高中数学-函数待定系数法练习
高中数学-待定系数法练习
课时过关·能力提升
1反比例函数的图象经过点(-2,3),则其还经过点()
A.(-2,-3)
B.(3,2)
C.(3,-2)
D.(-3,-2)
解析设反比例函数为f(x)= (k≠0),
则3=,k=-6,即f(x)=,
故其还经过点(3,-2).
答案C
2二次函数y=x2+ax+b,若a+b=0,则它的图象必经过点()
A.(-1,-1)
B.(1,-1)
C.(1,1)
D.(-1,1)
解析当x=1时,y=12+a×1+b=a+b+1=1,因此图象一定经过定点(1,1).
答案C
3已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为(2,-1),与y轴的交点为(0,11),则()
A.a=1,b=-4,c=11
B.a=3,b=12,c=11
C.a=3,b=-6,c=11
D.a=3,b=-12,c=11
解析由已知可设二次函数f(x)=a(x-2)2-1(a≠0).
因为点(0,11)在二次函数f(x)=a(x-2)2-1的图象上,
所以11=4a-1,解得a=3.
所以f(x)=3(x-2)2-1=3x2-12x+11.
故a=3,b=-12,c=11.
答案D
4已知x3+2x2-5x-6=(x+a)(x+b)(x+c),则a,b,c的值分别为()
A.1,2,3
B.1,-2,-3
C.1,-2,3
D.1,2,-3
解析∵(x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc=x3+2x2-5x-6,
∴
解得a=1,b=-2,c=3.
答案C
5设函数f(x)=若f(-1)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为()
A.1
B.2
C.3
D.4
解析由f(-1)=f(0),f(-2)=-2,
可得
解得
故f(x)=
令f(x)=x,解得x=2或x=-2.
答案B
6抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A与点B,与y轴相交于点C,如果OB=OC=OA,那么b的值为()
A.-2
B.-1
C.-
D.
解析由图象可知c>0,且B(c,0),A(-2c,0).
设f(x)=a(x-c)(x+2c),
则a(x-c)(x+2c)=ax2+bx+c,
即ax2+acx-2ac2=ax2+bx+c.
故即ac=-,b=-.
答案C
7已知一次函数的图象经过(5,-2)和(3,4),则这个函数的解析式为. 解析设一次函数为y=kx+b(k≠0),
则有解得
答案y=-3x+13
8如图所示为二次函数y=ax2+bx+c的图象,则该函数的解析式为.
解析设二次函数为y=a(x+1)(x-3).
∵点(0,-2)在图象上,
∴-2=a(0+1)(0-3).∴a=.
∴y=(x+1)(x-3)=x2-x-2.
答案y=x2-x-2
9已知二次函数当x=4时有最小值-3,且它的图象与x轴的两交点间的距离为6,则这个二次函
数的解析式为.
解析由题意知,抛物线的对称轴为x=4,抛物线与x轴的两交点坐标是(1,0)与(7,0),如图所示.
设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由条件可得抛物线的顶点为(4,-3),且过点(1,0)和(7,0),将三个点的坐标代入,得
解得
故所求二次函数的解析式为f(x)=x2-x+.
答案f(x)= x2-x+
10抛物线经过点(2,-3),它与x轴交点的横坐标是-1和3.
(1)求出抛物线的解析式.
(2)用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标.
(3)画出草图.
(4)观察图象,x取何值时,函数值y小于零?x取何值时,y随x的增大而减小?
解(1)设抛物线的解析式为f(x)=a(x+1)(x-3)(a≠0).
因为抛物线经过点(2,-3),
所以-3=a(2+1)(2-3),解得a=1.
故抛物线的解析式为f(x)=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.
(2)f (x)=x2-2x-3=(x-1)2-4.
由此可知抛物线的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,-4).
(3)抛物线的草图如图所示.
(4)由图象可知,当x∈(-1,3)时,函数值f(x)小于零;
当x∈(-∞,1]时,f(x)随x的增大而减小.
★11已知定义在[-6,6]上的奇函数f(x),在[0,3]上为一次函数,在[3,6]上为二次函数,且x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3,f(6)=2,求f(x)的解析式.
解当x∈[3,6]时,
∵f(x)≤f(5)=3,
∴设f(x)=a(x-5)2+3(a≠0).
又f(6)=2,
∴f(6)=a(6-5)2+3=2,解得a=-1.
∴f(x)=-(x-5)2+3,x∈[3,6].
∴f(3)=-(3-5)2+3=-1.
故x∈[0,3]和x∈[3,6]时,f(x)的图象均过点(3,-1).
∵当x∈[0,3]时,f(x)为一次函数,
∴设f(x)=kx+b(k≠0).
∵f(x)在[-6,6]上是奇函数,∴f(0)=0,
∴b=0,即f(x)=kx(k≠0).
将点(3,-1)代入,得-1=3k,即k=-.
故f(x)=-x,x∈[0,3].
因此,f(x)=
又f(x)为奇函数,
∴当x∈[-3,0]时,f(x)=-f(-x)=-x.
当x∈[-6,-3]时,f(x)=-f(-x)=(-x-5)2-3=(x+5)2-3.
∴f(x)=
★12已知直线AB过x轴上的一点A(2,0)且与抛物线y=ax2相交于点B(1,-1)与点C.
(1)求直线和抛物线的解析式.
(2)问抛物线上是否存在一点D,使S△OAD=S△OBC?若存在,求出点D坐标;若不存在,请说明理由.解(1)设直线的解析式为y=kx+b.
∵直线过点A(2,0),B(1,-1),
∴解得k=1,b=-2,
∴直线的解析式为y=x-2.
又抛物线y=ax2过点B(1,-1),
∴a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-x2.
(2)直线与抛物线相交于B,C两点,故
解得B,C两点坐标为B(1,-1),C(-2,-4),
由图可知,S△OBC=S△OAC-S△OAB
=×|-4|×2-×|-1|×2=3.
假设抛物线上存在一点D,使S△OAD=S△OBC,
设D(m,-m2),
可得S△OAD=×2×m2=m2,即m2=3,
故m=或m=-,即存在这样的点D(,-3)或D(-,-3)满足题意.