高中数学充分条件与必要条件 例题解析
充分条件与必要条件例题解析
能力素质
例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q
的
[ ]
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
分析利用韦达定理转换．
解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，
∴x1，x2的值分别为1，－6，
∴x1＋x2＝1－6＝－5．
因此选A．
说明：判断命题为假命题可以通过举反例．
例2 p是q的充要条件的是
[ ]
A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5
B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解
分析逐个验证命题是否等价．
解对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件；
对B．p q但q p，p是q的充分非必要条件；
对C．p q且q p，p是q的必要非充分条件；
???
对．且，即，是的充要条件．选．
D p q q p p q p q D
说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解．
例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的
[ ]
A．充分条件B．必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
分析通过B、C作为桥梁联系A、D．
解∵A是B的充分条件，∴A B①
∵D是C成立的必要条件，∴C D②
?
∵是成立的充要条件，∴③
C B C B
由①③得A C ④
由②④得A D ．
∴D 是A 成立的必要条件．选B ．
说明：要注意利用推出符号的传递性．
例4 设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的
[ ]
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
分析 先解不等式再判定．
解 解不等式|x －2|＜3得－1＜x ＜5．
∵0＜x ＜5－1＜x ＜5，但－1＜x ＜50＜x ＜5
∴甲是乙的充分不必要条件，选A ．
说明：一般情况下，如果条件甲为x ∈A ，条件乙为x ∈B ．
当且仅当时，甲为乙的充分条件；
当且仅当时，甲为乙的必要条件；
A B A B ?? 当且仅当A ＝B 时，甲为乙的充要条件．
例5 设A 、B 、C 三个集合，为使A (B ∪C)，条件A B 是
[ ]
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
分析 可以结合图形分析．请同学们自己画图．
∴A (B ∪C)．
但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时，
显然A (B ∪C)，但A
B 不成立， 综上所述：“A B ”
“A (B ∪C)”，而 “A
(B ∪C)”“A B ”． 即“A B ”是“A (B ∪C)”的充分条件(不必要)．选A ．
说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况． 例6 给出下列各组条件：
(1)p ：ab ＝0，q ：a 2＋b 2＝0；
(2)p ：xy ≥0，q ：|x|＋|y|＝|x ＋y|；
(3)p ：m ＞0，q ：方程x 2－x －m ＝0有实根；
(4)p ：|x －1|＞2，q ：x ＜－1．
其中p 是q 的充要条件的有
[ ]
A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．4组
分析 使用方程理论和不等式性质．
解 (1)p 是q 的必要条件
(2)p 是q 充要条件
(3)p 是q 的充分条件
(4)p 是q 的必要条件．选A ．
说明：ab ＝0指其中至少有一个为零，而a 2＋b 2＝0指两个都为零．
例＞＞是＞＞的条件．7x 3x 3x x x 12112???+???x 269
分析 将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系． 解＞且＞＋＞且＞，但当取＝，＝时，
＞＞成立，而＞＞不成立＝与＞矛盾，所以填“充分不必要”．
x 3x 3x x 6x x 9x 10x 2(x 2x 3)1212121222?+??????x x x x x x 121212
6933 说明：＞＞－＞－＞x 3x 3 x 30x 301212
??????? ????????(x 3)(x 3)0(x 3)(x 3)0x x 6x x 3(x x )9012121212
12－＋－＞－－＞＋＞－＋＋＞这一等价变形方法有时会用得上．
点击思维
例8 已知真命题“a ≥b c ＞d ”和“a ＜b e ≤f ”，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的________条件．
分析 ∵a ≥b c ＞d(原命题)，
∴c ≤d a ＜b(逆否命题)．
而a ＜b e ≤f ，
∴c ≤d e ≤f 即c ≤d 是e ≤f 的充分条件．
答 填写“充分”．
说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法．
例9 ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是
[ ]
A ．0＜a ≤1
B ．a ＜1
C ．a ≤1
D ．0＜a ≤1或a ＜0
分析 此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之．当a ＝1时，方程有负根x ＝－1，当a ＝0时，x ＝
－．故排除、、选．12
A B D C 解常规方法：当＝时，＝－． a 0x 12
当a ≠0时
1a 0ax 2x 10021a 0a 12．＞，则＋＋＝至少有一个负实根＜－＜＜≤．?
---?-?24422a a
2a 0ax 2x 100221a 21a 1a 02
．＜，则＋＋＝至少有一个负实根＜＞－＞－＞＜．
?-+-???2442a a 综上所述a ≤1．
即ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1．
说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法．
例10 已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么s ，r ，p 分别是q 的什么条件？
分析 画出关系图1－21，观察求解．
解 s 是q 的充要条件；(s r q ，q s)
r 是q 的充要条件；(r q ，q s r)
p 是q 的必要条件；(q s r p)
说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系． 例11 关于x 的不等式
|x |x 3(a 1)x 2(3a 1)0A B A B 1a 3a 12－≤与－＋＋＋≤的解集依次为与，问“”是“≤≤或＝－”的充要条件吗？
()()a a +-?1212
22
分析 化简A 和B ，结合数轴，构造不等式(组)，求出a ．
解 A ＝{x|2a ≤x ≤a 2＋1}，B ＝{x|(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}
当≤＋即≥时，23a 1a 13
B ＝{x|2≤x ≤3a ＋1}．
A B 2a 2a +13a +11a 323a 1a 2??????≥≤≤≤当＞＋即＜时，13
B ＝{x|3a ＋1≤x ≤2}
A B 2a 3a +1a +12
a 1A B a 11a 3A B 1a 3a 12?????????≥≤＝－．综上所述：＝－或≤≤．
∴“”是“≤≤或＝－”的充要条件．
说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关．在解题时要理清思路，表达准确，推理无误．
学科渗透
例＞，＞是＜的必要条件还是充分条件，还是充12 x y xy 011x y
要条件？
分析 将充要条件和不等式同解变形相联系．
解．当＜时，可得－＜即＜ 1001111x y x y y x xy
- 则－＞＜或－＜＞，即＜＜或＞＞，
y x 0xy 0y x 0xy 0 x y xy 0x 0????????????y xy 故＜不能推得＞且＞有可能得到＜＜，即＞且＞并非＜的必要条件．110
11x y x y xy x y x y xy 0()x y xy 0???
2x y xy 0x y x 0y 0x y x 0y 0
x y xy 0．当＞且＞则分成两种情况讨论：＞＞＞或＞＜＜不论哪一种情况均可化为＜．∴＞且＞是＜的充分条件．??????????1111x y
x y
说明：分类讨论要做到不重不漏．
例13 设α，β是方程x 2－ax ＋b ＝0的两个实根，试分析a ＞2且b ＞1是两根
α，β均大于1的什么条件？
分析 把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需
要搞清楚条件与结论分别指什么．然后再验证是还是还是．p q p q q p p q ???
解据韦达定理得：＝α＋β，＝αβ，判定的条件是：＞＞结论是：α＞β＞还要注意条件中，，需要满足大前提Δ＝－≥ a b p q (p a b a 4b 0)
2a b 21
11
?????? (1)1a 2b 1由α＞β＞得＝α＋β＞，＝αβ＞，1???
∴q p ．
上述讨论可知：a ＞2，b ＞1是α＞1，β＞1的必要但不充分条件．
说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用．
高考巡礼
例14 (1991年全国高考题)设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么
[ ]
A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C ．丙是甲的充要条件
D ．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
分析1：由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不必要条件．
分析2：画图观察之．
答：选A ．
说明：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便
高中数学 充分条件、必要条件与命题的四种形式练习题
充分条件、必要条件与命题的四种形式 1．选择题： (1)“1、x 、9成等比数列”是“x ＝3”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 (2)“a ＝2”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线ax ＋2y －2＝0平行”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 (3)若a 与b －c 都是非零向量，则“a ·b ＝a ·c ”是“a ⊥(b －c )”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．填空题 (4)设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a ＋b i )(c ＋d i )为实数的充要条件是________ (5)“a ＝1”是“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的________条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、 “充要”、或“既不充分又不必要”填空) (6)???>>1121x x 是???>>+122 121x x x x 的________条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、或“既不充分又不必要”填空) 3．解答题 (7)下列四个命题 ①设a ，b ∈R ，已知命题p ：a ＝b ；命题2)2 (:2 22b a b a q +≤+，则p 是q 成立的充分不必要条件； ②“tan α ＝1”是“4 π=α”的充要条件； ③“a ＝1”是“函数f (x )＝｜x －a ｜在区间[1，＋∞)上为增函数”的必要不充分条件； ④设f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的充分而不必要的条件中．写出正确命题的序号并说明理由． (8)已知数列{a n }和{b n }满足)(21221*N ∈++++++= n n na a a b n n ，求证：{a n }是等差数列的充要条件是{b n }是等差数列．本题可利用公式为： 6 )12)(1(21222++=+++n n n n (9)已知p ：｜x －4｜≤6，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，若?p 是?q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范 围． 答案：充分条件、必要条件与命题的四种形式 (1)C (2)B 提示：a ＝－2时，两直线平行． (3)C (4)ad ＋bc ＝0 (5)解：a ＝－1时，函数y ＝cos2ax －sin2ax ＝cos 2ax ＝cos 2x 的最小正周期为π成立，所以答案充分不必要．
2016届高考数学经典例题集锦：数列(含答案)
数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②
高中数学典型例题详解和练习- 求分段函数的导数
求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如 果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='． 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常
见的基本函数，逐步确定复合过程． 解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果． 求函数的导数 例 求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。 分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．
高中数学集合典型例题
-- -- 集 合 1．集合概念 元素:互异性、无序性、确定性 2.集合运算 全集Ｕ：如U ＝Ｒ 交集:}{B x A x x B A ∈∈=且 并集:}{B x A x x B A ∈∈=?或 补集:}{A x U x x A C U ?∈=且 ３.集合关系 空集A ?φ 子集B A ?：任意B x A x ∈?∈ B A B B A B A A B A ??=??= 注：数形结合-－-文氏图（即韦恩图、Ve ｎn 图）、数轴 典型例题 1. 集合(){}0,=+=y x y x A ,(){}2,=-=y x y x B ,则=B A ２. 已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2,那么Q P 等于 3. 设(){}R b b x b x x A ∈=++++=,0122,求A 中所有元素之和. 4. 已知集合{}24,3,22++=a a A ,{}a a a B --+=2,24,7,02，且{}7,3=B A ,求a 的值. 5. 已知(){}011=+-=x m x A ,{}0322=--=x x x B ，若B A ?，则m 的值为 6. 已知{}121-≤≤+=m x m x A ，{}52≤≤-=x x B ，若B A ?,求实数m 的取值范围． 7. 设全集{}32,3,22-+=a a S ，{}2,12-=a A ,{}5=A C S ，求a 的值. 8． 若{}Z n n x x A ∈==,2,{}Z n n x x B ∈-==,22，试问B A ,是否相等. 9. 已知(){}a x y y x M +==,,(){}2,22=+=y x y x N ,求使得φ=N M 成立的实数a 的取值范围. １0. 设集合{}R x x x x A ∈=+=,042,(){}R x R a a x a x x B ∈∈=-+++=,,011222,若A B ?，求实数a 的取值范围. １１． 设R U =,集合{}R x a ax x x A ∈=+-+=,03442，(){}R x a x a x x B ∈=+--=,0122，{}R x a ax x x C ∈=-+=,0222,若C B A ,,中至少一个不是空集，求实数a 的取值范围. 12. 设集合(){}01,2=--=x y y x A ,(){} 05224,2=+-+=y x x y x B ,(){==y y x C ,}b kx +，是否存在N b k ∈,,使得()φ=C B A ?若存在,请求出b k ,的值;若不存在,请说明理由.
高中数学充分条件与必要条件-例题解析
充分条件与必要条件 例题解析 能力素质 例1 已知p ：x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根，q ：x 1＋x 2＝－5，则p 是q 的 [ ] A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 利用韦达定理转换． 解 ∵x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根， ∴x 1，x 2的值分别为1，－6， ∴x 1＋x 2＝1－6＝－5． 因此选A ． 说明：判断命题为假命题可以通过举反例． 例2 p 是q 的充要条件的是 [ ] A ．p ：3x ＋2＞5，q ：－2x －3＞－5 B ．p ：a ＞2，b ＜2，q ：a ＞b C ．p ：四边形的两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形 D ．p ：a ≠0，q ：关于x 的方程ax ＝1有惟一解 分析 逐个验证命题是否等价． 解 对A ．p ：x ＞1，q ：x ＜1，所以，p 是q 的既不充分也不必要条件； 对B ．p q 但q p ，p 是q 的充分非必要条件； 对C ．p q 且q p ，p 是q 的必要非充分条件； 对．且，即，是的充要条件．选．D p q q p p q p q D ??? 说明：当a ＝0时，ax ＝0有无数个解． 例3 若A 是B 成立的充分条件，D 是C 成立的必要条件，C 是B 成立的充要条件，则D 是A 成立的 [ ] A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 通过B 、C 作为桥梁联系A 、D ． 解 ∵A 是B 的充分条件，∴A B ① ∵D 是C 成立的必要条件，∴C D ② ∵是成立的充要条件，∴③C B C B ?
高一数学平面向量知识点及典型例题解析
高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
高中数学经典例题错题详解
高中数学经典例题、错 题详解
【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M到N的映射是（） M N A M N B M N C M N D 映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。 函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应） 映射与函数的区别与联系： 函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。 映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。 映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射方向性 上题答案应选 C 【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。 本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。 【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B 中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素 【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1 得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1 【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（） 【分析】如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A到集合B的映射共有n m 个；集合B到集合A的映射共有m n个，所以答案为23=9；32=8 【例4】若函数f(x)为奇函数，且当x﹥0时，f(x)=x-1,则当x﹤0时，有（） A、f(x) ﹥0 B、f(x) ﹤0 C、f(x)·f(-x)≤0 D、f(x)-f(-x) ﹥0 奇函数性质： 1、图象关于原点对称；? 2、满足f(-x) = - f(x)?； 3、关于原点对称的区间上单调性一致；? 4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0；? 5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）
高中数学-推出与充分条件、必要条件课后训练
高中数学-推出与充分条件、必要条件课后训练 1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．命题“x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5 3．直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则“k1＝k2”是“l1∥l2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．“两三角形全等”是“两三角形对应角相等”的( )条件． A．充分不必要 B．既不充分也不必要 C．必要不充分 D．充要 5．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 6．设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知集合A为数集，则“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的__________条件． 8．设a，b，c为实数，“a＞0，c＜0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点”的__________条件． 9．已知p：A＝{x|x2＋4x＋3＞0}，q：B＝{x||x|＜a}，若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围． 10．已知m∈Z，关于x的一元二次方程 x2－2x＋m＝0，(1) x2＋2mx＋m2－m－1＝0，(2) 求方程(1)、(2)的根都是整数的充要条件．
高中数学圆的方程典型例题及详细解答
新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
高中数学经典题型50道(另附详细答案)
高中数学习题库（50道题另附答案） 1.求下列函数的值域： 解法2 令t＝sin x，则f(t)＝－t2＋t＋1，∵|sin x|≤1, ∴|t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值． 本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。
2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道 的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 3 4 万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32 π π和，求该慧星与地球 的最近距离。 解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的 方程为122 22=+b y a x （图见教材P132页例1）。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π 时，由椭圆的几何 意义可知，彗星A 只能满足)3 (3/π π=∠=∠xFA xFA 或。作 m FA FB Ox AB 3 2 21B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得????? ??+-=-=)32(34)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31 c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答：彗星与地球的最近距离为m 3 2 万千米。 说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a + （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识
高中数学充分条件、必要条件判断的三种方法学法指导
高中数学充分条件、必要条件判断的三种方法 对于充要条件的判断，许多同学感觉困难，下面结合典型例题说明充要条件判断的三种常用方法，供大家参考。 1. 利用定义判断 如果已知p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。根据定义可进行判断。 例1. 已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么s 是q 的_________条件；r 是q 的_______________条件；p 是q 的____________条件。 解：根据题意可表示为：r p r q s r q s ????，，， 由传递性可得图1 图1 所以s 是q 的充要条件；r 是q 的充要条件；p 是q 的必要条件。 2. 利用等价命题判断 原命题与其逆否命题是“同真同假”的等价命题，当我们直接判断原命题的真假有困难时，可以转化为判断其逆否命题的真假。这一点在充要条件的判断时经常用到。 由p q ?，容易理解p 是q 的充分条件，而q 是p 的必要条件却有点抽象。p q ?与???q p 是等价的，可以解释为若q 不成立，则p 不成立，条件q 是必要的。 例2. 已知真命题“若a b ≥则c d ≤”和“若a b <则e f ≤”，则“c d ≤”是“e f ≤”的____________条件。 解：“若a b ≥则c d >”的逆否命题为“若c d ≤则a b <”。 又“若a b e f <≤则” 所以“若c d e f ≤≤则”为真命题。 故“c d ≤”是“e f ≤”的充分条件。 3. 把充要条件“直观化” 如果p q ?，我们可以形象地认为p 是q 的“子集”；如果q p ?，我们认为p 不是q 的“子集”，根据集合的包含关系，可借助韦恩图说明，现归纳如下。 图2反映了p 是q 的充分不必要条件时的情形。图3反映了p 是q 的必要不充分条件时的情形。图4反映了p 是q 的充要条件时的情形。图5、图6反映了p 是q 的既不充分也不必要条件时的情形。 例3. 若p x x q x x ：或，：==-=-1213，则p 是q 的什么条件？ 解：由题设可知q x ：=2 参照图3，可得p 是q 的必要不充分条件。
高中数学典型例题分析
高中数学典型例题分析 第八章 平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和。 记作a +b 。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则向量BA 叫做a 与b 的差。 记作a -b 。 7.实数与向量的积： （1）定义： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，并规定： ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |； ②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa =0 （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa ③λ(a +)=λa +λ 8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。 另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //b x 1y 2－x 2y 1=0 9.平面向量基本定理： 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ 2 使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一
(完整)高中数学导数典型例题
高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 （1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 解：（1）极值的求法与极值的性质 （2）由导数求最值 （3）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解：（1）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 （2）草图——讨论 题型二：利用导数解决恒成立的问题 例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．
例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2 g x f x '=． （1）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数； （2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ， 上是减函数； （3）证明：3()2 f x ≥． 解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难 分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人，我也没做出来 例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 （2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围 解：讨论点x=1/e 1/e 高中数学知识要点：充分条件和必要条件 高中数学知识要点：充分条件和必要条件 一、充分条件和必要条件 当命题“若 A 则B”为真时，A 称为 B 的充分条件，B 称为 A 的必要条件。 二、充分条件、必要条件的常用判断法 1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=>A 或者A=>B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可 2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。 3.集合法 在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若A⊆ B，则p是q的充分条件。 若A⊇B，则p是q的必要条件。 若A=B，则p是q的充要条件。 若A ?B，且B?A，则p是q的既不充分也不必要条件。 三、知识扩展 1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为： (1)交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题; (2)同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题; (3)交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。 2.由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，他们之间存在这密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断。一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。 新课标必修3概率部分知识点总结及典型例题解析 ◆ 事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不 可能事件( impossible event ) ? 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈ 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 ? 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P ② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件 ()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和 ? 古典概率（Classical probability model ）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n 1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()n m A P = ? 几何概型（geomegtric probability model ）：一般地，一个几何区域D 中随机地取一点， 记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ()的侧度 的侧度D d A P = （ 这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ） 几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多 颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 内随机地取点，指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。 互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件 充分条件与必要条件例题解析 能力素质 例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q 的 [ ] A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 分析利用韦达定理转换． 解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根， ∴x1，x2的值分别为1，－6， ∴x1＋x2＝1－6＝－5． 因此选A． 说明：判断命题为假命题可以通过举反例． 例2 p是q的充要条件的是 [ ] A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解 分析逐个验证命题是否等价． 解对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件； 对B．p q但q p，p是q的充分非必要条件； 对C．p q且q p，p是q的必要非充分条件； ??? 对．且，即，是的充要条件．选． D p q q p p q p q D 说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解． 例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的 [ ] A．充分条件B．必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 分析通过B、C作为桥梁联系A、D． 解∵A是B的充分条件，∴A B① ∵D是C成立的必要条件，∴C D② ? ∵是成立的充要条件，∴③ C B C B 由①③得A C ④ 由②④得A D ． ∴D 是A 成立的必要条件．选B ． 说明：要注意利用推出符号的传递性． 例4 设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的 [ ] A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 先解不等式再判定． 解 解不等式|x －2|＜3得－1＜x ＜5． ∵0＜x ＜5－1＜x ＜5，但－1＜x ＜50＜x ＜5 ∴甲是乙的充分不必要条件，选A ． 说明：一般情况下，如果条件甲为x ∈A ，条件乙为x ∈B ． 当且仅当时，甲为乙的充分条件； 当且仅当时，甲为乙的必要条件； A B A B ?? 当且仅当A ＝B 时，甲为乙的充要条件． 例5 设A 、B 、C 三个集合，为使A (B ∪C)，条件A B 是 [ ] A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 可以结合图形分析．请同学们自己画图． ∴A (B ∪C)． 但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时， 显然A (B ∪C)，但A B 不成立， 综上所述：“A B ” “A (B ∪C)”，而 “A (B ∪C)”“A B ”． 即“A B ”是“A (B ∪C)”的充分条件(不必要)．选A ． 说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况． 例6 给出下列各组条件： (1)p ：ab ＝0，q ：a 2＋b 2＝0； (2)p ：xy ≥0，q ：|x|＋|y|＝|x ＋y|； (3)p ：m ＞0，q ：方程x 2－x －m ＝0有实根； (4)p ：|x －1|＞2，q ：x ＜－1． 高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0? 高中数学典型题型与解析 一、选择题 1.设,21,a b R a b +∈+=、则2224ab a b --有（ ） A ．最大值 1 4 B ．最小值14 C ．最大值 212 - D ．最小值54- 2. 某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，欲求不同安排方案的种数，现有四 位同学分别给出下列四个结果：①2 6C ；②6 65 64 63 62C C C C +++；③726 -；④2 6A ．其中 正确的结论是（ ） A ．仅有① B ．仅有② C ．②和③ D ．仅有③ 3. 将函数y ＝2x 的图像按向量a →平移后得到函数y ＝2x ＋6的图像，给出以下四个命题：① a →的坐标可以是（-3.0）；②a →的坐标可以是（0，6）；③a →的坐标可以是（-3，0）或（0， 6）；④a →的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4. 不等式组? ??>->-a x a x 2412，有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（-1，3） B ．（-3，1） C ．（-∞，1） （3，＋∞） D ．（-∞，-3） （1，＋∞） 5. 设a ＞0，c bx ax x f ++=2 )(，曲线y ＝f （x ）在点P （0x ，f （0x ））处切线的倾斜角 的取值范围为[0，4π ]，则P 到曲线y ＝f （x ）对称轴距离的取值范围为（ ） A ．[0，]1a B ．0[，]21a C ．0[，|]2|a b D ．0[，|]21 |a b - 6. 已知)(x f 奇函数且对任意正实数1x ，2x （1x ≠2x ）恒有 0) ()(2 121>--x x x f x f 则一定正确的是（ ） A ．)5()3(->f f B ．)5()3(-<-f f C ．)3()5(f f >- D ．)5()3(->-f f 7. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ?，则球的体积增加≈?V （ ） A ． R R ?3 π3 4 B ．R R ?2π4 C ．2π4R D ．R R ?π4 8. 等边△ABC 的边长为a ，将它沿平行于BC 的线段PQ 折起，使平面APQ ⊥平面BPQC ，若折叠后AB 的长为d ，则d 的最小值为（ ） A ． a 43 B ．a 45 C ．4 3a D ． a 410 9. 锐角α、β满足β α βα2424sin cos cos sin +＝1，则下列结论中正确的是（ ） A ．2π≠ +βα B ．2π<+βα C ．2π>+βα D ．2 π=+βα高中数学知识要点：充分条件和必要条件
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