高中不等式知识点+习题

不等式总结

一、不等式的主要性质：(举例子验证)

(1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>,

(3)加法法则：c b c a b a +>+?>（同加c ）； d b c a d c b a +>+?>>,（大+大>小+小） (4)乘法法则（变不变号）：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0,

bd ac d c b a >?>>>>0,0

(5)倒数法则：b

a a

b b a 1

10,

>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且

二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法

0>?

0=?

0

c bx ax y ++=2

（0>a ）的图象

)

)((212x x x x a c

bx ax y --=++=

)

)((212x x x x a c bx ax y --=++=

c bx ax y ++=2

一元二次方程

()的根

00

2>=++a c bx ax

有两相异实根 )(,2121x x x x <

有两相等实根

a

b x x 221-== 无实根

的解集)0(02>>++a c bx ax

{}21x x x x x

><或 ????

??-≠a b x x 2

R

的解集

)0(02><++a c bx ax

{}21x x x x

<<

?

?

注意：一般常用求根公式法求解一元二次不等式

顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于取两边，小于取中间 三、均值不等式

1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么

).""(2

号时取当且仅当==≥+b a ab b

a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、“三相等（非常重要）” 四、含有绝对值的不等式

1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 ，例如 |4||2|-+-x x 的最小值为___________（答案：2） 2、分类讨论思想

则不等式：如果,0>a

a x a x a x -≤≥<=>≥或||（公式）

a x a a x <<-<=><||（公式）

如果0≤a ，则不等式：

<=>≥a x ||R <=>

x ||Φ

3． 当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +

当0c <时，||ax b c x R +>?∈，||ax b c x φ+>+c b ax || <=><+c b ax ||

4、解含有绝对值不等式的主要方法：公式法 步1：是否需对a 分类讨论

步2：套用公式 || (0)x a a a x a <>?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． 练习1：4332+<+x x 832≥+x 练习2：a x <+32 a x ≥-32

五、其他常见不等式形式总结：

①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

()()0()

()

0()()0;0()0

()

()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? ②无理不等式：转化为有理不等式求解（利用x y =的单调性）

()0()0()()f x g x f x g x ?≥?

???>≥??

?>?

定义域

???<≥?????>≥≥?>0)(0)()]

([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或

?????<≥≥?<2

)]

([)(0

)(0

)()()(x g x f x g x f x g x f ③指数不等式：转化为代数不等式（利用x a y =的单调性）

()()()()()

(1)()();(01)()()

(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a

b a b f x a b

>>?>><>>??>

④对数不等式：转化为代数不等式（利用x y a log =的单调性）

()0

()0log ()log ()(1)()0;

log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>???

?>>?>><????>

?

六、零点分段法（两个绝对值的情况） 例题：求解不等式：|21||2|4x x ++->．

提示：先求出两个根，假设12x x >，分类讨论（三种情况） 解：①当2x x ≥时，。。。。。。 ②当21x x x <<时，。。。。。。 ③当1x x ≤时，。。。。。。 综上，解集为。。。。。。

练习试题

1．下列各式中，最小值等于2的是（ ）

A ．x y y x +

B ．4

522++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+

2.函数46y x x =-+-的最小值为（ ） A ．2 B ．2 C ．4 D ．6 3．不等式3529x ≤-<的解集为（ ）

A ．[2,1)

[4,7)- B ．(2,1](4,7]- C ．(2,1][4,7)-- D ．(2,1][4,7)-

4、设,,a b c R ∈,且a b >,则（ ）

A ．ac bc >

B ．

11a b

< C ．22

a b >

D ．33

a b >

5、下列选项中,使不等式x<错误!未找到引用源。<2

x 成立的x 的取值范围是（ ）

A ．(错误!未找到引用源。,-1)

B ．(-1,0)

C ．（0,1)

D ．(1,+错误!

未找到引用源。)

6、不等式

021

x

x <-的解为_________. 7、若变量y x ,满足约束条件??

?

??≥≥≤+012y x y x ,则y x z +=2的最大值和最小值分别为（ ）

A ．4和3

B ．4和2

C ．3和2

D ．2和0

8、设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥??

+-≥??≤?

，则23z x y =-的最小值是（ ）

（A ）7- （B ）6- （C ）5- （D ）3-

9、设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-?-≤?

???

则目标函数2z y x =-的最小值为（ ）

A ．-7

B ．-4

C ．1

D ．2

10、在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组2360

200x y x y y +-≤??

+-≥??≥?

所表示的区域上一动点,则直线OM 的最小

值为_______

11、若122=+y

x ,则y x +的取值范围是（ ）

A ．]2,0[

B ．]0,2[-

C ．),2[+∞-

D ．]2,(--∞

12、已知函数()4(0,0)a

f x x x a x

=+

>>在3x =时取得最小值,则a =_________