等腰直角三角形中考题详解
等腰直角三角形中考题详解
一、选择题（共13小题）
1、（2008?枣庄）如图，点A的坐标为（1，0），点B在直线y=﹣x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）
A、（0，0）
B、（，﹣）
C、（，﹣）
D、（﹣，）
2、（2003?烟台）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是（）
A、40°
B、45°
C、50°
D、60°
3、（2006?吉林）如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为（）
A、2cm
B、4cm
C、6cm
D、8cm
4、（2011?黑龙江）在△ABC中，BC：AC：AB=1：1：，则△ABC是（）
A、等腰三角形
B、钝角三角形
C、直角三角形
D、等腰直角三角形
5、（2009?宁波）等腰直角三角形的一个底角的度数是（）
A、30°
B、45°
C、60°
D、90°
6、（2006?青海）用两个全等的等腰直角三角形拼下列图形：①等腰三角形；②等边三角形；③正方形；④等腰梯形．一定可以拼成的图形有（）
A、①③
B、②④
C、②③
D、①④
7、（2006?长春）如图，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm，高为55cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线
深圳市菁优网络科技有限公司
的夹角为45度．若使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为（）
A、10cm
B、20cm
C、30cm
D、35cm
8、（2001?广州）已知点A和点B（如图），以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可作出（）
A、2个
B、4个
C、6个
D、8个
9、（2010?攀枝花）如图：等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y=（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（）
A、1＜k＜2
B、1≤k≤3
C、1≤k≤4
D、1≤k＜4
10、△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，其初始位置如图所示，若△AEF绕A点顺时针旋转，则BE与CF大小关系为（）
A、BE＞CF
B、BE=CF
C、BE＜CF
D、无法确定
11、如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB=10cm，则△DBE的周长等于（）
A、10cm
B、8cm
C、12cm
D、9cm
12、如下图，△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，则下列结论不正确的是（）
A、AC=AE
B、CD=DE
C、CD=DB
D、AB=AC+CD
13、己知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，其中∠H、∠E、∠F是直角，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为（）
A、1
B、2
C、D、
二、填空题（共17小题）
14、（2005?南通）如图，△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1，P2在函数y=（x＞0）的图象上，斜边OA1，A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是_________．
15、（2008?临沂）如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，…，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积S n=_________．
16、（2001?山东）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C′处，则BC′与BC之间的数量关系是BC′=_________BC．
17、等腰直角三角形的底角为_________度．
18、等腰直角三角形的腰长为，则底边长为_________．
19、已知△ABC是轴对称图形，且三条高的交点恰好是C点，则△ABC的形状是_________．
20、（2011?青岛）如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若BC=3，△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1=_________．
21、（2010?丹东）已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是_________．
22、（2006?邵阳）图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤…，则第n个等腰直角三角形的斜边长为_________．
23、（2002?海南）如果等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________度．
24、（2003?娄底）等腰直角三角形一条边长是1 cm，那么它斜边上的高是_________．
25、（2000?黑龙江）等腰直角三角形的一边长为2cm，则它的周长为_________．
26、（1999?贵阳）等腰直角三角形的一条直角边为1cm，则它的斜边上的高为_________cm．
27、（2010?厦门）如图，以第①个等腰直角三角形的斜边长作为第②个等腰直角三角形的腰，以第②个等腰直角三角形的斜边长做为第③个等腰直角三角形的腰，依次类推，若第⑨个等腰直角三角形的斜边长为厘米，则第①个等腰直角三角形的斜边长为_________厘米．
28、（2010?内江）下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形共有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个．
29、（2007?牡丹江）如图，等腰直角三角形ABC直角边长为1，以它的斜边上的高AD为腰做第一个等腰直角三角形ADE；再以所作的第一个等腰直角三角形ADE的斜边上的高AF为腰做第二个等腰直角三角形AFG；…以此类推，
这样所作的第n个等腰直角三角形的腰长为_________．
30、（2005?茂名）如图是一口直径AB为4米，深BC为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O 观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD=_________度（不考虑青蛙的身高）．
答案与评分标准
一、选择题（共13小题）
1、（2008?枣庄）如图，点A的坐标为（1，0），点B在直线y=﹣x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）
A、（0，0）
B、（，﹣）
C、（，﹣）
D、（﹣，）
考点：坐标与图形性质；垂线段最短；等腰直角三角形。
专题：计算题。
分析：线段AB最短，说明AB此时为点A到y=﹣x的距离．过A点作垂直于直线y=﹣x的垂线AB，由题意可知：△AOB 为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴垂足为C，则点C为OA的中点，有OC=BC=，故可确定出点B的坐标．
解答：解：过A点作垂直于直线y=﹣x的垂线AB，
∵点B在直线y=﹣x上运动，
∴∠AOB=45°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
过B作BC垂直x轴垂足为C，
则点C为OA的中点，
则OC=BC=．
作图可知B在x下方，y的右方．
∴横坐标正，纵坐标为负．
所以当线段AB最短时，点B的坐标为（，﹣）．
故选B．
点评：动手操作很关键．本题用到的知识点为：垂线段最短．
2、（2003?烟台）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是（）
A、40°
B、45°
C、50°
D、60°
考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；等腰直角三角形。
分析：先利用AAS判定△BDF≌△ADC，从而得出BD=DA，即△ABD为等腰直角三角形．所以得出∠ABC=45°．
解答：解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E
∴∠BEA=∠ADC=90°．
∵∠FBD+∠BFD=90°，∠AFE+∠FAE=90°，∠BFD=∠AFE
∴∠FBD=∠FAE
∵∠BDF=∠ADC=90°，BF=AC
∴△BDF≌△ADC（ASA）
∴BD=AD
∴∠ABC=∠BAD=45°
故选B．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3、（2006?吉林）如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为（）
A、2cm
B、4cm
C、6cm
D、8cm
考点：等腰直角三角形。
专题：应用题。
分析：易得易拉罐进入水杯部分为等腰直角三角形，底边长为8，可得底边上的高．让10减去底边上的高即为水深．解答：解：∵易拉罐进入水杯部分为等腰直角三角形，而斜边与圆水杯底相等为8cm．
∴P点到杯口距离为4 cm．
∴水深为10﹣4=6cm．
故选C．
点评：本题考查解直角三角形在生活中应用，背景新颖．
4、（2011?黑龙江）在△ABC中，BC：AC：AB=1：1：，则△ABC是（）
A、等腰三角形
B、钝角三角形
C、直角三角形
D、等腰直角三角形
考点：等腰直角三角形。
专题：常规题型。
分析：根据题意设出三边分别为k、k、k，然后利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，又有BC、AC 边相等，所以三角形为等腰直角三角形．
解答：解：设BC、AC、AB分别为k，k，k，
∵k2+k2=（k）2，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
又BC=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选D．
点评：本题主要考查了直角三角形的判定，利用设k法与勾股定理证明三角形是直角三角形是难点，也是解题的关键．
5、（2009?宁波）等腰直角三角形的一个底角的度数是（）
A、30°
B、45°
C、60°
D、90°
考点：等腰直角三角形；三角形内角和定理。
分析：根据等腰直角三角形的定义可知其顶角为90°，然后可根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质求出其底角的度数．
解答：解：等腰直角三角形一个底角的度数=（180°﹣90°）÷2=45°．故选B．
点评：本题主要考查等腰直角三角形的性质，及三角形内角和定理．难度不大．
6、（2006?青海）用两个全等的等腰直角三角形拼下列图形：①等腰三角形；②等边三角形；③正方形；④等腰梯形．一定可以拼成的图形有（）
A、①③
B、②④
C、②③
D、①④
考点：等腰直角三角形。
专题：综合题。
分析：可以将两个直角三角形拼拼，即可得到可以拼成等腰三角形与正方形．
解答：解：①如图：
∵∠B=∠B′=45°，∴可以拼成等腰三角形；
③如图：
，
∴可以拼成正方形；
∴一定可以拼成的图形有①③．
故选A．
点评：此题考查了等腰直角三角形的性质．此题培养了学生的动手能力．
7、（2006?长春）如图，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm，高为55cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45度．若使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为（）
A、10cm
B、20cm
C、30cm
D、35cm
考点：等腰直角三角形。
专题：应用题。
分析：由题可知，进入容器中的三角形ABC可看作是一个斜边为40的等腰直角三角形，所以在此三角形中斜边上的高应该为20，因此若使高为55容器中的水面与圆桶相接触，由此可以求出水深．
解答：解：如图，依题意得△ABC是一个斜边为40的等腰直角三角形，
∴此三角形中斜边上的高应该为20，
∴水深至少应为55﹣20=35cm．
故选D．
点评：解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到等腰直角三角形中，利用它的性质即可解答．
8、（2001?广州）已知点A和点B（如图），以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可作出（）
A、2个
B、4个
C、6个
D、8个
考点：等腰直角三角形。
分析：利用等腰直角三角形的性质来作图，要注意分不同的直角顶点来讨论．
解答：解：此题应分三种情况：
①以AB为腰，点A为直角顶点；
可作△ABC1、△ABC2，两个等腰直角三角形；
②以AB为腰，点B为直角顶点；
可作△BAC3、△BAC4，两个等腰直角三角形；
③以AB为底，点C为直角顶点；
可作△ABC5、△ABC6，两个等腰直角三角形；
综上可知，可作6个等腰直角三角形，故选C．
点评：等腰直角三角形两腰相等，顶角为直角，据此可以构造出等腰直角三角形．关键是以AB为腰和以AB为底来讨论．
9、（2010?攀枝花）如图：等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y=（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（）
A、1＜k＜2
B、1≤k≤3
C、1≤k≤4
D、1≤k＜4
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形。
分析：先根据题意求出A点的坐标，再根据AB=AC=2，AB、AC分别平行于x轴、y轴求出B、C两点的坐标，再根据双曲线y=（k≠0）分别经过A、B两点时k的取值范围即可．
解答：解：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则A的坐标是（1，1），
∵AB=AC=2，
∴B点的坐标是（3，1），
∴BC的中点坐标为（2，2）
当双曲线y=经过点（1，1）时，k=1；
当双曲线y=经过点（2，2）时，k=4，
因而1≤k≤4．
故选C．
点评：本题考查一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标．
10、△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，其初始位置如图所示，若△AEF绕A点顺时针旋转，则BE与CF大小关系为（）
A、BE＞CF
B、BE=CF
C、BE＜CF
D、无法确定
考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形。
分析：连接BE、CF，证明△BAE≌△CAF即可得到结论．
解答：解：连接BE、CF
∵△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，
∴BA=BC，∠BAC=∠FAE，AF=AE，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF．
故选B．
点评：本题考查了全等三角形的证明，属于基础题，比较简单．
11、如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB=10cm，则△DBE的周长等于（）
A、10cm
B、8cm
C、12cm
D、9cm
考点：角平分线的性质；垂线；勾股定理；等腰直角三角形。
专题：证明题。
分析：根据角平分线性质求出CD=DE，根据勾股定理求出AC=AE=AB，求出BD+DE=AE，即可求出答案．
解答：解：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
由勾股定理得：AC=，AE=，
∴AE=AC=BC，
∴DE+BD=CD+BE=BC，
∵AC=BC，
∴BD+DE=AC=AE，
∴△BDE的周长是BD+DE+BE
=AE+BE
=AB
=10．
故选A．
点评：本题考查了勾股定理，角平分线性质，等腰直角三角形，垂线等知识点的应用，关键是求出AE=AC=BC，CD=DE，通过做此题培养了学生利用定理进行推理的能力．
12、如下图，△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，则下列结论不正确的是（）
A、AC=AE
B、CD=DE
C、CD=DB
D、AB=AC+CD
考点：角平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定；勾股定理；等腰直角三角形。
分析：根据角平分线性质求出CD=DE，根据勾股定理求出AC=AE，根据三角形的内角和定理求出∠B=∠BDE，推出BE=DE=CD，即可推出AB=AC+CD．
解答：解：B、∵AD是角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，故本选项错误；
A、由勾股定理得：AC=，AE=，
∴AC=AE，故本选项错误；
D、∵∠B=45°，DE⊥AB，
∴∠BDE=180°﹣90°﹣45°=45°=∠B，
∴BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD，故本选项错误；
C、∵CD=DE，BD＞DE，
∴BD＞CD，故本选项正确；
故选C．
点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，角平分线性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
13、己知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，其中∠H、∠E、∠F是直角，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为（）
A、1
B、2
C、D、
考点：勾股定理；等腰直角三角形。
专题：计算题。
分析：在直角△ABC中，∠C=90°，AB2=AC2+BC2，即可求证：阴影部分面积△ACH和△BCF的面积之和为△ABE的面积，即阴影部分面积为2倍的△ABE的面积，根据此等量关系即可求解．
解答：解：在直角△ABC中，∠C=90°，∴AB2=AC2+BC2，
根据等腰直角三角形面积计算方法，△AEB的面积为×=，
△AHC的面积为×=，
△BCF的面积为×=，
∴阴影部分面积为（AB2+AC2+BC2）=AB2，
∵AB=3，
∴阴影部分面积为×32=，
故选C．
点评：本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了等腰直角三角形面积的计算，本题中求△AEB的面积、△AHC 的面积、△BCF的面积并用AB表示是解题的关键．
二、填空题（共17小题）
14、（2005?南通）如图，△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1，P2在函数y=（x＞0）的图象上，斜边OA1，A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是（，0）．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形。
分析：作P1B⊥y轴，P1A⊥x轴，根据等腰直角三角形的性质解答即可．
解答：解：作P1B⊥y轴，P1A⊥x轴，
∵△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，
∴AP1=BP1，A1D=DA2=DP2，
则OA?OB=4，
∴OA=OB=AA1=2，OA1=4，
设A1D=x，则有（4+x）x=4，
解得x=﹣2+2，或x=﹣2﹣2（舍去），
则OA2=4+2x=4﹣4+4=4，A2坐标为（4，0）．
点评：本题考查一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标．
15、（2008?临沂）如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，…，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积S n=2n﹣2．
考点：等腰直角三角形。
专题：规律型。
分析：本题要先根据已知的条件求出S1、S2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般化规律，进而可得出S n的表达式．
解答：解：根据直角三角形的面积公式，得S1==2﹣1；
根据勾股定理，得：AB=，则S2=1=20；
A1B1=2，则S3=21，
依此类推，发现：S n=2n﹣2．
点评：本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．
16、（2001?山东）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C′处，则BC′与BC之间的
数量关系是BC′=BC．
考点：翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形。
分析：设BD=x，则BC=2x；根据折叠的性质可得，找出对应的边角即可求出．
解答：解：BD=C′D=x，∠BC′D=∠ADC=45°，可得∠C′DB=90°；故BC′=BC．
点评：本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．
17、等腰直角三角形的底角为45度．
考点：等腰直角三角形。
分析：根据等腰直角三角形的性质和三角形内角和定理解答．
解答：解：∵∠C=90°，AC=AB
∴∠A=∠B=45°．
点评：此题较简单，只要熟知根据等腰直角三角形的两底角相等且互余即可解答．
18、等腰直角三角形的腰长为，则底边长为2．
考点：等腰直角三角形。
分析：已知等腰直角三角形的腰长为，则根据等腰直角三角形的性质及直角三角形的性质即可求得底边的长．解答：解：∵等腰直角三角形的腰长为，
∴底边长为=2．
点评：主要考查等腰三角形的性质及直角三角形的性质．
19、已知△ABC是轴对称图形，且三条高的交点恰好是C点，则△ABC的形状是等腰直角三角形．
考点：等腰直角三角形。
分析：已知△ABC是轴对称图形，则△ABC是等腰三角形，且三条高的交点恰好是C点，故△ABC是直角三角形；故△ABC 的形状是等腰直角三角形．
解答：解：△ABC是轴对称图形，且三条高的交点恰好是C点，则△ABC的形状是等腰直角三角形．
点评：本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
20、（2011?青岛）如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若BC=3，△ABC与△A1B1C1重叠部分面积
为2，则BB1=．
考点：等腰直角三角形。
分析：重叠部分为等腰直角三角形，设B1C=2x，则B1C边上的高为x，根据重叠部分的面积列方程求x，再求BB1．解答：解：设B1C=2x，
根据等腰三角形的性质可知，重叠部分为等腰直角三角形，
则B1C边上的高为x，
∴×x×2x=2，解得x=（舍去负值），
∴B1C=2，
∴BB1=BC﹣B1C=．
故答案为．
点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，平移的性质．关键是判断重叠部分图形为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求斜边长．
21、（2010?丹东）已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是
．
考点：等腰直角三角形。
专题：规律型。
分析：依次、反复运用勾股定理计算，根据计算结果即可得到结论．
解答：解：根据勾股定理，第1个等腰直角三角形的斜边长是，第2个等腰直角三角形的斜边长是2=（）2，第3个等腰直角三角形的斜边长是2=（）3，第n个等腰直角三角形的斜边长是（）n．
点评：根据勾股定理一步一步计算，找出规律，解答．
22、（2006?邵阳）图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤…，则第n个等腰直角
三角形的斜边长为．
考点：等腰直角三角形。
专题：规律型。
分析：利用勾股定理，分别把图中直角三角形的斜边求出，从中即可发现规律．
解答：解：根据勾股定理，在①中，斜边是，在②中，斜边是=，在③中，斜边是=，以此类推，则第n个等腰直角三角形中的斜边是．
点评：此题要结合图形熟练运用勾股定理计算几个具体值，从中发现规律．
23、（2002?海南）如果等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于90度．
考点：等腰直角三角形。
分析：根据等腰直角三角形底边上的“三线合一”的性质，判定等腰直角三角形．
解答：解：根据等腰三角形底边上的高也是底边上的中线和顶角的角平分线可知，高把原等腰直角三角形分成两个等腰直角三角形，顶角也就平分成两个45°，故顶角是90°，故填90．
点评：本题充分运用等腰直角三角形底边上的“三线合一”的性质解题．
24、（2003?娄底）等腰直角三角形一条边长是1 cm，那么它斜边上的高是cm或cm．
考点：等腰直角三角形。
分析：题中没有指明该边是直角边不是斜边，则应该分情况进行分析．
解答：解：（1）当1cm是斜边，则其高就是斜边1的一半是cm；
（2）当其直角边是1cm时，根据勾股定理得其斜边是cm，再根据其高是斜边的一半得高是cm；
所以它斜边上的高是cm或cm．
点评：此题首先要分情况考虑．注意等腰直角三角形既有等腰三角形的性质，又有直角三角形的性质，所以它的斜边上的高就是斜边上的中线，就是斜边的一半．
25、（2000?黑龙江）等腰直角三角形的一边长为2cm，则它的周长为4+2或2+2．
考点：等腰直角三角形。
分析：在等腰直角三角形中，已知了一边的长，但未明确此边是底还是腰，因此要分类讨论．
解答：解：当底边长为2cm时，腰长是cm，则周长是2+2（cm）；
当腰长为2cm时，底边是2cm，因而周长是：4+（cm）．
因此这个等腰直角三角形的周长为4+2或2+2（cm）．
点评：本题从边的方面考查等腰三角形的性质，涉及分类讨论的思想方法．
26、（1999?贵阳）等腰直角三角形的一条直角边为1cm，则它的斜边上的高为cm．
考点：等腰直角三角形。
分析：根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据勾股定理和三角形的面积求出斜边及斜边上的高．
解答：解：如图：
∵∠ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∵AB=AB=1cm，
∴BC=AB=，
∴AB?AC=BC?AD，
∴AD=cm．
点评：本题考查了直角三角形面积应用，要熟练掌握．
27、（2010?厦门）如图，以第①个等腰直角三角形的斜边长作为第②个等腰直角三角形的腰，以第②个等腰直角三角形的斜边长做为第③个等腰直角三角形的腰，依次类推，若第⑨个等腰直角三角形的斜边长为厘米，则第①个等
腰直角三角形的斜边长为厘米．
考点：等腰直角三角形；勾股定理。
专题：规律型。
分析：先设第①个等腰直角三角形的斜边是x，第②个的等腰直角三角形的斜边是x，那么第③个等腰直角三角形的斜边是2x，从而有第n个等腰直角三角形的斜边是（）n﹣1x，根据题意可得（）9﹣1x=16，解即可．
解答：解：设第①个等腰直角三角形斜边长是x，根据题意得：（）9﹣1x=16，
∴16x=16，
∴x=．
点评：此题关键是找出规律，然后才可以得出关于x的方程，解出x．
28、（2010?内江）下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形共有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形共有10个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形共有28个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形共有50个．
考点：等腰直角三角形。
专题：规律型。
分析：根据正方形的性质，知图1中，连接2条对角线，可以有4个以格点为顶点的等腰直角三角形；图2中，连接每个正方形的2条对角线，在图1的基础上，则共有4×2+2=10（个）以格点为顶点的等腰直角三角形；图3中，在图1和图2的基础上，则共有10×2+8=28（个）以格点为顶点的等腰直角三角形；图4中，在图2和图3的基础上，分解为几个（2）（3）的图形，然后观察形状不是（2）（3）的四边形中是否存在满足条件的三角形，利用勾股定理的逆定理即可作出判断．
解答：解：第一空4 （正方形边长为1，直角边长为1的等腰三角形有4个）；
第二空4×2+2=10 （每个正方形都有4个边长为1的等腰直角三角形，还有2个直角边长为的就是以2为斜边）第三空4×4+2×4+4=28 （4个小正方形就是4×4，而相邻的两个小正方形都有2个直角边为的等腰直角三角形，这样相邻的有4对所以是2×4，然后再加上4个直角边长为2的）
第四空4×6+2×7+4×2+4=50（正方形边长为1，直角边长为1的等腰三角形有4×6个小正方形，7对相邻的两个小正方形，4对直角边为2的大正方形，4个直角边长为的斜边为．
点评：此题考查了正方形的性质，要利用前边图形的结论正确找到后边图形中以格点为顶点的等腰直角三角形的个数．
29、（2007?牡丹江）如图，等腰直角三角形ABC直角边长为1，以它的斜边上的高AD为腰做第一个等腰直角三角形ADE；再以所作的第一个等腰直角三角形ADE的斜边上的高AF为腰做第二个等腰直角三角形AFG；…以此类推，
这样所作的第n个等腰直角三角形的腰长为．
考点：等腰直角三角形。
专题：规律型。
分析：通过直角三角形的性质特点，斜边上的高等于斜边的一半，再分析规律，便能计算出答案了．
解答：解：∵等腰直角△ABC直角边长为1，
∴斜边长为==．
斜边上的高也是斜边上的中线，应该等于斜边的一半．
那么第一个等腰直角三角形的腰长为；
同理可得到第二个等腰直角三角形的腰长为×÷2=，
那么第n个等腰直角三角形的腰长为．
故第n个等腰直角三角形的腰长为．
点评：解决本题的关键是根据等腰直角三角形的性质得到其他等腰直角三角形的表示规律．
30、（2005?茂名）如图是一口直径AB为4米，深BC为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O 观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD=90度（不考虑青蛙的身高）．
考点：等腰直角三角形。
专题：应用题。
分析：利用已知条件可以推出△OBC，△OAD均为等腰直角三角形，此时再利用已知条件就很容易求得所求的角的度数．
解答：解：∵AB=4，O为中心
∴AO=BO=2
∵BC=2，BC⊥AB
∴△OBC为等腰直角三角形
∴∠COB=45°
同理∠AOD=45°
∴∠COD=90°．
点评：此题考查直角三角形的相关知识在实际生活中的应用，注意对相关知识的灵活运用．
解直角三角形中考题型
《解直角三角形》复习及中考题型练习 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2 1 AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何表示：∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=2 1AB=BD=AD 4、勾股定理：222c b a =+ 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。 即：∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2 AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2 6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（a b c h ?=?） 由上图可得：AB ?CD=AC ?BC 二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠= 斜边的对边A A c b cos =∠= 斜边的邻边A A b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0， 三、特殊角的三角函数值（熟记） 四、 解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 三种基本关系：1:、边边关系：2 2 2 a b c += 2、角角关系：∠A+∠B=90° 3、边角关系：即四种锐角三角函数 类型 已知条件 解法 两边 两直角边a 、b 2 2 c a b =+，tan a A b = ，90B A ∠=?-∠ 直角边a ，斜边c 22 b c a =-，sin a A c =，90B A ∠=?-∠ 一边 一锐角 直角边a ，锐角A 90B A ∠=?-∠，cot b a A =，sin a c A = 斜边c ，锐角A 90B A ∠=?-∠，sin a c A =g ，cos b c A =g 五、对实际问题的处理 （1）俯、仰角. （2）方位角、象限角. （3）坡角（是斜面与水平面的夹角）、坡度（是坡角的正切值）. 仰角 俯角 北 东 南 α h L i i=h/L=tg α A C B D
2018中考解直角三角形真题
2018 中考解直角三角形真题
解直角三角形 参考答案与试题解析 一．选择题（共9 小题） 1．（2018?孝感）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sinA 等于（） 分析】先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．解答】解：在Rt△ ABC中，∵ AB=10、AC=8， ∴ BC= = =6， ∴sinA= = = 故选：A． 2．（2018?绵阳）一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30 海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（）（结果保留小数点后两位）（参考数据：≈1.732 ，≈ 1.414 ）A．4.64 海里B． 5.49 海里C． 6.12 海里D．6.21 海里 【分析】根据题意画出图形，结合图形知∠ BAC=3°0 、∠ ACB=1°5 ，作 BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ ABC内部作∠ CBE=∠ACB=1°5 ，设BD=x，则AB=BE=CE=、2xAD=DE= x，据此得出AC=2 x+2x，根据题意列出方程，求解可得． 【解答】解：如图所示，
由题意知，∠ BAC=3°0 、∠ ACB=1°5 ， 作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ ABC内部作∠ CBE=∠ACB=1°5 ，则∠BED=3°0 ，BE=CE，
设BD=x， 则AB=BE=CE=2，x AD=DE= x ， ∴ AC=AD+DE+CE=2x+2x，∵AC=30， ∴ 2 x+2x=30， 解得：x= ≈5.49 ， 故选：B． 3．（2018?重庆）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部 E 点处测得旗杆顶端的仰角∠ AED=5°8 ，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7 米，升旗台坡面CD的坡度i=1 ：0.75 ，坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1 米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：sin58 °≈ 0.85 ，cos58°≈ 0.53 ，tan58 °≈ 1.6） A．12.6 米B．13.1 米C．14.7 米D．16.3 米 【分析】如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥ DM于J．则四边形BMJC是矩形．在Rt△ CDJ 中求出CJ、DJ，再根据，tan ∠AEM= 构建方程即可解决问题；【解答】解：如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC 是矩形． 在Rt△ CJD ，设CJ=4k， DJ=3k， 22 则有9k2+16k2=4，
中考数学专题练习解直角三角形
《解直角三角形》 一、选择题：（满分24分） 1．在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则tan A 的值是（ ） A ．45 B ．35 C ．43 D ．34 2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝ ，则sin B 的值为（ ） A ． B ．513 C ． D ． 3. 已知0°＜α＜90°，则m ＝sin α＋cos α的值（ ） A ．m ＞1 B ．m ＝1 C ．m ＜1 D ．m ≥1 4.在ABC △中，若23sin (1tan )02 A B -+-=，则C ∠的度数是（ ） A ．45? B ． 60? C ．75? D ．105? 5. 如果直线2y x =与x 轴正半轴的夹角为α，那么下列结论正确的是（ ） A. sin 2α= B. cos 2α= C. tan 2α= D. 1tan 2 α= 6.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（ ） A ．13 B ．12 C ．22 D ．3 7. 如图，坡角为30的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ，则坡面距离AB 为（ ） Ａ．4m 3 43 Ｄ．43 8. 如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度1:1.5i =，则坝底AD 的长度为( )
A ．26米 B ．28米 C ．30米 D ．46米 第6题图 第7题图 第8题图 二、填空题：（每小题3分，共24分） 9. 在Rt △ABC 中,∠C ＝90o，BC ＝5，AB ＝13，sin A ＝_________. 10.计算：=?+0030cos 60tan 45sin 2 ＝ ． 11.如图，在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度，AC ＝7米，则树高BC 为 米（用含α的代数式表示）． 12．如图，小明爬一土坡，他从A 处爬到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他离地面高度为h ＝2米，则这个土坡的坡角∠A ＝ ． 13．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了200米到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C (如图)，那么，由此可知，B C 、两地相距 米. 第11题图 第12题图 第13题图 14．一架梯子AB 斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离是AC ＝3米，且3cos 4BAC ∠=，则梯子AB 的长度为 米. 15.如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝ ，则AB 的长为 ． 16.如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，点C 是优弧 上一点（不与A ，B 重合），那么cos C ∠的值是 . 第15题图 第16题图 三、解答题（本大题共8个小题，满分52分）： 17. （本题4分）计算：00(32)4sin 60223-+-- 18.（本题4分） 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8．若∠BPC ＝12 ∠BAC ，试求tan ∠BPC 的值． 19.（本题6分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10m ，到达B 点，在B 处测得树顶C 的仰角高度为60° （A 、B 、D 三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度（结果精确到0.1m ）．（参考数据：≈1.414，≈1.732） 20.（本题6分）如图，在Rt ?ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC ＝6，5 3sin =A ，求DE. ＡＢ
九年级解直角三角形中考题
解直角三角形 练习1、（2013?十堰）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为米． 2、（2013?钦州）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1： 是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比） （1）求点B距水平面AE的高度BH； （2）求广告牌CD的高度． （测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： 1.414， 1.732） 3、兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一条小船垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角为∠FDC=30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4:3，坡长AB=8米，求此时小船C到岸边的距离AC的长
4、在1998年的特大洪水期间，为了加固一段大堤，需运来沙石和土将大堤堤面加宽1米，使背水坡的坡度由原来的1：2变为1：3,已知原来背水坡的坡长为BC=15米，堤长100米，那么需要的沙石和土多少方？ 5、如图，某县为了加固长90米，宽5米，坝顶宽4米的迎水坡和背水坡的坡度都是1:1的横断面是梯形的防洪大坝，要将大坝加高1米，背水坡的坡度改为1:1.5，已知坝顶宽不变，要求大坝横截面的面积增加了多少平方米？共要填充多少立方米的土？ 6、（2013?眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：． （1）求加固后坝底增加的宽度AF； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
2018年中考数学真题分类汇编(第三期)专题28 解直角三角形试题(含解析)
解直角三角形 一.选择题 1．（2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75.坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（） A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米 【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=，构建方程即可解决问题； 【解答】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N． 在Rt△CDN中，∵==，设CN=4k，DN=3k， ∴CD=10， ∴（3k）2+（4k）2=100， ∴k=2， ∴CN=8，DN=6， ∵四边形BMNC是矩形， ∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66， 在Rt△AEM中，tan24°=， ∴0.45=， ∴AB=21.7（米）， 故选：A． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出
直角三角形是解答此题的关键． 2．（2018·吉林长春·3分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A.B在同一水平面上）．为了测量A.B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A.B两地之间的距离为（） A．800sinα米B．800tanα米C．米D．米 【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米， ∴tanα=，∴AB==．故选：D． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（2018·江苏常州·2分）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（） A．B．C．D． 【分析】如图，连接AD．只要证明∠AOB=∠ADO，可得sin∠AOB=sin∠ADO==； 【解答】解：如图，连接AD． ∵OD是直径， ∴∠OAD=90°，
2019中考试题分类——解直角三角形
2019中考试题分类——解直角三角形 注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！ 1.〔2018江苏苏州，26，8分〕如图，斜坡AB 长60米，坡角〔即∠BAC 〕为30°，BC ⊥AC ， 现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体〔用阴影表示〕修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE .〔请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据〕. ⑴假设修建的斜坡BE 的坡角(即∠BAC )不大于45°,那么平台DE 的长最多为▲米； ⑵一座建筑物GH 距离坡脚A 点27米远〔即AG=27米〕，小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即 ∠HDM )为30°.点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面上，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG ⊥CG ，问建筑物GH 高为多少米？ 30°30°H M G D E F C B A 【答案】解：⑴11.0〔10.9也对〕. ⑵过点D 作DP ⊥AC ，垂足为P . 在Rt △DPA 中，，. 在矩形DPGM 中，，. 在Rt △DMH 中，. ∴. 答：建筑物GH 高为45.6米. 2、如图5，一天，我国一渔政船航行到A 处时，发现正东方 向的我领海区域B 处有一可疑渔船，正在以12海里∕小时的 速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60o方向航行， 1.5小时后，在我领海区域的C 处截获可疑渔船。问我渔政船 的航行路程是多少海里？(结果保留根号) 知识点考察：①解直角三角形，②点到直线的距离，③两角 互 余的关系④方向角，⑤特殊角的三角函数值。 能力考察：①作垂线，②逻辑思维能力，③运算能力。 分析：自C 点作AB 的垂线，垂足为D ，构建Rt △ACD ，
2018中考数学解直角三角形在实际问题中的运用含答案
D A B C E F 解直角三角形在实际问题中的运用 要点一：锐角三角函数的基本概念 1.(·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE = 12 13 ． （1）求半径OD ； （2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？ 2.（綦江中考）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ． （1）求证：ABE △DFA ≌△； （2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值． 3、（宁夏中考）如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A = 5 4 ，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值． O E C D
4、（肇庆中考）在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值. 5、（·芜湖中考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠， (1) 求证：AC=BD ； (2)若12 sin 13 C = ，BC =12，求AD 的长． 要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题 1.（·钦州中考）sin30°的值为（ ） A 3 B 2 C ． 12 D 3 2.（长春中考）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 452AOC OC ∠==°，B 的坐标为（ ） A ．(21)， B ．2)， C ．211)， D ．(121)， 3.(定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米 B ．3 C 83米 D ．43 3 米 4.宿迁中考）已知α为锐角，且2 3 )10sin(= ?-α，则α等于（ ） Ａ．?50 Ｂ．?60 Ｃ．?70 Ｄ．?80 5.（毕节中考） A （cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A 1的坐标是（ ）
2018中考解直角三角形真题
解直角三角形 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 1．（2018?孝感）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sinA等于（） A．B．C．D． 【分析】先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得． 【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8， ∴BC===6， ∴sinA===， 故选：A． 2．（2018?绵阳）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（）（结果保留小数点后两位）（参考数据：≈1.732，≈1.414）A．4.64海里B．5.49海里C．6.12海里D．6.21海里 【分析】根据题意画出图形，结合图形知∠BAC=30°、∠ACB=15°，作BD⊥AC于点D，以点B 为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°，设BD=x，则AB=BE=CE=2x、AD=DE=x，据此得出AC=2x+2x，根据题意列出方程，求解可得． 【解答】解：如图所示， 由题意知，∠BAC=30°、∠ACB=15°， 作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°， 则∠BED=30°，BE=CE， 设BD=x， 则AB=BE=CE=2x，AD=DE=x，
∴AC=AD+DE+CE=2x+2x， ∵AC=30， ∴2x+2x=30， 解得：x=≈5.49， 故选：B． 3．（2018?重庆）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=1：0.75，坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6） A．12.6米B．13.1米C．14.7米D．16.3米 【分析】如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．在Rt△CDJ中求出CJ、DJ，再根据，tan∠AEM=构建方程即可解决问题； 【解答】解：如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形． 在Rt△CJD中，==，设CJ=4k，DJ=3k， 则有9k2+16k2=4， ∴k=， ∴BM=CJ=，BC=MJ=1，DJ=，EM=MJ+DJ+DE=， 在Rt△AEM中，tan∠AEM=，
中考题型：解直角三角形.doc
C D A B 中考题型：解直角三角形 【例1】如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛入附近沿正东方向航行，船在8点时测得钓鱼岛A 在船的北偏 东60。方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C 点，此时钓鱼岛A 在船的北偏东30。方向.请 问海监船继续航行多少海里与钓鱼岛A 的距离最近？ 北 【练习】 1. 如图所示，一条自西向东的观光大道 /上有A 、B 两个景点，A 、B 相距2km,在A 处测得另一景点C 位 于点A 的北偏东60。方向，在B 处测得景点C 位于景点B 的北偏东45。方向，求景点C 到观光大道I 的距离.（结 果精确到0.1km ） 2. 如图所示，我市某中学数学课外活动小组的同学，利用所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽. 小凡同学在点A 处观测到对岸C 点，测得匕CAD=45。，乂在距A 处60米远的B 处测得ZCBA=30°,请你根 据这些数据算出河宽是多少？（精确到0. 01m ）
4 B东 3. 如图，某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A点测得某岛C在北偏东60。方向上，航行半小时后到B点，测得该岛在北偏东30。方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁. （1）试说明B点是否在暗礁区域外； （2）若继续向东航行，有无触礁危险?请说明理由. 【例2】如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼上的C处测得旗杆低 端B的俯角为45°,测得旗杆顶端A的仰角为30。，如旗杆与教学楼的水平距离CD为9m,则旗杆的高度是 多少？（结果保留根号） 【练习】 1. 如图，从热气球C上测得两建筑物A, B底部的俯佑分别为30〃和60”，如果这时气球的高度CD为90米, 且点A, D, B在同一个直线上，求建筑物A, B间的距离.
中考解直角三角形试题汇编
2007年中考“解直角三角形”试题汇编 一、选择题: 1．(2007年襄樊市)计算：cos 245°＋tan60°?cos30°等于（ ）．C A 、1 B C 、2 D 2、（2007湖北省天门）化简（ ）。A A 、1- B 1 C 1- D 1 3．(2007年兰州市)把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ’B ’C ’，那么锐角A 、A ’ 的余弦值的关系为（ ）．A A 、cosA ＝cosA ’ B 、cosA ＝3cosA ’ C 、3cosA ＝cosA ’ D 、不能确定 4、（2007山东淄博）王英同学从A 地沿北偏西60o方向走 100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ）D （A ）350m （B ）100 m （C ）150m （D ）3100m 解：作出如图所示图形， 则∠BAD ＝90°－60°＝30°，AB ＝100， 所以BD ＝50，cos30°＝ AD AB ，所以，AD ＝ CD ＝200－50＝150，在Rt △ADC 中， AC ，故选（D ）。
5、（2007浙江杭州）如图1，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30?， 向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45?，则该高楼的高度大约为（ ）A A.82米 B.163米 C.52米 D.70米 6、（2007南充）一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40o的方向行驶40海里到达B 地， 再由B 地向北偏西10o的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（ ）．B （A ）30海里 （B ）40海里 （C ）50海里 （D ）60海里 7、（2007江苏盐城）利用计算器求sin30°时，依次按 键 则计算器上显示的结果是( )A A ．0．5 B ．0．707 C ．0．866 D ．1 8、(2007山东东营)王英同学从A 地沿北偏西60o方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 ( )D （A ）150m （B ）350m （C ）100 m （D ）3100m 9、（2007浙江台州）一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD ．已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小迪在B 处测量时，测角器中的60AOP ∠=°（量角器零度线AC 和铅垂线OP 的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点F 处（点B F D ，，在同一直线上），这时测角器中的45EO P ''∠=°，那么小山的高度CD 约为（ ）B Ａ．68米 Ｂ．70米 Ｃ．121米 Ｄ．123米 1.732≈ 1.414≈供计算时选用） 图1
中考数学专题特训 解直角三角形(含详细参考答案)
中考数学专题复习解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在RE△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数 【提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关 2、取值范围
sinB cosB tanB 【提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念 ⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 ⑵坡度坡角：如图： 斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度，用i表示，即i=坡面与水平面得 夹角为用字母α表示，则i=h l = ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA表示OB表示 OC表示（也可称西南方向） 3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤： ⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题） ⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形 ⑶解数学问题答案，从而得到实际问题的答案 【提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】 【重点考点例析】 考点一：锐角三角函数的概念 例1 （2012?内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（） A．1 2 B． 5 5 C． 10 10 D． 25 5 思路分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O， 根据网格的特点，CD⊥AB，
完整版2018中考复习解直角三角形专题训练
2018中考复习解直角三角形专题训练 C ，一架飞机在空中P处探测到某高山山顶D处的俯角为60°，此后飞机1.如图1P 60秒到山顶D的米/秒的速度沿平行于地面AB的方向匀速飞行，飞行10以300D 千米，求这座山的高C正上方处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12 千米）（精确到0.112千 G A B 1 图 2．施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测17cm E AB=4米，斜面得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离B DEBC=4.25米，斜坡总长米．=85距离 A D的度数（结果精确到1°）；（1）求坡角∠C D F （第2题）? 17cm）若这段斜坡用厚度为的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶（2 l M （如图）MN，在码头西端3．在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头北B的正西A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于19．5 km 处有一观察站又测得该轮分钟，20处；相距的北偏西A 30°,且与A40km的B经过1小时38CA，且与相距处．km的60°A船位于的北偏东C（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正l东A MN靠岸？请说明理由．好行至码头MN 工人师. 4. 如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，
4AB长为已知原传送带改为使其由傅欲减小传送带与地面的夹角，45°30°. . 米的长度；AC）求新传送带1（． 米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走。C（2）如果需要在货物着地点的左侧留出26352，， (说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈2.45)≈1.41，≈2.24≈1.73 BEQEAEPABPQ＝和＝两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线74°上点5．如图，大海中有，∠处测得∠EFBFFAFP＝处测得∠1km＝60°，∠＝Q60°，．30°；在点）判断ABAE的数量关系，并说明理由；（1 sin74°≈，B之间的距离（结果精确到 0.1km）．（参考数据：3≈1.73，）求两个岛屿（2A和），cos74°≈0.28tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24 A B QEFP 6．如图为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D点的距离为5m,每层楼高3.5m,AE、BF、CH都垂直于地面，EF=16m,求塔吊的高CH的 长． 7．在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都CAACBBCC处测24m的引线（线段).现已知风筝，在的引线（线段）长20m，风筝）长固定在地面上的处(如图 AB的仰角为45°. 的仰角为60°得风筝，风筝AB谁离地面更高？与风筝（1）试通过计算，比较风筝B A
中考数学专题练习：锐角三角函数与解直角三角形(含答案)
锐角三角函数与解直角三角形 一、选择题 1. (2018·柳州)如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，4,3BC AC ==，sin B 的值为( ) A. 35 B. 45 C. 37 D. 34 2. (2018·孝感)在Rt ABC ?中，90C ∠=?，10,8AB AC ==，则sin A 的值为( ) A. 35 B. 45 C. 34 D. 43 3. (2018·云南)在Rt ABC ?中，90C ∠=?，1,3AC BC ==，则A ∠的正切值为( ) A. 3 B. 1 3 C. D. 4. (2018·大庆)2cos60?的值为( ) A. 1 B. C. D. 1 2 5. (2018·天津) cos30?的值为( ) A. 2 B. C. 1 D. 6. ( 2018·日照)计算1 1 ()tan30sin 602 -+??g 的结果为( ) A. 32- B. 2 C. 52 D. 72 7. ( 2018·烟台)利用计算器求值时，小明将按键顺序为(sin 30)() 4x y -= 的显示结 果记为a ，26/3 x ab c =的显示结果记为b 。则,a b 的大小关系为( ) A. a b < B. a b > C . a b = D.不能比较 8. (2018·葫芦岛)如图，AB 是⊙O 的直径，,C D 是⊙O 上AB 两侧的点.若30D ∠=?， 则tan ABC ∠的值为( ) A. 1 2 B. C. D.
9. (2018·贺州)如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知3sin 5 CDB ∠= ，5BD =，则AH 的长为( ) A. 253 B. 163 C. 256 D. 16 6 10. (2018·自贡)如图，若ABC ?内接于半径为R 的⊙O ，且60A ∠=?，连接,OB OC ， 则边BC 的长为( ) A. B. R C. R D. 11.(2018·娄底)如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的 面积为49，则sin cos αα-的值为( ) A. 513 B. 513- C. 713 D. 713 - 12. (2018·枣庄)如图，在矩形ABCD 中，E 是边BC 的中点，AE BD ⊥，垂足为F ，则 tan BDE ∠的值是( ) A. 4 B. 14 C. 1 3 D. 3 13. (2018·无锡)如图，E 是矩形ABCD 的对角线AC 上一动点，正方形EFGH 的顶点,G H 都在边AD 上.若3,4AB BC ==，则tan AFE ∠的值( ) A.等于3 7 B.等于3 C.等于 3 4 D.随点E 位置的变化而变化 14. (2018·贵阳)如图，,,A B C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则t a n BAC ∠
2012年中考数学专题训练_解直角三角形2
5中考总复习专题训练 解直角三角形 一、选择题（每小题3分，共45分） 1.当锐角A<600时,下列结论不正确的是（）。 Ａ．sinA<Ｂ．cosA<Ｃ．tanA<Ｄ．cotA> 2.若A为锐角,且sinA=,则角A满足（）。 Ａ．00 11.ΔABC 中,∠C=900,∠BAC=300 ,AD 是中线,则tan ∠CDA=（ ）。 Ａ． Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ． 12.在Rt△ABC 中，∠C=90°，若sinA=23 ，则tanB=（ ）。 Ａ．53 Ｂ．5 Ｃ．255 Ｄ．5 13.在△ABC 中，若|sinA － 23|+(1－tanB)2=0，则∠C 的度数是（ ）。 Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．75° Ｄ．105° 14.a=sin60o，b=cos45o，c=tan30o，则它们之间的大小关系是（ ）。 Ａ．c 解直角三角形及其应用 命题点1特殊角三角函数值的计算 1. (江西11(2)题3分)计算：sin30°·cos30°－tan30°＝________(结果保留根号)． 命题点2解直角三角形的实际应用 类型一方向角的判断 2. (江西5题3分)如图,如果在阳光下你的身影的方向为北偏东60°方向,那么 太阳相对于你的方向是() 第2题图 A. 南偏西60° B. 南偏西30° C. 北偏东60° D. 北偏东30° 类型二直角三角形模型(10年6考) 3. (江西11题3分)如图,从点C测得树的顶端的仰角为33°,BC＝20米,则树高AB≈________米．(用计算器计算,结果精确到0.1米) 第3题图 4. (江西13题3分)如图①是小志同学书桌上的一个电子相框,将其侧面抽象为如图②所示的几何图形,已知BC＝BD＝15 cm,∠CBD＝40°,则点B到CD的距离为________cm.(参考数据：sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,sin40°≈0.643,cos40°≈0.766.结果精确到0.1 cm,可用科学计算器) 第4题图 5. (江西22题9分)图①是一个水桶模型示意图,水桶提手结构的平面图是轴对称图形．当点O到BC(或DE)的距离大于或等于⊙O的半径时(⊙O是桶口所在圆,半径为OA),提手才能从图①的位置转到图②的位置,这样的提手才合格．现用金属材料做了一个水桶提手(如图③A－B－C－D－E－F,C－D是,其余是线段),O是AF的中点,桶口直径AF＝34 cm,AB＝FE＝5 cm,∠ABC＝∠FED＝149°. 请通过计算判断这个水桶提手是否合格．(参考数据：314≈17.72,tan73.6°≈3.40,sin75.4°≈0.97) 第5题图 6. (江西17题6分)如图①,研究发现,科学使用电脑时,望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°,而当手指接触键盘时,肘部形成的“手肘角”β约为100°.图②是其侧面简化示意图,其中视线AB水平,且与屏幕BC垂直． (1)若屏幕上下宽BC＝20 cm,科学使用电脑时,求眼睛与屏幕的最短距离AB 的长； (2)若肩膀到水平地面的距离DG＝100 cm,上臂DE＝30 cm,下臂EF水平放置在键盘上,其到地面的距离FH＝72 cm,请判断此时β是否符合科学要求的100°？ (参考数据：sin69°≈14 15,cos21°≈ 14 15,tan20°≈ 4 11,tan43°≈ 14 15,所有结果精确到个 位) 第6题图 7. (江西21题8分)如图①是一副创意卡通圆规,图②是其平面示意图,OA是支撑臂,OB是旋转臂．使用时,以点A为支撑点,铅笔芯端点B可绕点A旋转作出图．已知OA＝OB＝10 cm. (1)当∠AOB＝18°时,求所作圆的半径；(结果精确到0.01 cm) 解直角三角形的应用 一．选择题（共5小题） 1．如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（） A． 100米B ． 50米C ． 米D．50米 2．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：，则坝底AD的长度为（） A．26米B ．28米C ． 30米D．46米 3．如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB 的坡度为1：，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为（精确到米，sin42°≈，tan42°≈）（） A ．米B ． 米C ． 米D ． 米 4．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（） A ．20海里B ． 10海里C ． 20海里D ． 30海里 二．填空题（共5小题） 5．如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为52°、35°，则广告牌的高度BC 为_________ 米（精确到米）．（sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈；sin52°≈，cos52°≈，tan52°≈） 6．长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所 示），则梯子的顶端沿墙面升高了_________ m． 7．为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是 长5米宽米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以 划出_________ 个这样的停车位．（≈） 8．如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC=75°，∠BPD=30°，则河流的宽度约为_________ 米． 三．解答题（共5小题） 9．图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶 点处依次串联而成，每相邻两个菱形均成30°的夹角，示意图如图2．在图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60°． （1）连接CD，EB，猜想它们的位置关系并加以证明； （2）求A，B两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器） （参考数据：≈，≈，≈） 2018年全国中考数学 解直角三角形压轴题专题复习 【课标要求】 1.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角； 2.探索勾股定理及其逆定理，并掌握运用它们解决一些简单的实际问题； 3.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A 、cos A 、tan A )；知道30?、45?、60?角的三角函数值； 4．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角； 5.能用锐角三角函数解直角三角形，并用相关知识解决一些简单的实际问题． 【课时分布】 解直角三角形在第一轮复习时大约需要5课时，其中包括单元测试及评析．下表为内容及课时安排(仅供参考)． 【知识回顾】 1．知识脉络 2．基础知识 (1)勾股定理及其逆定理 ①勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 即：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2． ②勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形． (2)锐角三角函数 ①锐角三角函数的定义 如图7-1，在Rt △ABC 中，∠C =90?，则 sin A =A ∠的对边斜边=a c ，cos A =A ∠的邻边斜边=b c ， tan A = A A ∠∠的对边的邻边 = a b ． sin A 、cos A 、tan A 分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A 的三角函数． ∠A 的对边a ∠A 的邻边图7-1解直角三角形及其应用(中考真题练习)
解直角三角形的应用中考练习题
2018年全国中考数学 解直角三角形压轴题专题复习