《管理运筹学》第四版课后习题解析上

《管理运筹学》第四版课后习题解析（上）

第2章 线性规划的图解法

1．解：

（1）可行域为OABC 。 （2）等值线为图中虚线部分。

（3）由图2-1可知，最优解为B 点，最优解1x =

127，2157x =；最优目标函数值69

7

。

图2-1 2．解：

（1）如图2-2所示，由图解法可知有唯一解12

0.2

0.6x x =??=?，函数值为3.6。

图2-2

（2）无可行解。 （3）无界解。 （4）无可行解。 （5）无穷多解。

（6）有唯一解 12203

8

3x x ?=????=??

，函数值为923。

3．解： （1）标准形式

12123max 32000f x x s s s =++++

1211221231212392303213229,,,,0

x x s x x s x x s x x s s s ++=++=++=≥

（2）标准形式

1212min 4600f x x s s =+++

12112212121236210764,,,0

x x s x x s x x x x s s --=++=-=≥

（3）标准形式

1

2212min 2200f x x x s s ''''=-+++

12

211

2212221

2212355702555032230,,,,0x x x s x x x x x x s x x x s s '''-+-+=''''-+=''''+--=''''≥

4．解： 标准形式

1212max 10500z x x s s =+++

1211221212349528,,,0

x x s x x s x x s s ++=++=≥ 松弛变量（0，0） 最优解为 1x =1，x 2=3/2。 5．解： 标准形式

12123min 118000f x x s s s =++++

121122123121231022033184936,,,,0

x x s x x s x x s x x s s s +-=+-=+-=≥

剩余变量（0, 0, 13） 最优解为 x 1=1，x 2=5。 6．解：

（1）最优解为 x 1=3，x 2=7。

（2）113c <<。

（3）226c <<。

（4）

1264x x ==。

。

（5）最优解为 x 1=8，x 2=0。 （6）不变化。因为当斜率121

13

c c ---≤≤，最优解不变，变化后斜率为1，所以最优解不变。

7.解：

设x ，y 分别为甲、乙两种柜的日产量，

目标函数z=200x ＋240y ， 线性约束条件：

??????

?≥≥≤+≤+0

06448120

126y x y x y x 即 ??????

?≥≥≤+≤+0

016220

2y x y x y x

作出可行

域．

解?

??=+=+16220

2y x y x 得)8,4(Q

272082404200=?+?=最大z

答：该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为

4台和8台，可获最大利润2720

元．

8．解：

设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板面积zm2． 目标函数z=x ＋2y ， 线性约束条件：

?????

????≥≥≥+≥+≥+0

027315212y x y x y x y x 作出可行域，并做一组一组平行直线x ＋2y=t ．解???=+=+12

273y x y x 得)2/15,2/9(E

．

但E 不是可行域内的整点，在可行域的整点中，点)8,4(使z 取得最小值。 答：应截第一种钢板4张，第二种钢板8张，能得所需三种规格的钢板，且使所用钢板的面积最小．

9．解：

设用甲种规格原料x 张，乙种规格原料y 张，所用原料的总面积是zm 2，目标函

数z=3x ＋2y ，线性约束条件????

???≥≥≥+≥+0

03222y x y x y x 作出可行域．作一组平等直线3x ＋

2y=t ． 解???=+=+3

22

2y x y x 得)3/1,3/4(C

C 不是整点，C 不是最优解．在可行域内的整点中，点B(1，1)使z 取得最小值． z 最小=3×1＋2×1=5，

答：用甲种规格的原料1张，乙种原料的原料1张，可使所用原料的总面积最小为5m 2．

10．解：

设租用大卡车x 辆，农用车y 辆，最低运费为z 元．目标函数为z=960x ＋360y ．

线性约束条件是???

??≥+≤≤≤≤1005.2820010

0y x y x 作出可行域，并作直线960x ＋360y=0． 即

8x ＋3y=0，向上平移

由??

?=+=100

5.2810

y x x 得最佳点为()10,8

作直线

960x ＋360y=0． 即8x ＋3y=0，向上平移至过点B(10，8)时，z=960x

＋360y 取到最小值．

z 最小=960×10＋360×8=12480

答：大卡车租10辆，农用车租8辆时运费最低，最低运费为12480元．

11．解：

设圆桌和衣柜的生产件数分别为x 、y ，所获利润为z ，则z=6x ＋10y ．

???????≥≥≤+≤+005628.008.07209.018.0y x y x y x 即???????≥≥≤+≤+0

01400728002y x y x y x 作出可行域．平移6x ＋10y=0 ，如图

??

?=+=+1400728002y x y x 得???==100

350

y x 即C(350，100)．当直线6x ＋10y=0即3x ＋5y=0平

移到经过点C(350，100)时，z=6x ＋10y 最大

12．解：

模型12max 500400z x x =+

1211121223003540224401.2 1.5300,0

x x x x x x x x ++≤≤≤≤≥

（1）1150x =，270x =，即目标函数最优值是103 000。 （2）2，4有剩余，分别是330，15，均为松弛变量。 （3）50，0，200，0。

（4）在[]0,500变化，最优解不变；在400到正无穷变化，最优解不变。

（5）因为124501430

c c -=--≤，所以原来的最优产品组合不变。 13．解：

（1）模型A B min 83f x x =+

A B A B B A B 5010012000005460000100300000,0

x x x x x x x ++≤≥≥≥

基金A ，B 分别为4 000元，10 000元，回报额为62000元。 （2）模型变为A B max 54z x x =+

A B B A B 501001200000

100300000

,0

x x x x x +≤≥≥

推导出118000x =，23000x =，故基金A 投资90万元，基金B 投资30万元。

第3章线性规划问题的计算机求解

1．解：

⑴甲、乙两种柜的日产量是分别是4和8，这时最大利润是2720

⑵每多生产一件乙柜，可以使总利润提高13.333元

⑶常数项的上下限是指常数项在指定的范围内变化时，与其对应的约束条件的对偶价格不变。比如油漆时间变为100，因为100在40和160之间，所以其对偶价格不变仍为13.333

⑷不变，因为还在120和480之间。

2．解：

⑴不是，因为上面得到的最优解不为整数解，而本题需要的是整数解⑵最优解为(4，8)

3 ．解：

⑴农用车有12辆剩余

⑵大于300

⑶每增加一辆大卡车，总运费降低192元

4．解：

计算机得出的解不为整数解，平移取点得整数最优解为(10，8)

5．解：

圆桌和衣柜的生产件数分别是350和100件，这时最大利润是3100元

相差值为0代表，不需要对相应的目标系数进行改进就可以生产该产品。

最优解不变，因为C1允许增加量20-6=14；C2允许减少量为10-3=7，所有允许增加百分比和允许减少百分比之和（7.5-6）/14+（10-9）/7〈100%，所以最优解不变。

6．解：

（1）

1150

x=，270

x=；目标函数最优值103000。

（2）1、3车间的加工工时数已使用完；2、4车间的加工工时数没用完；没用完的加工工时数为2车间330小时，4车间15小时。

（3）50，0，200，0。

含义：1车间每增加1工时，总利润增加50元；3车间每增加1工时，总利润增加200元；2车间与4车间每增加一个工时，总利润不增加。

（4）3车间，因为增加的利润最大。

（5）在400到正无穷的范围内变化，最优产品的组合不变。

（6）不变，因为在[]

0,500的范围内。

（7）所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时，约束条件1的右边值在[]

200,440变化，对偶价格仍为50（同理解释其他约束条件）。

（8）总利润增加了100×50=5000，最优产品组合不变。

（9）不能，因为对偶价格发生变化。

（10）不发生变化，因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和

2550

100% 100100

+≤

（11）不发生变化，因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和

5060

100% 140140

+≤，其

最大利润为103000+50×50?60×200=93500元。

7．解：

（1）4000，10000，62000。

（2）约束条件1：总投资额增加1个单位，风险系数则降低0.057；

约束条件2：年回报额增加1个单位，风险系数升高2.167；

约束条件3：基金B的投资额增加1个单位，风险系数不变。

（3）约束条件1的松弛变量是0，表示投资额正好为1200000；约束条件2的剩余变量是

0，表示投资回报额正好是60 000；约束条件3的松弛变量为700 000，表示投资B 基金的投资额为370 000。

（4）当2c 不变时，1c 在3.75到正无穷的范围内变化，最优解不变； 当1c 不变时，2c 在负无穷到6.4的范围内变化，最优解不变。

（5）约束条件1的右边值在[]780000,1500000变化，对偶价格仍为0.057（其他同理）。

（6）不能，因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和42

100%4.25 3.6

+>，理由见百分之一百法则。 8．解：

（1）18 000，3 000，102 000，153 000。

（2）总投资额的松弛变量为0，表示投资额正好为1 200 000；基金B 的投资额的剩余变量为0，表示投资B 基金的投资额正好为300 000； （3）总投资额每增加1个单位，回报额增加0.1； 基金B 的投资额每增加1个单位，回报额下降0.06。

（4）1c 不变时，2c 在负无穷到10的范围内变化，其最优解不变； 2c 不变时，1c 在2到正无穷的范围内变化，其最优解不变。

（5）约束条件1的右边值在300 000到正无穷的范围内变化，对偶价格仍为0.1； 约束条件2的右边值在0到1 200 000的范围内变化，对偶价格仍为-0.06。 （6）600000300000

900000900000

+=100%故对偶价格不变。

9．解：

（1）18.5x =，2 1.5x =，30x =，40x =，最优目标函数18.5。

（2）约束条件2和3，对偶价格为2和3.5，约束条件2和3的常数项增加一个单位目标函数分别提高2和3.5。

（3）第3个，此时最优目标函数值为22。

（4）在负无穷到5.5的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化。 （5）在0到正无穷的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化。 10．解：

（1）约束条件2的右边值增加1个单位，目标函数值将增加3.622。 （2）2x 目标函数系数提高到0.703，最优解中2x 的取值可以大于零。

（3）根据百分之一百法则判定，因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和12

100%14.583+≤∞

，所以最优解不变。 （4）因为

1565

100309.189111.2515

+>--%，根据百分之一百法则，我们不能判定其对偶价格

是否有变化。

第4章线性规划在工商管理中的应用

1．解：

为了用最少的原材料得到10台锅炉，需要混合使用14种下料方案。

设14种方案下料时得到的原材料根数分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14，如表4-1所示。

表4-1 各种下料方式

min f=x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11＋x12＋x13＋x14

s.t.2x1＋x2＋x3＋x4≥80

x2＋3x5＋2x6＋2x7＋x8＋x9＋x10≥350

x3＋x6＋2x8＋x9＋3x11＋2x12＋x13≥420

x4＋x7＋x9＋2x10＋x12＋2x13＋3x14≥10

x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14≥0

通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解为：

x1=40，x2=0，x3=0，x4=0，x5=116.667，x6=0，x7=0，x8=0，x9=0，x10=0，x11=140，x12=0，x13=0，x14=3.333

最优值为300。

2．解：

（1）将上午11时至下午10时分成11个班次，设x i表示第i班次新上岗的临时工人数，建立如下模型。

min f=16(x1＋x 2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11)

s.t．x1＋1≥9

x1＋x2＋1≥9

x1＋x2＋x3＋2≥9

x1＋x2＋x3＋x4＋2≥3

x2＋x3＋x4＋x5＋1≥3

x3＋x4＋x5＋x6＋2≥3

x4＋x5＋x6＋x7＋1≥6

x5＋x6＋x7＋x8＋2≥12

x6＋x7＋x8＋x9＋2≥12

x7＋x8＋x9＋x10＋1≥7

x8＋x9＋x10＋x11＋1≥7

x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11≥0

通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解如下：

x1=8，x2=0，x3=1，x4=1，x5=0，x6=4，x7=0，x8=6，x9=0，x10=0，x11=0，最优值为320。

在满足对职工需求的条件下，在11时安排8个临时工，13时新安排1个临时工，14时新安排1个临时工，16时新安排4个临时工，18时新安排6个临时工可使临时工的总成本最小。

（2）这时付给临时工的工资总额为320，一共需要安排20个临时工的班次。

约束松弛/剩余变量对偶价格

------------------------------

1 0 ?4

2 0 0

3 2 0

4 9 0

5 0 ?4

6 5 0

7 0 0

8 0 0

9 0 ?4

10 0 0

11 0 0

根据剩余变量的数字分析可知，可以让11时安排的8个人工做3小时，13时安排的1个人工作3小时，可使得总成本更小。

（3）设x i表示第i班上班4小时临时工人数，y j表示第j班上班3小时临时工人数。

min f=16(x1＋x 2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8)＋12(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6＋y7＋y8＋y9)

s.t．x1＋y1＋1≥9

x1＋x2＋y1＋y2＋1≥9

x1＋x2＋x3＋y1＋y2＋y3＋2≥9

x1＋x2＋x3＋x4＋y2＋y3＋y4＋2≥3

x2＋x3＋x4＋x5＋y3＋y4＋y5＋1≥3

x3＋x4＋x5＋x6＋y4＋y5＋y6＋2≥3

x4＋x5＋x6＋x7＋y5＋y6＋y7＋1≥6

x5＋x6＋x7＋x8＋y6＋y7＋y8＋2≥12

x6＋x7＋x8＋y7＋y8＋y9＋2≥12

x7＋x8＋y8＋y9＋1≥7

x8＋y9＋1≥7

x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，y1，y2，y3，y4，y5，y6，y7，y8，y9≥0

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下：

x1=0，x2=0，x3=0，x4=0，x5=0，x6=0，x7=0，x8=6，

y1=8，y2=0，y3=1，y4=0，y5=1，y6=0，y7=4，y8=0，y9=0。

最优值为264。 具体安排如下。

在11：00－12：00安排8个3小时的班，在13：00－14：00安排1个3小时的班，在 15：00－16：00安排1个3小时的班，在17：00－18：00安排4个3小时的班，在18：00－19：00安排6个4小时的班。

总成本最小为264元，能比第一问节省320?264=56元。 3．解：

设xij ，xij’分别为该工厂第i 种产品的第j 个月在正常时间和加班时间内的生产量；yij 为i 种产品在第j 月的销售量，wij 为第i 种产品第j 月末的库存量，根据题意，可以建立如下模型：

5

6

5

6

'

'11

11

max []i ij i ij i ij

i ij i j i j z S y C x C x H w =====---∑∑∑∑

s.t. 515''

1'

,10i6'

(1,,6)(1,,6)(1,,5;1,,6)(1,,5;1,,6,=0)0,0,0(1,,5;1,,6)0(1,,5;1,,6)i ij j i i ij j i ij ij

ij i j ij ij ij i i ij ij ij ij a x r j a x r j y d i j w w x x y i j w w k x x y i j w i j ==-??

≤=?????≤=????≤==?=++-===??≥≥≥==??≥==?∑∑L L L L L L L L L L 其中，，?????????

4. 解：

（1）设生产A 、B 、C 三种产品的数量分别为x 1，x 2，x 3，则可建立下面的数学模型。 ma x z ＝10 x 1＋12x 2＋14x 3 s.t. x 1＋1.5x 2＋4x 3≤2 000 2x 1＋1.2x 2＋x 3≤1 000 x 1≤200

x2≤250

x3 ≤100

x1，x2，x3≥0

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下：x1=200，x2=250，x3=100，最优值为6 400。即在资源数量及市场容量允许的条件下，生产A 200件，B 250件，C 100件，可使生产获利最多。

（2）A、B、C的市场容量的对偶价格分别为10元，12元，14元。材料、台时的对偶价格均为0。说明A的市场容量增加一件就可使总利润增加10元，B的市场容量增加一件就可使总利润增加12元，C的市场容量增加一件就可使总利润增加14元。但增加一千克的材料或增加一个台时数都不能使总利润增加。如果要开拓市场应当首先开拓C产品的市场，如果要增加资源，则应在0价位上增加材料数量和机器台时数。

5．解：

（1）设白天调查的有孩子的家庭的户数为x11，白天调查的无孩子的家庭的户数为x12，晚上调查的有孩子的家庭的户数为x21，晚上调查的无孩子的家庭的户数为x22，则可建立下面的数学模型。

min f=25x11＋20x12＋30x21＋24x22

s.t．x11＋x12＋x21＋x22≥2000

x11＋x12 =x21＋x22

x11＋x21≥700

x12＋x22≥450

x11, x12, x21, x22≥0

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。

x11＝700，x12＝300，x21＝0，x22＝1000，最优值为47500。

白天调查的有孩子的家庭的户数为700户，白天调查的无孩子的家庭的户数为300户，晚上调查的有孩子的家庭的户数为0，晚上调查的无孩子的家庭的户数为1000户，可使总调查费用最小。

（2）白天调查的有孩子的家庭的费用在20～26元之间，总调查方案不会变化；白天调查的无孩子的家庭的费用在19～25元之间，总调查方案不会变化；晚上调查的有孩子的家庭的

费用在29到正无穷之间，总调查方案不会变化；晚上调查的无孩子的家庭的费用在-20～25元之间，总调查方案不会变化。

（3）发调查的总户数在1400到正无穷之间，对偶价格不会变化；有孩子家庭的最少调查数在0到1000之间，对偶价格不会变化；无孩子家庭的最少调查数在负无穷到1300之间，对偶价格不会变化。

管理运筹学软件求解结果如下：

6．解：

设空调机、洗衣机的月供应量分别是x,y台，总利润是P，则P=6x+8y，可建立约束条件如下：

30x+20y≤300;

5x+10y≤110;

x≥0

y≥0

x,y均为整数。

使用管理运筹学软件可求得，x=4,y=9,最大利润值为9600；

7. 解：

1、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为：

0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3

决策的限制条件：

8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床限制条件

4x1+ 3x2 ≤350 车床限制条件

3x1 + x3≤150 磨床限制条件

即总绩效测试（目标函数）为：

max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3

2、本问题的线性规划数学模型

max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3

S．T．8x1+ 4x2+ 6x3≤500

4x1+ 3x2 ≤350

3x1 + x3≤150

x1≥0、x2≥0、x3≥0

最优解（50，25，0），最优值：30元。

3、若产品Ⅲ最少销售18件，修改后的的数学模型是：max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3

S．T．8x1+ 4x2+ 6x3≤500

4x1+ 3x2 ≤350

3x1 + x3≤150

x3≥18

x1≥0、x2≥0、x3≥0