年山东春季高考数学试题及详解答案

山东省2015年普通高校招生（春季)考试

数学试题

注意事项:

１.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分120分，考试时间１20分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01．

第Ⅰ卷（选择题,共60分)

一、选择题（本大题２０个小题，每小题３分，共60分．在每小题列出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将符合题目要求的选项字母选出,填涂在答题卡上)

1.若集合A ＝{1，2，3},B ＝{1,３｝,则 A ∩B 等于( ) (Ａ）{1，２,３} ?（B ）{1，３} ??（C ）?{１，2｝?(D){2}

2.｜x －1|＜5的解集是( ） （A ）(-6，4) ?

?

（B)（-4,6）

(C) (－∞, －6）∪(4, ＋∞）??(D ）(－∞, －4 )∪（6，+∞)

3.函数ｙ＝＼r(x ＋１) +错误!的定义域为（ ） (A ）{x | ｘ≥-1且x ≠0} ? ? （Ｂ){ｘ｜ｘ≥-１} （C){x x >－1且x ≠0}

?

(D ）{ｘ|x >-1}

4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的 （A)充分不必要条件 ?? （Ｂ）必要不充分条件 (C ）充要条件

???(D)既不充分也不必要条件

５．在等比数列｛ａn }中,a 2=1,a 4=3，则a 6等于（ ) (Ａ)－5???（Ｂ）5 ??（Ｃ)-９? ?（D ）9

6.如图所示,M 是线段ＯB 的中点,设向量＼o (→,OA )=→ａ→

为（ )

(A ）→，ａ ＋ 错误!错误!??（B ） －错误! + 错误!错误! ?? (C)＼o (→,ａ） - 错误!错误!?

（D ）－错误! － 错误!错误!

7．终边在y 轴的正半轴上的角的集合是（ ） （A ）{x |x ＝π

2+２ｋπ,k ∈Z } ??（B ）{x |ｘ＝错误!+ｋπ｝

(C ）{x |x ＝-π

2

+2k π，k ∈Ｚ }

? （D){ｘ|x ＝-错误!＋k π，k ∈Z }

8．关于函数y =-x ２

+2ｘ,下列叙述错误的是( ） （Ａ)函数的最大值是1

?

（B ）函数图象的对称轴是直线x =1

（Ｃ）函数的单调递减区间是［-1,+∞) （D ）函数图象过点（2,０)

９.某值日小组共有5名同学,若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生,其余2名同学负责教室外的走廊卫生,则不同的安排方法种数是（ ) （A)１0??

(B)2０ ??

(C ）60

?

(D ）10０

1０.如图所示,直线l 的方程是( ） (Ａ）错误!x －y -错误!＝0

(B ）错误!x －２ｙ-错误!＝0

(C ）错误!x －３y －１=0

?(D ）x -错误!y -1=0

11.对于命题ｐ,ｑ，若ｐ∧ｑ为假命题”,且p ∨q 为真命题，则（ ） (A ）p ,q 都是真命题

?（B ）p ，q 都是假命题? （C ）p ，q 一个是真命题一个是假命题 (Ｄ)无法判断

１2．已知函数f (x )是奇函数，当ｘ>0时，f （x ）＝x 2+2，则f （-1)的值是（ ） (A ）-3 ?

(Ｂ)－1

?(C ）1?? （D ）3

13．已知点P (ｍ，-２）在函数y ＝log 错误! ｘ的图象上,点Ａ的坐标是（4,3）,则︱错误!︱的值是( ) （A ）＼ｒ(１0) ?(B ）2错误!?? (C ）６错误!? ?(D ）5错误!

14.关于ｘ,ｙ的方程x 2+m ｙ2=１，给出下列命题:

①当ｍ<0时，方程表示双曲线;②当m =0时,方程表示抛物线；③当0＜m <1时，方程表示椭

圆;④当m =１时，方程表示等轴双曲线;⑤当m ＞1时，方程表示椭圆。 其中，真命题的个数是( )

（Ａ)2 ??(B ）3???(Ｃ）4?? （D ）5

１5．(1－x )5的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是( ） （A ）0?(B ）-1?（C)-32??(Ｄ)32

16．不等式组错误!表示的区域（阴影部分）是（ ）

１7.甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览,约定每人从泰山、

孔府这两处景点中任选一处,则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（ ） （Ａ）错误!

?（Ｂ）错误! ???（Ｃ)错误! ???(D ）错误!

1８.已知向量错误!＝(co ｓ错误!，sin 错误!),错误!=(cos 错误!，ｓi ｎ错误!)，则错误!·错误!等于( )

(A)1

２ ?（Ｂ） 错误!

（C)1? (Ｄ）0

19.已知α,β表示平面, m ，n 表示直线,下列命题中正确的是（ ) (Ａ）若m ⊥α, ｍ⊥ｎ,则n // α (B)若 m ?α?, ｎ?β, α／/β，则 m /／n (C)若α／/β?,m ?α,则ｍ/／β （D ）若ｍ?α?， n ?α,m /／β,ｎ／/β ,则α/／β

20.已知F １是双曲线错误!－错误!=１(a ＞0，b ＞０)的左焦点，点Ｐ在双曲线上,直线P F 1与x 轴垂直,且︱P F 1︱=a ，则双曲线的离心率是( ) (Ａ）错误!?? （B)错误!?

（C ）2

(D)3

第Ⅱ卷(非选择题,共６０分)

二、填空题（本大题共５个题,每小题4分，共20分,请将答案填在答题卡上相应

（C ） （D ）

题号的横线上)

21.直棱柱的底面是边长为a的菱形,侧棱长为ｈ，则直棱柱的侧面积是___＿____．

22.在△ABＣ中，∠A=105?，∠Ｃ＝45?,AB=2错误!, BＣ等于____＿___.

2３.计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查,拟采用系统抽样方法,为此将他们逐一编号为1～５0０,并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是２,则从第五个号码段中抽出的号码应是＿___＿＿__.

24.已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆x２＋mｙ２－６m-7＝０的圆心重合,长轴长等于圆的直径,则短轴长等于____＿＿__.

25.集合M,Ｎ,Ｓ都是非空集合,现规定如下运算:

M⊙N⊙S={x｜x∈（M∩N)∪(N∩S)∪(Ｓ∩Ｍ)，且x? M∩Ｎ∩S }.

若集合A＝{x|a

计算Ａ⊙Ｂ⊙C=__＿_＿_____＿_＿____＿_＿_＿＿_＿_______＿____．

三、解答题（本大题共５个小题,共４0分,请在答题卡相应的题号处写出解答过程）26．（本小题6分)某学校合唱团参加演出,需要把120名演员排成5排，并且从第二排起,每排比前一排多３名，求第一排应安排多少名演员。

27．（本小题８分)已知函数ｙ＝２sin(２x+φ)，x∈Ｒ,0<φ＜错误!，函数的部分图象如

图所示,求Array（1）函数的最小正周期T及φ的值；

（2）函数的单调递增区间。

28.（本小题８分）已知函数ｆ（x)＝ａ错误!(a＞0且a≠１)在区间[-２,4]上的最大值是16，（1）求实数a的值;

（２)若函数ｇ(x)=ｌog2(x2-3x+2a)的定义域是R，求满足不等式log2（１－2ｔ)≤１的实数t的取值范围.

29．（本小题9分)如图所示,在四棱锥Ｓ－ABCD中,底面ABCD是正方形，平面ＳAＤ⊥平面ABCD,SA=SD＝2,AB=３.

(1)求SA与ＢC所成角的余弦值;

(2）求证：AＢ⊥SＤ．

S

30.(本小题9分）已知抛物线的顶点是坐标原点O ,焦点F 在x 轴的正半轴上,Q 是抛物线上的点,点Q 到焦点Ｆ的距离为1，且到y 轴的距离是3

8

(1)求抛物线的标准方程;

（2)若直线l 经过点M （3，1)，与抛物线相交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ,求直线l 的方程．

答案 1．【考查内容】集合的交集 【答案】B

2.【考查内容】绝对值不等式的解法 【答案】Ｂ

【解析】1551546x x x -

【解析】10x +且0x ≠得该函数的定义域是{}10x x

x -≠且．

4．【考查内容】充分、必要条件 【答案】C 【解析】“圆心到直线的距离等于圆的半径”?“直线与圆相切”，“直线与圆相切” ?“圆心到直线的距离等于圆的半径”． ５．【考查内容】等比数列的性质 【答案】D 【解析】24

2

3a q a =

=,2649a a q ==． ６. 【考查内容】向量的线性运算 【答案】B

【解析】1

2

AM OM OA b a =-=-. 7．【考查内容】终边相同的角的集合 【答案】A

【解析】终边在y 轴正半轴上的角的集合是2,2x k k ?π?

+π∈????

Z 8．【考查内容】二次函数的图象和性质 【答案】C

【解析】222(1)1y x x x =-+=--+，最大值是1,对称轴是直线1x =,单调递减区间是[1,)+∞,（２，0）在函数图象上. 9.【考查内容】组合数的应用 【答案】A

【解析】从5人中选取3人负责教室内的地面卫生，共有35C 10=种安排方法.(选取3人后剩下2名同学干的活就定了)

1０【考查内容】直线的倾斜角,直线的点斜式方程 【答案】D

【解析】由图可得直线的倾斜角为30°，斜率3

tan 30k ==，直线ｌ与x 轴的交点为（1，

0），由直线的点斜式方程可得ｌ:01)y x -=

-,即10x -=. 11. 【考查内容】逻辑联结词 【答案】Ｃ

【解析】由p q ∧是假命题可知p ,ｑ至少有一个假命题，由p q ∨是真命题可知p ,q 至少有一个真命题,∴p ,q 一个是真命题一个是假命题 12．【考查内容】奇函数的性质 【答案】A

【解析】2(1)(1)(12)3f f -=-=-+=-

1３.【考查内容】对数的运算,向量的坐标运算,向量的模 【答案】D

【解析】∵点(,2)P m -在函数13log y x =的图象上，∴2131

log 2,()93m m -=-==，∴P 点坐标为

(9,2)-,(5,5),52AP AP =-=．

１４．【考查内容】椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，等轴双曲线的概念

【答案】B 【解析】当0m <时,方程表示双曲线;当0m =时,方程表示两条垂直于x 轴的直线；当01m <<时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆;当1m =时，方程表示圆;当1m >时，方程表示焦点在ｘ轴上的椭圆.①③⑤正确． １5．【考查内容】二项式定理 【答案】D

【解析】所有项的二项式系数之和为012345

555555C C C C C C 32+++++=

1６【考查内容】不等式组表示的区域 【答案】C

【解析】可以用特殊点(０,０)进行验证:0010-+>，0030+-<,非严格不等式的边界用虚线表示，∴该不等式组表示的区域如C 选项中所示. 17.【考查内容】古典概率 【答案】D

【解析】甲、乙两位同学选取景点的不同种数为224?=，其中甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的种数为2,故所求概率为214

2

=

18.【考查内容】余弦函数的两角差公式,向量的内积的坐标运算 【答案】A 【解析】1sin

cos cos sin sin 1212121262

a b πππππ=+== １９.【考查内容】空间直线、平面的位置关系

【答案】C 【解析】A ． 若m α⊥,m n ⊥，则n α或n 在α内；Ｂ. 若m α?，n β?,αβ，则m n 或m 与n 异面；Ｄ. 若m α?，n α?,m β,n β，且m 、n 相交才能判定αβ;根据两平面平行的性质可知C 正确． 2０．【考查内容】双曲线的简单几何性质 【答案】A

【解析】1F 的坐标为(,0)c -,设P 点坐标为0(,)c y -，2

2022()1y c a b --=，解得2

0b y a

=，

由1PF a

=可得2

b a a

=，则a b =

21

． 【考查内容】直棱柱的侧面积 【答案】4a ｈ

２2.【考查内容】正弦定理 【解析】由正弦定理可知,

sin sin AB BC

C A

=

,sin sin1056sin AB A BC C ===

2３.【考查内容】系统抽样 【答案】42

【解析】从500名学生中抽取5０名，则每两相邻号码之间的间隔是10，第一个号码是2,则第五个号码段中抽取的号码应是241042+?= 24.【考查内容】椭圆的简单几何性质

【答案】【解析】圆22670x y x +--=的圆心为（３,0)，半径为4,则椭圆的长轴长为8，即3,4c a ==，

b =则短轴长为

2５.【考查内容】不等式的基本性质,集合的交集和并集 【答案】{}x c x

e b

x d <<或

【解析】∵a b c d +<+,∴a c d b -<-；∵a b c d -=-，∴a c b d -=-；∴b d d b -<-,b d <;同理可得d f <，∴b d f <<.由①③可得0a c e b d f <<<<<<.则{}A B x c x b =<<，

{}B

C x e x d =<<,{}C

A x e x b =<<.A

B

C ??={}x c x

e b

x d <<或.

26. 【考查内容】等差数列的实际应用

【解】由题意知各排人数构成等差数列{}n a ,设第一排人数是1a ，则公差3d =,前5项和5120S =，因为1(1)2n n n S na d -=+

，所以154

120532

a ?=+?，解得118a =. 答：第一排应安排18名演员

27.【考查内容】正弦型函数的图象和性质 【解】(1）函数的最小正周期22

T π

=

=π,因为函数的图象过点（0,１）,所以2sin 1?=，即1sin 2?=

,又因为02?π<<,所以6

?π=. (2）因为函数sin y x =的单调递增区间是[2,2],2

2

k k k π

π-+π+π∈Z . 所以2222

6

2k x k π

ππ-+π

+

+π,解得3

6

k x

k π

π

-+π+π， 所以函数的单调递增区间是[,],36

k k k ππ

-+π+π∈Z

２8.【考查内容】指数函数的单调性

【解】（１)当01a <<时，函数()f x 在区间[2,4]-上是减函数, 所以当2x =-时，函数()f x 取得最大值16，即216a -=，所以1

4

a =. 当1a >时,函数()f x 在区间[2,4]-上是增函数,

所以当4x =时,函数()f x 取得最大值16,即416a =,所以2a =.

（2)因为22()log (32)g x x x a =-+的定义域是R ,即2320x x a -+>恒成立.所以方程

2320x x a -+=的判别式0?<，即2(3)420a --?<，解得9

8a >

,又因为14a =或2a =，所以

2a =．代入不等式得2log (12)1t -，即0122t

<-，解得1

1

2

2

t -

<

,所以实数t 的取值范围是11

[,)22

-．

29．【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质

【解】(1）因为AD BC ，所以SAD ∠即为ＳＡ与BC 所成的角,在△SAD 中,2SA SD ==， 又在正方形ABC Ｄ中3AD AB ==,所以222222232cos 2223SA AD SD SAD SA AD +-+-∠==??3

4

=,所以SA

与B Ｃ所成角的余弦值是34

.

（2)因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD

平面ABCD AD =，在正方形ABCD 中，

AB AD ⊥，

所以AB ⊥平面SAD ,又因为SD ?平面SAD ,所以AB SD ⊥.

30.【考查内容】抛物线的定义、标准方程和性质,直线与抛物线的位置关系 【解】(1)由已知条件,可设抛物线的方程为22y px =,因为点Ｑ到焦点F 的距离是１,

所以点Q 到准线的距离是1,又因为点Ｑ到y 轴的距离是38,所以3

128

p =-,解得54p =，

所以抛物线方程是25

2

y x =

. （2）假设直线l 的斜率不存在,则直线l 的方程为3x =，与25

2

y x =联立，可解得交点A

、Ｂ的坐标分别为，

易得32OA OB =,可知直线ＯA 与直线OB 不垂直,不满足题意,故假设不成立,从而，直线l 的斜率存在.

设直线l 的斜率为k ，

则方程为1(3)y k x -=-，整理得31y kx k =-+,

设1122(,),(,),A x y B x y 联立直线l 与抛物线的方程得23152

y kx k y x =-+??

?=??①② ，

消去y ,并整理得22225(62)96102

k x k k x k k --++-+=, 于是2122

961

k k x x k -+=.

由①式变形得31

y k x k

+-=,代入②式并整理得2251550ky y k --+=, 于是12155

2k y y k

-+=

,又因为OA OB ⊥，所以0OA OB =，即12120x x y y +=， 2296115502k k k k k -+-++=,解得1

3

k =

或2k =. 当13

k =时，直线ｌ的方程是1

3y x =,不满足OA OB ⊥，舍去．