最新第十一章-恒定电流的磁场(一)-作业及参考答案-

一.选择题:

1．（基础训练1）［D ］载流的圆形线圈(半径a1)

与正方形

线圈(边长a2 )通有相同电流I．若两个线圈的中心O1、O2处的磁

感强度大小相同，则半径a1与边长a2之比a1∶a2为

(A) 1∶1 (B) π2∶1

(C) π2∶4 (D) π2∶8

提示

()

8

2

,

,

2

2

135

cos

45

cos

2

4

4

,

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

π

π

μ

π

μ

μ

=

=

=

-

?

?

?

=

=

a

a

B

B

a

I

a

I

B

a

I

B

o

o

o

o

得

由

2．(基础训练3)［B ］.有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a，厚度不计，电流I

在铜片上均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b处的P点(如

图)的磁感强度B

的大小为

(A)

)

(

2

b

a

I

+

π

μ

．(B)

b

b

a

a

I+

π

ln

2

μ

．

(C)

b

b

a

b

I+

π

ln

2

μ

．(D)

)

2

(

b

a

I

+

π

μ

．

提示：

b

b

a

a

I

r

dr

a

I

r

r

dI

dB

dr

a

I

dI

a

b

b

+

=

=

=

=

=

=

?

?

?

+

ln

2

2

2

dI

B

B

B,B

d

B

,

2

P

,

)

(

dr

r

P

π

μ

π

μ

π

μ

π

μ

的大小为：

，

的方向也垂直纸面向内

据

方向垂直纸面向内；根

处产生的

它在

，电流为

导线

相当于一根无限长的直

的电流元

处选取一个宽度为

点为

在距离

3. .(基础训练4)［D ］如图，两根直导线ab和cd沿半径方向被接

到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流I从a端流入而从d端流出，

则磁感强度B

沿图中闭合路径L的积分??

L

l

B

d

(A) I0μ．(B) I0

3

1

μ．

(C) 4/

I

μ．(D) 3/

2

I

μ．

提示

?

∑

?

=

?

∴

=

-

=

=

∴

=

=

=

?

L

L

I

l d

B

I

I

s

l

I

I

s

l

I

s

l

I

I

I

l d

B

3

2

3

2

2

)

(

R

R

R

I

R

I

1

1

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

1

L

μ

ρ

ρ

ρ

μ

μ

得

为两条支路的电阻。

，

，其中

，而

内

4. 自测提高7［C ］如图，正方形的四个角上固定有四个电荷量均为q 的点电荷．此正方形以角速度ω 绕AC 轴旋转时，在中心O 点产生的磁感应强度大小为B 1；此正方形同样以角速度ω 绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感应强度的大小为B 2，则B 1与B 2间的关系为

(A) B 1 = B 2． (B) B 1 = 2B 2．

(C) B 1 =

2

1

B 2． (D) B 1 = B 2 /4． 提示： 设正方形边长为a ,)2

2

(a b b OC AO =

==式中， 两种情况下正方形旋转时的角速度ω 相同，所以每个点电荷随着正方形旋转时形成的等效电流相同， 为 π

ω

2q I =

当正方形绕AC 轴旋转时，一个点电荷在O 点产生的磁感应强度的大小为b

I

B 20μ=

，实际

上有两个点电荷同时绕AC 旋转产生电流，在O 点产生的总磁感应强度的大小为

b I

b

I

B B 001222μμ=

?

==

同理，当正方形绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感应强度的大小为

b

I

b I

B B 0022244μμ=

?

== 故有122B B =

5. 附录C 2［ B ］有一半径为R 的单匝圆线圈，通以电流I ，若将该导线弯成匝数为2=N 的平面圆线圈，导线长度不变，并通以同样的电流，则线圈中心的磁感应强度和磁矩分别是原来的：

(A) 4倍和1/8 (B) 4倍和1/2 (C) 2倍和1/4 ． (D) 2倍和1/2

提示：由半径为R 的单匝线圈弯成匝数为2=N 的线圈以后，每一个线圈的半径变为

R r 2

1

=，故磁感应强度变为原来的4倍，磁矩变为原来的1/2，总的变化为4倍和1/2

二. 填空题

6.（基础训练11）均匀磁场的磁感强度B 与半径为r 的圆形平面的法线n

的夹角为α ，今以圆周为边界，作一个半球面S ，S 与圆形平

面组成封闭面如所示．则通过S 面的磁通量Φ = απcos 2

B r -。

提示：根据磁场的高斯定理，通过S 面的磁通量数值上等于通过圆平

面的通量。当题中涉及的是封闭曲面时，面的法向方向指向凸的一面，因此通过S 面的磁通量为负值。

C q

7.（基础训练12）一长直载流导线，沿空间直角坐标Oy 轴放置，电流沿y 正向．在原

点O 处取一电流元l I d ，则该电流元在(a ，0，0)点处的磁感强度的大小为 204a

Idl

πμ

方向为Z 轴负方向

提示： 根据毕奥-萨伐尔定律 k a Idl a i j Idl r

e l Id B r

2

02020444πμπμπμ-=?=?=

8.（基础训练18）将半径为R 的无限长导体薄壁管(厚度忽略)沿轴向割去一宽度为h ( h << R )的无限长狭缝后，再沿轴向流有在管壁上均匀分布的电流，其面电流密度(垂直于电流的单位长度截线上的电流)为i ，则管轴线磁感强度的大小是

R

ih

πμ20. 提示： R

ih

πμ20 利用填补法思想

9．（自测提高13）、一半径为a 的无限长直载流导线，沿轴向均

匀地流有电流I ．若作一个半径为R = 5a 、高为l 的柱形曲面，已知此

柱形曲面的轴与载流导线的轴平行且相距3a (如图所示)．则B

在圆柱

侧面S 上的积分 =???S

S B

d ______0______．

提示：根据无限长直载流导线产生磁场的对称性，其产生磁场的磁感应线穿入侧面的根数（磁通量为负）与穿出的根数（磁通量为正）相同，代数和为零。

10．（自测提高16）如图所示．电荷q (>0)均匀地分布在一个半径为R 的薄球壳外表面上，若球壳以恒角速度ω 0绕z 轴转动，则沿着z 轴从－∞到＋∞磁感应强度的线积分等于

π

ωμ200q

提示： 由安培环路定理 ????+∞∞

-=l B l B

d d I 0μ=

而 π

=20

ωq I ， 故

??+∞

∞

-l B d =π200q

ωμ

11.（基础训练17）一质点带有电荷q =8.0×10-10 C ，以速度v =3.0×105 m ·s -1在半径

为R =6.00×10-3 m 的圆周上，作匀速圆周运动．该带电质点在轨道中心所产生的磁感强度B

=__6.67×10-7（T ），该带电质点轨道运动的磁矩p m =_7.2×10-7（Am 2）___．(μ0 =4π×10-

7

H ·m -1)

提示： 2

;42,22

00qvR

IS p R

qv

R

I

B R

qv

T q I m =

==

=

==πμμπ等效的圆电流，

三.计算题

12． （基础训练21）一根无限长导线弯成如图形状，设各线段都在同一平面内(纸面内)，其中第二段是半径为R 的四分之一圆弧，其余为直线．导线中通有电流I ，求图示中O 点处的磁感应强度． 解: B 1=B 4=0 方向垂直纸面向里

方向垂直纸面向里

方向垂直纸面向里

13．（基础训练23）. 如图所示，半径为R ，线电荷密度为λ (>0)的

均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度ω 转动，求轴线上任一点的B

的大小及其方向．

解: 圆线圈的总电荷 λπR q 2= ,转动时等效的电流为

λωω

πλπR R T q I ===

/22， 代入环形电流在轴线上产生磁场的公式得

2

/32230)(2y R R B B y +=

=ωλ

μ 方向沿y 轴正向。

14.（基础训练25）. 一无限长的电缆，由一半径为a 的圆柱形导线和一共轴的半径分别为b 、c 的圆筒状导线组成，如图所示。在两导线中有等值反向的电流I 通过，求： (1)内导体中任一点(r

(3)外导体中任一点(bc)的磁感应强度。

R I R I B 8412002

μμ=?=R

I R I B πμπμ2)135cos 45(cos 42003=

?-?=R I R I B B B B B πμμ280

04321+=+++=

解：用安培环路定理?∑=?L

L l d B 内

求解I 0μ

。磁感应强度的方向与内导线的电流成

右手螺旋关系。其大小满足：

∑=内

L r B I 20μπ （r 为场点到轴线的距离）

(1)2

02

20

2,2

:a Ir

B r a

I r B a r πμππμπ=

∴=?< (2)I r B b r a 02 :μπ=<<， r

I

B πμ20=

∴ (3)???

?

??---=<

(4)0B 02 :=∴=?>，r B c r π

15.（自测提高24）在氢原子中，电子沿着某一圆轨道绕核运动．求等效圆电流的磁矩m p

与电子轨道运动的动量矩L 大小之比，并指出和L 方向间的关系．(电子电荷为e ，电子

质量为m )

解：设电子绕核运动的轨道半径为R ，匀速圆周运动的速率为v 。

核外电子绕核运动等效的圆电流为 R ev v

R e I ππ22== 电流的磁矩 2

22evR

R R ev IS P m =

?==ππ 电子轨道运动的动量矩 mvR L =

可见 m

e

L P m 2= 两者的方向相反

16．（自测提高26）在一半径R =1.0 cm 的无限长半圆筒形金属薄片中，沿长度方向有横截面上均匀分布的电流I = 5.0 A 通过．试求圆柱轴线任一点的磁感强度．(μ0 =4π×10-

7

N/A 2)

解：如图所示，在1/2圆筒上取d l 段，其中电流为

π=π=π=

θ

θd d d d I R IR R l I I 在P 点 （轴） θμθμμd d 22d d 2000

R

I

I R R I B 2π=π?π=π= 选坐标如图

R I B x 20d sin d 2π-=

θθμ, R

I B y 2

0d cos d 2π=θ

θμ

?π

2π-=0

20d sin θθμR I B x R I 20π-=μ

0d cos 0

2

0=2π=

?π

θθμR

I

B y 即半圆筒电流关于Y 轴对称，所以在P 点产生的总的磁感应强度 为：

Y 方向的矢量和为零;

X 方向的合磁感应强度为： T R

I B 5

2

01037.6-?-=-

=πμ 方向沿负X 轴

［附加题］

17．（基础训练26）均匀带电刚性细杆AB ，线电荷密度为λ，绕垂直于直线的轴O 以ω 角速度匀速转动(O 点在细杆AB 延长线上)．求：

(1) O 点的磁感强度0B

；

(2) 系统的磁矩m p

；

(3) 若a >> b ，求B 0及p m ．

解：（1）将带电细杆分割为许多电荷元。在距离o 点r 处选取长为dr 的电荷元，其带电 dr dq λ=该电荷元随细杆转动时等效为圆电流为：

dr dq T dq dI π

ωλ

ωπ2/2===

它在O 点产生的磁感应强度为

方向垂直于纸面向内。,42000dr r r dI

dB πωλ

μμ=

=

根据?=00B d B

，0B 的方向也是垂直于纸面向内，0B 的大小为

a

b

a dr r B b

a a

o +==∴?

+ln 4400πωλμπωλμ （2） dq 所等效的圆电流dI 的磁矩为dr r SdI dp m π

λω

π22

==,方向垂直于纸面向内； 根据?

=m m p d p

，m p 的方向也是垂直于纸面朝内，m p

的大小为

()[]

332

6

2a b a dr r p b

a a

m -+=

=∴?

+ωλ

πλωπ （3）a>>b 时，AB 杆可近似看作点电荷：电量为b λ，等效的圆电流：π

ω

λ2b I =

在o 点产生的磁感应强度为

a

b

a

I

B πωλμμ4200=

=

∴ 系统的磁矩 2

222b

a a

b IS p m ωλππωλ===∴ 18. （自测提高28）用安培环路定理证明，图中所表示的那种不带边缘效应的均匀磁

场不可能存在．

【证明】：用反证法.

假设存在图中那样不带边缘效应的均匀磁场，并设磁感强度的大小为B ．作矩形有向闭合环路如图所示，其ab 边在磁场内，其上各点的磁感强度为B ，cd 边在磁场外，其上各点的磁感强度为零．由于环路所围的面积没有任何电流穿过，因而根据安培环路定理有：

0d ==??ab B l B L

因 0≠ab ．所以 B = 0，这不符合原来的假设．故这样的磁场不可能存在．