2020年高考数学 考前最后押题 精品

2020年高考数学考前最后押题

数学是“教会年轻人思考”的科学, 针对代数推理型问题, 我们不但要寻求它的解法是什么, 还要思考有没有其它的解法, 更要反思为什么要这样解, 不这样解行吗?我们通过典型的问题, 解析代数推理题的解题思路, 方法和技巧. 在解题思维的过程中, 既重视通性通法的演练, 又注意特殊技巧的作用, 同时将函数与方程, 数形结合, 分类与讨论, 等价与化归等数学思想方法贯穿于整个的解题训练过程当中.

例1设函数13

4)(,4)(2+=--+=x x g x x a x f ，已知]0,4[-∈x ，时恒有)()(x g x f ≤，求a 的取值范围.

讲解: 由得实施移项技巧,)()(x g x f ≤ ,13

4:,4:,134422a x y L x x y C a x x x -+=--=-+≤--令, 从而只要求直线L 不在半圆C 下方时, 直线L 的y 截距的最小值. 当直线与半圆相切时，易求得35(5=

-=a a 舍去）. 故)()(,5x g x f a ≤-≤时.

本例的求解在于,实施移项技巧 关键在于构造新的函数, 进而通过解几模型进行推理解题, 当中, 渗透着数形结合的数学思想方法, 显示了解题思维转换的灵活性和流畅性.

还须指出的是: 数形结合未必一定要画出图形, 但图形早已在你的心中了, 这也许是解题能力的提升, 还请三思而后行.

例2 已知不等式3

2)1(log 121212111+-≥+++++a n n n a Λ对于大于1的正整数n 恒成立，试确定a 的取值范围. 讲解: 构造函数n n n n f 212111)(+++++=

Λ，易证(请思考:用什么方法证明呢?))(n f 为增函数.

∵n 是大于1的 正整数，

.127)2()(=

≥∴f n f 32)1(log 121212111+-≥+++++a n n n a Λ要使

对一切大于1的正整数恒成立，必须12732)1(log 121≤+-a a , 即.2

511,1)1(log +≤<-≤-a a a 解得

这里的构造函数和例1属于同类型, 学习解题就应当在解题活动的过程中不断的逐类旁通, 举一反三, 总结一些解题的小结论. 针对恒成立的问题, 函数最值解法似乎是一种非常

有效的同法, 请提炼你的小结论.

例3 已知函数)0(49433)(22>++--=b b x x x f 在区间[－b ，1－b]上的最大值为25，求b 的值. 讲解: 由已知二次函数配方, 得 .34)2

1(3)(22+++-=b x x f 2321,121)1(≤≤-≤-

≤-b b b 即当时，)(x f 的最大值为4b 2+3=25. ;2

3214252矛盾与≤≤=∴b b ]1,[)(,2

10,21)2(b b x f b b --<<-<-在时即当上递增， ;25)2

3()(2<+=-∴b b f ]1,[)(2

3,121)3(b b x f b b -->->-在时，即当上递增， ∴2

5,2541596)1(2==-+=-b b b f 解得. 关于二次函数问题是历年高考的热门话题, 值得读者在复课时重点强化训练. 针对抛物线顶点横坐标2

1在不在区间[－b ，1－b], 自然引出解题形态的三种情况, 这显示了分类讨论的数学思想在解题当中的充分运用. 该分就分, 该合就合, 这种辨证的统一完全依具体的数学问题而定, 需要在解题时灵活把握.

例4已知).1(1

)(-≠+=x x x x f )()1(x f 求的单调区间；

（2）若.4

3)()(:,)(1,0>+-=>>c f a f b b a c b a 求证 讲解: （1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 1

11)(+-=x x f , .),1()1,()(上分别单调递增和在区间+∞---∞∴x f

（2）首先证明任意).()()(,0y f x f y x f y x +<+>>有

事实上,)(1

111)()(y x xy f y x xy y x xy y x xy y x xy xy y y x x y f x f ++=+++++>++++++=+++=+

而 ()),()1(,

y x f y x xy f y x y x xy +>+++>++知由

)()()(y x f y f x f +>+∴

Θ,04)2(1)(122>=+-≥-=a b b a b b a c .34222≥++≥+∴a

a a c a 43)3()()()(=≥+>+∴f c a f c f a f . 函 数 与 不 等 式 证 明 的 综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题 型 , 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值.. 针对本例的求解, 你能够想到证明任意).()()(,0y f x f y x f y x +<+>>有采用逆向分析法, 给出你的想法!

例5 已知函数f (x )=a a a x x

+（ａ＞０，ａ≠１）．

(1) 证明函数f (x )的图象关于点P (2

1,21)对称． (2) 令a n ＝

)1()(n f n f a -，对一切自然数n ，先猜想使a n ＞ｎ２成立的最小自然数a ,并证明之．

(3) 求证：n n n n )(!(lg 3lg )1(4

1>+∈Ｎ). 讲解: (1)关于函数的图象关于定点P 对称, 可采用解几中的坐标证法. 设M (x ,y )是f (x )图象上任一点，则M 关于P (

21,21)的对称点为M ’（１－ｘ，１－ｙ），

y x f a

a a a

a a y a a a a a a a

a a a x x x x x

x x

-=-∴+=+-=-+=?+=+--1)1(1111Θ ∴Ｍ′(1-x ,1-y )亦在f (x )的图象上，

故函数f (x )的图象关于点P (2

1,21)对称. (2)将f (n )、f (1-n )的表达式代入a n 的表达式，化简可得a n ＝ａｎ猜a =3,

即3ｎ＞ｎ２．

下面用数学归纳法证明．

设n =k (k ≥２)时，3ｋ＞ｋ２．

那么n =k +1，3ｋ＋１＞３·３ｋ＞３ｋ２

又3k ２－（ｋ＋１）２＝２（ｋ－21）２－23≥０（ｋ≥２，ｋ∈Ｎ） ∴３ｎ＞ｎ２.

(3)∵３ｋ＞ｋ２

∴ｋｌｇ３＞２ｌｇｋ

令k =1,2,…，n ，得n 个同向不等式，并相加得：

).!lg(3lg )1(4

),21lg(23lg 2)1(n n n n n n >-?>+故Λ 函数与数列综合型问题在高考中频频出现,是历年高考试题中的一道亮丽的风景线.针对本例,你能够猜想出最小自然数a=3吗? 试试你的数学猜想能力.

例6 已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实根为x 1和x 2.

（1）如果4221<<

（2）如果2||,2||121=-

讲解:（1）设01)1()()(2>+-+=-=a x b ax x x f x g 且，由4221<<

,81,221443.22144

3034160124>-<--<<-∴???>-+<-+a a a a b a b a b a 得由 a

a b a 4112832->->-∴， 故18

141120-=?->-=a b x ； （2）由,01,01)1()(212>==+-+=a

x x x b ax x g 可知21,x x ∴同号. ①若0124)2(,22,2,2012121<-+=∴>+=∴=-<

又0(1)1(1244)1(||2222

12>+-=+=--=-a b a a a b x x 得，负根舍去）代入上式得 b b 231)1(22-<+-，解得4

1

②若,0)2(,22,02121<-∴-<+-=<<-g x x x 则 即4a －2b+3＜0.

同理可求得47>

b . 故当.47,02,41,2011><<-<<

例7 对于函数)(x f ，若存在000)(,x x f R x =∈使成立，则称)(0x f x 为的不动点。如果函数),()(2N c b c bx a x x f ∈-+=有且只有两个不动点0，2，且,2

1)2(-<-f （1）求函数)(x f 的解析式；

（2）已知各项不为零的数列1)1(4}{=?n

n n a f S a 满足，求数列通项n a ； （3）如果数列}{n a 满足)(,411n n a f a a ==+，求证：当2≥n 时，恒有3

讲解: 依题意有x c

bx a x =-+2,化简为 ,0)1(2=++-a cx x b 由违达定理, 得 ???

????-=?--=+,102,102b a b c 解得 ,210?????+==c b a 代入表达式c x c x x f -+=)2

1()(2，由,2112)2(-<+-=-c f 得 x x f b c N b N c c ===∈∈<)(,1,0,,,3则若又不止有两个不动点， ).1(,)

1(2)(,2,22

≠-===∴x x x x f b c 故 （2）由题设得,2:1)11(2)1(

422n n n n n n a a S a a S -==-?得 （*） 且21112:1,1----=-≠n n n n a a S n n a 得代以 （**）

由（*）与（**）两式相减得：