拉格朗日中值定理

一拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。

拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻旧，出现创新的一个进程。发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。

用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即

这就是非常著名的费马定律，当一个函数在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则。著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。

在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]任取两点，并且函数在此闭区间是连续的，的

最大值为A，最小值为B，则的值必须是A和B之间的一个值。这是拉格朗日定理最初的证明。

下述就是拉格朗日中值定理所要求满足的条件。

如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）可导；那么这个函数在此开区间至少存在着一点，使得.

拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。

例1：函数

f(x)在开区间在

由上述例子说明，想要确定一个函数的单调性可以通过求得这个函数的一阶导数来求得判断单调区间。当一个函数在某个确定的区间，存在着

；

时，那么这一点就

是这个函数的极值点。在例1中，当1

在拉格朗日中值定理中，有两个要求条件，一个是在一个闭区间连续，一个是在相同期间开区间可导，不满足这两个条件，拉格朗日中值定理在此种情况下是没有意义的。

例2：函数，这个函数的区间[0,2]。

可以看出这个函数在区间[0,2]上是不连续的，这个值是不存在的，因此这个函数在此区间上面是不连续的。

这个函数在此闭区间[0,2]上是不可导的，根据可导函数的计算方法可以得到

又，这种情况下x的值是不存在的，所以这个函数在此区间是不可导的。

二拉格朗日中值定理的证明

在微积分相关知识的教材上面，一般情况下在证明拉格朗日中值定理时，经常采用罗尔定理来证明，证明过程中根据题意构建出一个辅助函数来证明定理。

在历史长河中，学者们在对拉格朗日中值定理进行证明的时候最主要的的有四种方法。最开始的一种证明方法出现在著作名为《解析函数论》一书中。这个

证明相对来说是比较直观的，它是以这样一个概念为基础证明的：当导数>0时，在一个固定区间就是单调递增的；反之，则单调递减。利用微积分中的求导方法去确定一个函数的单调区间的方法。并且，此时对拉格朗日定理应用要求在一个闭区间中是连续的，也要求在此相同闭区间可导。假设一个变量在区间连续的变化，那么这个变量相应的函数也会随着变化的变化而发生变化，有无数的中间值在两个值之间。

在19世纪初时，微积分发生了很大的变化，柯西等数学家在此做出了很大的贡献，人们对函数进行了很严格的定义，极限、连续和导数。在此基础上又给拉格朗日中值定理提出了新的严谨的证明。在19世纪初，学者们对于微分学的系统性定理的详细研究就拉开了序幕。因为拉格朗日中值定理在微分学中有着相当重要的地位，所以，历来学者们都对拉格朗日中值定理的研究十分重视，学者们对拉格朗日中值定理的相关研究也是非常多的。比如在历史上，许多学者都提出了对于拉格朗日中值定理的证明的方法。在历史长河中，学者们提出的关于拉格朗日中值定理的证明方式主要有四种方式。第一种方式，通过利用罗尔定理去构建一个中间函数去证明。第二种方式，根据先决条件，去建立一个相对更加广泛的中值定理，然后在缩小围去证明。第三种形式，是充分利用积分和在证明过程中不会导致循环去证明一个知识点的其他的微积分定理去证明拉格朗日中值定理。第四种形式时，充分利用拉格朗日中值定理中所限制的区间，然后采用属于实数方面的区间套理论去证明。

在柯西的著名著作《无穷小计算概论》中这样对拉格朗日中值定理进行了证明：如果一个导数在闭区间[a,b]是连续的，则在这个闭区间[a,b]至少存在着一点，使得=，使=0。然后在罗尔定理基础上对拉格朗日中值定理进行重新的证明。

柯西定理是指：假设与函数在闭区间[a,b]都是连续的，在开区间(a,b)都是可导的，并且，这是对于在区间(a,b)的一点使得

对柯西定理的证明和对拉格朗日中值定理的证明两种方式都是十分的相似，拉格朗日中值定理在微积分中都占到了非常重要的位置。利用拉格朗日中值定理在求解函数时，给洛必达法则的运用给以严格的证明，是研究函数中最重要的数学工具之一。

我们知道罗尔定理：存在着一个函数在闭区间[a,b]上是连续的，在开区间（a,b）上是可导的，并且这个函数在此开区间（a,b）的两个端点值是相等的，即，那么在这个开区间（a,b）至少存在着一点，使得=0。

比较拉格朗日中值定理和罗尔定理，可以看出罗尔定理条件中要求两个端点值相等，但是拉格朗日中值定理不要求两个端点值相等。因此，如果想要用罗尔定理还证明，那么就应该构建一个端点函数值相等的函数。

证明一：利用罗尔中值定理，构建出一个中间的辅助函数

做出一个辅助函数，

从上式容易看出，函数在闭区间[a,b]上面显然是连续函数，在开区间(a,b)是可导函数，且，此时，根据罗尔定理可以得到，在此函数上面至少在区间(a,b)上存在一点，使得=0，则就可以得到。

在对拉格朗日中值定理的进行证明的过程中，一般都采用构建中间的辅助函数来证明，充分利用罗尔定理。还可以构建下面这种形式的辅助函数来充分证明。

首先，令，证明：在开区间（a,b）围至少存在着一个点，使=t。

证明：由于，可以求得②。

观察②式，可以看出等式两边的形式都是。

时。根据罗尔定理可以得到，该函数在开区间(a,b)至少存在着一点，使得式，就能够得到结论。

证明二：利用微积分中的基本定理来证明

先构建一个积分上限函数，，此时x存在于闭区间[a,b]。

根据微积分的基本定理可得知，

显然，在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)=0，此时利用罗尔定理可以得到，在

=0，那么可以得到，

，所以得到结论。

三拉格朗日中值定理在极限中的应用

在学者们对微分中值定理的研究当中，经历了前后几百年的时间，由费马提出费马定理开始，经历了从简单到复杂，从特殊情况到一般情况，从简单的概念到复杂的概念这样的发展阶段。在研究理论上拉格朗日中值定理即是罗尔定理的延伸又衔接了柯西定理，因此，不言而喻的是拉格朗日中值定理在研究函数的进程中有着非常重要的作用。在数学知识应用当中，拉格朗日中值定理是对函数研究的一个重要工具，并且有着十分广泛的应用。这些作用主要表现在以下几种情况，比如在求导极限定理、求函数极限、证明不等式、说明函数单调性、讨论方程的根是否存在的情况和对导数估值等，它在解决数学问题时通常将问题从难化简，对解决难题起到很好的作用。本文着重讲述的是拉格朗日中值定理在极限当中的应用。

例3：求极限。

解：观察上式可以看出，先令，这个函数在闭区间[cosx,x]或者[x,cosx]上根据拉格朗日中值定理可以得到①。

在时，，可以得到此时。

由①式可以得到，有此式子推出，那么这个式子就能让我们联想到在上文证明拉格朗日中值定理时候出现的式子，然后根据上文中的步骤求证明该函数。

令,可以把这个式子看作是函数在点x 和点cosx这两点，即。

例4：求解。

此题和例3的情况是类似的，我们先将此式子的分子加上一个

。如，

此时，容易看出应该构建的函数的形式，令，，假设这两个函数都在闭区间[a,t]或者[t,a]上连续并且在相同开区间上面可导的，并且这两个函数的两个端点值都分别相等，就是满足拉格朗日中值定理的条件，这是就分别存在着两个点在x和a之间，当时，有得