河南科技大学数值分析(计算方法)期末试卷1及参考答案
7
,2]= ,2]=8
--
参考答案
一.填空 1. 舍入误差 2. 115,1,0 3.
(1)(1)011()
()
()()()
().(()())(1)!
(1)!
n n n n f f R x x x x x x x orR x w x n n ξξ+++=---=++
4. 1
5.
22
11()()()2()()2k k k k k k k k k k k k
x f x f x x x x orx x x f x f x x ++--=-=-''--
6. 有
7. 1
8. 112121
2213k k
k k
x x x x ++?=-??=-?? 二.计算
1.解:构造差商表:
--
所以,
22()2H x x x =+
证明:设2()()()R x f x H x =-
22
2(0)(0),(0)(0),(1)(1)f H f H f H ''=== (0)(0)(1)0R R R '∴=== 所以,可设2()()(1)R x k x x x =- 构造函数:22()()()()(1)t f t H t k x t t ?=
---
显然()(0)(0)(1)0x ????'====
因为函数()t ?在所给的插值区间至少有4个根且函数()t ?'''存在, 所以函数()t ?'''在所给的插值区间至少有1个根,即存在一点ξ,满足: ()0?ξ'''=
又
()()3!()t f t k x ?''''''=-
()
()()3!()0()3!
f f k x k x ξ?ξξ'''''''''∴=-=?=
--
所以22
()()()(1)(1)3!
f R x k x x x x x ξ'''=-=- 2.梯形公式为:
(()())2b a
T f a f b -=
+1
120.752
+
==
复化梯形公式为:
1
1
(()2()())2n n i i h
T f a f x f b -==++∑ 具体到本题中,可知0.2,0,1h a b ===
4
61
((0)2()(1))2i i h
T f f x f ==++∑=0.1(1.5 5.456)0.6956?+= 3.改进的Euler 公式为:
1111(,)
((,)(,))2
n n n n n n n n n n y y hf x y h
y y f x y f x y ++++=+??
?=++?? 具体到本题中,则为
21222
1()[()()()]2
n n n n n n n n n n n n n n n n y y h x x y h y y x x y x h x h y h x x y ++?=++-?
?=++-++++--+-??
--
经化简为:
210.820.180.220.024n n n n y y x x +=+++
所以:
(0.2)0.024y ≈0 (0.4)0.0949y ≈
5解(1):A 为对称正定矩阵时, 线性方程组Ax b =可用平方根法求解. 由A A T =可知3,5a b ==.
(2)因为矩阵A 对称正定,所以存在下三角阵L 使得:A LL T =即:
111121312122
22323132
33333350035900591700l l l l A l l l l l l l l ??????
?
???== ? ??? ? ?????????
可求得
:
112131223233l l l l l l ======
即
00
L
??
?
?
?
=
?
所以,方程组Ax b=就转化为LL x b
T=,令L x y
T=,解下三角形方程组Ly b=得
(
y T
=;
解上三角形方程组L x y
T=得
(1,1,2)
x T
=-
所以原方程组的解为: (1,1,2)
x T
=-
5.解:Jacibo迭代公式为:
(1)()()
123
(1)()()
213
(1)()()
312
122
3
222
k k k
k k k
k k k
x x x
x x x
x x x
+
+
+
?=--
?
=++
?
?=+-
?
Gauss-Seidel迭代公式为:
--
--
(1)()()
123(1)
(1)()2
13(1)(1)(1)3121223222k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++?=--?=++??=+-?
三.证明: 设()1,,(11)2
b a f x b a b a -=-=+=-左=右,左=右 2222(),(),()(),2b a f x x b a b a b a -=-=?+=-11
左=右22
左=右
33
2
(),b a f x x -=左=
3
,右322322
()()2b a b ba ab a a b -+--=?+=2
,左≠右 所以,该公式具有一次代数精度.