理论力学1-7章答案

习题7-1图

O

υ

(a)

υ

υ

(b)

习题7-3图

第7章 点的复合运动

7-1 图示车A 沿半径R 的圆弧轨道运动，其速度为v A 。车B 沿直线轨道行驶，其速度为v B 。试问坐在车A 中的观察者所看到车B 的相对速度v B /A ，与坐在车B 中的观察者看到车A 的相对速度v A /B ，是否有B A A B //v v -=？（试用矢量三角形加以分析。）

答：B A A B //v v -≠

1．以A 为动系，B 为动点，此时绝对运动：直线；相对运动：平面曲线；牵连运动：定轴转动。 为了定量举例，设R OB 3=，v v v B A ==，则v v 3e =

∴ ??

??

==6021/θv v A B

2．以B 为动系，A 为动点。牵连运动为：平移；绝对运动：圆周运动；相对运动：平面曲线。

此时?

?????==4522/θv v B A ∴ B A A B //v v -≠

7-3 图示记录装置中的鼓轮以等角速度0ω转动，鼓轮的半径为r 。自动记录笔连接在沿铅垂方向并按)sin(1t a y ω=规律运动的构件上。试求记录笔在纸带上所画曲线的方程。 解：t r x 0ω= （1） )sin(1t a y ω=

（2）

由（1）

0ωr x

t =

代入（2），得

)sin(01r x

a y ωω=

7-5 图示铰接四边形机构中，O 1A = O 2B = 100mm ，O 1O 2 = AB ，杆O 1A 以等角速度ω= 2rad/s 绕轴O 1转动。AB 杆上有一套筒C ，此套筒与杆CD 相铰接，机构的各部件都在同一铅垂面内。试求当?= ?60，CD 杆的速度和加速度。

解：1．动点：C （CD 上），动系：AB ，绝对：直线，相对：直线，牵连：平移。 2．r e a v v v +=（图a ） v e = v A

01.021

21.0cos e a =?

?==?v v m/s （↑）

3． r e a a a a +=（图b ）

4.021.02

2e =?==ωr a m/s 2 346.030cos e a =?=a a m/s 2（↑）

习题7-5图

习题7-7图

习题7-9图

υ

(a) (b)

(a)

7-7 图示瓦特离心调速器以角速度ω绕铅垂轴转动。由于机器负荷的变化，调速器重球以角速度1ω向外张开。如ω= 10 rad/s ，1ω= 1.21 rad/s ；球柄长l = 0.5m ；球柄与铅垂轴夹角α= 30°。试求此时重球的绝对速度。 解：动点：A ，动系：固连于铅垂轴，绝对运动：空间曲线，相对运动：圆图，牵连运动：定轴转动。

r e a v v v +=

3)sin (e =+=ωαl e v m/s 605.01r ==ωl v m/s

06.32

r 2e a =+=v v v m/s 或 i v '-=3e m/s

k j k j v '+'='

+'=300.0520.0sin cos r r r ααv v )300.0 ,520.0 ,3(a -=v m/s

7-9 图示直角曲杆OBC 绕O 轴转动，使套在其上的小环M 沿固定直杆OA 滑动。已知OB = 0.1m ；OB 与BC 垂直；曲杆的角速度ω= 0.5 rad/s 。试求当?= 60

解：动点：小环M ，动系：OBC ，绝对运动：直线，相对运动：直线，牵连运动：定轴转动。

图（a ）：r e v v v +=M

1

.0cos e =?=?=?ω

ωOB OM v m/s 173.0tan e ==?v v M m/s

图（b ）：C r e a a a a ++=M （1）

上式向a C 投影，

C e cos cos a a a M +-=??

又 05.02

e =?=ωOM a m/s 2

20.0cos /22e r C =?==?ωωv v a m/s 2

代入（1），得 a M = 0.35m/s 2（→）

习题7-11图

a

υe

υ(a)

a

a

(b)

习题7-13图

y

A

υA

υ

(a)

7-`11 图示偏心凸轮的偏心距OC = e ，轮半径e r 3=。凸轮以等角速度0ω绕O 轴转动。设某瞬时OC 与CA 成直角，试求此瞬时从动杆AB 的速度和加速度。 解：1．动点：A （AB 上），动系：轮O ，绝对运动：直线，相对运动：圆周，牵连运动：定轴转动。 2．r e a v v v +=（图a ） 0r 2ωe v =，

0e a 33230tan ωe v v =

?=（↑），0a r 33

42ωe v v ==

3．C τ

r n r e a a a a a a +++=（图b ）

向n

r a 投影，得

C n

r e a 30cos 30cos a a a a -+?=?

?-+=cos30C n r e a a a a a )

23(322r

02

r 2e v e v e ωω-+=

)33

423316

(

32

200

2

02

0ωωωωe e e -+

==2

092ωe （↓）

7-13 A 、B 两船各自以等速v A 和v B 分别沿直线航行，

如图所示。B 船上的观察者记录下两船的距离ρ和角?，

试证明：

ρ?ρ?

2-=，2?ρ r = 解：证法一：∵v A 、v B 均为常矢量，∴B 作惯性运动。 在B 船上记录下的两船距离ρ和角?为A 船相对B

船运动的结果。以A 为动点，B 为动系，则牵连运动为平移，绝对运动为直线，相对运动：平面曲线。 r e a a a a +=

∵ 0a ==A a a ，0a ==B a a ∴ 0r =a

由教科书公式（2-35），

0)2()(2r =++-=?ρ?ρ?ρ?ρρe e a

∴ ??

?

?

?-==ρ?ρ??ρρ 22 证法二：建立图（a ）坐标系Bxy ，则

?ρcos =A x ，?ρ??ρcos sin

+?-=A x

习题7-15

图

习题6-1图

习题6-3图

?ρsin =A y ，?ρ??ρsin cos

+?=A y

??ρ?ρ??ρρ

??ρ??ρ??ρ?ρsin )2(cos )(sin cos sin 2cos 22 +--=---=A x

??ρρ??ρ?ρ

??ρ??ρ??ρ?ρsin )(cos )2(cos sin cos 2sin 22

-++=+-+=A y

0)2()(2222

2r =++-=+=?ρ?ρ?ρρ A A y x a

∴ ??

?

?

?-==ρ?ρ??ρρ

22

7-15 图示直升飞机以速度H υ= 1.22 m/s 和加速度a H = 2m/s 2向上运动。与此同时，机身（不是旋翼）绕铅垂轴（z ）以等角速度H ω= 0.9 rad/s 转动。若尾翼相对机身转动的角速度为H B /ω= 180 rad/s ，试求位于尾翼叶片顶端的一点的速度和加速度。

解：j i k v H B H H P v /762.01.6ωω+-=

k j i 22.12.13749.5++-=

)762.02(762.01.6/2

/2j k k j k a H B H H B H H P a ωωωω?+--= i k j k 9.2462468994.42---= )2468794.49.246(k j i ---=m/s 2

第6章 点的一般运动与刚体的简单运动

6－1 试对图示五个瞬时点的运动进行分析。若运动可能，判断运动性质；若运动不可能，说明原因。 答：（a ）减速曲线运动； （b ）匀速曲线运动； （c ）不可能，因全加速度应指向曲线凹 （d ）加速运动；

（e ）不可能，0≠v 时，0n ≠a ，此时a 应指向凹面，不能只有切向加速度。

6-3 图示点P 沿螺线自外向内运动。它走过的弧长与时间的一次方成正比，试问该点的速度是越来越快，还是越来越慢？加速度是越来越大，还是越来越小？ 解：s = kt

const ===k s

v ，匀速运动； 0τ=a

ρ2

n v a =

∴n a a = ∵ρ逐渐变小，∴ 加速度a 越来越大。

6-5 已知运动方程如下，试画出轨迹曲线、不同瞬时点的v 、a 图像，说明运动性质。

ωe ωe -υa υ(c)

ωe νω

e -

O υ

(b)

(b)

习题6-7图 y

R -R R +O υ (a) 1．?

????-=-=2

25.1324t t y t t x ， 2．???==)2cos(2sin 2t y t

x 式中，t 以s 计；x 以mm 计。 解：1．由已知得 3x = 4y （1）

??

?-=-=t y

t x

3344 ∴t v 55-= ??

?-=-=34y x

∴5-=a 为匀减速直线运动，轨迹如图（a ），其v 、a 图像从略。

2．由已知，得

2arccos

213arcsin y x = 化简得轨迹方程：2942x

y -= （2）

轨迹如图（b ），其v 、a 图像从略。

6-7 搅拌机由主动轴O 1同时带动齿轮O 2、O 3转动，搅杆ABC 用销钉A 、B 与O 2、O 3轮相连。若已知主动轮转速为n = 950 r/min ，AB = O 2O 3，O 2A = O 3B = 250mm ，各轮的齿数Z 1、Z 2、Z 3如图中所示。试求搅杆端点C 的速度和轨迹。

解：搅杆ABC 作平移，∴ v C = v A ，C 点的轨迹为半径250mm 的圆。

8

.395020

60π29502112=??=?=Z Z ωωrad/s

95.925.02=?=ωA v m/s

6-9 图示凸轮顶板机构中，偏心凸轮的半径为R ，偏心距OC = e ，绕轴O 以等角速转动，从而带动顶板A 作平移。试列写顶板的运动方程，求其速度和加速度，并作三者的曲线图像。 解：（1）顶板A 作平移，其上与轮C 接触点坐标： t e R y sin ω+=（ω为轮O 角速度）

t e y

v cos ωω== t e y a sin 2ωω-==

（2）三者曲线如图（a ）、（b ）、（c ）。

6-11 图示绳的一端连在小车的的点A 上，另一端跨过点B 的小滑车绕在鼓轮C 上，滑车离AC 的高

习题6-9图

x

y

ωt

习题6-13图

习题6-15图

习题6-11图

度为h 。若小车以速度v 沿水平方向向右运动，试求当θ= 45°时B 、C 之间绳上一点P 的速度、加速度和

绳AB 与铅垂线夹角对时间的二阶导数θ

各为多少。 解：1．∵P 点速度与AB 长度变化率相同

∴

2221)(d d 2221

22v

x h x x x h t v P =

+?=+= （θ= 45°，x = h 时） 2．同样：

h v h x x h x x t v

a P P 2222)(d d 2

222==+==

（∵0=x

，x = h ） 3．

h x =θtan ，h x

1

tan -=θ ∴ 222

211x h x h h x x h +=+= θ

∴

2

22

2222)(2h v x h x hx -=+-= θ（顺）

6-13 自行车B 沿近似用抛物线方程y = Cx 2（其中C = 0.01m -1）描述的轨道向下运动。当至点A （x A =

20m ，y A

= 4m ）时，B υ

= 8m/s ，t B d /d υ=4m/s 2 。试求该瞬时B 的加速度大小。假设可将车－人系统看成

点。

解：A 点的曲率半径ρ： y = 0.01x 2

[]

02.0)

0004.01()

(12

3

2232x y y x

x

+=

'''+=

ρ

x = 20m 时，ρ= 62.47m

024

.12

n ==

ρ

v a m/s 2

13.4024.142

22n 2τ=+=+=a a a B m/s 2

6-15 由于航天器的套管式悬臂以等速向外伸展，所以通过内部机构控制其以等角速度ω= 0.05 rad/s 绕轴z 转动。悬臂伸展长度l 从0到3m 之间变化。外伸的敏感试验组件受到的最大加速度为0.011m/s 2。

试求悬臂被允许的伸展速度l

。

解：用极坐标解，由书上公式（2－35）：

?ρ?ρ?ρ?ρρe e a )2()(2 ++-=P

得 2222

)2()(?ρ?ρ?ρρ

++-=P a 本题中 a P = 0.011 m/s 2，ρ = 0（等速向外），

?

= 0（等角速度ω） ∴ 224

224?ρ?

ρ +=P a 这里l +=2.1ρ，ω?

= ，l =ρ 即 2

24224)2.1(ωωl l a P ++=

即 2

242205.0405.0)32.1(011.0l ??+?+=

∴ 8.32max =l

mm/s

运动学篇

第5章 引 论

习题5-1图

习题5-2图

习题5-3图

习题5-4图

5－1 图中所示为游乐场内大回转轮上的游人坐椅（B ）。当回转轮绕固定轴转动时，试分析座椅－人的运动形式。 答：平移。

5－3 直杆AB 分别在图a 和b 所示的导槽内运动。其中图a 所示的槽壁分别为铅垂面与水平面；图b 所示的槽壁为圆柱面与水平面相连接。试分析杆在两种情形下的运动形式。 答：（a ）杆AB 之A 端位于铅垂面时作平面运动；当A 端下滑至水平面时，AB 作平移。

（b ）当B 位移于圆弧段时，AB 绕O 作定轴转动；当B 过C 点而A 尚未过C 点时作平面运动；当A 过C 点时作平移。

第4章 摩擦平衡问题

4－1 一叠纸片按图示形状堆叠，其露出的自由端用纸粘连，成为两叠彼此独立的纸本A 和B 。每张纸重0.06N ，纸片总数有200张，纸与纸之间以及纸与桌面之间的摩擦因数都是0.2。假设其中一叠纸是固定的，试求拉出另一叠纸所需的水平力F P 。 解：1．将A 从B 中拉出：

A 中最上层，这里称第1层纸，其上、下所受正压力分别为 F N1 = mg = 0.06N F N2 = 2mg

以此类推，A 中第i 层纸上、下受力图（a ）

mg i F i )12(s N -=

img F i 2x N =

其最下层，即第100层纸，上、下受正压力 F N100s = 199 mg F N100x = 200 mg

所受总摩擦力

)]200199()212()43()21[(d N d s ++++-+++++=∑= i i mg f F f F i

A

241

2)

1200(20006.02.0=+??

?=N

∴ F P A = 241 N 2．将B 从A 中拉出：

B 中第i 层纸上、下受正压力（图b ）： mg i F i )22(s N -=，mg i F i )12(x N -=

所受总压力

)]199198()32()10[(N ++++++= mg F 所受总摩擦力

239

2)

1199(19906.02.0)199321(d s =+??

?=++++= mg f F B N

∴ F P B = 239 N

4－3 砖夹的宽度为250mm ，杆件AGB 和GCED 在点G 铰接。砖的重为W ，提砖的合力F P 作用在 解：1．整体（题图）

=∑y F ，F P = W （1） 2．图（a ）

0=∑y F ，2W F = （2） 0=∑x F ，F N1 = F N2

1N fF F ≤ （3）

f W

f F F F 22N 1N =≥

=

（4）

3．图（b ） 0=∑G M

030951N P ='-?'+?d F F F 0

223095≥-?+d f W

W W

110≤d mm

4－5 图示为凸轮顶杆机构，在凸轮上作用有力偶，其力偶矩的大小为M ，顶杆上作用有力F Q 。已知顶杆与导轨之间的静摩擦因数f s ，偏心距为e ，凸轮与顶杆之间的摩擦可忽略不计，要使顶杆在导轨中向上运动而不致被卡住，试问滑道的长度l 解：

1．对象：凸轮；受力图（b ）

0=∑O M ，e W F ='2N

2．对象：顶杆，受力图（a ）

0=∑y F ，2

N s Q 2F F F =+ 2s 1s s F F F == 1N s s F f F = （1）、（3）代入（2），得

e M

F f F =

+1N s Q 2 0)(=∑F C M ，M e F l F =?=?2N 1N

l M F =

1N

习题4-7图 代入（4），得

e M

l M f F =

?+s Q 2 ∴ e

F M Mef l Q s

2-=

即

e F M Me

f l Q s

min 2-=

4－7 一人用水平力F 将电气开关插头插入插座。二者初始接触的情形如图所示，当F = 13.3N 时，插头完成所述动作。试问开始插入时，垂直于插座中每个簧片上的接触分量是多少？设摩擦因数为0.25。 解：图（a ），由对称性 21s s F F =，2N 1N F F =

0=∑x F ， F F F =+θθsin 2cos 2N s （1） N s s F f F = （2） 由（1）、（2）

28

.9=N

4－9 图示均质杆重W ，长l ，置于粗糙的水平面上，二者间的静摩擦因数为f s 。现在杆一端施加与杆垂直的力F P ，试求使杆处于平衡时F P 的最大值。设杆的高度忽略不计。

解：设杆在F P 作用下有绕A s

f l W q = 0

=∑y F ，

0)(s s P =--+

x l f l W

x f l W F

（1 即

02s

s P =+-x l W

f W f F

（2 0=∑C M ，022s P =--?

l

x l W f x l F （3 由（2），

0)21(s P =-

=l x

W f F

（4 代入（3），0

22)21(s s =?--?-x

W f x l l x W f 0

))(21(=---x x l l x

0))(2(=---lx x l x l

0422

2=+-l lx x

l l x 293.0)22

1(=-=

代入（4），W f F s P 4

12.0=

4－11 图示为螺旋拉线装置。两个螺旋中一个为左旋，另一个为右旋，因而当转动中间的眼状螺母时，两端钢丝绳可拉紧或松开。已知螺纹是矩形的，螺旋半径为6.35mm ，螺距为2.54mm ，该装置现承受拉力F T = 5kN 。为松开拉线，克服阻力转动螺母，需作用力矩M = 30.2N ·m 。试求在螺旋中的有效摩擦因数。 解：取眼状螺母上端螺纹，受力图（a ）

习题4-13图

螺纹斜率

0.035.6π254.2π2tan =?==

r l α ?=6426.3α

06353.0sin =α，9980.0cos =α 作用在螺纹上的切向力

2378

0127.02.302τ===r M F N

其平衡方程：

0sin cos τT N =+-ααF F F （1 0cos sin τT =-+ααF F F （2 临界：F = f F N （3） 解（1）、（2）、（3）联立，得松开时

15149903182373sin cos sin cos ττ

-+=

-+=α

αα

αF F F F f T T

556.0=（松开）

讨论 其平衡方程：

0sin cos T N =--αατF F F

0cos sin τT =-+ααF F F F = f F N

解得400

.0sin cos sin cos τT T τ=+-=ααααF F F F f （拧紧）

4－13 图示均质杆重22.2N ，B 端放置于地面，A 端靠在墙上。设B 端不滑动，试求A 端不滑动时的最小静摩擦因数。 解：(

)

264

1

)3(2122

2=++-=BA

BA 的单位矢量 e 1 =)4,1,3(261

-

A 端可能滑动的方向在平行于yz 面过A 点的平面内，且⊥e 1，设其单位矢为e 2，则

e 2 =)sin ,cos ,0(ββ- β为e 2与y 正向夹角。 ∵ e 1

⊥e 2

，即021=?e e

?

-)4,1,3(261

0)sin ,cos ,0(=-ββ 即 0s i n 4c o s

=-ββ

174cos =β，171

sin =

β 墙对A 端的法向反力 F N = F N i 摩擦力 2N e F fF -=

A 点总反力：

)

17,1745,1()

17

1,174,(N N N N N R f F fF fF F A -

=-=+=F

F F

由平衡方程：0)(=∑F z M ，

31741N N =??

+?-fF F

习题4-15图

344.01217

==

f

4－15 平板闸门宽度l = 12m （为垂直于图面方向的长度），高h = 8m ，重为400kN ，安置在铅垂滑槽内。A 、B 为滚轮，半径为100mm ，滚轮与滑槽间的滚动阻碍系数δ= 0.7mm ，C 处为光滑接触。闸门由起重机启闭，试求：

1．闸门未启动时（即F T = 0时，A 、B 、C 三点的约束力）； 2．开启闸门所需的力F T （力F T 通过闸门重心）。 解：闸门受水压如图（a ）线性分布

最大压强：4.788.98m =?==γh q kN/m 2 总压力

37634.7821

81221m =???==q lh

Q kN

位于距C 为3h

处

1．闸门未启时平衡：

0=∑x F ，0R R =--B A F F Q

（1） 0=∑y F ，0

R =-W F C （2） 0=∑B M ，0

)138

(6R =--Q F A

解得1045185

R ==Q F A kN

27181813

R ==

Q F B kN

400R ==W F C kN

（原书答案为设水重度γ= 10 kN/m 3所致） 2．启动闸门时，图（b ）

摩擦阻力 3

.710451007.0R =?==A A F R F δkN

0.1927181007.0R =?==B B F R F δ

kN

闸门能启动的条件是

3.426T =++≥B A F F W F kN

第3章 力系的平衡

3－1 试求图示两外伸梁的约束反力F R A 、F R B ，其中（a ）M = 60kN ·m ，F P = 20 kN ；（b ）F P = 10 kN ，F P1 = 20 kN ，q = 20kN/m ，d = 0.8m 。 解：图（a-1）

0=∑x F ，F Ax

= 0

0=∑A M ，05.34R P =?+?--B F F M 05.342060R =?+?--B F F RB = 40 kN （↑）

0=∑

y F ，0

P R =-+F F F B Ay

20

-=Ay F kN （↓） 图（b-1），M = F P d

0=∑A M ，0

3221P R P =?-?++?d F d F d F d

qd B

即 0

3221

1P R P =-++F F F qd B

（a ）

（b ）

习题3－1图

C

习题3－3图

习题3－5图

习题3－7图

(a)

C

(a)

Bx (b) 0

2032108.02021

R =?-++??B F F R B = 21 kN （↑）

=∑y F

3－3 拖车重W = 20kN ，汽车对它的牵引力F S = 10 kN 。试求拖车匀速直线行驶时，车轮A 、B 对地面的正压力。

解：图（a ）：0)(=∑F A M

08.214.1N S =?+?-?-B F F W

6.13N =B F kN

0=∑y F ，4.6N =A F kN

3－5 钥匙的截面为直角三角形，其直角边AB = d 1，BC = d 2。设在钥匙上作用一个力偶矩为M 的力偶。试求其顶点A 、B 、C 对锁孔边上的压力。不计摩擦，且钥匙与锁孔之间的隙缝很小。 解：图（a ）：

2

1t

a n d

d =θ

ΣM A = 0，M d F d F C B =?+?21 （1） ΣF x = 0，0sin =-θA B F F （2） ΣF y = 0，0cos =-θA C F F （3）

解（1）、（2）、（3）联立，得

2

2

212

d d Md F C +=

211d d Md F B +=

22

21

d d M

F A +=

3－7 起重机装有轮子，可沿轨道A 、B 移动。起重机桁架下弦DE 的中点C 上挂有滑轮（图未画出），用来提起挂在索链CG 上的重物。从材料架上提起的物料重W = 50 kN ，当此重物离开材料架时，索链与铅垂线成α= 20°角。为了避免重物摆动，又用水平绳索GH 拉住重物。设索链张力的水平分力仅由右轨道B 承受，试求当重物离开材料架时轨道A 、B 的受力。

(a) P1

(b)

习题3－9图

习题3－11图

F 2

(a)

B (a) EF

T B (b)

解：图（a ），ΣF y = 0，αcos /W T C = （1）

图（b ），ΣF x

= 0，αα tan sin W T F C

Bx ='= ΣM B = 0，04sin 2cos 4R =?'+?'+?-h T h T h F C C

A αα W

F A )tan 21

(R α+=（↑）

ΣF y = 0，W

F By )tan 21

(α-=（↑）

3－9 题图上部为小腿的骨架。通过附着在髋部A 和膝盖骨B 上的四头肌，使小腿抬起。膝盖骨可在膝关节的软骨上自由滑动。四头肌进一步延伸，并与胫骨C 相附着。小腿的力学模型示于题图的下部。试求四头肌的拉力F T 和股骨（铰）D 受到的合力大小。小腿质量为3.2kg ，质心为G 1，脚的质量为1.6kg ，质心为G 2。

解：

31

7525tan =

=θ，?=43.18θ 图（a ）：ΣM D = 0

075sin )725425(2521T =??-?-?G G F

???+??=75sin )7258.96.14258.92.3(25T F F T = 954N

ΣF x

= 0，0)15cos(T =?+-θF F Dx

79643.33cos 954=??=Dx F N ΣF y = 0，0

)15sin(21T =--?++G G F F Dy θ

8.9)6.12.3(43.33sin 954=?+-?Dy F F Dy = 479 N

3－11 一活动梯子放在光滑水平的地面上，梯子由AC 与BC 两部分组成，每部分的重均为150N ，重心在杆子的中点，彼此用铰链C 与绳子EF 连接。今有一重为600N 的人，站在D 处，试求绳子EF 的拉力和A 、B 两处的约束力。

解：图（a ）：ΣM A = 0

075cos )6.32.1(75cos 8.160075cos 4.22=?+-??-???W F RB F R B = 375 N ΣF y = 0，F R A = 525 N 图（b ）：ΣM C = 0

075cos 4.275cos 2.115075sin 8.1R =??+??-??-B EF F T T EF = 107 N

习题3－13图

习题3－15图

(a)

3－13 飞机起落架由弹簧液压杆AD 和油缸D 以及两个绕枢轴转动的连杆OB 和CB 组成，假设该装置正以匀速沿着跑道运动，轮子所支承的载荷为24kN 。试求A 处销钉所受的力。

解：图（a ）：7060sin 250sin ?

=

θ ?≈?=180167.18θ

ΣM O = 0

030cos 25050012cos =??-??DA BC F F

（1）

ΣF y = 0，0

18cos =?+-BC DA Oy F F F （2） F Oy = 24 kN （3） 解（1）、（2）、（3），得 F DA = 41.5 kN

3－15 厂房构架为三铰拱架。桥式吊车顺着厂房（垂直于纸面方向）沿轨道行驶，吊车梁的重W 1 = 20kN ，其重心在梁的中点。跑车和起吊重物的重W 2 = 60kN 。每个拱架重W 3 = 60kN ，其重心在点D 、E ，正好与吊车梁的轨道在同一铅垂线上。风压的合力为10kN ，方向水平。试求当跑车位于离左边轨道的距离等于2m 时，铰支承A 、B 两处的约束力。

解：图（a ）：ΣM L = 0，

042812r =--?W W F

02046028r =?-?-F F r = 25 kN （1） 图（b ）：ΣM A = 0，

64102510121233=?-?-?-?-?-?W W W W F By

1202406001205012=-----By F

2

.94=By F kN

ΣF y = 0，F Ay = 106 kN

ΣF x = 0，10=+Ax Bx F F kN （2） 图（c ）：ΣM C = 0，

6104)(r 3=?+?-?'+-By Bx W F F W F Bx = 22.5 kN

代入（2），得 5.12-=Ax F kN

Bx

(c)

Bx (b)

3－17 体重为W 的体操运动员在吊环上做十字支撑。已知l 、θ、d （两肩关节间距离）、W 1（两臂总重）。假设手臂为均质杆，试求肩关节受力。 解：图（a ）：ΣF y

= 0，2W F =θcos T

2cos T W

F =

θ

图（b ）：ΣF x = 0，θθtan 2sin T W

F F x =

=

ΣF y = 0，

21

W W F y -=

ΣM = 0，0

2222cos 1

T =-?+-?-d

l W d l F M θ )

2(1W W d

l M --=

3－19 厂房屋架如图所示，其上承受铅垂均布载荷。若不计各构件重，试求杆1、2、3的受力。 解：图（a ）：ΣF x = 0，F Ax = 0

4

.177)29

37.4(R =+?==q F F E Ay kN

图（b ）：ΣM C = 0

21

)5.437.4()5.437.4(2223=?+++-?q F F Ay

F 2 = 358 kN （拉）

图（c ）：43710

t a n =

θ，θ= 12.89° ΣF x = 0，F 1 cos θ= F 3

367cos 3

1==

θF F kN （拉）

ΣF y = 0，0sin 21=+F F θ

8.81sin 12-=-=θF F kN

3－21 夹钳手柄的倾斜角α，力F P ，试求夹钳施加给物体的力。（注：原题已知尺寸不具体，故这儿

改之）

解：原题载荷对荷，结构对称，故中对称面上水平方向约束力为0，因若不为零，则上约束力朝左，下约束力朝右，这是不可能的；由于对称，水平的约束力应都朝左或都朝右，这与作用力反作用又矛盾，故只能为0，得受力图（a ）、（b ）：

图（a ）：ΣM B = 0

习题3－17图

习题3－19图 q

E

R

(a)

(b)

1

F 3

(c)

习题3－22图

习题3－23图

习题3－25图

F P F 2

F b a F =

（1）

图（b ）：ΣM D = 0

)sin cos (sin P 2αααa l F a F -=' （2）

（1） 代入（2），得

)sin cos (sin P αααa l F Fb -=

P

sin sin cos F b a l F ααα-=

3－23 作用在踏板上的铅垂力F P 使得位于铅垂位置的连杆上产生拉力F T = 400N ，图中尺寸均已知。

试求轴承A 、B 的约束力。

解：整体图（a ）：

ΣM x

= 0，??=?30cos 120200T P F F

208

20030cos 120400P =?

?=

F N

ΣM Ay = 0，0160100200T P =?+?+?-F F F Bz 424

200160400100208+=?+?=Bz F N ΣF z = 0，0T P =--+F F F F Bz Az

F Az = 184N ΣM Az = 0，F By = 0 ΣF y = 0，F Ay = 0

∴ 184=A F kN ；424=B F kN

3－25 图示两匀质杆AB 和BC 分别重为W 1和W 2，其端点A 和C 处用固定球铰支撑在水平面上，另一端B 用活动球铰相联接，并靠在光滑的铅垂墙上，墙面与AC 平行。如杆AB 与水平线成45°角，∠BAC = 90°，试求支座A 和C 的约束力及墙在B 处的支承力。

解：1．取AB + BC 杆为研究对象，受力图（a ）

ΣM AC = 0,

2)(R 21=?-?+OB F AO

W W B

F

'

F

(b)

R F

习题2－3图

AB

r

(a)

∴ )(21

21R W W F B +=

ΣM Az = 0，F Cy = 0

ΣM Cz = 0, 0

)(R =?+AC F F Ay B

∴

)

(21

21W W F Ay

+-=

ΣM Ay = 0,

22=?-?AC

W AC F Cz

22

W F Cz =（↑） ΣM Cy = 0,

02)(21=?

+?+-AC

W AC W F Az

22

1W W F Az +

= ΣF x = 0，F Ax + F Cx = 0 （1） 2．AB 杆，受力图（b ） ΣM Oz = 0，F Ax = 0 （2） 代入（1），∴ F Cx = 0

第2章 力系的等效与简化

2－1 脊柱上低于腰部的部位A 是脊椎骨受损最敏感的部位，因为它可以抵抗由力F 对A 之矩引起的过大弯曲效应，如图所示。已知F 、d 1和d 2。试求产生最大弯曲变形的角度θ。

解：本题实际是求使A 处产生最大约束力偶。由力矩特性：AC ⊥F （图a ）时力臂最大。

此时：

12

1tan d d

-=θ

(a)

2－3 如图所示，试求F 对点A 的力矩。 解：F r F M ?=AB A )(

05354F

F d d d -k j i = =)

7,4,3(51

--Fd

2－5 齿轮箱有三个轴，其中A 轴水平，B 和C 轴位于yz 铅垂平面内，轴上作用的力偶如图所示。试求合力偶。

习题2－1图 A M 2

(a)

F RA

75 习题2－9图

解：M A =（1, 0, 0）M A =3.6（1, 0, 0）kN ·m

M B =（0, sin40°,cos40°）M B =6（0, sin40°,cos40°）kN ·m M C =（0, sin40°,-cos40°）M C =6（0, sin40°,-cos40°）kN ·m ∴ M = ΣM i = M A + M B + M C =（3.6, 12sin40°, 0）kN ·m

2－7 已知图示一平面力系对A （3,0），B （0,4）和C （–4.5,2）三点的主矩分别为：M A = 20kN ·m ，M B = 0，M C =–10kN ·m 。试求该力系合力的大小、方向和作用线。

解：由已知M B = 0知合力F R 过B 点；

由M A = 20kN ·m ，M C = -10kN ·m 知F R 位于A 、C 间，且 CD AG 2=（图（a ）） 在图（a ）中： 设 OF = d ，则

θcot 4=d

CD AG d 2)sin 3(==+θ

（1）

θ

θsin )25.4(sin d

CE CD -== （2）

即 θ

θs i n )25.4(2s i n )3(d

d -=+

d d -=+93

3=d

∴ F 点的坐标为（-3, 0） 合力方向如图（a ），作用线如图过B 、F 点；

34

tan =

θ 8

.454

6sin 6=?==θAG

8.4R R ?=?=F AG F M A k N 625

8.420R ==

F 即 )kN

310

,25(R =F

作用线方程：434

+=

x y

讨论：本题由于已知数值的特殊性，实际G 点与E 点重合。

2－9 图示电动机固定在支架上，它受到自重160N 、轴上的力120N 以及力偶矩为25N ·m 的力偶的作用。试求此力系向点A 简化的结果。

解：由已知

F 1 =160N F 2 =120N

F 3 =25N ·m F 1 =（0, 0, -160）N F 2 =（-120, 0, 0）N M =（25, 0, 0）N ·m

r =（0.075, 0.2, 0.025）m 向A 点简化，得 F R = F 1 + F 2

=（-120, 0, -160）N 21F r F r M M ?+?+=A

=)(21F F r M +?+

习题2－7图

R

(a)

(a) z

(d)

(a) 习题2－11图 B (c) B (b) (a) =（25, 0, 0）1600120

025

.02

.0075.0--+k j i =（-7, 9, 24）N ·m

2－11 折杆AB 的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩数值为M 的力偶作用在曲杆AB 上。试求支承处的约束力。

解：图（a ）：l M F F B A 2==； 图（b ）：

l M

F F B A =

= 由图（c ）改画成图（d ），则

l M

F F BD A =

= ∴

l M

F F BD B =

=

l M

F F BD D 22=

=

2－13 齿轮箱两个外伸轴上作用的力偶如图所示。为保持齿轮箱平衡，试求螺栓A 、B 处所提供的约束力的铅垂分力。

解：ΣM i = 0，0

5.0125500=?++-Ay F F Ay

= 750N （↓） F By = 750N （↑）

（本题中F Ax ，F Bx 等值反向，对力偶系合成结果无贡献。）

2－15 试求图示结构中杆1、2、3所受的力。 解：3杆为二力杆 图（a ）：ΣM i

= 0，03=-?M d F

d M F =

3

习题2－13图 By F Ay

M

A

(a)

(a)

'AB

O

F

(b)

F = F 3（压） 图（b ）：ΣF x = 0，F 2 = 0

ΣF y = 0，d M

F F =

=1（拉）

2－17 试求图示两种结构的约束力F RA 、F RC 。 解：（a ），CD 为二力杆，图（c ）—力偶系

ΣM i = 0

d

M d M

F F C A 222R R =

=

= （b ）AB 为二力杆 图（d ）ΣM i = 0

d M F F D C ==R ， d M

F F D

A ='=R

2－19 试求机构在图示位置保持平衡时主动力系的关系。 解：AB 为二力杆， 图（a ）：ΣF x = 0， F F AB =θcos （1）

图（b ）：ΣM i

= 0， M d F AB

=?'θcos （2） 由（1）、（2），得M = Fd

静力学篇

第1章 引

论

1－1

图a 、b 所示，Ox 1

y 1与Ox 2y 2分别为正交与斜交坐标系。试将同一

习题2－15图

习题2－17图

习题2－19图 2

F

(b)

M

(c) C

(d) A '

F F B

(e)