可简化为图5.5（见书）所示电路， 其中R 1，R 2，…，R n 表示负载电阻，r 1，r 2，…，r n 表示线路内阻，I 1，I 2，…，I n 表示负载上的电流。设电源电压为V 。 (1)列出求各负载电阻R 1，R 2，…，R n 的方程； (2)设I 1=I 2=…=I n =I ，r 1=r 2=…=r n =r ，在r=1，I=0.5，V=18，n=10的情况下求R 1，R 2，…，R n 及总电阻R 0。 [问题分析、模型建立及求解] (1) 设电源负极为电势为0，电阻R 1上对应节点电压为V 1，对于任意节点，根据KCL 定律列出方程： 11 1++----=k k k k k k k k r V V r V V R V 而 k k k R V I =，可得： 111111)(++++--++-= k k k k k k k k k k k k R r I R r I r I R r I I k=2，3，……，n-1； k=1时 2221211R r I R r I I +- =，为与上式形式一致，化为 22212111111)(R r I R r I r I r V I +--=- k=m （12-≤≤n m ）时 111111)(++++--+--+= m m m n m m m m m m m m R r I R r I r I R r I I k=n 时 n n n n n n n R r I R r I I -= --11 设以上方程组的矩阵形式为：b AR = 则 []T n R R R R 21=
(完整word版)初中数学几种不定方程和方程组的解题技巧和方法
初中数学几种不定方程和方程组的解题技巧和方法 凯里市大风洞正钰中学曾祥文 摘要：教学作为一种有明确目的性的认知活动，其有效性是教育工作者所共同追求的。在初中数学教学中不定方程与方程（组）占很大的比例，是中学生经常出错和不懂的部分。本文主要探讨几种不定方程和方程组的解题技巧和方法。 关键词：初中数学不定方程方程 教学作为一种有明确目的性的认知活动，其有效性是教育工作者所共同追求的。有效教学是教师在达成教学目标和满足学生发展需要方面都很成功的教学行为，它是教学的社会价值和个体价值的双重体现。数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。数学教学是教师对学生进行数学思维培养的一种认知过程。 方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数时，它的解往往有无数多个，不能唯一确定，因此这类方程常称为不定方程(组)，解不定方程没有固定的方法，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数的特性、因数分解、不等式估值、穷举、分离整数、配方等知识与方法，解不定方程的技巧是对方程适当变形，灵活运用相关知识。本文就几类常见的不定方程与方程做如下浅析。 1 非负数的巧用 在初中数学中，经常用的非负数有：①a2 ≥0 ；②｜a｜≥0；③a≥0若干个非负数的和为0，那么每个非负数均为0， 例1：已经x2 + y2-x+2y+5/4= 0 ，求x 、y的值。 评析：方程左边配方可变为非负数之和 解：由x2 + y2-x+ 2y+5/4= 0 得( x—1/2 ) 2+ ( y +1 ) 2= 0 所以( x—1/2 ) 2≥0，( y + 1 )2≥≥0 一般地，几个非负数之和为0，则每个非负数均为0。所以x=1/2, y=1 2 二元一次方程的整数解
不定方程的求解方法汇总
不定方程的求解方法汇总 行测数量运算的考查中，不定方程是计算问题的常考题型，难度不大，易求解。但是想要快速正确的求解出结果，还是需要一些技巧和方法的。专家认为，掌握了技巧和方法，经过大量练题一定可以实现有效的提升，不定方程的题目必定成为你的送分题。 一、不定方程的概念 在学习之前，首先了解一下不定方程的概念：指对于一个方程或者方程组，未知数的个数大于独立方程的个数，便将其称为不定方程或者不定方程组。 在这里解释一下独立方程。看个例子大家便可以明白了: 4x+3y=26①,8x+6y=52② 因为①×2=②，相互之间可以进行转化得到，所以①、②两个式子并不是两个独立的方程，。 二、求解不定方程的方法 1、奇偶性 奇数+奇数=偶数奇数×奇数=奇数 偶数+偶数=偶数偶数×偶数=偶数 奇数+偶数=奇数奇数×偶数=偶数 性质：奇偶奇 7x为奇数，x也为奇数。x可能的取值有1、3、5。当x=1时，y=9，满足题干要求，凳子数量大于桌子数量，其余情况不符合要求，故答案选择B。
2、尾数法 当看到未知数前面的系数为0或者5结尾时，考虑尾数法。任何正整数与5的乘积尾数只有两种可能0或5。 性质：奇偶奇 5x 为奇数，则其尾数必定为5，则4y的尾数为4，y可能为1、6、11，这三种可能。但已知乙部门人数超过10人，则y=11,求得x=3,故答案选择C。 3、整除法 当未知数前面的系数与和或差有除1之外的公因数时，考虑用整除法。 4、特值法 当题目考察不定方程组，且一般情况下，求解(x+y+z)之和时考虑特值法。不定方程组拥有无数组解，而(x+y+z)的结果是唯一的，那么我们便可以随便找一组解代入即可。同时要使计算相对简单，便可以将系数较为复杂的未知数设为特值0，简化运算。
求解线性方程组的直接解法
求解线性方程组的直接解法 5.2LU分解 ① Gauss消去法实现了LU分解 顺序消元结束时的上三角矩阵U和所用的乘数,严格下三角矩阵。 将下三角矩阵的对角元改成1,记为L,则有A=LU, 这事实是一般的,我们不难从消去的第k个元素时的矩阵k行及k列元素的 历史得到这一点.因为从消元的历史有 u kj=a kj-m k1u1j- m k2u2j -…- m k,k-1u k-1,j, j=k,k+1,…,n m ik=(a ik-m i1u1k- m i2u2k -…-m i,k-1u k-1,k>/u kk i=k+1,k+2,…,n 于是a kj=m k1u1j+m k2u2j+…+m k,k-1u k-1,j+u kj, j=k,k+1,…,n a ik=m i1u1k+m i2u2k+…+m i,k-1u k-1,k+m ik u kk i=k+1,k+2,…,n 从前面两个式子我们可以直接计算L和U(见下段>.将矩阵分解为单位下 三角矩阵和上三角矩阵之积称为矩阵的LU分解.顺序消元实现了LU分 解,同时还求出了g, Lg=b的解. ②直接LU分解 上段我们得到(l ij=m ij> u kj=a kj-l k1u1j-l k2u2j -…- l k,k-1u k-1,j, j=k,k+1,…,n l ik=(a ik-l i1u1k-l i2u2k -…-l i,k-1u k-1,k>/u kk i=k+1,k+2,…,n 2 诸元素对应乘积,只不过算L的元素时还要除以同列对角元.这一规律很 容易记住.可写成算法(L和U可存放于A>: for k=1:n-1 for j=k:n u kj=a kj-l k1u1j-l k2u2j -…- l k,k-1u k-1,j end for i=k+1:n l ik=(a ik-l i1u1k-l i2u2k -…-l i,k-1u k-1,k>/u kk end end 这一算法也叫Gauss消去法的紧凑格式,可一次算得L,U的元素,不需逐步 计算存储.
不定方程的解法
基本介绍编辑本段 不定方程是数论的一个分支，它有着悠 久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。 古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。1969 年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。 2 发展历史编辑本段
希腊的丢番图早在公元3 世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。Diophantus ，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus 方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189 个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。 研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5 世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何”。设x，y，z 分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。 3 常见类型编辑本段
二元一次不定方程的解法总结与例题
探究二元一次不定方程 （Inquires into the dual indefinite equation） 冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。我们讨论二元一次方程的整数解。 The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution. 【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解 （Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution） 二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式； ②具有两个未知数；③未知项的次数是1。 如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。 定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。 [1] 二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。 通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。 定理2.方程有解的充要是；[2] 若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成： （t为任意整数）
线性方程组的直接解法 实验报告
本科实验报告 课程名称：数值计算方法B 实验项目：线性方程组的直接解法 最小二乘拟合多项式 实验地点：ZSA401 专业班级：学号：201000 学生姓名： 指导教师：李志 2012年4月13日
线性方程组的直接解法 一、实验目的和要求 实验目的：合理利用Gauss 消元法、LU 分解法或追赶法求解方程组。 实验要求：利用高斯消元法，LU 分解法或追赶法进行编程，求解题中所给的方程组。 二、实验内容和原理 实验内容：合理利用Gauss 消元法、LU 分解法或追赶法求解下列方程组： ① ?? ?? ? ?????=????????????????????13814142210321321x x x ②??? ? ?? ??????=????????????????????? ?? ? ??--?-2178.4617.5911212592.1121130.6291.513 14 .59103.043 2115x x x x ③?? ??? ??? ? ???????----=????????????????????????????????-55572112112112121 n n x x x x （n=5,10,100,…） 实验原理：这个实验我选用的是高斯消元法。高斯消元法：先按照 L ik =a ik^(k-1)/a kk^(k-1) , a ij^(k)=a ij^(k-1)-l ik a kj^(k-1) [其中k=1,2,…,n-1;i=k+1,k+2,…,n;j=k+1,k+2,…,n+1] 将方程组变为上三角矩阵，再经过回代，即可求解出方程组的解。 三.计算公式 通过消元、再回代的求解方法称为高斯消元法。特点是始终消去主对角线 下方的元素。 四、操作方法与实验步骤 #include "Stdio.h" #define N 3 main() { double a[N][N+1],b[N]; int i,j,k,x=0; for(i=0;i 本科毕业论文 （ 2010 届） 题目线性方程组的直接解法及matlab的实现 学院数学与信息工程学院 专业数学与应用数学 班级2006级数学1 班 学号0604010127 学生姓名胡婷婷 指导教师王洁 完成日期2010年5月 摘要 随着科技技术的发展及人类对自然界的不断探索模拟.在自然科学和工程问题中的很多问题的解决常常归结为线性代数问题！ 本文的主要内容是对线性方程组求解方法的探讨,主要介绍了四种求解线性方程组的方法,第一种是教科书上常见的消元法,我们称之为基本法.第二种方法是标准上三角形求解法,即将增广矩阵经过初等变换后化成标准上三角形,然后求解.它改进了一般教科书上的常见方法,与常见方法比较有如下优点:1)规范了自由未知量的选取;2)只用矩阵运算;3)减少了计算量.第三种方法是对特定的方程组（系数矩阵A为n阶对称正定矩阵,且A的顺序主子式均不为零.）的求解方法进行描述,并且为这种线性方程的求解提供了固定的公式化的方法.第四种方法是对现在实际问题中常常会遇到的系数矩阵为三对角矩阵的方程组的求解方法.同时给出这几种方法的数值解法（matlab程序）,由于运用电脑软件求解,所以必须考虑计算方法的时间、空间上的效率以及算法的数值稳定性问题,所以针对不同类型的线性方程组有不同的解法.但是,基本的方法可以归结为两大类,即直接法和迭代法. 关键词 高斯消去法;三角分解法;乔莱斯基分解法;追赶法 Abstract Systems of linear equations are associated with many problems in engineering and scinence ,as well as with applications of mathematics to the social sciences and the quantitative study of business and economic problems. The main content of this article is the method for solving linear equations, we introduce four methods for solving linear equations in this paper. The first is the elimination method which is commonly found in textbooks, and we call the Basic Law. The second method is Standard on the triangle Solution, that first change Augmented matrix into standards in primary triangle, and then solving. It improves the general textbook on common methods, compared with the common method has the following advantages:1) Specification of the free choice of unknowns; 2)Only matrix operations;3) Reduce the computation. The third method describes a way to solve a Specific equations(N coefficient matrix A is symmetric positive definite matrix, and A are not zero-order principal minor), And for this linear equation provides a fixed formulaic approach. The fourth method is to present practical problems often encountered in the coefficient matrix is tridiagonal matrix method for solving the equations. These methods are given numerical solution of (matlab program), As the use of computer software to solve, it is necessary to consider ways of computing time and space efficiency and numerical stability of algorithms, Therefore, different types of linear equations have a different solution. However, the basic method can be classified into two categories, namely direct methods and iterative methods. Key words Gaussian elimination; Triangular decomposition; Cholesky decomposition method; Thomas algorithm 不定方程与不定方程组 知识框架 一、知识点说明 历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来． 考点说明 在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。 二、不定方程基本定义 （1）定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。 （2）不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。（3）研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解 三、不定方程的试值技巧 （1）奇偶性 （2）整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性） （3）余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质） 重难点 （1）b利用整除及奇偶性解不定方程 （2）不定方程的试值技巧 （3）学会解不定方程的经典例题 例题精讲 一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程2x－3y＝8的整数解 【考点】不定方程 【解析】方法一：由原方程，易得2x＝8＋3y，x＝4＋3 2 y，因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对 应，并且，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解 可表为： 3 4 2 x k y k ? =+ ? ? ?= ? ，其中k为任意数．说明由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多 组解． 方法二：根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x－3y＝8成立，y必为偶数，当y＝0，x＝4；当y＝2，x＝7；当y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。 【答案】无穷多个解 【巩固】求方程2x＋6y＝9的整数解 【考点】不定方程 【解析】因为2x＋6y＝2(x＋3y)，所以，不论x和y取何整数，都有2|2x＋6y，但29，因此，不论x和y取什么整数，2x＋6y都不可能等于9，即原方程无整数解． 说明：此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。 【答案】无整数解 【例 2】求方程4x＋10y＝34的正整数解 【考点】不定方程 【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得2x＋5y＝17，5y的个位是0或5两种情况，2x是偶数，要想和为17，5y的个位只能是5，y为奇数即可；2x的个位为2，所以x的取值为1、6、11、16…… x＝1时，17－2x＝15，y＝3， x＝6时，17－2x＝5，y＝1， x＝11时，17－2x＝17 －22，无解 第二十七讲 不定方程、方程组 不定方程（组）就是指未知数的个数多于方程的个数的方程 （组）,其特点就是解往往有无穷多个，不能惟 一确定. 对于不定方程（组）,我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定? 二元一次不定方程就是最简单的不定方程 ，一些复杂的不定方程（组）常常转化为二元一次不定方程问题 加以解决，与之相关的性质有： 设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程ax by c 有如下两个重要命题: （1）若（a ，b ）=d ，且d 卜c ，则不定方程ax by c 没有整数解； x x 0 bt , ⑵若X 。，y o 就是方程ax by c 且（a ，b ）=1的一组整数解（称特解），则 （t 为整数）就是方程 的 y y o at 全部整数解（称通解）. 解不定方程（组），没有现成的模式、固定的方法可循 ，需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运 用以下知识与方法；奇数偶数，整数的整除性、分离整系数、因数分解。配方利用非负数性质、 穷举，乘法公式， 不等式分析等. 举例 【例1】 正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6,则m 的最大值为 _______________ . （新加坡数学竞赛题） 思路点拔 把m 用含n 的代数式表示，并分离其整数部分（简称分离整系数法）.再结合整除的知识，求出m 的最大值. 注:求整系数不定方程 ax by c 的整数解。通常有以下几个步骤 ： （1）判断有无整数解;（2）求一个特解;（3）写出通解;（4）由整数t 同时要满足的条件（不等式组）,代入⑵中的表 达式，写出不定方程的正整数解. 分离整系数法解题的关键就是把其中一个未知数用另一个未知数的代数敷式表示 ，结合整除的知识讨 论. 【例2】 如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔 9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志 .问下一个同时设置这两种标志的地点 的千米数就是（ ）. 1115 （3）求方程 的正整数解. x y z 6 （“希望杯”邀请赛试题） p 1 思路点拨 设置限速标志、照相标志千米数分别表示为 定方程3+4x=0+9y 的正整数解. 【例3】（1）求方程15x+52y=6的所有整数解. （2）求方程x+y = x 2 一 xy+y 2 的整数 （河南省竞赛题） 3+4x 、10十9y （x,y 为自然数），问题转化为求不 A.32千米 B.37千米 C.55千米 D.90千米 解线性方程组的直接解法 一、实验目的及要求 关于线性方程组的数值解法一般分为两大类：直接法与迭代法。直接法是在没有舍入误差的情况下，通过有限步运算来求方程组解的方法。通过本次试验的学习，应该掌握各种直接法，如：高斯列主元消去法，LU分解法和平方根法等算法的基本思想和原理，了解它们各自的优缺点及适用范围。 二、相关理论知识 求解线性方程组的直接方法有以下几种： 1、利用左除运算符直接求解 线性方程组为b x\ =即可。 A Ax=，则输入b 2、列主元的高斯消元法 程序流程图： 输入系数矩阵A，向量b，输出线性方程组的解x。 根据矩阵的秩判断是否有解，若无解停止；否则，顺序进行； 对于1 p :1- =n 选择第p列中最大元，并且交换行； 消元计算； 回代求解。（此部分可以参看课本第150页相关算法） 3、利用矩阵的分解求解线性方程组 （1）LU分解 调用matlab中的函数lu即可，调用格式如下： [L,U]=lu（A） 注意：L往往不是一个下三角，但是可以经过行的变换化为单位下三角。 （2）平方根法 调用matlab 中的函数chol 即可，调用格式如下： R=chol （A ） 输出的是一个上三角矩阵R ，使得R R A T =。 三、研究、解答以下问题 问题1、先将矩阵A 进行楚列斯基分解，然后解方程组b Ax =(即利用平方根法求解线性方程组，直接调用函数)： ??????? ??--------=19631699723723312312A ，?????? ? ??-=71636b 解答： 程序： A=[12 -3 2 1;-3 23 -7 -3;2 -7 99 -6;1 -3 -6 19]; R=chol(A) b=[6 3 -16 7]'; y=inv(R')*b %y=R'\b x=inv(R)*y %x=R\y 结果： R =3.4641 -0.8660 0.5774 0.2887 0 4.7170 -1.3780 -0.5830 0 0 9.8371 -0.7085 0 0 0 4.2514 y =1.7321 0.9540 -1.5945 1.3940 x =0.5463 0.2023 -0.1385 0.3279 问题 2、先将矩阵A 进行LU 分解，然后解方程组b Ax =（直接调用函数）： ?????????? ??----=8162517623158765211331056897031354376231A ，????????? ? ??-=715513252b 不定方程及不定方程组的解法 华图教育任小芳 在公务员行政职业能力测试数量关系模块中，经常会运用到方程法解答各类文字应用题型，但是在运用方程法的过程中，常会遇到所设的未知数数量多于方程个数的情况。未知数数量多于方程数量，这种方程我们称之为“不定方程（组）”。 解不定方程（组）最典型的方法为代入排除法，即直接将选项代入方程中，验证是否能使其他未知数都有符合题目要求的解。 【例1】有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是（）？ A.1辆 B.3辆 C.2辆 D.4辆 【答案】：B 【解析】：每位游客均有座位且车上没有空座位，可知座位总数与游客人数相等。假设需要大客车x辆，需要小客车y辆，根据题意列出方程：37x+20y=271。未知数个数多于方程个数，此为不定方程问题。20的倍数尾数一定为0，则37x的尾数应为1，代入四个选项，只有当x=3时，37x 的尾数为1，B选项正确。 【例2】超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装 5个苹果共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个？（） A.3 B.4 C.7 D.13 【答案】：D 【解析】：假设大包装盒用了x个，小包装盒用了y个，根据题意可列出方程：12x+5y=99。题干中只有一个等量关系，2个未知数，1个方程，此为不定方程问题。结合数字的奇偶特性，偶数的倍数一定是偶数，可知12x为偶数。两个数的和99为奇数，这两个数的奇偶性一定相反，因此5y的值一定为奇数。5的倍数尾数不是0就是5，因此可以确定5y尾数为5,12x尾数为9-5=4。由此推出x=2,y=15。或者x=7,y=3。题目条件“共用了10多个盒子”，x=7,y=3不符合题意，结果为x=2,y=15,差是13。D选项正确。 在解不定方程时可结合数字的奇偶特性、尾数特性等数字特性思想，然后通过代入选项得出答案。当题目要求的是所有未知数的和时，可用设“0”法简化计算。 国家公务员| 事业单位| 村官| 选调生| 教师招聘| 银行招聘| 信用社| 乡镇公务员| 各省公务员| 不定方程组的经典解题方法 ———————————————海南华图数资老师，胡军亮对于不定方程组很多同学都觉得摸不着头脑，未知数和方程数都较多，感觉自己好像会其实又不会。那本文就来给大家讲解不定方程组的经典解法。不定方程组常分为两种形式，一种是不定方程组求个体，另一种是不定方程组求整体的。 【例1】某公司的6名员工一起去用餐，他们各自购买了三种不同食品中的一种，且每人只购买了一份。已知盖饭15元一份，水饺7元一份，面条9元一份，他们一共花费了60元。问他们中最多有几人买了水饺？（ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：此题是典型的不定方程组求个体的题型，方法是消元变成不定方程用数字特性或者代入排除法。列式为： ? ? ? = + + = + + 60 9 7 15 6 z y x z y x 因为求的是水饺，消掉未知数z得到不定方程3x-y=3，变形得到方程y=3x-3， 根据数字特性知道y应该是3的倍数，答案选C。 代入排除，只有选项C带入x可以得到整体，满足题意，答案选C。 【例2】甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱?（） A. 21元 B. 11元 C. 10元 D. 17元 解析：本题是求的是整体 z y x+ +整体的题型，方法是极值法。列式为：? ? ? = + + = + + 43 10 4 32 7 3 z y x z y x 极值法设y=0，得到方程：? ? ? = + = + 43 4 32 3 z x z x ，解得x=11，z=-1 所以 10 = + +z y x，本题答案C。 题目：小明的妈妈去超市购物，已知买13个鸡蛋，5个鸭蛋，9个鹌鹑蛋需付9.25元，买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋需付3.20元，小明妈妈想买一个鸡蛋一个鸭蛋一个鹌鹑蛋需付多少钱？ 分析：此方程组是三元一次不定方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x、y、z的值是不可能的，但注意到所求的是x+y+z的代数和，因此，可通过变形变换得到多种解法． 解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元，则根据题意，得13x+5y+9z=9.25 ① 2x+4y+3z=3.20 ② （1）凑整法 解法1： （①+②）/3: 5x+3y+4z=4.15 ③ ∴②+③，得 7(x+y+z)=7.35 ∴ x+y+z=1.05 答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元。 解法2： 原方程组可变形为 13(x++y+z)-4(2y+z)=9.25 ① 2(x++y+z)+4(2y+z)=3.20 ② 解之得x+y+z=1.05 （2）主元法 解法3： 视x、y为主元，视z为常数，解①、②得x=0.5-0.5z，y=0.55-0.5z．∴x+y+z=0.55+0.5-z+z=1.05． 解法4： 视y、z为主元，视x为常数，解①、②得y=0.05+x，z=1-2x． ∴x+y+z=1.05+x-2x+x=1.05． 解法5： 视z、x为主元，视y为常数，解①、②得x=y-0.05，z=1.1-2y ∴x+y+z=y-0.05+y+1.1-2y=1.05． （3）参数法 解法6： 设x+y+z=k，则 13x+5y+9z=9.25 ① 2x+4y+3z=3.20 ② x+y+z=k ③ ∴①-②×3，得x-y=-0.05 ④ ③×3-②，得x-y=3k-3.2 ⑤ 数列中不定方程问题的几种解题策略 数列中不定方程问题的几种解题策略 王海东 （江苏省丹阳市第五中学，212300） 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考中占有极其重要的地位．数列中不定方程的整数解问题逐渐成为一个新的热点，在近年来的高考模拟卷中，这类问题屡见不鲜，本文中的例题也都是近年来大市模考题的改编．本文试图对与数列有关的不定方程的整数解问题的解法作初步的探讨，以期给同学们的学习带来帮助。 题型一：二元不定方程 双变量的不定方程，在高中阶段主要是求出此类不定方程的整数解，方法较灵活，下面介绍3种常用的方法。 方法1. 因式分解法：先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积，多项式分解为若干个因式的乘积，再由题意分类讨论求解。 题1（2014·浙江卷）已知等差数列{}n a 的公差d ＞0.设{}n a 的前 n 项和为n S ，11=a ，3632=?S S . (1)求d 及S n ； (2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得65...21=+++++++k m m m m a a a a . 解析(1)略 (2)由(1)得2,12n S n a n n =-=(n ∈N *) =+++++++k m m m m a a a a ...21()2 122121-++-+k m m k ） （)1)(12(+-+=k k m 所以65)1)(12(=+-+k k m ，由m ，k ∈N *知1112>+≥-+k k m 65151365?=?=，故???=+=-+5 11312k k m 所以???==45k m 点评 本题中将不定方程变形为()()135112?=+?-+k k m ,因为分解方式 初一数学培优之简单的不定方程、方程组 阅读与思考 如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能唯一确定，这样的方程(组)称为不定方程(组)． 对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制后，解可能唯一确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型： 1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数； 2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解． 二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数解． 解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据方程(组)的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路． 例题与求解 【例1】满足222219981997m n +=+ (0＜m ＜n ＜1 998)的整数对(m ，n )共有_______对． (全国初中数学联赛试题) 解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答． 【例2】电影票有10元，15元，20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多( )． A ．20张 B ．15张 C ．10张 D ．5张 (“希望杯”邀请赛试题) 解题思路：设购买10元，15元，20元的电影票分别为x ，y ，z 张．根据题意列方程组，整体求出的z －x 值． 【例3】某人家中的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14 405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16 970，求此人家中的电话号码． (湖北省武汉市竞赛试题) 解题思路：探索可否将条件用一个式子表示，从问题转换入手． 【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子? (重庆市竞赛试题) 解题思路：无论怎样取，盒子里的棋子数不变。恰当设未知数，把问题转化为求不定方程的正整数解． 【例5】 甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每 人有31个核桃，三组的核桃总数是365个．问：三个小组共有多少名同学? (海峡两岸友谊赛试题) 解题思路：根据题意，列出三元一次不定方程，从运用放缩法求取值范围入手． 【例6】某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐22人，就会余下1人；如果开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车． 问：原先租多少辆客车和学校师生共多少人?(已知每辆车的容量不多于32人) 第4章 线性方程组的直接解法 本章主要内容 线性方程组的直接解法——消元法（高斯消元法、主元消元法）. 矩阵的三角分解法（ Doolittle 分解、Crout 分解、 LDU 分解） 紧凑格式 改进平方根法. 本章重点、难点 一、消元法（高斯消元法、列主元消元法） 本章求解的是n 阶线性方程组Ax=b 的（即方程的个数和未知量的个数相等的线性方程组） ?????????=+???++????????????? ??=+???++=+???++n n nn n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112 3222212111212111 1. 高斯消元法 ①高斯消元法的基本思想：通过对线性方程组Ax=b 的进行同解消元变换（也可以用矩阵的初等行变换法进行线性方程组的消元变换），将线性方程组化为上三角形方程组，然后用回代法求出此线性方程组的解。 ②高斯消元法计算公式： ????? ? ? ????????--=-=--==? ????? ????? ???? +=-=-=====-+=------------∑)1,..., 2,1()1,..., 2,1(,...,1,,,,...,2,1) ,...,2,1,(,) 1(1)1()1()1() 1() 1()1() 1()1()() 1()1()1()1()(,)0()0(n n i a x a b x n n i a b x n k j i b a a b b a a a a a n k n j i b b a a i ii n i j j i ij i i i n nn n n n k k k kk k ik k i k i k kj k kk k ik k ij k ij i i ij ij 对回代公式： 消元公式：线性方程组的直接解法及matlab的实现
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