理论力学习题(1)

第一章 思考题

1.1 平均速度与瞬时速度有何不同？在什么情况下，它们一致？

答：平均速度因所取时间间隔不同而不同，它只能对运动状态作一般描述，平均速度的方向只是在首末两端点连线的方向；而瞬时速度表示了运动的真实状况，它给出了质点在运动轨道上各点处速度的大小和方向（沿轨道切线方向）。只有在匀速直线运动中，质点的平均速度才与瞬时速度一致。

1.2 在极坐标系中，θθ&&r v r v r ==，为什么2θ&&&r r a r -=而非r &&？为什么

θθθ&&&&r r a 2+=而非θθθ&&&&r r a +=？你能说出r a 中的2θ&r -和θa 中另一个θ&&r 出现的原因和

它们的物理意义吗？

答：在极坐标系中，径向速度和横向速度，不但有量值的变化，而且有方向的变化，单位矢量对时间的微商不再等于零，导致了上面几项的出现。实际上将质点的运动视为径向的直线运动以及以极点为中心的横向的圆周运动。因此径向加速度分量r a 中，除经

向直线运动的加速度r &

&外，还有因横向速度的方向变化产生的加速度分量2θ&r -；横向加速度分量中除圆周运动的切向加速度分量θ&&r 外，还有沿横向的附加加速度θ&&r 2，其中的一半θ&&r 是由于径向运动受横向转动的影响而产生的，另一半θ&&r 是由于横向运动受径

向运动的影响而产生的。

1.3 在内禀方程中，n a 是怎样产生的？为什么在空间曲线中它总沿着主法线的方向？当质点沿空间曲线运动时，副法线方向的加速度b a 等于零，而作用力在副法线方向的分量b F 一般不等于零，这是不是违背了牛顿运动定律呢？

答：由于自然坐标系是以轨道切线、主法线和副法线为坐标系，当质点沿着轨道曲线运动时，轨道的切线方向始终在密切平面内，由于速度方向的不断变化，产生了n a 沿

主法线方向且指向曲率中心。在副法线方向不存在加速度分量，b a 等于零，这并不违背牛顿运动定律，因为在副法线方向作用的主动外力不一定为零，但可做到∑=0b F ，即所有外力之和在副法线方向平衡。

1.4 在怎样的运动中，只有τa 而无n a ？在怎样的运动中，又只有n a 而无τa ？在怎样的运动中，既有τa 又有n a ？

答：质点在变速直线运动中，只有τa 而无n a ；质点在匀速曲线运动中，只有n a 而无τa ；质点在变速曲线运动中，既有τa 又有n a 。

1.5 dt r d ρ与dt dr 有无不同？dt v d ρ与dt

dv 有无不同？试就直线运动与曲线运动分别加以

讨论。

答：直线运动中： dt r d ρ是速度，是矢量；dt dr

是速率，是标量；

dt v d ρ是加速度，是矢量；dt dv

是加速度的大小，是标量。

i dt dv dt v d i dt dr dt r d ρ

ρρρ==

曲线运动中： dt r d ρ是速度，是矢量；dt dr

是速度的径向分量，是标量；

dt v d ρ是加速度，是矢量；dt dv 是加速度的切向分量，是标量。

1.6 人以速度v 向篮球网前进，则当其投篮时应用什么角度投出？跟静止时投篮有何不同？

答：设静止时投篮角度为θ，运动时投篮角度为φ，且：090,0><φθ，篮球为动点，人为运动参照系，篮球网不动。人的速度为牵连速度e v ，球对人的速度为相对速度

r v ，人静止时投篮速度为0v ，也就是球的绝对速度。因此：

??

?=+=)

2(sin sin )1(cos cos 00φθφ

θr r e v v v v v

φφ

θctg v v ctg r e +=sin :)2()

1( 0>>∴φθctg ctg ,因余切函数是减函数。故：φθ<，即人以速度v 向

篮球网前进时，其投篮的抛射角较静止时应大些，才能准确地将球投入蓝中。

1.7 雨点以匀速v 落下，在一有加速度a 的火车中看，它走什么路线？ 答：这属于牵连运动为平动的问题。以车厢为参照系建立坐标系o ——xy ，则雨点受惯性力a m -作用，忽略雨点的重力，则动力学方程为：

???==0y m ma x m &&&&

即：???====常数常数v y a x &&&

雨点在x 方向作匀加速运动，在y 方向作匀速运动，与重力场中物体的平抛运动相比较

知，雨点相对于火车走的是一条抛物线，若常数≠=a x &&，则要经过积分才能知道路径。

1.8 某人以一定的功率划船，逆流而上，当船经过一桥时，船上的渔竿不慎掉入河中，两分钟后，此人才发现，立即返棹追赶，追到渔竿之处在桥的下游600米的地方，问河水的流速是多大？

答：以船为动点，河水为动系，岸为定系。船对水的相对速度r v ，水对岸的流速（及渔竿的速度）为牵连速度e v ，所以：

e

e r e r v v v v v 600

600)(120120=++-?+

解得：e v =2.5米/秒。

1.9 物体运动的速度是否总是和所受的外力的方向一致？为什么？

答：物体运动速度并不一定和所受的外力方向一致。只有物体的加速度方向才和其所受外力的方向一致。速度总是沿着切线方向，而作用于质点的外力是可以有不同方向的，所以物体运动的速度并不总是和所受外力的方向一致。

1.10 在哪些条件下，物体可以作直线运动？如果初速度的方向和力的方向不一致，则物体是沿力的方向还是沿初速度的方向运动？试用一具体实例加以说明。

答：当力的作用方向与物体的初速度方向一致或相反时，物体才能作直线运动。如果力的方向与物体的初速度方向不一致，则物体既不沿力的方向也不沿初速度的方向运动，如抛射体运动。

1.11 质点仅因重力作用而沿光滑静止曲线下滑，达到任意一点时的速度只和什么有关？为什么是这样？假如不是光滑的又将如何？

答：如图所示，取x 轴为零势线，由于曲线光滑，曲线对质点的作用力和位移方向垂直，该力不作功，故机械能守恒：

mgy mv mv -=2

202

121 gy v v 22

+= 即达到任一点的速度只与初速度及下降的高度有关，而与曲线的形状无关。如果曲线不是光滑的，则有摩擦力存在，摩擦力在质点运动过程中作功，由动能定理有：

??+=-l

mgy mv mv l f d 2

022121 ??+

+=l

m gy v v l f d 2

2202 由于摩擦力作功与路径有关，所以摩擦力存在时，质点到达任一点的速度与初速度及下

降的高度有关，还与曲线的形状有关。

1.12 为什么质点被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力不作功？我们利用动能定理或能量积分，能否求出约束力？如不能，应当怎样去求？

答：因为约束力与运动方向垂直，所以在光滑静止曲线上，约束力不作功，用动能定理或能量积分无法求出约束力。此时可以用动能定理或能量积分先求出速度，在利用内禀方程中的法向运动微分方程，可求出约束力。

1.13 质点的质量是1kg ，它运动时的速度是：k j i k j i v ρρρρρρρ

、

、式中,323++=是沿xyz 轴上的单位矢量，求此质点的动量和动能的量值。

答：动量：k j i v m P ρρρρ

ρ323++==

动量的量值： （单位）432322=++==mv P 动能： （单位）

8)323(2

12122

2=++==mv T

1.14 在上题中，当质点以上述速度运动到（1，2，3）点时，它对原点O 及z 轴的动量矩各是多少？

答：质点运动到（1，2，3）点时，它对原点O 的位矢为：

k j i r ρρρ

ρ32++=

则对O 点的动量矩为：

3

23321k j i

v m r J ρρρ

ρ

ρρ=?=

k j i ρρ

ρ4)39()632(--+-= 对z 轴的动量矩为：

4-=?=k J J z ρ

ρ

1.15 动量矩守恒是否就意味着动量也守恒？已知质点受有心力作用而运动时，动量矩是守恒的，问它的动量是否也守恒？

答：动量矩守恒的条件是；0=?=F r M ρρρ；动量守恒的条件为：0=F ρ

。由于

0=?=F r M ρρρ时，可以是r ρ与F ρ

共线而0≠F ρ，故动量矩守恒时动量不一定守恒。

以质点在有心力作用下的运动为例，r

r

r F F ρρ)(=，显然0=?=F r M ρρρ，动量矩守恒，

但因为0≠F ρ

，动量不守恒。实际上质点的动量沿轨道切线，其大小和方向时刻在变化。

1.16 如)(r F F =，则在三维直角坐标系中，仍有0=??F ρ

的关系存在吗？试检验

之。

答：r r r F F ρρ)(=， 则： r x r F F x )(= r y r F F y )(= r

z

r F F z )(=

r

z r F r

y r F r

x r F z y x k j i F )

()

()

(??????=

??ρρρ

ρ

k y

x F y r y F x j r z F x r x F z i r y F z r z F y ρ

ρρ)]()([)]()([)]()([??-??+??-??+??-??=

z r r F r y y r r F r z r y F z r z F y F x ????-????=??-??=??)()()()()(ρ

r

z z r r

y y r r

x

x r z y x r =??=??=??++=2

222Θ 0

)(=??∴x F ρ

同理：

)(=??y F ρ

)(=??z F ρ

0=??∴

F ρ

即有心力场是无旋场，有心力场是保守力场。

1.17 在平方反比引力问题中，势能曲线应具有什么样的形状？ 答：平方反比引力： 2

)(r

GMm

r F -= 势能为：

r GMm

dr r GMm dr r F r d F V r -

==-=?-=???∞2)(ρρ 势能曲线形状如图所示。

1.18 我国发射的第一颗人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角为68.50，比苏联及美国第一次发射的都要大，我们说，交角越大，技术要求越高，这是为什么？又交角大的优点是什么？

答：评定发射人造卫星的技术指标应从多方面综合考虑，不应简单地一概而论。卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角大，利用地球自转的线速度就小，因而就需要火箭的推动力要大，技术要求就高。交角大，卫星“扫射”地球表面积大，因而了解信息就多。但人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角，是按卫星的功能和实际需要来确定的。

1.19 卢瑟福公式对引力库仑场来讲也能适用吗？为什么？

答：卢瑟福公式由平方反比斥力得到，而引力库仑场为平方反比引力，两者实质一样，只差一符号，引力场中轨道的偏转与斥力场中偏转的方向相反，故卢瑟福公式也能使用。

第一章 习题

1.1 沿水平方向前进的枪弹，通过某一距离s 的时间为t 1，而通过下一等距离s 的时

间为t 2，试证明枪弹的减速度（假定是常数）为：

)

()

(2212112t t t t t t s +-

证：设初速度为0v ，加速度为：-a

通过第一段距离s ： )1(2

1

2

110at t v s -=

通过2s 距离： )2()(21

)(22

21210t t a t t v s +-+=

（1）（2）两式联立，消去0v 得：])2()()1[(121t t t ?-+?

)(2

1

)(212112t t t at t t s +=

- )

()

(2212112t t t t t t s a +-=

∴

证毕。

1.2 某船向东航行，速率为每小时15千米，在正午经过某一灯塔，另一船以同样速度向北航行，在下午1时30分经过此灯塔，问在什么时候两船的距离最近？最近的距离是多少？

解：以正午为计时零点，设t 时两船相距最近，其最近距离为S 。设东向船为A ，北向船为B ，以灯塔为坐标原点O ，建立坐标系xy O —，如图所示。

在t 时刻，两船位置分别为：

()0,A x A ()B y B ,0

小时千米/15=v

vt x A = ()5.1-=t v y B

()2

22

25.1-+=+=t t v y x S B A

()()

05.15.122222=-+-+=t t t t v dt ds

则:

()05.1222

=-+t t

小时75.0=∴t （即午后45分钟）

将t 值代入S 表达式得：

()9.155.175.075.0152

2min =-+=S （千米）

答：在正午后45分钟两船相距最近，其最近距离为15.9千米。

1.3 曲柄r OA =，以匀角速ω绕定点O 转动，此曲柄借连杆AB 使滑块B 沿直线ox 运动，求连杆上C 点的轨迹方程及速度。设ψφ

=∠=∠==ABO AOB a CB AC 。

解：如图所示建立坐标系0——xy ，C 点的坐标为：

??

?=+=)

2(sin )1(cos cos ψψ

φa y a r x

在三角形AOB 中，

)3(sin 2sin ψ

φa r =

由（1）（2）两式消去ψ得： 222)cos (φr x y a -+= 即： )4(cos 22y a r x -=-φ

由（2）（3）两式消去ψ得： )5(sin 2φ

r y =

由（4）（5）两式消去φ得： 22222)(4y a x y r --+= 上式化简得轨道方程为：

22222222)3()(4r a y x y a x -++=- 对（1）（2）两式取微商得：

??

?=--=)

7(cos )

6(sin sin ψψψ

ψφφ&&&&&a y

a r x

对（3）式取微商得： ψψφφ

cos 2cos &&a r =

)8(cos 2cos ψ

φ

φψ

a r &&=

将（8）代入（6）（7）得：

???

???

?==--=ωφφφψφψφφφ&&&&&&cos 21cos 2cos sin sin r y r r x

C 点的速度为

222

2

)cos 2

1()cos 2cos sin sin (φφψφψφφφ&&&&&r r r y x v +-=+=

φψφψφψ

ω

2cos )sin(cos sin 4cos 2++=r

1.4 细杆OL 绕O 点以匀角速ω转动，并推动小环C 在固定的钢丝AB 上滑动，如图所示，d 为一已知常数，试求小环的速度及加速度的量值。

解：如图建立直角坐标系O —xy ，小环在任意时刻的位矢为：

j i j i r d dtg y x +=+==θ

i i r v ωθθd

d x sec d dt d 2

22+=??==& 式中用到：

==θ

θ2

2

1cos sec 222d d x + ∴ 小环的速度的量值为：ωd

d x v 2

2+=

B

()

?

?? ?

?=?=?==

d x tg tg sec d sec d dt

d dt d θθθωθωi i v a 2222

i 2

2

22

2d

d x x +=ω ∴小环的加速度的量值为：2

2

22

2d d x x a +=ω

1.5 矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示： )2sin

1(T

t

c a π-=

式中c 及T 为常数，试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初速度为零。

解： 升降机作直线加速运动，则： )2sin 1(T

t c dt dv π-= 两边积分：

dt T

t

c dv t

v

)2sin

1(0

π-=??

)]12(cos

2[-+=∴T

t

T

t c v ππ

)]12(cos 2[-+==

∴T

t

T t c dt ds v ππ 两边积分：

dt T

t

T

t c ds t

s

)]12(cos

2[0

-+

=??

ππ

)]2sin 2(22[2t T

t

T T t c s -+=∴πππ

1.6一质点沿位矢及垂直于位矢的速度分别为r λ及μθ，式中μλ、是常数，试

0θ证其沿位矢及垂直于位矢的加速度分别为：

r

r a r 2

22

θμλ-

= ??? ??

+=r a μλμθθ

证：由已知：r r

v r λ==&

沿位矢方向

μθθ

θ==&r v

垂直位矢方向

则：j i v μθλ+=r

j i 、为径向、横向单位矢量

()()j i v a μθλdt d

r dt d dt d +==

∴ dt d dt d r j j i r i μθθμλλ+++=&& i j j i θμθθμθλλ&&&&-++=r r

()()

j i θ

μθλθμθλ&&&&++-=r r

j i ???

?

??++???? ??-=r r r θμλμθθμλ2222

r

r a r 2

22

θμλ-

=∴ ??? ??

+=r a μλμθθ

证毕。

1.7 试自θθsin r y cos r x ==,出发，计算x

&&及y &&，并由此推出径向加速度r a 和横向加速度θa 。

解：y x 、坐标与平面极坐标θ、r 之间的关系，如图所示。

?????+=-=θθθθθθcos r sin r y

sin r cos r x

&&&&&& θ

θθθθθθθθcos r sin r sin r sin r cos r x 2&&&&&&&&&&&----= θ

θθθθθθcos r sin r sin r cos r 22&&&&&&&---=