不等式知识点整理

一元一次不等式和一元一次不等式组

一、概念：

定义1：一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。

定义2：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。（不等式的解有时有无数个，有时有有限个，有时无解。）

定义3：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。

定义5：左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

定义6：一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组。

定义7：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

定义8：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

二、基本性质：

“等式的基本性质”和“不等式的基本性质”

（1）等式的基本性质：

等式基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个整式，等式仍旧成立

如果a=b，那么a±c=b±c

等式基本性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，等式仍旧成立

如果a=b，那么ac=bc，a÷c＝b÷c（c≠0）

（2）不等式的基本性质：

不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.

不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些异同点？

不等式的基本性质有三条，等式的基本性质有两条；两个性质中在两边都加上（或都减去）同一个整式时，结果相似；在两边都乘以（或除以）同一个正数时，结果相似；在两边都乘以（或除以）同一个负数时，结果不同.

三、相关知识归纳：

（一）、将不等式的解集表示在数轴上时，要注意：

1、指示线的方向,“>”向右,“<”向左.

2、不等式的解集在数轴上表示时,当解集的符号是“≥”或“≤”时,用实心圆点表示,当解集的符号是“＞”或“＜”时,用空心圆圈表示。

3、不等式的解与解集的联系与区别:二者的区别在于,不等式的解是指能使不等式成立的每一个值;不等式的解集是指所有解的全体。联系是不等式的所有解组成一个解集,或者说不等式的解集包含不等式的每一个解。

4、将不等式的解集表示在数轴上,一般分三步:一是正确地画数轴,注意数轴的三要素;二是确定界点,注意区分实心圆点还是空心圆圈;三是辨别方向,大于指向界点的右方,小于指向界点的左方。

（二）、解一元一次不等式的一般步骤：

（1）去分母———不等式性质2或3

注意：

①勿漏乘不含分母的项；

②分子是两项或两项以上的代数式时要加括号；

③若两边同时乘以一个负数，须注意不等号的方向要改变.

（2）去括号——去括号法则和分配律

注意：

①勿漏乘括号内每一项；

②括号前面是“－”号，括号内各项要变号.

（3）移项——移项法则（不等式性质1）

注意：移项要变号.

（4）合并同类项——合并同类项法则.

（5）系数化成1——不等式基本性质2或性质3.

注意：两边同时除以未知数的系数时，要分清不等号的方向是否改变（三）、解一元一次不等式应用题的步骤：

（1）审题，找不等关系；

（2）设未知数；

（3）列不等关系；

（4）解不等式；

（5）根据实际情况，写出全部答案

（四）、一元一次方程（组）、不等式（组）与一次函数的关系：

1、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程都可以转化为ax＋b=0 (a, b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。从图象上看，相当于已知直线y=ax＋b，确定它与x轴的交点的横坐标的值。

2、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0 (a, b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围。

3、规律总结

一次函数y=kx＋b与一元一次方程kx＋b=0及一元一次不等式的关系：函数y=kx ＋b的图象在x轴上方的点所对应的自变量x的值，即为不等式kx＋b>0的解集；在x 轴上所对应的点的自变量的值即为方程kx＋b=0的解；在x轴下方的点所对应的自变量的值即为不等式kx＋b<0的解集。

4、一次函数与一次方程（组）

（1）以二元一次方程ax ＋by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数

的图象相同。

（2）二元一次方程组

的解可以看成是两个一次函数

的图象的交点。

5、一次函数与方程（组）的应用

在实际生活中，如何应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，再利用方程（组）求解。

6、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式。

（五）、两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形.

设a ＜b ,那么

（1）不等式组?

??>>b x a x 的解集是x ＞b ; （2）不等式组???<

x a x 的解集是x ＜a ;

（3）不等式组?

??<>b x a x 的解集是a ＜x ＜b ; （4）不等式组???>

x a x 的解集是无解.

这是用式子表示，也可以用语言简单表述为：

大大取大；小小取小；大小小大取中间；大大小小题无解.

（六）、解一元一次不等式的步骤有：（投影）

去分母；去括号；移项；合并同类项；不等式两边都除以未知数的系数.

下面我们对比地学习解一元一次不等式与解一元一次方程的异同