第七章二阶电路

当电路中含有两个独立的动态元件时，描述电路的方程为二阶微分方程，电路称为二阶电路。二阶电路过渡期的特性不同于一阶电路。用经典的方法分析二阶电路的步骤为：

（1）根据KVL ，KCL 及元件的VCR 写出以C u 或L i 为变量的二阶微分方程；（2）由(0)(0)C C u u -+=，(0)(0)L L i i -+=确定电路的初始状态，即得出

(0),

C C o du u dt

+或

(0),

L L o di i dt

+的值；

（3）求出二阶微分方程的两个特征根1,2p p ，根据的不同取值1,2p p ，确定方程的齐次通解（也是电路的零输入响应），一般分为三种情况：

()112p p ≠为两个不相等的实根（称过阻尼状态）

通解=1212p t p t

Ae A e +

()1,22p j δω=-±为共轭复根（称欠阻尼或衰减振荡状态）

通解=

sin()t Ae t δωβ-+ ()123p p p ==为相等实根（称临界状态）

通解=12()pt A A t e +

()4由激励源的函数形式确定方程的特解形式；

()5由初始条件，确定12,A A 或,A β等待定常数，得出确定的解。

二阶电路的重点是掌握其在过渡期的三种状态及物理过程。

7-1 电路如图所示，开关未动作前电路已达稳态，t=0时开关S 打。求

000(0),(0),

C L R C L du di di u i dt

++。

解：这是一个求二阶电路初始值的问题，求法与一阶电路类似。先求)0(-C u 和)0(-L i 。t<0时，电路处于稳态，把电容断开，电感短路，电路如题解图（a ）所示。由图（a ）得

663

1236//6312)0(=?=+?=

-c u

A 236

3)0()0(===

--C L u i

根据电容电压和电感电流的连续性，得

V 6)0()0(==-+C C u u

A 2)0()0(==-+L L i i

画出+0等效电路如题解图（b ）所示。由图（b ）可求得

A 166

126)0(12)0(=-=-=++C R u i

21)0()0()0(0-=-=-==++++

L R C C

i i i dt

du C

242411

)0(0-=-==

i dt

du C C

V/s

而 0

236)0(3)0()0(0=?-=?-==++++

L C L L

i u u dt

di L

所以（a ）（b ）题解7-1图

0(0==

L u dt

di L L

A dt du u dt d dt

di C

C R

/4)24(61

61)612(000=-?-=-=-=+

7-2

图

示

电

路

中

，

电

容

原

先

已

充

电

，

,6)0(0V U u C ==-R=2.5Ω,L=0.25H,C=0.25F 。试求（1）开关闭合后的);(),(t i t u C

（2）使电路在临界阻尼下放电，当L 和C 不变时，电阻R 应为何值。

解：（1）开关闭合后，电路的微分方程为

2=++C C

C u dt du RC dt u d LC

初始条件为 V u u C C 6)0()0(==-+

)0()0(0=-==+

-+dt

du C

i i C

L L

以上二阶齐次方程的特征方程为

012

=++RCp LCp 方程的特征根为

LC L R L R p 1

)2(22-±-=

525.025.01

)25.025.2(25.025.22±-=?-?±?-

即 835,23521-=--=-=+-=p p

为两个不相等的实根，电路处于过阻尼状态。

微分方程的通解为

t t p t p C e A e A e A e A t u 82212121)(--+=+=

带入初始值，得 0826

2121=--=+A A A A 解得 81=A 22-=A

所以

V e e t u t

t C 8228)(---= A e e dt du C

t i t t C

L )(4)(82---?=-=

（2）使电路在临界阻尼下放电，应满足

01)2(

2=-LC L R

即

Ω===225.025

.022

C L R

7-3 已知图示电路中H L F C k R 5.2,2,1==Ω=μ。设电容原先已充电，且

V u C 10)0(=-。在t=0时开关闭合。试求)(),(),(t u t i t u L C 以及S 闭合后的max i 。解：t>0后，电路的微分方程为

2=++C C

C u dt du RC dt u d LC

方程的特征根为

LC L R L R p 1

)2(22-±-=

4002001025.21)5.2210(5.22106

233j ±-=??-?±?-=-

即 4002001j p +-= 400

2002j p --=

1p 和2p 为一对共轭复根，故电路处于欠阻尼或衰减振荡。微分方程的通解为

t C

Ae t u δ-=)()()sin(t t εθω+

式中400=ω，200=δ，A 和θ为待定常数，由初始条件 V u u C C 10)0()0(==-+

)0(0=-=++

L C i dt

du C

解得 10)0(sin ==+C u A θ

cos sin 0==

+-+

du A A C θωθδ

即

?====435.632arctan 200400arctan arctan

δωθ

.1140020040010)()0(sin )0(2

222=+?=+==++ωδωθC C u u A

故

V t e t u t

C )435.63400sin(18.11)(200?+=- 当

t e t e L u dt du C

t i t t

C C 400sin 10)sin()0()(200--+==-=ωωδmA

)435.63400sin(18.11)sin()(200?--=--=--t e t Ae t u t t L θωδV

当0)()(==L t u dt t di L 时，即0=-θωt ，3

10768.2180400435.63-?=??==π

ωθt s 时，电流达最大值

142.5)310768.2400sin(103

768.2200max

=-??=-??-e i mA 7-4 图示电路中开关S 闭合已久，t=0时S 打开。求)(t u C ，)(t i L 。

解：t>0后,电路的微分方程为

22=++L L

L i dt di R L dt i d LC

特征方程为

012=++

p R L

LCp

解得特征根

LC RC RC p 1)21(212-±-

97.4910j ±-=

即 97.491097

.491021j p j p --=+-=

为两个共轭复根，所以电路为振荡放电过程，其方程的通解为

)sin()(θωδ+=-t Ae t i t L 式中10=δ，97.49=ω。根据初始条件 1)0()0(==-+L L i i A ，

00)0(==++dt di L

u L

可得 0cos sin 1

sin =+-=θωθδθA A A

解得

?====68.78997.4arctan 1097.49arctan arctan

δωθ

02.169.78sin 1

sin 1=?==

θA

故电感电流和电容电压分别为

)68.7897.49sin(02.1)(10?+=-t e t i t

L A

t e t e LA dt di L

t u t u t t L

L C 97.49sin 1.200sin )()(1022---=+-===ωωδδV

7-5 电路如图所示，t=0时开关S 闭合，设0)0(=-C u ，0)0(=-i ，L=1H ，C=1μF ，U=100V 。若：（1）电阻Ω=k R 3；（2）电阻Ω=k R 2；（3）Ω=200R 。试分别求在上述电阻值时电路的电流I 和电压C u 。

解：t>0后，电路的微分方程为

U u dt du RC dt u d LC C

C =++2

由题意知，电路的初始条件为

0)0()0(==-+C C u u ，

00)0(==++dt du C

i C

因此，这是一个求二阶电路零状态响应的问题。设)(t u C 的解答为 C C C u u u '''+=

式中C u '为方程的特解，满足V 100

'==U u C C u ''为对应的齐次方程的通解，其函数形式与特征根的值有关。根据特征方程

012=++RCp LCp

可得

LC L R L R p 1

)2(22-±-= （1）当Ω=3000R 时，有

36210)118.15.1(1011)123000(123000?±-=?-?±?-=-p

即 03.2618

97.38121-=-=p p 特征根为两个不相等的实数，电路处于非震荡放电过程，C u ''的形式为

t t C e A e A u 03.2618297.3811''--+=

根据初始条件，可得

)03.261897.381(d d )0(0

100)0('')0(')0(21021=--?===++===+

++++A A C t

u C

i A A u u u C

C C C

解得 17,11721=-=A A 所以电容电压 mA 17117100)(03.261897.381t t

C e e

t u ----=

（2）当Ω=2R 时，有

10001011)12102(12102623

3-=?-??±??-=-p

即 100021-==p p 电路处于临界阻尼情况。C u ''的形式为

C e t A A u 100021)(''-+=

根据初始条件可得

0100)0(1=+=+A u C 即 1001-=A

[]0

1000d d )0(120=-?==+

+A A C t

u C

i C C 即 5

210-=A

所以电容电压 V )10100(''')(10005t

C C C e

t u u t u -+=+= 电流i 为

A 100d d )(310t C

te t u C

t i -==

（3）当Ω=200R 时，有

995

j 1001011)12200(1220062±-=?-?±?-=-p 即 995j 1001+-=p 995j 1002--=p

为两个共轭复根，可知电路处于震荡放电过程，即欠阻尼情况。C u ''的形式为

0sin 100)0(''=+=+θA u C

[]0cos sin )0(=+-=+C A A i θωθδ

解得 ?

===26.84100995arctan arctan δωθ

.10026.84sin 100sin 100-=?-=-=θA

故电容电压为

)26.84995sin(5.100100''')(100?+-=+=-t e u u t u t

C C C 电流i 为

A sin 1.0 sin d d )(100 22t e t e CA t u C

t i t t C

ωωωδδ--=+==

7-6 图示电路中mH 6,3=Ω=L R ，F 1μ=C ，V 120=U ，电路已处稳态。设开关S 在t=0时打开，试求)(t u L 。

解：由题意可知电路的初始条件为 0)0()0(==-+C C u u

A 4312

d d )0()0(00===

==+

-+R U t

u C

i i C

L L

t>0后，电路方程为

2d d d d U u t u RC t u LC C C

C =++

设电容电压的解答为 C C C u u u '''+=

方程的特征根为 321091.12j 2501)2(2?±-=-±-=LC L R L R p

即 311091.12j 250?+-=p ， 3

21091.12j 250?--=p

为两个共轭复根，所以电路的响应为衰减震荡，即欠阻尼情况。对应齐次方程的

通解为) sin(''θωδ+=-t Ae u t C ，式中3109.12,250?==ωδ。根据初始条件，可得

[]4

cos sin d d )0(0sin 12)0('')0(')0(0=+-?===+=+=+

++++θωθδθA A C t

u C

i A u u u C

C C C

解得

.309)22.2sin(12sin 1222.2)039.0arctan(124arctan =?--=-=?

-=-=--=θδω

θA C

所以电容电压

V )22.21091.12sin(84.30912)(3

250?-?+=-t e t u t C 电流

A )1091.12sin(4 sin d d )(3250 22t e t e CA t u C

t i t t C

?-=+-==--ωωδδ

电感电压 V )22.21091.12sin(84.309

)

sin(4d d )(3250 22?+?=-+??==--t e t e L t

i L t u t t L θωωδδ 7-7 图示电路在开关S 打开之前已达稳态；t=0时，开关S 打开，求t>0时的C u 。

解：由图可知，t>0时

55550)0(=+=-L i V 255)0()0(=?=--L C i u 因此，电路的初始值为

V 25)0()0(==-+C C u u A 5)0()0(==-+L L i i t>0后电路的方程为

0d d )(d d 212

2=+++C C

C u t u C R R t u LC

其特征根为

19.139j 251)2()2(

2121±-=-+±+-=LC L R R L R R p

即 19.139j 251+-=p ，19.139j 252--=p

特征根为两个共轭复根，所以电路处于衰减震荡过程。电容电压为

) sin()(θωδ+=-t Ae t u t

C 式中19.193,25==ωδ。根据初始条件，可得

25sin )0(==+θA u C

[]5

cos sin d d )0(0=+-?-=-=+

+θωθδA A C t

u C

i C L

从中解得 ?-=-=?????

?????-=03.4)07.0arctan(51arctan C δωθ

.35503.4sin 25sin 25-===θA

故电容电压为

V )03.419.139sin(61.355)(25?--=-t e t u t

C 7-8 图示电路在开关S 动作前已达稳态；t=0时S 由1接至2，求t>0时的L i 。

解：由图可知，t>0时

V 4)0(=-C u ， 0)0(=-L i 因此，+=0t 时，电路的初始条件为

V 4)0()0(==-+C C u u 0

d d )0()0(0===+

-+t

u C

i i C

L L

t>0后，电路的方程为

6d d d d 2

2=++C C

C u t u RC t u LC

设)(t u C 的解为 C C C u u u '''== 式中C u '为方程的特解，满足V 6'=u

根据特征方程的根 2

j 11)2(22±-=-±-=LC L R L R p

可知，电路处于衰减震荡过程，，因此，对应齐次方程的通解为

) sin('')(θωδ+=-t Ae u t C

式中2,1==ωδ。由初始条件可得

4sin 6)0('')0(')0(=+===+++θA u u u C C C

[]0

cos sin d d )0(0=+-?==+

+θωθδA A C t

u C

i C

解得 236.2)43.63sin(64sin 6443.631

2arctan arctan -=?-=-=?

===δωθA

故电容电压

V )43.632sin(236.26''')(?+-=+=-t e u u t u t C C C 电流

A 2sin sin d d )( 22t e t e CA t u C

t i t t C

L =+==-ωωδ

7-9 图式GLC 并联电路中，已知A 2)0(,V 1)0(==++L C i u 。求t>0时的L i 。

解：由题意知，电路的初始值为

A 2)0( ,V 1)0(==++L C i u 这是一个求二阶电路的零输入响应的问题。电路的微分方程为

22=++L L L i dt di

GL dt i d LC

特征根方程为012

=++GLp LCp

则

5.05.11)2(22±-=-±-

=LC C G C G p

即 2,121-=-=p p

为两个不相等的负实根，所以电路处于非振荡过程，即过阻尼情况，L i 的通解为 t t t p t

p L e A e A e A e A t i 2212121)(--+=+=

代入初始条件有

)2()0()0(2)0(21021=--?====+=+

+++A A L dt

di L

u u A A i L L C L

解得 3,521-==A A

故电感电流为 A e e t i t

t L 235)(---=

7-10 图示电路中 F C H L S G 1,25.0,5===。求：（1）A t t i s )()(ε=时，电路的阶跃响应L i ；（2）A t t i s )()(δ=时，电路的冲激响应C u 。

解：当)()(t t i s ε=时，电路的初始值为0)0(,0)0(==++L C i u t>0后，电路的方程为

L L L i i dt di

GL dt i d LC =++22

设'

"',)(L L L L

i i i t i +=为方程的特解，满足)('t i i s L ε==

根据方程的特征根

5.15.21)2(22±-=-±-

=LC C G C G p

即 4,121-=-=p p

为两个不相等的负实根，可得对应的齐次方程的通解为

t t t p t p L e A e A e A e A i 42121"

21--+=+=

代入初始条件，有

01)0()0()0(21"'=++=+=+++A A i i i L L L 0

)4(25.0)0(210=--?==+

+A A dt

di L

u C

解得

31,3421=

-=A A 故电感电流为 A

t e e t i t t L )()31

341()(4ε--+-=

（2）当A t i s )(δ=时

解法一：利用冲激响应和阶跃响应之间的关系，对（1）中结果求导得

e e e e dt di L t u t u A e e t h t i t t t t L L C t t L 44434313163425.0)()(3

434)()(------+-=???

???+-?===-=

= 解法二：在t=0时，电路的方程为

)

(22t i dt di

GL dt i d LC L L L δ=++

把上式在-=0t 到+0区间积分，得

[]1

)0()0()(0000=+-+-?+

-+dt i i i GL dt

di dt di

LC L L L L L

根据L i 是连续函数及零状态条件，0

)0(,0)0(0===-

--dt

di u i L C L 可得

0=+

di LC

即 4

125.0110=?==+

LC dt

di L

说明在-=0t 到+0间隔内冲激响应是由次电容储能所产生的。

t>0后，电路的方程为 0

22=++L L L i dt di

GL dt i d LC

解答为 t

t L e A e A t i 421)(--+-=

代入初始条件，有 0)0(21=+=+A A i L

4210=--=+

A A dt

di L

解得

341=A ， 34

2-=A 故电感电流为

t t L e e t i 43434)(---=

V 34

31)(4t t L C e e dt di L

t u --+-==

7-11 当)(t u s 为下列情况时，求图示电路的响应: （1） V )(10)(t t u s ε= （2） V )(10)(t t u s δ=

解：（1）当时，电路的初始条件为0)0()0(==-+L L i i ；

0)0()0(==-+C C u u

0≥t 时，电路的方程为

)(10d d d d 2

2t u u t u R L t u LC s C C

C ε==++

设C u 的解答为 C C C C u u u t u ',''')(+=为方程的特解，满足)(10't u C ε=。根据方程的特征根

j 211)21(212±-=-±-

=LC RC RC p

为两个共轭复根，可得对应的齐次方程的通解为

) sin('' θωδ+=-t Ae u t C

式中

,21

=ωδ.由初始条件可确定A 和θ。即

0sin 10)0('')0(')0(=+=+=+++θA u u u C C C

0)cos sin ()

0(d d )0(0=+-?=+

=+++

θωθδA A C R u t

u C

i C C L

解得

===603arctan arctan

320

60sin 10sin 10-=?-=-

=θA

则电路的响应

V )6023

sin(

2010)(2

?+-

t e

t u t

(2) 当)(10)(t t u s ε=时，利用冲激响应和阶越响应的关系，对（1）中结果求导。

得

V )23

sin(

20 sin )()(2

2 t e

t Ae

t u t h t

C -

+==ωωδδ

7-12 图示并联电路中，在t=0时开关1S 由位置1接至位置2，2S 由位2置接至位置1。已知H 2,F 1.0,5A, 5,A 121==Ω===L C R i i s s 。求t ≥0时的)(t i L .。

解：由图示可解得初始值为

A 1)0()0(==-+L L i i 0)0()0(==-+C C u u

0≥t 后，电路的方程为

22d d d d s L L

L i i t I R L t i LC =++

设L i 的解答为 L L L i i t i ''')(+=

L i '为方程的特解，满足 A 5'2==s i i ，根据方程的特征根

j211)21(212±-=-±-

=LC RC RC p

为两个共轭复根，说明电路的过渡过程属于震荡性质，对应齐次方程的通解为

) sin('' θωδ+=-t Ae i t

式中2,1==ωδ，由初始条件可以确定A 和θ，既有

1sin 5)0('')0(')0(=+=+=+++θA i i i L L L

)cos sin (d d )0()0(0=+-?===+

++θωθδA A L t

i L

u u L L C

从中可以解得

?===435.6312

arctan arctan

δωθ

472.4435.63sin 4sin 51-?-=-=

θA

故电路的响应)(t i L 为

A )435.632sin(472.45)(+-=-t e t i t

第七章 二阶电路

第七章二阶电路