九年级数学上册第三章圆的基本性质微专题垂径定理有关的辅助线随堂练习含解析新版浙教版

微专题__垂径定理有关的辅助线

一 连半径构造直角三角形

(教材P78作业题第2题)

如图1，在⊙O 中，半径OC ⊥AB 于点D .已知⊙O 的半径为2，AB ＝3，求DC 的长(精确到0.01)．

图1 教材母题答图

解：如答图，连结OA .

∵OC ⊥AB ，∴AD ＝12AB ＝12×3＝32，

∴OD ＝OA 2

－AD 2

＝22

－? ??

??322

＝72，

∴DC ＝OC －OD ＝2－

7

2

≈0.68. 【思想方法】 求圆中的弦长或其他线段长时，通常连半径，由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成直角三角形进行求解．

[xx·呼和浩特]如图2，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为M ，若AB ＝12，OM ∶

MD ＝5∶8，则⊙O 的周长为( B )

A ．26π

B ．13π

C.96π5

D.3910π5

图2 变形1答图

【解析】 如答图，连结OA ，设OM ＝5x ，MD ＝8x ，∴OA ＝OD ＝13x ，又∵AB ＝12，由垂径定理可得AM ＝6，∴在Rt △AOM 中，(5x )2＋62＝(13x )2

，解得x ＝12，∴半径OA ＝132，根据周长

公式C ＝2πr ，∴⊙O 的周长为13π.

如图3，已知⊙O 的半径为5，点A 到圆心O 的距离为3，则过点A 的所有弦中，最

短的弦长为( C )

图3

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ＝8 cm ，且AB ⊥CD ，垂足为M ，则

AC 的长为( C )

A ．2 5 cm

B ．4 5 cm

C ．2 5 cm 或4 5 cm

D ．2 3 cm 或4 3 cm

【解析】 如答图，连结AC ，AO .

∵⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB ⊥CD ，AB ＝8 cm ， ∴AM ＝12AB ＝1

2×8＝4(cm)，OD ＝OC ＝5 cm.

当点C 位置如答图①所示时， ∵OA ＝5 cm ，AM ＝4 cm ，AB ⊥CD ， ∴OM ＝OA 2

－AM 2

＝52

－42

＝3(cm)， ∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8(cm)， ∴AC ＝AM 2

＋CM 2

＝42

＋82

＝45(cm)；

变形3答图

当点C 位置如答图②所示时，同理可得OM ＝3 cm ， ∵OC ＝5 cm ，∴MC ＝5－3＝2(cm)．

在Rt △AMC 中，AC ＝AM 2

＋MC 2

＝42

＋22

＝25(cm)．故选C.

如图4，用一块直径为a 的圆桌布平铺在对角线长为a 的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为( B ) A.

2－12a B.2－24

a C ．(2－1)a

D ．(2－2)a

【解析】 从题目中很容易看出桌布刚好覆盖正方形桌子的桌面，桌子的边长为2

2

a ，用直径a 减去桌子的边长刚好为2x 的长度，∴x ＝2－2

4

a .故选B.

图4 图5

如图5，一块破残的轮片上，点O 是这块轮片的圆心，AB ＝120 mm ，C 是AB ︵

上的一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，CD ＝20 mm ，则原轮片的半径是__100__mm.

如图6是某风景区的一个圆拱形门，路面AB 宽为2 m ，净高CD 为5 m ，则圆拱形门所在圆的半径为__2.6__m.

图6 变形6答图

【解析】 如答图，连结OA . 在Rt △OAD 中，AD ＝1

2

AB ＝1(m)．

设⊙O 的半径为R (m)，则OA ＝OC ＝R (m)，OD ＝(5－R ) m ， 由勾股定理，得OA 2

＝OD 2

＋AD 2

， 即R 2

＝(5－R )2

＋12，解得R ＝2.6.

如图7，⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在这个三角形的高线AD 上，AB ＝10，BC ＝12，求⊙O 的半径．

图7 变形7答图

解：如答图，连结OB .

∵AD 是△ABC 的高线，△ABC 外接圆的圆心在AD 上，∴BD ＝1

2

BC ＝6.

在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2

－BD 2

＝100－36＝8. 设圆的半径是R ，则OD ＝8－R .

在Rt △OBD 中，由勾股定理，得R 2

＝36＋(8－R )2

， 解得R ＝254.即⊙O 的半径为25

4

.

二 作圆心到弦的垂线巧解题

教材P78作业题第6题)

已知：如图8，在⊙O 中，弦AB ∥CD .求证：AC ︵＝BD ︵

.

图8 教材母题答图

证明：如答图，过点O 作OE ⊥AB ，交⊙O 于点E ， ∵AB ∥CD ，∴OE ⊥CD ，则AE ︵＝EB ︵，CE ︵＝ED ︵

， ∴AE ︵－CE ︵＝EB ︵－ED ︵，即AC ︵＝BD ︵.

【思想方法】 当圆中出现弦时，通常作圆心到弦的垂线，或再连半径构造直角三角形，可通过垂径定理或勾股定理解题．

如图9，矩形ABCD 与⊙O 相交于点M ，N ，F ，E ，若AM ＝2，DE ＝1，EF ＝8，则MN 的长为( C ) A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

图9 变形1答图

【解析】 如答图，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，交CD 于点G ，则MH ＝HN ，EG ＝GF ， ∵四边形ADGH 是矩形，∴AH ＝DG . ∵EG ＝1

2EF ＝4，∴DG ＝DE ＋EG ＝1＋4＝5，

∴AH ＝5.又∵AH ＝AM ＋MH ＝2＋MH ＝5，

∴MH ＝3，则MN ＝2MH ＝2×3＝6.故选C.

[xx·金华]如图10，在半径为13 cm 的圆形铁片上切下一块高为8 cm 的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为( C ) A ．10 cm B ．16 cm C ．24 cm

D ．26 cm

图10 变形2答图

【解析】 如答图，在Rt △OCB 中，OC ＝5 cm ，OB ＝13 cm ，根据勾股定理，得BC ＝OB 2－OC 2

＝132

－52

＝12(cm)．∴AB ＝2BC ＝24(cm)．

[xx·西宁]如图11，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝ 2，BP ＝ 6，∠

APC ＝30°.则CD 的长为( C )

A.15

B ．2 5

C ．215

D ．8

图11

变形3答图

【解析】 如答图，作OH ⊥CD 于H ，连结OC ， ∵OH ⊥CD ，∴HC ＝HD ， ∵AP ＝2，BP ＝6，∴AB ＝8， ∴OA ＝4，∴OP ＝OA －AP ＝2， 在Rt △OPH 中，∵∠OPH ＝30°， ∴OH ＝1

2

OP ＝1，

在Rt △OHC 中，∵OC ＝4，OH ＝1，

∴CH ＝OC 2

－OH 2

＝15， ∴CD ＝2CH ＝215.

如图12，⊙O 的弦AB ，CD 反向延长交于点P ，AB ＝CD .求证：OP 平分∠BPD .

图12 变形4答图

证明：如答图，连结OB ，OD ，过点O 作OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥CD 于点N ， 则由垂径定理，得BM ＝12AB ，DN ＝1

2CD .

又∵AB ＝CD ，∴BM ＝DN .

由勾股定理，得OM 2

＝OB 2

－BM 2

，ON 2

＝OD 2

－DN 2

. ∵OB ＝OD ，BM ＝DN ，∴OM ＝ON . 又∵OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴OP 平分∠BPD .

如图13，有一石拱桥的桥拱是圆弧形，正常水位下水面宽AB ＝60 m ，水面到拱顶距离CD ＝18 m ，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m 时需要采取紧急措施，当水面宽

MN ＝32 m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由．

图13 变形5答图

解：不需要采取紧急措施．理由：

设OA ＝R (m)，在Rt △AOC 中，AC ＝1

2AB ＝30(m)，OC ＝(R －18) m.

由勾股定理，得OA 2

＝AC 2

＋OC 2

， 即R 2

＝302

＋(R －18)2，解得R ＝34. 如答图，连结OM ，设DE ＝x (m)．

在Rt △MOE 中，ME ＝1

2MN ＝16(m)，OE ＝(34－x )m.

由勾股定理，得OM 2

＝ME 2

＋OE 2

， 即342

＝162

＋(34－x )2，

解得x 1＝4，x 2＝64(不合题意，舍去)，∴DE ＝4 m.

∵4＞3.5，∴不需要采取紧急措施．