含参变量的积分

含参变量的积分

1 含参变量的正常积分

1． 求下列极限：

(1) 1

0lim

a -→?

；

(2) 2

20

0lim cos a x ax dx →?

；

(3) 122

0lim

1a

a

a dx

x a

+→++?

. 2．求'()F x ，其中： (1) 2

2

()x xy x

F x e dy -=?；

(2) cos sin ()x

x F x e =?

；

(3) sin()

()b x

a x

xy F x dy y

++=

?

； (4)

2

2

(,)x

x t f t s ds dt

??????

?

?. 3．设()f x 为连续函数，

2

01

()()x

x F x f x d d h

ξηηξ??=++????

?

?， 求''

()F x .

4．研究函数

1

22

()

()yf x F y dx x y =+?

的连续性，其中()f x 是[0，1]上连续且为正的函数.

5．应用积分号下求导法求下列积分：

(1) 2220

ln(sin ) (1)a x dx a π

->?

;

(2) 20

ln(12cos ) (||1)a x a dx a π

-+

；

(3)

222220

ln(sin cos ) (,0)a x b x dx a b π+≠?

；

(4)

20

arctan(tan )

(||1)tan a x dx a x

π

.

6．应用积分交换次序求下列积分： (1)

1

(0,0)ln b a

x x dx a b x

->>?

； (2) 1

01sin ln (0,0)ln b a

x x

dx a b x x -??>> ???

?.

7．设f 为可微函数，试求下列函数的二阶导数： (1) 0()()()x

F x x y f y dy =+?； (2) ()()|| ()b

a

F x f y x y dy a b =

-

；

8．证明：22

22

1

1

11222222

0000()()x y x y dx dy dy dx x y x y --≠++????.

9．设1

()F y =

?

，问是否成立

1

'00(0)y F dx y

=?

=??

. 10．设

2cos 0

()cos(sin )x F x e x d π

θθθ=?

求证()2F x π≡.

11．设()f x 为两次可微函数，()x ?为可微函数，证明函数

11(,)[()()]()22x at

x at

u x t f x at f x at z dz a ?+-=-+++?

满足弦振动方程

22

222

u u a t x ??=?? 及初始条件

(,0)(),(,0)()t u x f x u x x ?==.

2 含参变量的广义积分

1．证明下列积分在指定的区间内一致收敛： (1)

22

cos()

(0)xy dy x a x y +∞

≥>+?；

(2)

2

cos()

()1xy dy x y

+∞

-∞<<+∞+?

； (3) 1 ()x y y e dy a x b +∞

-≤≤?

；

(4)

1

cos (0,0)xy

p y

e dy p x y

+∞

->≥?

； (5)

2

sin (0)1p

x dx p x +∞

≥+?

. 2．讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性：

(1) 2

0 (0)x dx αα-<<+∞?

；

(2)

xy xe dy +∞

-?

，

（i ）[,] (0)x a b a ∈>，（ii ）[0,]x b ∈；

(3)

2

()x e dx α+∞

---∞

?

，

（i ）a b α<<，（ii ）α-∞<<+∞；

(4)

22(1)

sin (0)x y e

xdy x +∞

-+<<+∞?

.

3．设()f t 在0t >连续，0

()t f t dt λ+∞

?

当,a b λλ==皆收敛，且a b <。

求证：

()t f t dt λ+∞

?

关于λ在[,]a b 一致收敛.

4．讨论下列函数在指定区间上的连续性： (1) 22

()x

F x dy x y +∞

=

+?

，(,)x ∈-∞+∞；

(2) 2

()1x

y F x dy y +∞

=

+?

，3x >； (3) 20

sin ()()

x x

y

F x dy y y π

π-=

-?

，(0,2)x ∈.

5．若(,)f x y 在[,][,)a b c ?+∞上连续，含参变量广义积分

()(,)c

I x f x y dy +∞

=?

在[,)a b 收敛，在x b =时发散，证明()I x 在[,)a b 不一致收敛.

6．含参变量的广义积分()(,)c

I x f x y dy +∞

=

?

在[,]a b 一致收敛的充要条件是：对任一

趋于+∞的递增数列{}n A （其中1A c =）

，函数项级数 1

1

1

(,)()n n

A n A n n f x y dy u x +∞

∞

===∑∑?

在[,]a b 上一致收敛.

7．用上题的结论证明含参变量广义积分()(,)c

I x f x y dy +∞

=

?

在[,]a b 的积分交换次序

定理（定理19.12）和积分号下求导数定理（定理19.13）.

8．利用微分交换次序计算下列积分：

(1) 21

()()

n n dx

I a x a +∞

+=

+?

（n 为正整数，0a >）； (2)

sin ax bx

e e mxdx x

--+∞

-?

（0,0a b >>）； (3)

2

sin x xe bxdx α+∞

-?

(0α>).

9．用对参数的积分法计算下列积分： (1)

22

ax bx

e e dx x --+∞

-?（0,0a b >>）

； (2)

sin ax bx

e e mxdx x

--+∞

-?

（0,0a b >>）. 10．利用2(1)2011y x e dy x

+∞-+=+?计算拉普拉斯积分 20cos 1x L dx x

α+∞=+? 和

12

sin 1x x

L dx x α+∞

=+?

.

112

(0)xy e dy x +∞

-=>计算傅伦涅尔积分

2

01sin 2F x dx +∞

+∞==

?? 和

2

10

01cos 2F x dx +∞

+∞==?

?.

12．利用已知积分

sin 2x dx x π+∞

=?

，202

x e dx +∞-=?计算下列积分：

(1)

42

sin x

dx x

+∞

?

； (2)

2

sin cos y yx

dy y

π

+∞

?

； (3) 2

20x x e dx α+∞

-?

(0)a >；

(4)

2

()

ax

bx c e dx +∞

-++?

(0)a >；

(5)

222

()

a x x e

dx -+

+∞

-∞

? (0)a >.

13．求下列积分： (1)

1cos t

e tdt t

+∞

-?

； (2)

22

ln(1)

1x dx x +∞

++?

.

14．证明：

(1)

1

ln()xy dy ?在1[,]b b

(1)b >上一致收敛； (2) 10y dx

x

?在(,]b -∞ (1)b <上一致收敛.

3 欧拉积分

1．利用欧拉积分计算下列积分：

(1)

1

?

；

(2) ?

；

(3) ?;

(4) 0

a

x ?

(0)a >；

(5) 6420

sin cos x xdx π?

；

(6) 4

1dx

x +∞

+?

； (7) 2

20

n x x e dx +∞

-?

（n 为正整数）

；

(8)

π

?；

(9)

220

sin n xdx π

?

（n 为正整数）；

(10) 1

1

1ln n m x dx x -??

?

??

? (n 为正整数).

2．将下列积分用欧拉积分表示，并求出积分的存在域： (1)

1

2m n

x dx x

-+∞

+?

；

(2)

1

?

(3)

20

tan n xdx π

?

；

(4) 1

1ln p

dx x ??

???

?；

(5)

ln p x x e xdx α+∞

-?

(0)α>.

3．证明： (1)

11

()n

x e dx n n

+∞--∞

=

Γ?

(0)n >； (2) lim

1n

x n e

dx +∞

--∞

→+∞=?

.

4．证明：

11

1

(,)(1)b a b

x x B a b dx x α--++=+?

；

10

()sx s x e dx ααα+∞

--Γ=?

(0)

s >.