不等式专题训练
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不等式专题训练
b>0, a+b=2,则下列不等式不恒成立的是（
"y+y- 2<0
K-y+l<0
2x-y+2>0
3.以下结论正确的是（
A = ?x |log 1(X +1 )> -2 >,
B = 2X |-_-二2》，则 .2 J . ―X J
\-y+2>0 r+yAo a<3
8.若a, b, c 为实数，且av bv0，则下列命题正确的是（ A a2>ab
>b 2
B- ac2v
be 2
C Xb D
A. abw 1
B . a 2+b 2
> 2
C.灵
D.
B . [0 , +s) C. (—8
] D.[
,0]
A. aV b 且 c V d,贝U ac v bd
B. ac2 > bc2，则 a> b
C. a>b, cV d,贝U a- cvb - d
D.
0 V av b,集合 A={x|x=丄} , B={x|x=丄}，贝U A? B a h> 4.设 x , y 满足约束条件* "3x - y - a < 0, x-y>0, 若目标函数z = x + y 的最大值为2,则实数a 的
2x + y >0, 值为（ A. 2
.1 C . -1 D .
-2
A. ( —
1,1 )
B.
0,1) C. [0,3] D. 0
A. - 7 B . - 3 C. 1 D. 9
7.设 a, b€ R,且 aM b, a+b=2，则必有 ( ) ■^v abv 1 2
1v abv /±jd 2
A. 1 w abw 迢一亠 2
2 ..2 C. abv ° v 1
2
B.
D.
1.若 a> 0,
2.已知变量
y 满足
5.已知集合 』x|X+2
6.若实数x, y 满足 ,则z=x - 2y 的最小值为（
4y+3<0 ? 3z+Ey - 25<0
\-y>0 r+y - 2< 0
as- y- l<0表示的平面区域内，则实数 a 的取值范围
是（ ）
A. - 4
B. 6
C. 10
D. 17
* K - y+3A0
kx - y+3>0且z=2x+y 的最大值为4,则 B. I C -舟
D. I
￡ 3 3
'y<2x+2 ，x+y- 2>0
9.如果实数x 、y 满足 X>1 实数k 的值为（ A. 2 B. - 2 C .
D. 不存在
，目标函数z=kx+y 的最大值为12，最小值3,那么
A. (-S, 0) 11.设变量x, y 满足约束条件 B . (- 1 , +s) C ( 0, +s) D. (-8,— 1)
k-y+2>0
4 Nx+Sy - 6》0 3i+2y-9<0,则目标函数
z=2x+5y 的最小值为（
13.实数x, y 满足 ，则z=|x - y|的最大值是（
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8 14.若正数x,y 满足x+3y =5xy,则3x+4y 的最小值是 A* B. D. 则下列不等式成立的是 A. ac>bc c . X -y A 0, 16.若整数x, y 满足不等式组 *2x —y —10<0,
苗X +y -573>0,
则2x + y 的最大值是（
）
A. 11 .23 C
.26
.30
10.若点(2, - 3) 不在不等式组
12.若x, y 满足 A -i
k 的值为（
不等式专题训练2
2x+ y-2 <0
1.已知实数x , y 满足｛3x -2y +4>0，则3x
+9y
的最小值为（
[x-3y-1 <0
A. 82
x-jr+l>0
x>0
j>0
x +2y —2 >0
7.若x, y 满足不等式组4x -y +1>0，则J （x+1）2
+y 2
的最小值是
[3x + y -6 <0
D . 45
8.当 X A0, y >0 , 丄显=1时,
x y
x + y 的最小值为
（
A. 10 .12
.14
16
2.已知实数忌f 满足
则Z
=3X +2JF 的最大值为
A. 2
B. 5 c. 12 D. 15
3.已知实数 x, y 满足: X >1
《X + y <3
y >2(x-3)
z=2x^ y 的最小值为（
A. 6
.-2
-4
1
4.不等式X 〉一的解集为
x
A.（严-1）U （0,1）
B.
(-1,0)U(1,址) c.(=,—1)U (1E
D. (—1,1)
5.设x, y 为正数，则
（x + y ）（」+-）的最小值为（ ）
A. 6 B .12 D . 15
6.如果实数 x-y +1>0
x, y 满足条件 [x + y +1 <0 A. 2 B .1 C . -2 D . -3 X >2 9.已知实数x,y 满足约束条件｛y >2 ，则 [X + y < 6 4 X + —的最小值为（ x-1 B -[-号，。] C [-寺 U D 2 12.设集合 A={x|x — 4x+3< 0} , B={x|2x — 3> 0}，则 An B=( ) 3 X>0, y> 0, Ig2 x +lg8 y =lg2，则 3y 的最小值是( B. 2? C. 4 D. 2 Vs A. 24 16 12 3 3 3 3 A.( —3, - ) B. (- 3, ) C ( 1, ￥ ) D. V 2 2 2 2 ，3) 13.已知a, b, c 满足cv b< a 且ac< 0，则下列选项中不一定能成立的是（ Z = 2x +4y 的最大值为（ 10.已知: 11.设变量 满足约束条件 2it- y-2<0 X- 2y+2>0 x+y- 5 ，则 y -沉 s= x+1的取值范围是（ [0,1] A. ab> ac 14.若变量X, B. c ( b — a)> 0 p+y<2 hx- 3y<9 满足I K>0 2 2 C. cb < ca D. ac X+^的最大值是（ (a — c)< 0 A. 4 B. 9 C. 10 D. 12 加-y<0 15.若X, y 满足K>0 ，则X — y 的最小值为（ A. 0 B.— 1 C.— 3 D. 2 16.已知 A. 2 17.如果 a< b< 0,那么下列各式一定成立的是（ A. a — b>0 2 2 B . ac < bc C. a > b D. a <￡ 18.若 a> b, A. ac> bc c 为实数，下列不等式成立是（ 2 2 B . ac < bc C. ac > bc D. ac 2》bc 2 学习必备欢迎下载 A={x|y=J严"1), B={x| X2— 1 >0}，则 AnB= 19.已知集合 -1) B. [0, 1) C.( 1, +^) D . [0, +s) 20.设全集 U=R 集合 A={x|1og 2xw 2} , B={x| (x- 3)( x+1)> 0}，则(？U B)n A= ( ) A.(-s,- 1] 21.若 x> 0, y> 0, A. 2 B. 2 C. 4且 x+2y=1 , -s,- 1] U( 0, 3) C . 2 贝U 2x+3y的最小值是( [0 , 3) D.( 0, 3) 22.已知集合M={x| A. {x|0 w x< 1} -D. 0 3 -1V x < 1}, Mn N=( B. {x|0 < x< 1} C {x|x D. {x| - 1 < x w 0} 2 23.函数y =2x的最小值为 2x B. 2 A. 1 C. D. 4 2 24.设全集 U=R 集合 A={x|x - 2x > 0}, A. [1 , 2) B.( 1 , 2) C.( 1, B={x|y=log 2 (x - 1) 2] D.(-汽- }，则(？U A)n B=( ) 1 )U [0 , 2] 25.不等式3x- 1 4 "丈w 0的解集是_____ . 2y+4>0 xVS s+y- 2>0 ,则x+2的取值范围是 26.已知变量x, y满足 1x+3y -3<0, 27.已知实数X, y满足{x-y+1>0,则点P(x, y )构成的区域的面积为 [y z， 2x + y的最大值为 28.已知正实数x, y满足x+2y-xy=0,则x + 2y的最小值为是. y的取值范围 29.若变量x, y满足'2K+y<40 z+2y<50 ,y>0 ，则z=3x+2y的最大值是. 「3x + y -6 <0 20.若，满足约束条件y>2 ，则X2+y2的最小值为 l y<2 lx + y <1 31.设x, y满足约束条件|x+130，则目标函数z = —的取值范围为 [x-y<1 x_2 不等式专题训练3 1. 若 a>0, b>0,且 in (a+b) =0,则+也最小值是 2. 若点A (1, 1)在直线 mx+ny-2=0上，其中，mn>0,则叩 +n 的最小值为 l+y 》-1 2s-y 4.已知XV ‘2, 则函数y=2x+2x- 1的最大值是 |x <2, 5. ______________________________________________________________ 若实数X 、y 满足约束条件｛y<2, 则z=x +2y 的最大值是 _____________________________ [x ?2, 『x + y —5<0 6. 已知变量X , y 满足约束条件｛X —2 y +1 <0，贝y z = x + 2y 的最大值是 l x -1 >0 l x +2y >1 7.已知变量x, y 满足约束条件｛ X —y<1，贝y z = x —2y 的最大值为 [y -1 <0 s - 2y<0 ，则z=x+y 的最大值为 . x+Zy - [x -y <0 9.若｛x +y >0，若z=x+2y 的最大值为3,贝U a 的值是 [y " x + y <10 10. 已知x,y 满足约束条件 X >3 T x + y -3>0 11.如果实数X, y 满足条件｛ X —2<0 ，则 [y-2兰0 X +y-2 <0 12.若X, y 满足约束条件｛x —2y +1乞0，贝U z = 3x + y 的最大值为 I 2x - y + 2 >0 13.直线 mx-ny+2=0(m,n >0)被圆 x 2 + y 2 +2x-2y +1 = 0 截得弦长为 2,则— m n 的最小值为 3.若变量x, y 满足约束条件 则z=3x - y 的最小值为 8.若X, y 满足约束条件 Z = 2x — y 的最大值为 z=-的最大值为 x 1.C 【考点】基本不等式. 【专题】计算题；转化思想；定义法；不等式. A, B, D 恒成立，对于C,举例即可. 解：对于 A 2=a+b> 2佃 ，贝y ab < 1,当且仅当a=b=1取等号，故恒成 立; 试卷答案 对于 B, * 2 （普 )2=2，当且仅当a=b=1取等号，故恒成立, 对于 C, a=b=1，则不成立, 对于 D.— a 且+b ab 、2 VS ab =2,当且仅当a=b=1取等号，故恒成立, 故选：C 【点评】 本题主要考查了基本不等式的应用问题，也考查了特殊值判断命题真假的问题, 是基础题目. 2.D 【考点】简单线性规划. 【专题】计算题；数形结合；转化思想；不等式的解法及应用. 【分析】画出约束条件的可行域，利用所求表达式的几何意义求解即可. \+y- 2<0 x-y+l<0 2z- y+2>0 【解答】解：不等式* y 设Q (3, 0)平面区域内动点 P( x, y)，则：二 当P 为点A 时斜率最大，A (0, 0), C ( 0, 2). 表示的平面区域为如图所示△ ABC =k PQ 【分析】根据基本不等式判断 【解答】 【点评】本题考查线性规划的简单应用，掌握所求表达式的几何意义是解题的关键. 3. B 【考点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质. 【分析】根据不等式的基本性质，及集合包含有关系的定义，逐一分析给定四个答案的真 假，可得结论. 【解答】解：若 a=— 1, b=0, c= — 1, d=0,则av b 且cvd,但ac>bd,故A 错误; 2 2 2 ____________________________________________________ 若ac >bc ，则c >0，贝U a>b ，故B 正确； 若 a> b, cv d,贝U a — c> b — d ，故 C 错误; 若0v av b,集合A={x|x= 土 }, B={x|x= * }，则A 与B 不存在包含关系，故 D 错误; b 故选：B. 4. A [x — y-0 的图象如图，因为目标函数z=x+y 的 j2x + y > 0 最大值为2,所以x + y=2与可行域交于如图 直点，联立[x + y 一2 ,得A(1,1),由A(1,1) jX - y = 0 在直线3x — y —a =0上，所以有3 —1 —a = 0,a = 2 ,选A. 当P 为点C 时斜率最小，所以 — X - 3 ,0] ? X 试题分析：试题分析：先作出不等式组 试题分析：因 A ={x|0 B ={x| 竺< 0} ={x | 0 < x c 1},则 X —1 A" B =[0,1),故应选 B. 考点：不等式的解法与集合的运算 6.A 【考点】简单线性规划. 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案. 卜-y+2>0 x+y>0 作出可行域如图, 【解答】解：由约束条件 s<3 化目标函数z=x - 2y 为 由图可知，当直线 尸专J 专过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为-7. I x=3 联立X - y+2=0，解得 A( 3, 5), 【考点】基本不等式. 【分析】由a 丰b, a+b=2，则必有a 2 +b 2 >2ab, 2>2\/込，化简即可得出. 2 2 【解答】解：??? a 丰 b, a+b=2,则必有 a 2 +b 2 > 2ab, 1 v abv 2 故选：D. 8.A 【考点】不等关系与不等式. 2 2 A 正确； B 若c=0,则ac =bc ，错； C 利用不等式的性 质“同号、取倒，反向”可知其错； 2 , 2 【解答】解：A 、T av bv 0,.?.a > ab ，且 ab> b , ?? a 2 > ab > b 2 ，故 A 正确； 若c=0,贝U ac 2 =bc 2 ，故不正确; 故答案为A. 9.A 【考点】简单线性规划. 【分析】先画出可行域，得到角点坐标.再通过对斜率的分类讨论得到最大最小值点，与 原题相结合即可得到答案. 【解答】解：可行域如图：得： A (1 , 4.4 ), B ( 5, 2), C (1, 1). 1 S 所以：l i ： x-4y+3=0 的斜率 k i =±; L 2： 3x+5y - 25=0 的斜率 k 2= ^. 4 5 ①当-k€( 0,云)时，C 为最小值点，A 为最大值点; ②当-k>+时，C 为最小值点，A 为最大值点，； 3 ③当-亍 -k v 0 时，C 为最小值点，A 为最大值点，； 3 ④当-kv-—时，C 为最小值点，B 为最大值点, b 由④得k=2,其它情况解得不符合要求. 【分析】利用不等式的基本性质可知 D 作差，因式分解即可说明其错. 1 1 b - a ? ? ? a v bv 0 ,? — — — =- > 0, a b ab , 1 2 _ 2 ?/ av bv 0,.??上— ???丄〉壬，故错; a b (a+b) (a-b) v 0，?上<2 故错; a b ab 【考点】简单线性规划. 【分析】直接利用已知条件判断点与不等式的关系，然后求解即可. k-y>0 r+y- 2<0表示的平面区域内, ax 3 y- 可知(2,- 3)满足 X- y> 0,满足 x+y- 2< 0, 所以不满足ax - y- 1 < 0,1卩2a+3- 1>0，解得a>- 1. 故选：B. 11. B 【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直 线 l o ： 2x+5y=0，平移直线l o ，可得经过点 (3, 0)时，z=2x+5y 取得最小值 6. 3i+2y - 如右图中三角形的区域, 作出直线l 0： 2x+5y=0，图中的虚线, 平移直线l 0,可得经过点（3, 0）时，z=2x+5y 取得最小值6. 故选：B. 故 k=2. 【解答】解：点（2,- 3）不在不等式组 【解答】解：作出不等式组 表示的可行域, 12. A 【考点】简单线性规划. 【分析】根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域，再用目标函数的几何意义，求 出求出直线2x+y=4与y=0相交于B (2, 0),即可求解 /-y+3>0 直线kx - y+3=0过定点(0, 3), ■/z=2x+y 的最大值为 4，二作出直线 2x+y=4, 由图象知直线2x+y=4与y=0相交于B (2, 0), 同时B 也在直线kx - y+3=0上, 代入直线得2k+3=0,即k= 一2 厶 【考点】简单线性规划. 【专题】对应思想；数形结合法；不等式. y* x-y-2=0 A(3,0) 3^ 2x+5y^0 【解答】解：先作出不等式组 对应的平面区域, 3x-2y-9=0 ■2 * z+y- 2>0 【分析】根据题意，作出不等式组的可行域，令 m=y- x，分析 x<2 可得m的取值范围，而z=|x - y|=|m|，分析可得z的最大值，即可得答案. 【解答】解：依题画出可行域如图，可见△ ABC及内部区域为可行域, 令m=y- X,贝U m为直线 I : y=x+m在y轴上的截距, 由图知在点 A（2，6）处m取最大值是 4,在C（2，0）处最小值是-2, 所以m€ [ - 2, 4], 而 z=|x - y|=|m| , 所以z的最大值是4, 【点评】本题考查线性规划求不等式的最值问题，关键是正确作出不等式的可行域. 14. C 试题分析：因为兀y为正数S兀+3, -5JCV^-+--5所叹y X 3x + 4y = -(3x+4jX- + -) = -(3-+12^ + 13)>\2x6 + B)=5 5 y X 5 y x5 当且仅当—时取等号.二3葢+4y的最小值是5 y X 考点：基本不等式 15.C 9 试题分析：3 C =OB 寸J ac =bc = Q A 错 由a — >0J B 错 a 利用绝对值的几何意义得:|?|>|&| C 正确 因为珂* j 在定义域上为单翊函数由a 考点：不等式的性质 16. D 试题分析：画出不等式组所表示的区域如图 ，结合图象可以看出当动直线 y = -2x + z 经过 点A(10,10)时，动直线y = -2x + Z 的截距z 最大，故应选D. 17. C. 表示的可行域, 作直线I : X + 2y = 0 ,平移I ，从而可知, 当 X = —2， y = —1 时，Z min = —4，此 时 3X =9y ，等号可取，故3X +9y 的最小值是 2 —，故选 C. 试题分析：3X +9y A 2j 3X 9y =2j 3"y ，令z=x+2y ，如下图所示，作出不等式组所 考点：线性规划的知识及运用 18. 【解析】 试题分析：由题《衛S出约束杀件衰示的可行域,如图所示，目a数可化为y = ~x+j,由:給"点的坐标为3八当目标?数过点71时，取得最犬值.此时最犬值为 3x-y-3 =0 2 =S^2+2x 3 = 12,故选c* o 考点：简单的线性规划问题. 19.C 【解折】 x=i 试题分朴由题意亀画出约束条件所表示的可行域，如图际由严如3解得“"7 即点当目标函数经过点/时，取得最小值，此时最小值为z,^=2x2+（-4＞ = ^.故选C ? 考点：简单的线性规划问题. 20.B （x +1奴-1）＞ 0 ,根据穿线法可得不等式的解集为 (-1,0 )U(1, +比)，故穿 B. 考点：解不等式 21. B 试题分析：（x + y ）（一+4） =5+'+竺＞5+2/上F X =9，当且仅当，=似时等号成 X y x y y xy x y 立，故最小值为9. 考点：基本不等式. 22. B ^>0 X X 试题分析；作出可行域，如團SC內部(含边界人作i^g/:2x-j = 0.平移直线人当它过点C(0?-1)时J Z =得最丈值1* 考点：简单的线性规划. 【名师点睛】由线性规划求目标函数最值的步骤: (1)作图：画届约束条件所确定的平面区域，和目标函数所表示的平面直线系中的任意一 (2)平移：将I平行移动，以确定最优解所对应的点的位置.有时需要进行目标函数直线 I和可行域边界所在直线的斜率的大小比较. (3)求值：解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值. 23. B 试题分析：作出可行域，如图MBC内部(含边界)，J(x+1)2+y2表示可行域内点与 初一不等式难题,经典题训练（附答案） 1． 已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1，2，3，则a 的取值范围是_______ 2． 已知关于x 的不等式组0 521 x a x ->?? -≥-?无解，则a 的取值范围是_________ 3． 若关于x 的不等式(a-1)x-2 a +2>0的解集为x<2，则a 的值为（ ） A 0 B 2 C 0或2 D -1 4． 若不等式组2 20 x a b x ->?? ->?的解集为11x -<<，则2006()a b +=_________ 5． 已知关于x 的不等式组的解集41320 x x x a +?>+? ??+- 7． 不等式组951 1 x x x m +<+?? >+?的解集是2x >，则m 的取值范围是（ ） A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 8.不等式()()20x x x +-<的解集是_________ 9.当a>3时，不等式ax+2<3x+b 的解集是，则b=______ 10.已知a,b 为常数，若ax+b>0的解集是1 3 x <,则的0bx a -<解集是（ ） A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 60x m x n -≥?? -? p 数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数(m,n)对共 有（ ）对 A 49 B 42 C 36 D 13 12.已知非负数x,y,z 满足123 234 x y z ---==，设345x y z ω=++，求的ω最大值与最小值 必修5 基本不等式基本题型训练 一、选择题 1. [2013·常州质检]已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0)，则f (x )有( ) A. 最大值为0 B. 最小值为0 C. 最大值为－4 D. 最小值为－4 答案：C 解析：∵x <0，∴－x >0， ∴x ＋1x －2＝－(－x ＋1－x )－2≤－2(－x )·1 －x －2＝－4， 当且仅当－x ＝1 －x ，即x ＝－1时，等号成立． 2. [2013·长沙质检]若0 4. 已知m ＝a ＋1a －2 (a >2)，n ＝(12)x 2－2(x <0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A. m >n B. m 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ） a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ）a 1 +a ≥2 (a ≠0) （C ） a 1＜b 1 (a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 一元一次不等式培优专题训练一 例1 1、 用“>”或“<”填空，并在题后括号内注明理由： (1)∵a >b,∴a －m ________b －m (2)∵a >2b,∴2 a ________ b (3)∵4a >5a,∴a ________0 (4)∵2x －1<9,∴x ________5 2、不等号填空：（1）、x 为任意有理数，x －3____x －4.（2）若a ＜0，b ＜0，则a ·b ____ab 2. 变式训练：（七中实验）若b a <，则2ac 2bc ；若22bc ac <，则a b （填不等号） ； 例2、不等式（组）的解法：1、不等式1 专题：基本不等式 基本不等式求最值 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 三个不等式关系： （1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2 ，当且仅当a ＝b 时取等号． 上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系 【典例1】已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则 1 12 -+b a 的最小值为 . 练习：1．若实数满足，且，则的最小值为 ． 2.若实数,x y 满足1 33(0)2xy x x +=<< ，则313 x y +-的最小值为 ． 3.已知0,0,2a b c >>>，且2a b += ，则 2ac c c b ab +-+ 的最小值为 . 【典例2】已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y x ＋y 的最大值为 ． 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 变式：1.若,a b R +∈,且满足22 a b a b +=+,则a b +的最大值为_________. 2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 3.设R y x ∈,，142 2 =++xy y x ，则y x +2的最大值为_________ 4.已知正数a ，b 满足 19 5a b +=，则ab 的最小值为 ,x y 0x y >>22log log 1x y +=22 x y x y +- 不等式训练1 A 一、选择题(六个小题,每题5分,共３0分） 1.若02522 >-+-x x ,则221442-++-x x x 等于( ) Ａ.54-x Ｂ．3- Ｃ.3 D.x 45- ２.函数y=log 21（x ＋11+x ＋１） （ｘ > 1）的最大值是 （ ) A ．-2 B.２ C.-3 D.3 3.不等式x x --213≥1的解集是 ( ) A ．{ｘ|43≤x ≤2} B.{x|4 3≤x <２} Ｃ．{ｘ｜x ＞２或x ≤ 43｝ D.｛x|ｘ<2} 4．设a ＞1＞b ＞-1，则下列不等式中恒成立的是 ( ) A.b a 11< Ｂ．b a 11> Ｃ．ａ> b 2 D.a 2＞2b 5．如果实数ｘ,y 满足x 2+y 2=1,则(1－x ｙ) (1＋xy ）有 ( ) A ．最小值21和最大值1 Ｂ．最大值１和最小值4 3 C ．最小值 43而无最大值 D ．最大值1而无最小值 6.二次方程x 2＋(a 2＋1)x+a －2=0,有一个根比1大,另一个根比-1小, 则ａ的取值范围是 ( ) Ａ.-3＜a ＜1 B ．-2＜a ＜0 C.－１＜ａ<0 D ．0 不等式计算专项练习 一、解答题 1．解不等式组，并且把解集在数轴上表示出来. 2．求不等式组的整数解. 3．计算下列不等式（组）： （1）x-＜2-. （2）-2≤≤7 （3）； （4） 4．已知：y1=x+3，y2=－x+2，求满足下列条件时x的取值范围：（1）y1＜y2 （2）2y1－y2≤4 5．解不等式组： 6．求下列不等式组的解集 7．（1）计算：（-2）-2×|-3|-（）0 （2）解不等式组： 8．解不等式组，并指出它的所有整数解． 9．解不等式组：，并写出该不等式组的整数解． 11．解不等式组并写出的所有整数解. 12．(1)解方程：. (2)求不等式组：. 13．求不等式组的整数解． 14．（1）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组： 15．求不等式组的非负整数解． 16．解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来 （1）； （2） 17．（1）解不等式组 （2）在（1）的条件下化简：|x+1|+|x-4| 18．已知关于x，y的方程组的解为正数． （1）求a的取值范围； （2）化简|-4a+5|-|a+4|． 19．（1）解不等式2-＞+1，并把它的解集在数轴上表示出来； （2）求不等式组的整数解． 20．解不等式组：． 21．解不等式组 22．解不等式组，并把它们解集表示在数轴上，写出满足该不等式组的 所有整数解． 23．解不等式组：；在数轴上表示出不等式组的解集，并写出它的整数 解． 24．解不等式组：． 25．解不等式组 26．解不等式组 ) 27．当x 是不等式组 的正整数解时，求多项式（1﹣3x ）（1+3x ）+（1+3x ） 2 +（﹣x 2）3÷x 4的值． 28．解方程与不等式组： 解方程：；解不等式组： 29．解不等式组． 30．解不等式组，并写出不等式组的整数解. 31．（1）解不等式组: (2)解方程： 32．解不等式组： . 33．解不等式组，并在数轴上表示它的解集． 34．（1）解方程： ; （2）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来． 1、（02京皖春1）不等式组???<-<-0 30 122x x x 的解集是（ ） A ．｛x ｜－1＜x ＜1} B ．｛x ｜0＜x ＜３} C ．｛x ｜0＜x ＜1} D ．｛x ｜－1＜x ＜３} 2、（01河南广东1）不等式 3 1 --x x >0的解集为（ ） A ．{x |x <1} B ．{x |x >3} C ．{x |x <1或x >3} D ．{x |1 一．不等式的性质： 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 三．重要不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 (2 22b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求 它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 5.a 3+b 3+c 3≥3abc （a,b,c ∈ R +）, a +b +c 3 ≥3abc （当且仅当a =b =c 时取等号）； 6. 1 n (a 1+a 2+……+a n )≥12n n a a a (a i ∈ R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号； 变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c 3 )3(a,b,c ∈ R +) a ≤ 2a b a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 2 2 ≤b.(0b>n>0,m>0; 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 一元一次不等式 1、下列不等式中，是一元一次不等式的是 （ ） A 012>-x ； B 21<-； C 123-≤-y x ； D 532 >+y ； 2.下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） A.5+4＞8 B.2x －1 C.2x ≤5 D. 1 x －3x ≥0 3. 下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） (1)2x 一元一次不等式组应用题专题训练 例1．某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间 4 人，那么有20人无法安排；如果每 间8 人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。 练习某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们。如果没 人送3 本，则还余8本；如果前面每人送5本，最后一人得到的课外读物不足3 本。设该校买了m 本课外读物，有x 名学生获奖，请解答下列问题： （1）用含x 的代数式表示m; （2）求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数。 例2．甲以5km/h 的速度进行有氧体育锻炼，2h 后，乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶甲，根据他们两人的约定，乙最快不早于1h 追上甲，最慢不晚于1h15min 追上甲，那么乙骑车的速度应该控制在什么范围？ 例3．把价格为每千克20 元的甲种糖果8 千克和价格为每千克18 元的乙种糖果若干千克混合，要使总价不超过400元，且糖果不少于15 千克，所混合的乙种糖果最多是多少？最少是多少？ 例4．某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5 万元。每件乙种 商品进价8 万元，售价10 万元，且它们的进价和售价始终不变。现准备购进甲、乙两种商品共20 件，所用资金不低于190 万元不高于200 万元。 （1）该公司有哪几种进货方案？ （2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？ 练习某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货 量的一半。电视机与洗衣机的进价和售价如下表： 计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161800元。 （1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用） （2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润。 （利润=售价一进价） 例5.某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买 机器所耗资金不能超过34万元。 （1 ）按该公司要求可以有几种购买方案？ （2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？ 练习接待一世博旅行团有290名游客，共有100件行李。计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆。甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李。 (1)设租用甲种汽车x辆，请你帮助设计可能的租车方案； (2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元，1800元，你会选择哪种租 基本不等式求最值的类型与方法-经典大全 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 5 6 专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112 +2a b ab +≤≤≤ 2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； ②单调递增区间：(,]b a -∞-，[,)b a +∞；单调递减区间：(0, ]b a ，[,0)b a -. 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1) x x x x --=+++>- 3 2 111 31222(1) x x x --≥??+-312≥+52=， 当且仅当 211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是5 2 。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①23 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：①30,3202 x x << ->Q ∴， ∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3 (32)[]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ②0,sin 0,cos 02 x x x π << >>Q ∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最 大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2 x x x =??22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π << tan 2x ?=，即tan 2x arc =时 “=”号成立，故 此函数最大值是 23 9 。 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤ 不等式经典题型专题练习（含答案） ：__________ 班级：___________ 一、解答题 1．解不等式组： ()13x 2x 11{ 25 233x x -+≤-+≥-，并在数轴上表示不等式组的解集． 2．若不等式组21{ 23x a x b -<->的解集为-1 5．解不等式组：并写出它的所有的整数解． 6．已知关于x、y的方程组 521118 23128 x y a x y a +=+ ? ? -=- ? 的解满足x＞0，y＞0，数a的取 值围． 6．求不等式组 x20 x 1x3 2 -> ? ? ? +≥- ?? 的最小整数解． 7．求适合不等式﹣11＜﹣2a﹣5≤3的a的整数解． 8．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，求a的取值围． 9．若二元一次方程组 2 { 24 x y k x y -= += 的解x y >，求k的取值围. 10．解不等式组5134122 x x x x ->-???--??≤并求它的整数解的和． 11．已知x ，y 均为负数且满足：232x y m x y m +=-?? -=?①②，求m 的取值围． 12．解不等式组?? ???<+-+≤+12312)2(352x x x x ，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数集. 14．若方程组2225 x y m x y m +=+??-=-?的解是一对正数，则： （1）求m 的取值围 （2）化简：42m m -++ 15．我市一山区学校为部分家远的学生安排住宿，将部分教室改造成若干间住房. 如果每间住5人，那么有12人安排不下；如果每间住8人，那么有一间房还余一些床位，问该校可能有几间住房可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？ 初中数学竞赛专项训练（4） （不等式） 一、选择题： 1、若不等式｜x+1｜+｜x-3｜≤a 有解，则a 的取值范围是 （ ） A. 0＜a ≤4 B. a ≥4 C. 0＜a ≤2 D. a ≥2 2、已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且 d c b a <，给出下列四个不等式：①d c c b a a +>+ ②d c c b a a +<+ ③d c c b a b +>+ ④d c d b a b +<+其中正确的是 （ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③ 3、已知a 、b 、 c 满足a ＜b ＜c ，ab+bc+ac ＝0，abc ＝1，则 （ ） A. ｜a+b ｜＞|c| B. |a+b|＜|c| C. |a+b|=|c| D. |a+b|与|c|的大小关系不能确定 4、关于x 的不等式组???????+<+->+a x x x x 2 3535 2只有5个整数解，则a 的取值范围是 （ ） A. -6 《基本不等式》同步测试 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2 111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. 63 C. 46 D. 183 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 11123a b c + + ≥ D ．3a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ． 114x y ≤+ B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．1 1xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,, 2 a b ab ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b ab ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22 ab a b ab a b +≤≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< 课后练习 一元一次不等式 一、选择题 1. 下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）个. ①x>－3；②xy≥1；③32 专题训练：不等式（组）及应用 【考点链接】 1.判断不等式是否成立 判断不等式是否成立,关键是分析判定不等号的变化,变化的依据是不等式的性质,特别注意的是,不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时,要改变不等号方向;反之,若不等式的不等号方向发生改变,则说明不等式两边同乘以(或除以)了一个负数.因此,在判断不等式成立与否或由不等式变形求某些字母的范围时, 要认真观察不等式的形式与不等号方向. 2.解一元一次不等式(组) 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤大致相同,应注意的是,不等式两边 同乘以或除以负数时，不等号的方向要改变。 不等式组的解集是取公共解集，若a(完整版)初一不等式难题-经典题训练(附答案)
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