勾股定理精彩试题分类

《数学》八年级下册第十七章

勾股定理

【题型一】勾股定理的验证与证明

1.如图，每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别是S1、S2、S3，则它们的面积关系是，直角△ABC的三边的关系是.

参考答案：用数方格的方法或用面积公式计算三个正方形面积，得出S1+S2＝S3，从而得到：AB2+BC2＝AC2.

2.如图，每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别是S1、S2、S3，则它们的面积关系是，直角△ABC的三边的关系是.

参考答案：对于S3显然用数方格的方法不合适，利用“相减法”或“相加法”用面积公式计算三个正方形面积，得出

S1+S2＝S3，从而得到：AB2+BC2＝AC2.

3.如图，是由四个全等的Rt△拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗？

参考答案：由S大正方形＝4S Rt△+S小正方形，得

c2＝4×1

ab+(b－a)2

∴a2+b2＝c2.

4.如图，是由四个全等的Rt△拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗？参考答案：由S大正方形＝4S Rt△+S小正方形，得

(a+b)2＝4×1

ab+c2

∴a2+b2＝c2.

5.如图，已知∠A＝∠B＝90°且△AED≌△BCE，A、E、B在同一直线上.根据此图证明勾股定理.

参考答案：先证明△DCE是等腰直角三角形，再根据梯形面积为三

个

三角形面积之和得

1 2(a+b)2＝2×

ab+

c2,

∴a2+b2＝c2.

B A

6.如图，一个直立的火柴盒倒下来就可以证明勾股定理，请你根据图形，设计一种证明方法.

参考答案：方法类似第5题.

7.（2011）我国汉代数学家爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“爽弦图”（如图1—1）.图1—2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图1—2中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，若S 1+S 2+S 3=10，则S 2的值是 .

参考答案：

103

8.（2010 ） [问题情境]

勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”

的语言。

[定理表述]

请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）； [尝试证明]

以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a 、b 为底，以a+b 为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理； [知识拓展]

利用图2中的直角梯形，我们可以证明.

2<+c b

a 其证明步骤如下： AD

b a BC ,+= = .

又∵在直角梯形ABCD 中有BC AD （填大小关系），即，

.2<+∴

c b

参考答案：[定理表述]

如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么

,222c b a =+ [尝试证明]

ABE Rt ? ≌,,EDC AEB ECD Rt ∠=∠∴?

G F E D C B A G F c b

a E

C A 图2图1

a c b

c b a

又

90,90=∠+∠∴=∠+∠DEC AEB DEC EDC

.90 =∠∴AED

AED Rt DEC Rt ABE Rt ABCD S S S S ???++=梯形

.212121))((212c ab ab b a b a ++=++∴

整理，得.2

c b a =+

[知识拓展]

c b a AD RC c AD 2,,2<+<=

【题型二】以勾股定理为基础的有趣结论

1.如图，根据所标数据，确定正方形的面积A ＝，B ＝，C ＝ .

参考答案：10，144，1600.

2.如图，直线l 上有三个正方形a 、b 、c 若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为多少？

参考答案：先证两直角三角形全等，得FE ＝BC ，从而得正方形b 的面积为16.

3.如图，以直角三角形的三边向形外作等边三角形，探究S a 、S b 和S c 之间的关系.

参考答案：显然S △BCE

＝4a 2，S △ACD

＝4b 2 ，S △ABF

＝4

c 2

又a 2+b 2＝c 2

∴S a +S b ＝S c .

4.如图，以直角三角形的三边向形外作等腰直角三角形，探究S a 、S b 和S c 之间的关系.

参考答案：类似上一题.

5. 如图，以直角三角形的三边向形外作半圆，探究S a 、S b 和S c 之间的关系.

169

C 41

a l

D C

a c

C B

参考答案：类似上一题.

6. 如图，已知ΔABC中，∠ACB＝90°，以ΔABC的各边为长边向形外

作矩形，使其宽为长的一半，则这三个矩形的面积S1、S2、S3之间有什么关系，并证明你的结论.

参考答案：类似上一题.

7. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积之和为多少？

参考答案：49cm2.

8.如图，在水平面上依次放置着七个正方形已知斜放置的三个正方形的面积分别是a、b、c，正放置的四个正方形的面积依次是S1、

S2、S3，则S1＋S2＋S3＋S4= .

参考答案：a+c

【题型三】利用勾股定理求边长和进行论证

【选择题】

1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（）

A.26

B.18

C.20

D.21

参考答案：C

2.在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为（）

A.3

B.4

C.5

D.7

参考答案：C

3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°,c＝10，则a的长为（）

A.5

B.10

C.2

5 D.5

参考答案：C

4.等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）

A.33 C.3 D.3

B A

7cm

参考答案：B

5.若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（） A.6 B.7 C.8 D.9 参考答案：C

6.若一个三角形的三边长为3、4、x ，则使此三角形是直角三角形的x 的值是（） A.5 B. 6 C.7 D.5或7

参考答案：D

7.下列各组数中以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（） A.a=2，b=3, c=4 B.a=7, b=24, c=25 C.a=6, b=8, c=10 D.a=3, b=4, c=5 参考答案：A

8.要从电杆离地面5m 处向地面拉一条长为13m 的电缆，则地面电缆固定点与电线杆底部的距离应为（）. A.10m B.11m C.12m D.13m 参考答案：C

9.现有两根木棒,长度分别为44㎝和55㎝.若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是（）.

A.22㎝

B.33㎝

C.44㎝

D.55㎝参考答案：B

10．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说确的是（）

A. 第三边一定为10

B. 三角形的周长为25

C. 三角形的面积为48

D. 第三边可能为10 参考答案：D

11．直角三角形的斜边为20cm ，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（） A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm 参考答案：D

12．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（） A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定参考答案：A

13．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2

小时后，则两船相距（） A ．25海里 B. 30海里 C. 35海里 D. 40海里参考答案：D

14. （2010）如图，ABC ?和DCE ?都是边长为4的等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接BD ，则BD 的长为（）

D.参考答案：D

15. （2010 广西市）如图是一直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为（）

A.4 cm

B.5 cm

C.6 cm

D.10 cm 参考答案：B

16. （2010广西）图中，每个小正方形的边长为1，ABC ?的三边c b a ,,的大小关系式（）

A.b c a <<

B.c b a <<

C.b a c <<

D.a b c << 参考答案：C

A D C 北南 A 东

17. （2011）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是（）

A2m B.3m C.6m D.9m

参考答案：C

18. （2011）将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一宽为3cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图，则三角板的最大边的长为（）

A. 3cm

B. 6cm

C. 32cm

D. 62cm

参考答案： D

19. （2011）如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（）

A.3.5

B.4.2

C.5.8

D.7 参考答案：D

20. 直角三角形三边的长分别为3、4、x ，则x 可能取的值有（）. A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 无数多个参考答案：B 斜边可以为4或x,故两个答案.

21．如果Rt △两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（） A.60∶13 B.5∶12 C.12∶13 D.60∶169 参考答案：D

22．直角三角形一直角边长为11，另两边均为自然数，则其周长为（） A.121 B.120 C.132 D.以上答案都不对参考答案：C 【填空题】

1.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为__________．

参考答案：12或7＋7 提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或7，所以直角三角形的周长为3＋4＋5＝12或3＋4＋7＝7＋7. 2.直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________.

参考答案：512

3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．

参考答案：

1360 ，提示：设斜边的高为x ，根据勾股定理求斜边为131695122

2==+ ，再利用面积法得，13

,132112521=??=??x x ；

4.如图，学校有一长方形花圃，长4m ，宽3m 。，有极少数人为了避开拐角走捷径，在花圃走出了一条“路”，他们仅仅少了步路（2步为lm ），却踩伤了花草. 参考答案：4.

5.图1是我国古代著名的“爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形

30°