人教版高中数学【选修2-1】[知识点整理及重点题型梳理]_命题及其关系_基础

人教版高中数学选修2-1

知识点梳理

）巩固练习

重点题型（

常考知识点

命题及其关系

【学习目标】

1．了解命题、真命题、假命题的概念，能够指出一个命题的条件和结论；

2．了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系，能判断四种命题的真假；

3．能熟练判断命题的真假性.

【要点梳理】

要点一、命题的概念

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.

要点诠释：

1.不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“x>2”，“2不一定大于3”.

2.只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“π是有理数吗？”、“今天天气真好！”等.

3.语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性.

要点二、命题的结构

命题可以改写成“若p，则q”的形式，或“如果p，那么q”的形式.其中p是命题的条件，q是命题的结论.

要点诠释：

1.一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论.

2.有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”

的形式.

要点三、四种命题

原命题：“若p，则q”；

逆命题：“若q，则p”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置；

. 否命题：“若非 p ，则非 q ”，或“若 ?p ，则 ?q ”；实质是将原命题的条件和结论两

者分别否定；

逆否命题：“若非 q ，则非 p ”，或“若 ?q ，则 ?p ”；实质是将原命题的条件和结论

两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定.

要点诠释：

对于一般的数学命题，要先将其改写为“若 p ，则 q ”的形式，然后才方便写出其他

形式的命题.

要点四、四种命题之间的关系

四种命题之间的构成关系

原 命题

若p 则q

互

互 互 逆

为 逆

否

逆命题 若q 则p

互 否

否 命 题

互

为

逆

否

否

逆 否命 题

若?p 则?q

四种命题之间的真值关系

互 逆

若?q 则?p

原命题

真

真 假

假

逆命题

真

假 真

假

否命题

真

假 真

假

逆否命

题

真

真 假

假

要点诠释：

（1）互为逆否命题的两个命题同真同假；

（2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系.

【典型例题】

类型一：命题的概念

例 1.判断下列语句中哪些是命题，是命题的判断其是真命题还是假命题

（1）末位是 0 的整数能被 5 整除；

（2）平行四边形的对角线相等且互相平分；

（3）两直线平行，则斜率相等；

（△4）ABC中，若∠A=∠B，则sinA=sinB；

（5）余弦函数是周期函数吗？

【思路点拨】依据命题的定义判断。

【解析】

（1）是命题，真命题；

（2）是命题，假命题；

（3）是命题，假命题；

（4）是命题，真命题；

（5）不是命题.这是一个疑问句，没有做出判断.

【总结升华】对于命题真假的判断应根据已学习过的已有定义、定理、公理及已有结论等进行.

举一反三：

【变式1】判断下列语句是否为命题？若是，判断其真假.

(1)x>1；

(2)当x=0时,x>1；

(3)你是男生吗？

(4)求证：π是无理数.

【答案】

(1)不是命题；由于无法确定变量x的值，所以无法确定其真假．

(2)是命题；假命题．

(3)不是命题；这是一个疑问句，没有做出判断．

(4)不是命题；这是一个祈使句，没有做出判断．

【变式2】下列语句中是命题的是（）

A．|x+a|B．{0}∈N C．元素与集合D．真子集

【答案】B

【变式3】判断下列语句是否是命题.

（1）这是一棵大树；

（2）sin30?=1 2；

（3）x2+1>0；

（4）梯形是平行四边形.

【答案】

（1）不是，无法确定“大”；（2）是；（3）是；（4）是.

类型二：命题的结构

例2.指出下面命题的条件和结论.

（1）对顶角相等；

（2）四边相等的四边形是菱形.

【思路点拨】

命题都是一定的条件下推出的一定的结果，所以据此确定哪是条件，哪是结论。

【解析】（1）原命题写成：若两个角是对顶角，则这两个角相等.条件：两个角是对顶角；结论：这两个角相等.

（2）原命题可写成：如果一个四边形的四边相等，则这个四边形是菱形.条件：一个四边形的四边相等；结论：这个四边形是菱形.

【总结升华】要写出一个命题的条件和结论，一般是把一个命题改写成“如果p，那么q”的形式，其中p是条件，q是结论.

举一反三：

【变式】指出下列命题的条件p和结论q.

（1）若空间四边形为正四面体，则顶点在底面上的射影为底面的中心；

（2）若两条直线a和b都和直线c平行，则直线a和直线b平行.

【答案】

（1）条件p：空间四边形为正四面体；结论q：顶点在底面上的射影为底面的中心.

（2）条件p：两直线a、b都和直线c平行；结论q：直线a和b平行.

【命题及其关系394803例3】

例3.将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断其真假.

（1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行；

（2）对角线相等的平面四边形是矩形.

【解析】

（1）“若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行”真命题.

（2）“若一个平面四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形”假命题.

【总结升华】有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但适当的改写后可以写成“若p，则q”的形式，那么就能很清楚地看出其条件和结论.

举一反三：“

【变式1】把命题“6是12和24的公约数”写成若p则q的形式.

【答案】若一个数等于6，则这个数是12和24的公约数.

【变式2】将下列命题改写成“若p则q”的形式，并判断真假.

（1）偶数能被2整除；

（2）奇函数的图象关于原点对称；

. . .

.

（3）同弧所对的圆周角不相等.

【答案】

（1）若一个数是偶数，则它能被 2 整除；真命题.

（2）若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称；真命题 （3）若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等；假命题

类型三：命题的四种形式

【命题及其关系 394803 例 5】

例 4.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断四种命题的真假

（1）若 ab = 0 ，则 a 2 + b 2 = 0 ；

（2）若 x = 1 ，则 x 2 - 3x + 2 = 0 ；

（3）若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等

【思路点拨】

由原命题写出逆命题，否命题和逆否命题时注意规律： ①交换原命题的条件和结论.所得命题就是逆命题.

②同时否定原命题的条件和结论所得命题就是否命题.

③交换原命题的条件和结论并且同时否定.所得命题就是逆否命题.

【解析】

（1）

原命题：若 ab = 0 ，则 a 2 + b 2 = 0 ；

假命题

逆命题：若 a 2 + b 2 = 0 ，则 ab = 0 ；

真命题

否命题：若 ab ≠ 0 ，则 a 2 + b 2 ≠ 0 ；

真命题

逆否命题：若 a 2 + b 2 ≠ 0 ，则 ab ≠ 0 .

假命题

（2）

原命题：若 x = 1 ，则 x 2 - 3x + 2 = 0 ；

真命题

逆命题：若 x 2 - 3x + 2 = 0 ，则 x = 1 ；

假命题

否命题：若 x ≠ 1 ，则 x 2 - 3x + 2 ≠ 0 ；

假命题

逆否命题：若 x 2 - 3x + 2 ≠ 0 ，则 x ≠ 1 .

真命题

（3）

原命题：若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等；真命题 逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等；真命题

. n +1 < a ，n ∈N ＋，则{a }为递减数列”，关于其逆命题，否 n +1 < a ?a n ＋1＜a n ，n ∈N ，∴{a n }为递减数列，命题是真命题； n +1 ≥a ，n ∈N ＋，则{a }不是递减数列，是真命题； ； ； ；

否命题：若一个三角形没有两条边相等，则这个三角形没有两个角相等；真命题

逆否命题：若一个三角形没有两个角相等，则这个三角形没有两条边相等 真命题

【总结升华】

①一般地，先将命题改写成“若…，则…”的形式，再写出其他命题形式；某些命题存

在大前提，写其它命题时应注意保留.

②互为逆否命题的两个命题是等价的，同为真或同为假，因此在判定真假时，只需判定

二者中的一个．

举一反三：

a + a 【变式 1】原命题为“若 n

2

n n

命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ． 真、真、真 B ．假、假、真 C ．真、真、假

【答案】

D ．假、假、假

a + a ∵ n

2

n

＋

a + a 其否命题是：若 n 2

n n

又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题， ∴命题的逆命题，逆否命题都是真命题． 故选：A ．

【变式 2】写出下列的命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.

（1）对顶角相等；

（2）空集 A 是非空集合 B 的真子集； 【答案】 （1）

原命题：如果两角是对顶角，那么这两角相等（真命题） 逆命题：如果两角相等，那么两角是对顶角（假命题） 否命题：如果两角不是对顶角，那么这两角不相等（假命题） 逆否命题：如果两角不相等，那么这两角不是对顶角（真命题）. （2）

原命题：若 A 是空集，则 A 是非空集合 B 的真子集（真命题）； 逆命题：若 A 是非空集合 B 的真子集，则 A 是空集（假命题）； 否命题：若 A 不是空集，则 A 不是非空集合 B 的真子集（假命题）； 逆否命题：若 A 不是非空集合 B 的真子集，则 A 不是空集（真命题）.

【变式 3】（2016 吉林校级一模）给出下列四命题，其中真命题有________。 ①“若 xy=1，则 x ，y 互为倒数”的逆命题；

②“面积相等的三角形全等”的否命题；

③“若 m ≤1，则 x2－2x+m=0 有实数解”的逆否命题；

④“若事件 A 发生的概率为 0，则事件 A 是不可能事件”的逆否命题。 【答案】

①的逆命题为“若 x ，y 互为倒数，则 xy=1”，是真命题；

②逆命题“全等三角形的面积相等”为真命题，故否命题是真命题； ③是真命题，所以它的逆否命题也是真命题；

④是假命题，因为在几何概型中随机事件的概率可是 0，所以它的逆否命题也是假命题。 故答案为：①②③。

例 5．设命题: 若 m > 0 ，则关于 x 的方程 x 2 + x - m = 0 有实数根．试写出它的逆命

题，否命题和逆否命题，并分别判断其真假．

【思路点拨】

判断原命题，逆命题，否命题，逆否命题的真假时，只要判断原命题与逆命题的真假， 就可知道其它两个命题的真假，不必一一判断.

【解析】

逆命题：若关于 x 的方程 x 2 + x - m = 0 有实数根，则 m > 0 .

否命题：若 m ≤ 0 ,则关于 x 的方程 x 2 + x - m = 0 无实数根．

逆否命题：若关于 x 的方程 x 2 + x - m = 0 无实数根，则 m ≤ 0 .

①先判断原命题和逆否命题的真假. 1 ∵ ? = 1 + 4m , ∴ 当 m ≥ -

时，方程有实数根．

4

∵当 m > 0 时， m ≥ - 1 4

成立，∴ 方程有实数根，∴原命题为真，逆否命题也为真．

②判断逆命题和否命题的真假

当方程有实数根，即 m ≥ - 1 4

时，推不出 m > 0 ，∴逆命题为假，否命题也为假．

【总结升华】先将命题中的条件等价转化，然后关于不等式的集合的命题可以借助于集

合的韦恩图解决.

举一反三：

【变式 1】试写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，并分别判断其真假．

（1）当集合 A = {1,2,3,5,6} ， B = {1,2,5} 时，若 x ∈ A ，则 x ∈ B .

（2）若 x > 3 ，则 x > 2 ， （3）若 x 2 - 6 x + 5 = 0 ，则 x = 5

【答案】

（1）

/ ； / ； / / “

原命题：当集合 A = {1,2,3,5,6} ， B = {1,2,5} 时，若 x ∈ A ，则 x ∈ B （假命题）；

逆命题：当集合 A = {1,2,3,5,6} ， B = {1,2,5} 时，若 x ∈ B ，则 x ∈ A （真命题）；

否命题：当集合 A = {1,2,3,5,6} ， B = {1,2,5} 时，若 x ∈ A ，则 x ∈/ B （真命题）

逆否命题：当集合 A = {1,2,3,5,6} ， B = {1,2,5} 时，若 x ∈/ B ，则 x ∈/ A （假命题）.

（2）

原命题：若 x > 3 ，则 x > 2 （真命题）； 逆命题：若 x > 2 ，则 x > 3 （假命题）； 否命题：若 x ≤ 3 ，则 x ≤ 2 （假命题）； 逆否命题：若 x ≤ 2 ，则 x ≤ 3 （真命题）. （3）

原命题：若 x 2 - 6 x + 5 = 0 ，则 x = 5 （假命题）；

逆命题：若 x = 5 ，则 x 2 - 6 x + 5 = 0 （真命题）；

否命题：若 x 2 - 6 x + 5 = 0 ，则 x =/ 5 （真命题）

逆否命题：若 x = 5 ，则 x 2 - 6 x + 5 = 0 （假命题）.

【变式 2】已知命题： 如果 | a |≤ 1 ，那么关于 x 的不等式 (a 2 - 4) x 2 + (a + 2) x - 1 ≥ 0

的解集是空集”，写出它的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假.

【答案】

逆命题：如果关于 x 的不等式 (a 2 - 4) x 2 + (a + 2) x - 1 ≥ 0 的解集是空集，那么 | a |≤ 1 ；

否命题：如果 | a |> 1 ,那么关于 x 的不等式 (a 2 - 4) x 2 + (a + 2) x - 1 ≥ 0 的解集不是空

集；

逆否命题：如果关于 x 的不等式 (a 2 - 4) x 2 + (a + 2) x - 1 ≥ 0 的解集不是空集，那么

| a |> 1.

①

判断原命题的真假. 当 | a |≤ 1 时， a 2 - 4 < 0 ,

2 4 2 4

? = (a + 2)2 + 4(a 2 - 4) = 5(a + )2 - - 12 ≤ 5(1+ )2 - - 12 < 0 ，

5 5 5 5

故 (a 2 - 4) x 2 + (a + 2) x - 1 ≥ 0 的解集为 x ∈? ，故原命题为真，则逆否命题亦真.

②对于逆命题，当(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解为空集时，

先研究a2-4=0得a=-2，满足题意，

这样a=-2与|a|≤1矛盾，故命题为假，而否命题与逆命题互为逆否命题，故否命题亦为假.