小学五年级培优数学
目录
第09讲简易方程
第10讲较复杂的方程
第11讲列方程解应用题
第12讲多边形的面积
第13讲组合图形的面积
第14讲统计与可能性
第15讲数学广角
第16讲期末综合检测
第09讲简易方程
【知识概述】
1.含有未知数的等式叫做方程。
2.等式的性质：在等式两边同时加上、减去、乘以或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
3.使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。
4.解方程的依据是等式的性质。
5.学习形如x+a=b、 x-a=b、 ax=b、x÷a=b的四种基本方程的解法。
【知识回顾】
1.下面的式子中哪些是等式？
4.3＋2x＝10.3 7.9＋X＜12.6 8.9＋
6X 8X＝0.5
19＜2X 9.6＋2.5X＝
17.15 5+8=13 5×8＞25
2.在下面的括号里填上合适的数。
56÷（）=8 125÷（）×4=208×（）÷3=16
14-（）+40=58 （）
÷4×5=80（8+ ）÷4=10
【典例解析】
例1、下面的式子中哪些是含有未知数的等式？
〔1〕x+65=100 （） (2) X-14＞
72 ( )
(3)
y+24 ( ) (4)5x+32=47 （）
(5)28<16+14 （） (6) 6(a+2)=42 （）
像x+65=100、5x+32=47、6(a+2)=42这样的含有未知数的等式，叫做方程
同步练习：判断哪些是方程，是的打“ √ ”，不是的打“×”并说明其理由。
7x+6 2b+4=42 7x＞35 65-31=34
2x=12 56=5a-45 60＜5y+40 5（x+3）=15
例2、天平游戏：
游戏
1：
思考：通过天平游戏1的启示，说说在等式两边同时加上一个相同的数，等式还相等吗？
游戏2：
思考：通过天平游戏2的启示，说说在等式两边同时减去一个相同的数，等式还相等吗？
游戏3：
思考：通过天平游戏3的启示，说说在等式两边同时乘以一个相同的数（不等于0），等式
还相等吗？
游戏4：
思考：通过天平游戏3的启示，说说在等式两边同时除以一个相同的数（不为0），等式还相
等吗？
小结：等式有哪些性质？
例3、（1）当x=（）时，方程50+x=85的两边相等
（2）当x=（）时，方程5x+2.5=8的两边相等
（3）当x=（）时，方程（20÷a）×4=16的两边相等
1．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解
2．求方程的解的过程叫做解方程
同步练习
1．下面（）是方程
的解。
A
B
C
】
2．下面（）是方程3x÷12＝1的解
A x= 0.25
B x= 4
C x= 12
例4、解方程
x + 8 = 12 x – 9 = 15
解：
检验：
思路导航：（1）怎样使方程左边变成x呢? （2）要使方程仍然成立，怎么办？为什么？
（3）强调解方程的书写格式：解方程前要写“解”字和冒号一步一脱式，“=”上下要对齐。表示未知数的字母一般都要放在等号的左边。
例5、解方程
5x =30 x ÷ 4 = 8
思路导航：（1）怎样使方程左边变成x呢? （2）要使方程仍然成立，怎么办？为什么？
同步练习:解下列方程
X + 7 = 17 x – 1.6 = 6.5 4.2x = 21 x ÷ 0.6 = 18.6
【巩固反馈】
一．填空：
（1）含有（）的（）叫方程。如：（）
（2）使方程左右两边（）的（）的值，叫方程的解。
（3）求（）的过程叫解方程。
（4）13＋5x＝28变为5x＝28－13是根据
( )。
（5）72÷3X＝6变为3X＝72÷6是根据
( )。
（6）6a＋14＝32的解是
( )。
（7）当X＝( )时，6X－5.5＝0.5。
（8）当a=10时，b=15时，3a=（），b÷a=（）。
二．判断题。（对的画“√”，错误的画“×”）
1．ａ2＝ａ×2（）
2．ｘ＋7是方程。（）
3．含有未知数的式子叫方程。（）
4．ｘ＋27＝50的解是23。（）
三．“对号入座”选一选：（5分）
1．下面（）说法是正确的。
①含有未知数的式子叫做方程。②
一定大于
。
③方程4÷x=0.2的解是20。
2．爸爸今年
岁，比妈妈大3岁，表示妈妈明年岁数的式子是（）。
①
②
③
3．
表示（）。
①乘法结合率②乘法交换率③乘法分配率
4．下面各式不属于方程的是（）。
①
②
③
5．已知△+△+○=19 △+○=12，那么：△=（）○=（）。
① 9、8 ② 7、6 ③
7、5
四．求下列各式的值。
（1）已知ａ＝1.8 ｂ＝2.5求4ａ＋2ｂ的值
（2）已知ｘ＝0.5，ｙ＝1.3 求3ｙ－4ｘ的值
（3）已知ｍ＝0.6。ｎ＝0.4，求ｍ2＋ｎ2的值
五．解下列方程
X + 8 -6 = 18 x – 8 + 6 = 12 0.8x = 22.8 x ÷ 0.7 =1.89
【拓展延伸】
1．甲书架上有ｘ本书，乙书架上的书比甲书架上的1.5倍还多5本，（1）、用式子表示乙书架上有多少本书。（2）当ｘ＝45，乙书架上有书多少本？
2．在一个停车场停车一次要交5元，如果停车时间超过2小时，每多停1小时要多交2元。有辆车离开停车场时，车主付了13元停车费。这辆车在这个停车场停了几小时？
第10讲稍复杂的方程
【知识概述】
1.稍复杂的方程是由若干个基本方程复合而成的，因此解稍复杂的方程的基本方法就是利用等式的性质将稍复杂的方程转化成简单的基本方程。
2．在解方程的过程中要善于把一个算式或一个代数式看作一个整体。
3．学习解形如ax+b=c、ax+b×c=d、ax+bx=c、ax+c=bx+d、（x+a）b=c等这几种类型的方程。
【知识回顾】
1．等式有哪些性质？
2．解下列方程
x + 1.5 = 8.2 x – 4.3 = 9.23 0.12x =
7.2 x ÷ 6 = 13.2
3．解方程要注意哪些问题？
【典例解析】
例1、解方程 2x＋1.9=2.5 4x －0.4=9.4
思路导航：（1）把2x看作一个整体，这个方程就变成了形如x+a=b这样的方程，然后求出2x的值。（2）怎样把方程左边变成2x呢？（3）方程左边减去1.9，要使方程仍然成立，应该怎么办？为什么？（4）如何检验？
同步练习：解方程。
16+8x=40 5x＋
5.5=7 9x－34=11
例2、解方程 0.6x＋
0.4×3=4.2 3.4x-6×8=26.8
思路导航：先按四则运算的顺序算出0.4×3的积，再按解形如ax=b=c的方法去解
同步练习：解方程
2x+2.8×2=10.4 2x-0.7×8=2.4 6x＋2.1=8.28
例3、解方程 3(x＋2.1)=10.5 2(2x－
9.7)=34.2
思路导航：先利用乘法的分配律把3(x＋2.1)展开，得到3x+6.3，再解
3x+6.3=10.5这个方程或把x+2.1看作一个整体，两边同时除以3，就是
x+2.1=3.5,最后检验。
同步练习：解方程
3(x－1.7)=3.6 2(x＋2×3)=50 3（5x-4）=36
例4、解方程 10x－2x=24 5.4x＋x=12.8
思路导航：先利用乘法的分配律把10x－2x变成（10-2）x，即等于8x，然后解8x=24这个方程，最后检验。
同步练习：
1.计算.
4x＋3x＝ 7a－5a＝ 7.5b－5b
＝ 5x-1.3x+4=
S－0.5s= 9t＋7t＝ 20t－5t－3t
＝ 3.2x-x+4.5x=
2.解方程
19x－8x＝55 2×(7x－4x) ＝18 7.2x－3.6x＝9×0.4
例5、解方程 5x- 18 = 3x +20 3（4x+3） = 17x-41
思路导航：先将方程两边同时加上18，方程变成5x=3x+38，然后将方程两边同时减去3x，方程变成2x=38，再解2x=38这个方程。
小结：解这一类的方程要将含有未知数的式子移到一边，将数移到一边，然后解形如ax=b这种方程。
同步练习：解方程
3x + 5×6 = 8x -12 5（2x-3） - 3(2x-6) = 2(x+10) 【巩固反馈】
一、填空.
1.平行四边形底长a米,高是底的1.8倍,面积是( )
2.货车每小时行S千米,客车每小时行m千米,客车3小时后和货车5小时一
共行驶了( )千米.
3.食堂买来200千克煤,已烧了a天,还剩b千克,平均每天烧了( )千克.
4.每个足球x元,买4个足球,付出200元,应找回( )元.
5.三个连续自然数,已知中间一个数是m,那么前一个数是( ),后一
个数是( ),三数之和是( )
6.当x＝5时,x2＝( ),2x＋8＝( )
7.用字母表示梯形面积公式是( )
8.一种商品降价a元后是80元,原价是( )元.
二、判断.(对的打”√”,错的打”×”)
(1)方程一定是等式,等式不一定是方程.( )
(2)小明今年a岁,哥哥比他大b岁,c年后,哥哥比他大b＋c岁.( )
(3)x的3倍与3x相等. ( ) (4)3x＋4x＝7x, 3a＋4b＝
7ab ( )
(5)含有x的等式叫方程. ( )
三、写出下列各题的结果．
15ｘ－0.5ｘ＝ 18ａ＋24ａ＝ 6.5ｍ－4.7ｍ－1.3ｍ＝
4ｍ×4＝20×ｂ＋ｂ＝7ｃ＋2.5ｃ－1.2ｃ＝
四、看图列方程并解答出来．
小麦 x吨儿童 x人
180吨
稻谷 3倍成人 x人 x人 x人
多10人
五、解方程
5.5x＋
6.7＝
7.8 3.5x－0.8x＝11.34 7(x－1.2)=2.1
6.2x－x＝41.6 9x－14×5.5＝58 7（2x+20）=8（x+25）
【拓展延伸】
1.甲仓库粮是乙仓库的3倍，如果从甲仓库运出90吨，从乙仓运出10吨，则两仓库存粮相等，甲乙两仓库原各存粮多少吨？
2.已知：a+b+c=61 a+c+d=71 a+b+d=62 b+c+d=64
则：a=（） b=（） c=（） d=（）
第11讲列方程解应用题
【知识概述】
1.列方程解应用题的关键：弄清题意，找出应用题中数量之间的相等关系。即：找出一个等量关系式，根据这个等量关系式列方程，解决问题。
2.列方程解应用题的一般步骤：（1）弄清题意，找出未知数，用x表示，（2）分析、找出数量之间的相等关系，列方程，（3）解方程，（4）检验、写出答案。
3.方程与算术方法解应用题的区别：
（1）列方程解应用题时未知数用字母表示，参与列式；用算术方法解应用题时未知数不参与列式。（2）列方程解应用题的分析方法是根据题意找出数量间的相等关系；而用算术方法解应用题是根据题中已知数与未知数的关系，确定解题步骤。
4.常见的数量关系：单价×数量=总价速度×时间=路程工作效率×工作时间=工作总量
【知识回顾】
一. 填空.
1.铅笔每枝a元,买了m枝,付出b元,应找回( )元.
2.服装计划做x套衣服,已经做了5天,每天做y套,还剩( )套.
3.小东每小时走8千米,小明每小时走7千米,他们走t小时后,小东比小明我走( )千米.
4.甲乙两数的和是m, 乙数是甲数的3倍,甲数是( ), 乙数是
( ).
5.两种水果的价钱都是a元,小芳的妈妈分别买了m千克和n千克,一共花了( )元.
6.已知白兔的只数是黑兔的4倍，黑兔有x只，白兔有（）只，白兔和黑兔一共有（）只，白兔比黑兔多（）只。
7.男生人数＋（）＝全班人数全班人数－男生人数＝（）
（）×时间＝路程路程÷时间＝
（）
用去的钱数＋（）＝付出的钱数付出的钱数－用去的钱数＝（）
二.说一说下面每个式子所表示的意义。
（1）一天中午的气温是32℃，下午比中午的气温降低了ｘ℃。
32－ｘ表示：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（2）五（2）班有40人订阅《少年文艺》杂志，每本单价ｂ元。
40ｂ表示：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（3）一个足球单价ａ元，一个篮球ｂ元。
6ａ＋4ｂ表示：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（4）张师傅每小时加工ｘ个零件，朱师傅每小时加工15个零件
ｘ－15表示：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（ｘ－15）×3表示：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
三.解下列方程
15ｘ－7.5ｘ＝15 ｘ－0.8ｘ＋0.7ｘ＝
8.1 4x－18×2＝20
【典例解析】
例1、一个图书馆有儿童读物2.5万册，儿童读物是其它读物的３倍少0.2万册，其它读物有多少万册？
写出等量关系式：
方程解：解：设其他读物有x万册算术方法解：
思路导航：（1）仔细读题，你知道哪些数学信息？未知数是什么？用x表示未知数
（2）说说题目中数量之间的相等关系是怎样的？根据数量之间的相等关系列方程
（3）解方程（4）检验、写出答案
（5）用算术方法怎样解？用算术方法与方程解有什么不同？
同步练习：一张桌子125元，是一张凳子的５倍还多15元，一张方凳
多少元？
例2、水果店运来４箱苹果和4箱梨，共用去244元，已知苹果每箱28元，梨每箱多少元？
写出等量关系式：
方程解：解：设梨每箱x元算术方法解：
思路导航：（1）说说题目中数量之间的相等关系是怎样的？根据数量之间的相等关系列方程
（2）你有其它的方法吗？（3）用算术方法怎样解？用算术方法与方程解有什么不同？
同步练习：两城相距480千米，甲乙两辆汽车同时从两城相对开出，3小时后两车相遇，已知甲车每小时行85千米，乙车每小时行多少千米？
例3、小军有邮票的张数是小林的3倍，他们一共有邮票240张，求小军和小林各有邮票多少张？
等量关系式：（1）（2）
方程解：解：设小林有x张，小军有（）张算术方法解：
思路导航：（1）说说题目中数量之间的相等关系有哪些？（2）合理选择其中一种相等关系设未知数，用另一种相等关系列方程。（3）用算术方法与方程解有什么不同？你有什么感受？
同步练习：小强爷爷的年龄是小强的6倍，小强比爷爷少60岁，小强今年多少岁？
小结：用列方程解含有两个未知数的问题的方法可以合理选择其中一种相等关系设其中一个未知数为x,用含有x的代数式表示另一个数；再用另一种相等关系列方程解答，最后求出另一个数
例4、甲仓库粮是乙仓库的3倍，如果从甲仓库运出90吨，从乙仓运出10吨，则两仓库存粮相等，甲乙两仓库原各存粮多少吨？
等量关系式：（1）（2）
解：设乙仓库原存粮x吨，甲仓库原存粮（）吨
同步练习：鸡兔同笼,共有35个头,94条腿,求鸡兔各有几只?
例5、妈妈买回一些苹果，按计划天数吃，如果每天吃4个，则多出48个，如果每天吃6个，则又少8个，问妈妈买回多少个苹果？
等量关系式：
思路导航：（1）前面4题都是采用直接设未知数，而这题要采用间接设未知数。设计划吃x天
根据两种吃法可以分别表示苹果的个数。（2）根据两次苹果的总数相等列方程解答
同步练习：箱子里装有同样数量的羽毛球和乒乓球。每次取出5个乒乓球和3个羽毛球，取出几次后，乒乓球没有了，羽毛球还剩下6个，原来乒乓球和羽毛球各有多少个？
【巩固反馈】
一.列方程并解答出来.
1. 一个数的8倍比它的5倍多24,求这个数?
2. x的6倍加上2.5与4的积,和是25,求x?
3.一个数的6倍减去15,正好等于这个数的4倍加5,这个数是多少?
二.列方程解应用题
1.某植物园有松树和榕树120棵，已知松树是榕树棵数的２倍，问榕树，松树各有多少棵？
2.A,B两城相距150千米,甲乙两人同时骑自行车从两地相对出发,甲每小时行16千米,4小时后,两人还相距30千米, 乙每小时行多少千米?
3.甲乙两车同时从相距528千米的两地相向而行，６小时相遇，甲车每小时比乙车快６千米，求甲乙每小时各行多少千米？
4.饲养场有公鸡和母鸡480只，母鸡比公鸡的２倍还多30只，这个饲养场公鸡和母鸡各有多少只？
5.三个数的平均数是120,甲数是乙数的2倍,丙数比甲数多5,甲, 乙,丙三个数各是多少?