微积分第七章无穷级数

第七章无穷级数

一、本章的教学目标及基本要求：

（1）理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性

质和收敛的必要条件。

（2）掌握几何级数与p —级数的收敛性。

（3）会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。

（4）会用交错级数的莱布尼茨定理。

（5）了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

（6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。（7）掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

（8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。（9）

了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

（10）掌握函数α

)1(),1ln(,cos ,sin ,x x x x e x

+-的麦克劳林展开式，会用它们

将一些简单函数间接展开成幂级数。

（11）了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义

在],[l l -上的函数展开成傅氏级数，会将定义在],0[l 上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。

二、本章教学内容的重点和难点：

重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求法．

难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开．

§7.1常数项级数的概念及性质

一、内容要点

1、常数项级数概念：

常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项；

2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件：性质1：若级数∑∞=

n n u 收敛于和s ，则级数∑∞

n n ku 也收敛，且其和为ks ．(证明) 性质2：若级数

∑∞=1

n n u 、∑∞=

n n v 分别收敛于和s 、σ，则级数()∑∞

=+1

n n n v u 也收敛，且其和为s ±σ．(证明)

性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明) 性质4：若级数∑∞

n n u 收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)；

性质5(级数收敛的必要条件)：若级数

∑∞

n n u 收敛，则它的一般项u n 趋于零，即

0lim =∞

→n n u ．(证明)；

一、概念

定义:设已给定数列1u ,2u ,…,n u …,称形式加法1u +2u +…+n u +…为无穷项数项级数.简称数项级数,又称级数.记为

∑∞

n n

, 即

∑∞

n n

=1u +2u +…+n u +…, 其中称

n u 为一般项.

将其前n 项的和:n S =1u +2u +…+n u 称为级数的前n 项的部分和,或简称部分和. 注1: 由上我们便得到一个数列1S ,2S ,…,n S ,…,从形式上不难知道

∑∞

n n

=n n S ∞

→lim ,

以前我们学过数列的收敛与发散,进而就不难得出级数的收敛与发散的概念.换而言之,有限个数相加为一数,无穷多个数相加是否仍为一个数呢?

定义: 当∞→n 时,若部分和数列{}n S 有极限S ,即 S =n n S ∞

→lim ,就称常数项级数

∑∞

=1n n

收敛,且称S 为其和,并记为: S =1u +2u +…+n u +… , 若数列{}n S 没有极限,就称

∑∞

n n

发散.

注1: 当级数收敛时,其部分和n S 又可看成为S 的近似值. 两者之差

n n S S r -==1+n u +2+n u +… 称为级数∑∞

n n u 的余项.用n S 代替S 所产生的误差就是它的绝

对值,即 n r .

注2: 到目前为止,已了解的级数的基本概念,特别了解了级数

∑∞

n n

的收敛与发散性

(敛散性)是由其部分和数列{}n S 的敛散性所决定的.确切地说,两者敛散性是相同的.为此,可把级数看成是数列的一种表现形式.如设

{}

n S 为一数列,令

1u =1S ,2u =12S S -,…,n u =1--n n S S , Λ2,1=n , 则n n

k k S u =∑=1

这样就由一数列产生

一个级数.可见数列与级数可以相互转化.

[例1] 讨论一个简单级数―几何级数(等比级数):ΛΛ+++++-1

2n aq aq aq a 的敛散性.

其中0≠a

解: 我们先考虑其部分和: n S =1

-++++n aq

aq aq a Λ

利用中学知识,得 n S =q

q a n --1)

1( (1≠q 时)

(I)

当1

-1, 故几何级数收敛,且收敛于

-1. (II)

当1>q 时,由于n n S ∞→lim =q

q a n

n --∞→11lim 不存在,故此时几何级数发散.

(III) 当

=q 时,此时几何级数为:

ΛΛa a a a ++++,?n S =na ∞→(∞→n )此时级数发散.

(IV)

当1-=q 时,级数为Λa a a a -+-,?n S =a n ])1(1[1

---, n n S ∞

→lim 不存

在.故此时级数发散.

∴ 综上所述,几何级数在1

[例2] 证明级数

ΛΛ+++?+?+?)

2(1

531421311n n 收敛. 证: 首先,由于

???+-=+21121)2(1n n n n ? n S =

)

2(1

531421311++?+?+?n n Λ

??????-311121+??????-412121+??????-513121+…+???

???+-21121n n =

??????+++++-++++)21514131()131211(21n n ΛΛ =

??????+-+-+211121121n n →)211(21+=4

∴ 原级数收敛,且收敛于

43. [例3] 证明调和级数ΛΛ+++++n

31211发散.

证: n S =n 1

31211++++Λ

=?21dx +?3221dx +…+dx n n n ?+11

≥?21

1dx x +dx x ?321+…+dx x n n ?+11

=dx x

n ?+111=1

ln +n n x =)1ln(+n 当∞→n 时,∞→n S .显然n n S ∞

→lim 不存在. 故原级数发散.

一、性质

性质1: (收敛的必要条件) 收敛的级数的一般项极限为0.即

∑∞

n n

收敛,则0lim =∞

→n n u .

证: 设

∑∞

n n

收敛于S . 即n n S ∞

→lim =S .

)(lim lim -∞

→∞

→-=n n n n n S S u 0lim lim 1=-=-=-∞

→∞

→S S S S n n n n

注1: 若反之,则不一定成立.即0lim =∞

→n n u , 原级数

∑∞

n n u 不一定收敛. 如调和级数∑

∞

=11

n n

发散,但01

lim

=∞→n

n . 注2: 收敛的必要条件常用来证明级数发散.即若0lim ≠∞

→n n u ,则原级数

∑∞

n n

一定不收敛.

性质2: 在级数前增加或去掉有限项,不改变级数的敛散性.但在级数收敛时,其和可能改变.

证: 1u +2u +…+n u +…的部分和序列为{}n S

1+k u +2+k u +…+n k u ++…的部分和序列为{}n σ.

则 k n k n S S -=+σ, 由于k 为有限数,则k S 为一个有限数. 则 n n σ∞

→lim 与n k n S +∞

→lim 同敛散.

若原级数收敛,则n k n S +∞

→lim =n n S ∞

→lim =S .则{

}n σ收敛.即1+k u +2+k u +…+n k u ++…收敛若原级数发散,则n n S ∞

→lim 不存在, 故n n σ∞

→lim 也不存在. 则{

}n σ发散.即

1+k u +2+k u +…+n k u ++…发散.

性质3: 若级数

∑∞

=1n n

收敛于S ,则它的各项都乘以一常数k 所得的级数

∑∞

n n

收敛于kS .

即

∑∞

n n

∑∞

n n

性质4: 若级数

∑∞

n n

和

∑∞

n n

分别收敛于S 和σ,则级数

∑∞

=±1

)(n n n

ν收敛于σ±S .

注1:

∑∞

=±1

)(n n n

ν称为级数∑∞

n n u 与∑∞

n n ν的和与差.

注2: 若级数

∑∞

n n

和

∑∞

n n

之中有一个收敛,另一个发散,则

∑∞

=±1

)(n n n

ν发散.若两个都发

散,情况又如何呢?思考.

性质5: 收敛级数加括号后(不改变各项顺序)所产生的级数仍收敛于原来级数的和.

注1:这里所谓加括号,就是在不改变各项的顺序的情况下,将其某n 项放在一起作为新的项,而产生的级数.当然,加括号的方法是有无穷多种的.

注2: 若级数在加括号后所得的级数发散,那么原级数发散.但是,某级数在加括号后所得的级数收敛,则原级数未必收敛.也就是说:发散的级数加括号后可能产生收敛的级数.例如: ΛΛ+-++-+-111111是发散的,

但 ΛΛ+-++-+-)11()11()11(是收敛的.

注3: 由此知,级数加括号与不加括号时的敛散性是不尽相同的,后面我们要讲它们有相同敛散性时的情况.

[例4] 判别级数∑∞

???????+++??? ??1)2)(1(1

31n n n n 的敛散性.

解: 因级数∑∞

=??

??131n n

与级数∑∞

=++1)2)(1(1n n n 均收敛,由性质4可知

∑∞

=????????+++??? ??1)2)(1(131n n n n =∑∞=??? ??131n n +∑∞=++1)

2)(1(1

n n n 收敛.

§7.2常数项级数的审敛法

一、内容要点

正项级数及其审敛法： 1．正项级数的概念； 2．基本定理：正项级数∑∞

n n u 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{s n

}有界．(证明)

3．比较审敛法：设

∑∞=1

n n u 和∑∞=1

n n v 都是正项级数，且u n

≤v n

(n = 1, 2, …)．若级数∑∞

n n v 收敛，则级数∑∞

n n u 收敛；反之，若级数∑∞=1

n n u 发散，则级数∑∞

n n v 发散．(证明) 推论：设

∑∞=1

n n u 和∑∞=1

n n v 都是正项级数，如果级数∑∞

n n v 收敛，且存在自然数N ，使当n ≥N 时有u n ≤kv n (k > 0)成立，则级数∑∞=1

n n u 收敛；如果级数∑∞

n n v 发散，且当n ≥N 时有u n

≥kv n

(k > 0)成立，则级数

∑∞

n n u 发散． 4．比较审敛法的极限形式：设

∑∞=1

n n u 和∑∞

n n v 都是正项级数， (1) 如果)0( lim +∞<≤=∞→l l v u n

n ，且级数∑∞=1n n v 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛； (2) 如果0lim >=∞→l v u n n n 或+∞=∞→n

n v u lim ，且级数∑∞=1n n v 发散，则级数∑∞=1n n u 发散．(证明)

5．比值审敛法(达朗贝尔判别法)：设

∑∞

n n u 为正项级数，如果 ρ=+∞→n

n n u u 1

lim

，

则当ρ < 1时级数收敛；ρ > 1(或+∞=+∞→n

n n u u 1

lim )时级数发散；ρ = 1时级数可能收敛也可能

发散．(证明)；

6．根值审敛法(柯西判别法)：设

∑∞

n n u 为正项级数，如果 ρ=∞

→n n n u lim ，

则当ρ < 1时级数收敛；ρ > 1(或+∞=∞

→n n n u lim )时级数发散；ρ = 1时级数可能收敛也可能

发散．(证明)；

7．极限审敛法：设

∑∞

n n u 为正项级数， (1) 如果0lim >=∞

→l nu n n (或+∞=∞

→n n nu lim )，则级数

∑∞

n n u 发散； (2) 如果p >1，而)0( lim +∞<≤=∞

→l l u n n p

n ，则级数

∑∞

n n u 收敛．(证明)

交错级数及其审敛法: 1．交错级数的概念：

2．莱布尼茨定理：如果交错级数∑∞

--1

)1(n n u n 满足条件：

(1) u n ≥u n + 1 (n = 1, 2, 3, …)； (2) 0lim =∞

→n n u

则级数收敛，且其和s ≤u 1，其余项r n 的绝对值|r n |≤u n + 1． (证明)

绝对收敛与条件收敛：

1. 绝对收敛与条件收敛的概念；

2. 定理：如果级数∑∞=1

n n u 绝对收敛，则级数∑∞

n n u 必定收敛．(证明)

一、教学要求和注意点（略）

前面所讲的常数项级数中,各项均可是正数,负数或零.正项级数是其中一种特殊情况.

如果级数中各项是由正数或零组成,这就称该级数为正项级数.同理也有负项级数.而负项级数每一项都乘以1-后即变成正项级数,两者有着一些相仿的性质,正项级数在级数中占有很重要的地位.很多级数的敛散性讨论都会转为正项级数的敛散性.

设

∑∞

n n

为一正项级数,n S 为其部分和.显然部分和序列{}n S 是一个单调上升数列.由

此不难得下面的定理. 定理: 正项级数

∑∞

=1n n

收敛?{}n S 有界.

证: “?”

∑∞

n n

收敛?{}n S 收敛?{}n S 有界.

“?” {}n S 有界,又{}n S 是一个单调上升数列?n n S ∞

→lim 存在?

∑∞

n n

收敛.

定理1(比较审敛法) 设

∑∞

=1n n

与

∑∞

n n

是两个正项级数,且n n u ν≤),3,2,1(Λ=n .那么

1) 如果

∑∞

=1n n

收敛,则

∑∞

=1n n

收敛.

2) 如果

∑∞

n n

发散,则

∑∞

=1n n

发散.

证: 设n S 和n σ分别表示

∑∞

n n

和

∑∞

n n

的部分和,显然由n n u ν≤?n S ≤n σ

(1)

∑∞

n n

收敛?n σ有界?n S 有界?

∑∞

n n

也收敛.

(2)

∑∞

n n

发散?n S 无界?n σ无界?

∑∞

n n

也发散.

推论: 设两个正项级数

∑∞

n n

与

∑∞

n n

,如果对于N n ≥(N 为某一自然数)的n ,恒成立不

等式n n k u ν≤(0>k 的常数),则利用级数的性质及定理1的证明方法仍可得定理1的结论. [例1]: 讨论p -级数 ΛΛ+++++

p p p n

131211的敛散性.其中常数0>p . 解 (1) 当1≤p 时,因n n p 11≥,而∑∞=11n n 发散, ∴∑∞

=11n p n

=ΛΛ+++++p p p n 1

31211发散

(2) 当1>p 时,对于任意实数),1[+∞∈x ,总存在自然数k ,使得

k x k <≤-1),3,2(Λ=k ,因此

p p x k 11≤,?dx x dx k k k k p k k p p ??--≤=11111),3,2(Λ=k , 于是 n S =p p p n

31211++++Λ

dx x dx x dx x n n p

p p ???-++++≤132211111Λ

dx x

1=1111--+-p n p <111-+p . 这表明n S 有上界,又{}n S 单调上升,故n n S ∞

→lim 存在?p -级数 ΛΛ+++++p

p p n 1

31211收敛.

综上所述,当1≤p 时,p -级数发散;当1>p 时p -级数收敛.

[例2] 若正项级数∑∞

=1n n a 收敛,则 (1) ∑∞

=+11n n n a a 收敛, (2)∑∞

=1n n n

a 收敛, (3)∑∞=12

n n

a 收敛.

证: (1)由

n n

n n a a a a =+≤+011, 由于正项级数∑∞

n n a 收敛,则由比较审敛法,知∑∞=+11n n n a a 收敛

(2))1

(21]1)[(21222n

a n a n a n n n +=+≤, 由于正项级数∑∞

n n

收

敛,∑∞

=121

n n 收敛,则∑∞

n n n a 收敛,