-乘法口算练习

乘法口算练习

教学内容：青岛版小学数学四年级上册第33—34页信息窗1第2课时

教学目标：

1.掌握两位数乘一位数、整百数乘整十数的口算方法。

2.能正确熟练地进行口算。

3.学会运用口算乘法解决简单的实际问题。

4.培养学生思维的灵活性以及交流协作的意识。

教学重难点：

教学重点：掌握两位数乘一位数、整百数乘整十数的口算方法。

教学难点：两位数乘一位数（进位）的口算。

教具、学具：

教师准备：多媒体课件、口算卡片

学生准备：口算卡片、答题纸

教学过程

一、问题回顾，再现新知。

1.创情导入：上节课我们认识了非常珍贵的动物--大天鹅，课件出示大天鹅的图片，并导入新课，板书课题：乘法的口算练习

2.出示目标：①掌握两位数乘一位数、整百数乘整十数的口算方法。

②能正确熟练地进行口算。③学会运用口算乘法解决简单的实际问题。

3.复习指导：认真回顾上节课的知识，思考：①怎样口算两位数乘一位数？

②整百数乘整十数怎样口算？3分钟后比一比谁的收获最多！

4.回顾例题：鼓励学生自由回答。

（1）18×3（怎样口算两位数乘一位数？）

把这个两位数看成一个整十数与一个一位数的和或差，分别用这个整十数与一位数去乘一位数（算式中第二个因数），然后把所得的积相加或相减。

（2）400×20（整百数乘整十数怎样口算？）

先把两个因数的最高位相乘，再看算式中的两个因数后面一共有几个0，就在在所得的积的后面补几个0.

二、分层练习，巩固提高。

1．基本练习，巩固新知。

（1）口算练习：（课件展示）

14×3 49×2 200×3 30×300 32×4

12×5 16×4 10×70 10×500 500×20

（指名说答案，其他学生认真听，可以以小组计时的形式，组织学生参加竞赛，提高学生的积极性。）

（2）北欧有一种候鸟，名叫金鸻。迁徙时它的飞行速度很快，平均每小时能飞行90千米。如果连续飞行15小时，一共能飞行多少千米？

（练习时，注重让学生说说口算过程，鼓励学生用不同的方法，进行口算，教师引导学生比较算法，优化算法，学生自主练习。）

2.综合练习，应用新知。

（1）课件出示我们枣庄几个比较有名的旅游景点，东方旅行社新推出的双休日旅游线路。（有关旅游的问题）（根据实际调整）

抱犊崮熊耳山

台儿庄古城冠世榴园

龙口南山五莲山大佛

①如果你和爸爸、妈妈选择了熊耳山、抱犊崮一日游，需要多少钱？

②如果你们全班同学到万亩榴园、台儿庄二日游，大约需要多少元？先估算，再计算。

③7人结伴旅游，现有1500元，选择哪条线路比较合适？

④你还能提出什么问题？小组讨论，交流解决问题的方法。

教师巡视，鼓励学生尝试用多种方法解决问题。（对于第四小题主要为学有余力的学生设计）可让学生在理解表格提供信息的基础上，独立解决第1、2

小题。第3小题可通过小组讨论的办法让学生体会答案的不唯一性。

⑤引导学生说出解决问题的方法、计算的过程和可能出现的不同解法：

80+80+80=240；80×3=240

（学生对旅游的话题比较感兴趣，教师可以充分利用这一话题，引导学生根据本班学生数，说出解决问题的办法。鼓励学生充分说一说解题思路，并对学困生进行及时指导。）

（2）二次探究：出示教材35页第5题（有关购物的问题）

①华泰商厦9月份卖出多少张光盘？②按照表中的销售量，库存的1200台吸尘器能满足10月份的需求吗？③你还能提出什么问题？

（购物问题与学生的生活比较近，实用性比较强，课上可以让学生小组探究，合作解决问题，班级分享交流成果。）

（3）拓展应用。（课件展示：课堂同步与探究第24页第2题）

准乘17人准乘5人

5辆面包车可以可以坐多少人？23辆小轿车可以坐多少人？

（引导学生个人展示，说出解题的方法与步骤）

3.拓展练习，发展新知。

（1）公园里的两个花坛，要分别围上竹篱笆。哪个花坛围的篱笆长？

（首先，明确“围篱笆”围的是“周长”，即求正方形4个边的长度和，围成三角形的三边长度和，其次列式解决问题。）

（2）林庄有一个长方形花圃，长100米，宽40米；还有一个正方形苗圃，边长70米。花圃与苗圃哪一个面积大？大多少？

（分析：第（1）题课本给出了插图，较直观看到正方形的边长等信息，因此可引导学生画出长方形、正方形分别表示花圃和苗圃，并标注长、宽；回顾面积公式，要注意此题分5步：先求长方形花圃面积，再求正方形苗圃面积，其次比较大小，再次作差，最后答。面积单位：平方米）

三、梳理总结，提升认知。

1.小结：通过对以上习题的学习，相信同学们对口算乘法有了更加系统的认知，并能运用口算乘法解决实际问题，请根据课堂操练情况叙述口算乘法的计算方法。（根据小组实践情况分别小结。）

归纳：（1）整百数乘整十数：

500×20=10000

（2）两位数乘一位数：

32×4 =128

30+2=32 Array 30×4=120

2×4=8

32×4=128

2.板书设计：

200 =10

使用说明：

1.教学反思：回顾课堂，我感觉亮点之处有：

①本节课我从整体上把握教材,激励学生积极参与教学活动。由学生进入熟悉的情境导入新课，在学生原有知识基础上，充分结合实践练习使学生能够利用所学知识解决实际问题。课堂上给了学生充足的思考时间和活动空间,学生就有了表现自我的机会和成功的体验,获得学习数学的积极情感。

②充分体现课堂的“生态、高效”。课堂是学生的课堂，学生是学习的主体，在这节课中，充分放手，大胆尝试，问题让学生自己解决，方法让学生自己探索，规律让学生自己发现，知识让学生自己获得。

③灵活利用课本上的习题，进行多样化练习。本课的目的是让学生对已学知识点进行巩固拓展，为此，依据教材内容设计了不同类型的口算题目，并给学生创设了与题目同步的解题环境，从不同方面激发学生的学习兴趣，让学生感受得到，掌握的牢。

2.使用说明：本教案是按照回顾---提高---总结---拓展（再次巩固）的思路设计的，重点是让学生掌握乘法口算的计算方法，在教学过程中可以根据学生掌握的情况进行适当的调整。（针对两位数乘一位数的计算方法，尤其要注意学困生的掌握情况。）

3.需要破解的问题：能否将两位数乘一位数，以及整百数乘整十数的口算方法与竖式计算一同进行，在比较的过程中巩固学生的认知。

最小二乘法及其应用..

最小二乘法及其应用 1．引言最小二乘法在19世纪初发明后,很快得到欧洲一些国家的天文学家和测地学家的广泛关注。据不完全统计,自1805年至1864年的60年间,有关最小二乘法的研究论文达256篇,一些百科全书包括1837年出版的大不列颠百科全书第7版,亦收入有关方法的介绍。同时,误差的分布是“正态”的,也立刻得到天文学家的关注及大量经验的支持。如贝塞尔( F. W. Bessel, 1784—1846)对几百颗星球作了三组观测,并比较了按照正态规律在给定范围内的理论误差值和实际值,对比表明它们非常接近一致。拉普拉斯在1810年也给出了正态规律的一个新的理论推导并写入其《分析概论》中。正态分布作为一种统计模型,在19世纪极为流行,一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代。在其影响下,最小二乘法也脱出测量数据意义之外而发展成为一个包罗极大,应用及其广泛的统计模型。到20世纪正态小样本理论充分发展后,高斯研究成果的影响更加显著。最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。正如美国统计学家斯蒂格勒( S. M. Stigler)所说,“最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”。最小二乘法是参数回归的最基本得方法所以研究最小二乘法原理及其应用对于统计的学习有很重要的意义。 2. 最小二乘法所谓最小二乘法就是：选择参数10,b b ,使得全部观测的残差平方和最小. 用数学公式表示为： 21022)()(m in i i i i i x b b Y Y Y e --=-=∑∑∑∧ 为了说明这个方法，先解释一下最小二乘原理，以一元线性回归方程为例. i i i x B B Y μ++=10 （一元线性回归方程）

用最小二乘法求一个形如

1. 2 y a bx =+. 解：1010654542.80a b a ε?=+-=?，1065414748998738643.00a b b ε?=+-=?，解方程得 4.00955,0.0471846a b ==，均方误差13.0346ε=。 2.下述矩阵能否分解为LU （其中L 为单位下三角阵，U 为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一？ .461561552621,133122111,764142321??????????=??????????=??????????=C B A 解: 按高斯消去法，A 无法进行第二次消去，换行后可以分解，B 第二次消去可乘任意系数，分解不唯一，C 可唯一分解。 3.设方程组 ?????=+-=++--=++3103220241225321321321x x x x x x x x x (a) 考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性; (b) 用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当4)()1(10||||-∞+<-k k x x 时迭代终止．解： (a) Jacobi 迭代矩阵 ????? ??--=+=-03.02.05.0025.02.04.00)(1U L D B 特征方程为 0055.021.0||3=-+=-λλλB I 特征根均小于1，Jacobi 迭代法收敛。 Gauss-Seidel 迭代矩阵 ????? ??=-=-17.004.007.04.002.04.00)(1U L D G 特征方程为 0096.057.0||23=+-=-λλλλG I 特征根均小于1，Gauss-Seidel 迭代法收敛。 (b) Jacobi 迭代格式为 1)()1(f BX X k k +=+ 其中B 如上，T b D f )3.052.1(11-==-，迭代18次得

递推最小二乘法推导(RLS)——全网最简单易懂的推导过程

递推最小二乘法推导（RLS）——全网最简单易懂的推导过程作者：阿Q在江湖先从一般最小二乘法开始说起已知x和y的一系列数据，求解参数theta的估计。用矩阵的形式来表达更方便一些：其中k代表有k组观测到的数据，表示第i组数据的输入观测量，yi表示第i组数据的输出观测量。令：，则最小二乘的解很简单，等价于即参数解为：如果数据是在线的不断的过来，不停的采用最小二乘的解法来解是相当消耗资源与内存的，所

以要有一种递推的形式来保证对的在线更新。进一步推导出递推最小二乘法（RLS）我们的目的是从一般最小二乘法的解推导出的递推形式。一定要理解这里的下标k代表的意思，是说在有k组数据情况下的预测，所以k比k-1多了一组数据，所以可以用这多来的一组数据来对原本的估计进行修正，这是一个很直观的理解。下面是推导过程：先看一般最小二乘法的解下面分别对和这两部分进行推导变换，令

得到下面公式（1）下面来变换得到公式（2）下面再来，根据一般最小二乘法的解，我们知道下式成立，得到公式（3）（注：后续公式推导用到）好了，有了上面最主要的三步推导，下面就简单了,将上面推导的结果依次代入公式即可：

至此，终于变成的形式了。通过以上推导，我们来总结一下上面RLS方程：注：以上公式7中，左边其实是根据公式1，右边I为单位矩阵

公式（5）和（7）中，有些文献资料是用右边的方程描述，实际上是等效的，只需稍微变换即可。例如（5）式右边表达式是将公式（1）代入计算的。为简化描述，我们下面还是只讨论左边表达式为例。上面第7个公式要计算矩阵的逆，求逆过程还是比较复杂，需要用矩阵引逆定理进一步简化。矩阵引逆定理：最终RLS的方程解为：

最小二乘法求线性回归方程

数学必修3测试题说明：全卷满分100分，考试时间120分钟，交卷时只需交答题卷，考试时不能使用计算器. 参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式x b y a x n x y x n y x b n i i n i i i -=-?-= ∑∑==, 1 2 21 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四处备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 ”可用于（） A 、输出a=10 a=10 C 、判断a=10 D 、输入a=10 2、已知甲、乙两名同学在五次数学测验中的得分如下：甲：85，91，90，89，95；乙：95，80，98，82，95。则甲、乙两名同学数学学习成绩（） A 、甲比乙稳定 B 、甲、乙稳定程度相同 C 、乙比甲稳定 D 、无法确定 3、下列程序语句不正确．．．的是（） A 、INPUT “MA TH=”；a+b+c B 、PRINT “MA TH=”；a+b+c C 、c b a += D 、1a =c b - 4、在调查分析某班级数学成绩与物理成绩的相关关系时，对数据进行统计分析得到散点图（如右图所示），用回归直线?y bx a =+近似刻画其关系，根据图形，b 的数值最有可能是（） A 、 0 B 、 1.55 C 、 0.85 D 、 —0.24 5、用秦九韶算法求n 次多项式011 1)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ，当0x x =时，求)(0x f 需要算乘方、乘法、加法的次数分别为（） A 、 n n n n ,,2 ) 1(+ B 、n,2n,n C 、 0,2n,n D 、 0,n,n 6、为了在运行下面的程序之后得到输出16，键盘输入x 应该是（） INPUT x IF x<0 THEN y=(x+1)*(x+1) ELSE y=(x-1)*(x-1) END IF 第4题

数学建模课件--最小二乘法拟合

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 1 / 11 数学建模课件--最小二乘法拟合 4. 最小二乘法线性拟合我们知道，用作图法求出直线的斜率 a 和截据 b ，可以确定这条直线所对应的经验公式，但用作图法拟合直线时，由于作图连线有较大的随意性，尤其在测量数据比较分散时，对同一组测量数据，不同的人去处理，所得结果有差异，因此是一种粗略的数据处理方法，求出的 a 和 b 误差较大。用最小二乘法拟合直线处理数据时, 任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误，得到的斜率 a 和截据 b 是唯一的。最小二乘法就是将一组符合 Y=a+bX 关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的 a 和 b 。显然，关键是如何求出最佳的 a 和 b 。 (1) 求回归直线设直线方程的表达式为： (2-6-1) 要根据测量数据求出最佳的 a 和 b 。对满足线性关系的一组等精度测量数据（xi ， yi ），假定自变量 xi 的误差可以忽略，则在同一 xi 下，测量点 yi 和直线上的点 a+bxi 的偏差 di 如下：显然最好测量点都在直线上（即 d1=d2==dn=0），求出的 a 和 b 是最理想的，但测量点不可能都在直线上，这样只有考虑 d1、 d2、、 dn 为最小，也就是考虑 d1+d2++dn 为最小，但因 d1、 d2、、 dn

6最小二乘法推导公式

最小二乘法公式推导首先，列出一元线性回归模型的回归方程： ε β+=X Y （1）（1）式中Y 为被解释变量，X 为解释变量，β待估参数，ε为税基误差项；其次，写处（1）式的相应的误差方程： Y X V -=β （2）（2）式中V 为改正数，β 为最佳估计值；最后，根据最小二乘原理求解V 的值， min V V T =（3）由（2）式可知：Y X V -=β ? )Y X (）Y X （）Y X （）Y X （V V T T T T --=--=ββββ T Y Y T T T +-=ββββ X Y -Y X X X T T T 要使（3）式成立当且仅当 0=??β V V T 又 ββββββ ?+-?=??)X Y -Y X X X (T T T Y Y V V T T T T 0X Y Y X X X T T T +??-??-??=β ββββββ T T 【注：使用的矩阵的求导公式： I X X =??T 、X Y Y Y Y T T T T T T *X Y *X X X )X (X X X X ??+??=??+??=??】ββ βββββββ X X *X X *X X T T T ??+??=??T T T β X X 2T =Y X *X Y Y X *Y X T T T T =??+??=??T T T ββ ββββ

Y X Y X **X Y X Y T T T T =??+??=??ββββββ T T ∴）Y X （2X Y X 2X X 2T T T -=-=??βββ V V T 又 0 =??β V V T ∴0）Y X （2X T =-β 将（3）式带入上式可知： 0V X T =

应用EXCEL实现最小二乘法计算的方法

应用EXCEL实现最小二乘法计算的方法有：利用EXCEL函数、利用数据分析工具、添加趋势线等。 ⑴表格与公式编辑将最小二乘法计算过程，应用电子表格逐步完成计算，得到结果。 ⑵应用EXCEL的统计函数 A、LINEST（）使用最小二乘法对已知数据进行最佳直线拟合，然后返回描述此直线的数组。也可以将LINEST 与其他函数结合以便计算未知参数中其他类型的线性模型的统计值，包括多项式、对数、指数和幂级数。因为此函数返回数值数组，所以必须以数组公式的形式输入。 B、SLOPE（）返回根据known_y's和known_x's中的数据点拟合的线性回归直线的斜率。斜率为直线上任意两点的重直距离与水平距离的比值，也就是回归直线的变化率。 C、INTERCEPT（）利用现有的x值与y值计算直线与y轴的截距。截距为穿过已知的known_x's和known_y's数据点的线性回归线与y轴的交点。当自变量为0（零）时，使用INTERCEPT函数可以决定因变量的值。 D、CORREL（）返回单元格区域array1和array2之间的相关系数。使用相关系数可以确定两种属性之间的关系。 ⑶添加趋势线添加趋势线的应用较其他方法直观，可以用来完成直线回归，也可以用来完成非线性回归。具体方法不再赘述。 ⑷数据分析工具 “回归”分析工具通过对一组观察值使用“最小二乘法”直线拟合来执行线性回归分析。本工具可用来分析单个因变量是如何受一个或几个自变量的值影响的。 “回归分析”对话框 Y值输入区域在此输入对因变量数据区域的引用。该区域必须由单列数据组成。 X值输入区域在此输入对自变量数据区域的引用。Microsoft Office Excel 将对此区域中的自变量从左到右进行升序排列。自变量的个数最多为16。标志如果数据源区域的第一行或第一列中包含标志项，请选中此复选框。如果数据源区域中没有标志项，请清除此复选框，Excel将在输出表中生成适当的数据标志。置信度如果需要在汇总输出表中包含附加的置信度，请选中此选项。在框中，输入所要使用的置信度。默认值为95%。常数为零如果要强制回归线经过原点，请选中此复选框。输出区域在此输入对输出表左上角单元格的引用。汇总输出表至少需要有七列，其中包括方差分析表、系数、y 估计值的标准误差、r2值、观察值个数以及系数的标准误差。新工作表单击此选项可在当前工作簿中插入新工作表，并从新工作表的A1 单元格开始粘贴计算结果。若要为新工作表命名，请在框中键入名称。新工作簿单击此选项可创建新工作簿并将结果添加到其中的新工作表中。残差如果需要在残差输出表中包含残差，请选中此复选框。标准残差如果需要在残差输出表中包含标准残差，请选中此复选框。残差图如果需要为每个自变量及其残差生成一张图表，请选中此复选框。线性拟合图如果需要为预测值和观察值生成一张图表，请选中此复选框。正态概率图如果需要生成一张图表来绘制正态概率，请选中此复选框。

加权最小二乘法(WLS)

加权最小二乘法(WLS) 如果模型被检验证明存在异方差性，则需要发展新的方法估计模型，最常用的方法是加权最小二乘法。加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。下面先看一个例子。原模型：，如果在检验过程中已经知道： , 即随机误差项的方差与解释变量之间存在相关性，模型存在异方差。那么可以用去除原模型，使之变成如下形式的新模型：在该模型中，存在 (4.2.1) 即同方差性。于是可以用普通最小二乘法估计其参数，得到关于参数的无偏的、有效的估计量。这就是加权最小二乘法，在这里权就是。一般情况下，对于模型 (4.2.2)若存在： (4.2.3) 则原模型存在异方差性。设 , 用左乘(4.2.2)两边，得到一个新的模型： (4.2.4) 即该模型具有同方差性。因为于是，可以用普通最小二乘法估计模型(4.2.4)，得到参数估计量为： (4.2.5) 这就是原模型(2.6.2)的加权最小二乘估计量，是无偏的、有效的估计

量。如何得到权矩阵W？仍然是对原模型首先采用普通最小二乘法，得到随机误差项的近似估计量，以此构成权矩阵的估计量，即 (4.2.6) 当我们应用计量经济学软件包时，只要选择加权最小二乘法，将上述权矩阵输入，估计过程即告完成。这样，就引出了人们通常采用的经验方法，即并不对原模型进行异方差性检验，而是直接选择加权最小二乘法，尤其是采用截面数据作样本时。如果确实存在异方差性，则被有效地消除了；如果不存在异方差性，则加权最小二乘法等价于普通最小二乘法。在利用Eviews计量经济学软件时，加权最小二乘法具体步骤是： 1 选择普通最小二乘法估计原模型，得到随机误差项的近似估计量； ⑵ 建立的数据序列； ⑶ 选择加权最小二乘法，以序列作为权，进行估计得到参数估计量。实际上是以乘原模型的两边，得到一个新模型，采用普通最小二乘法估计新模型。 (步骤见PPT文件)

最小二乘法公式

最小二乘法公式 ∑(X--X平)(Y--Y平) =∑(XY--X平Y--XY平+X平Y平) =∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX平Y平 =∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平 =∑XY--nX平Y平 ∑(X --X平)^2 =∑(X^2--2XX平+X平^2) =∑X^2--2nX平^2+nX平^2 =∑X^2--nX平^2 最小二乘公式（针对y=ax+b形式） a=(NΣxy-ΣxΣy)/(NΣx^2-(Σx)^2) b=y(平均)-ax（平均）最小二乘法在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1),(x2, y2).. (xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。 Y计= a0 + a1 X (式1-1) 其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)²〕最小为“优化判据”。令: φ = ∑(Yi - Y计)² (式1-2) 把(式1-1)代入(式1-2)中得: φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3) 当∑(Yi-Y计)²最小时，可用函数φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。

(式1-4) (式1-5) 亦即 m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6) (∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7) 得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出： a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8) a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式 1-9) 这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、 x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。 R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) ＊在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。微积分应用课题一最小二乘法从前面的学习中, 我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据, 可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系, 这种函数关系称为经验公式. 本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求与之间近似成线性关系时的经验公式. 假定实验测得变量之间的个数据, , …, , 则在平面上, 可以得到个点 , 这种图形称为“散点图”, 从图中可以粗略看出这些点大致散落在某直线近旁, 我们认为与之间近似为一线性函数, 下面介绍求解步骤. 考虑函数 , 其中和是待定常数. 如果在一直线上, 可以认为变量之间的关系为 . 但一般说来, 这些点不可能在同一直线上. 记 , 它反映了用直线来描述 , 时, 计算值与实际值产生的偏差. 当然要求偏差越小越好, 但由于可正可负, 因此不能认为总偏差时, 函数就很好地反

最小二乘法&最小三乘法

最小二乘法在我们研究两个变量(x,y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据1122, , ..(). , m m x y x y x y 、；将这些数据描绘在 x y -直角座标系中，若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如： 01 11() Y a a X =+-计式，其中：01a a 、是任意实数。为建立这直线方程就要确定01a a 和，应用最小二乘法原理，将实测值i Y 与利用式1-1计算值(01Y a a X =+ 计 )的离差()i Y Y -　计　的平方和2 ()i Y Y ∑-计最小为“优化判据”。令： 2 ()(12)i Y Y ?=∑--计式把式1-1代入式1-2中得： ()2 01 (3) 1i i Y a a X ?=∑--- 式当()i Y Y ∑-计平方最小时，可用函数?对01a a 、求偏导数，令这两个偏导数等于零。 (式1-4) (式1-5) 亦即： ()01 16()i i m a X a Y +∑=∑- 式

()()()201 () , 17i i i i X a X a X Y ∑+∑=∑- 式得到的两个关于01a a 、为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出： ()()01 / () / 18i i a Y m a X m =∑-∑-式 ()()) 122 / 19 (/)i i i i i i X Y X Y m a X X m ????∑-∑∑= ?? -∑-∑式 ] 这时把01a a 、代入式1-1中，此时式1-1就是我们回归的元线性方程，即数学模型。在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点 1122, , ...),(m m x y x y x y 、，为了判断关联式的好坏，可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于1越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于0越好。 ()()()(){ } 2 2 2 2 / / 110() / / i i i i i i i i X Y m X m Y m R SQR X m X m Y m Y m ∑-∑∑= -∑-∑???? ??????-∑?? ∑　式　在(式1-1)中，m 为样本容量，即实验次数；i i X Y 、分别任意一组实验X 、Y 的数值。最小三乘法当研究实际中两个变量(), x y 之间的相互关系时，也可得到一系列成对的数据1122,, ... (),m m x y x y x y 、；将这些数据描绘在 x y -直角座标系中，发现这些点在一条曲线附近，假设这条曲线的一元非线性方程如式2-1。 01 2()1k Y a a X =+-计式，其中：01a a k 、、是任意实数。

递推阻尼最小二乘法辨识算法公式的详细推导与说明

控制理论与控制工程学位课程《系统辨识》考试报告递推阻尼最小二乘法公式详细推导专业：控制理论与控制工程班级：2011双控（研）学生姓名：江南学号：20110201016 任课教师：蔡启仲老师 2012年06月29 日

摘要在参数辨识中，递推最小二乘法是用得最多的一种算法。但是，最小二乘法存在一些缺点，如随着协方差矩阵的减小，易产生参数爆发现象；参数向量和协方差矩阵的处置选择不当会使得辨识过程在参数收敛之前结束；在存在随机噪声的情况下，参数易产生漂移，出现不稳定等。为了防止参数爆发现象，Levenberg 提出在参数优化算法中增加一个阻尼项，以增加算法的稳定性。本文在一般的最小二乘法中增加了阻尼因子，构成了阻尼最小二乘法。又根据实时控制的要求，详细推到了递推阻尼最小二乘公式，实现在线辨识。关键字：系统辨识，最小二乘法，递推算法正文 1.题目的基本要求已知单入单出系统的差分方程以及噪声，在应用最小二乘法进行辨识的时候，在性能指标中加入阻尼因子，详细推导阻尼最小二乘法的递推公式。 2.输入辨识信号和系统噪声的产生方法和理论依据 2.1系统辩识信号输入选择准则（1）输入信号的功率或副度不宜过大，以免使系统工作在非线性区，但也不应过小，以致信噪比太小，直接影响辩识精度；（2）输入信号对系统的“净扰动”要小，即应使正负向扰动机会几乎均等；（3）工程上要便于实现，成本低。 2.2白噪声及其产生方法（1）白噪声过程（2）白噪声是一种均值为0、谱密度为非0常数的平稳随机过程。（3）白噪声过程定义：如果随机过程 () t ω的均值为0，自相关函数为 ()()2 R t t ωσδ= （2.2.1）式中()t δ 为狄拉克（Dirac) 分布函数，即 (){ (),00,0 1t t t dt δδ∞ ∞=≠∞ ==? -且t （2.2.2）则称该随机过程为白燥声过程。 2.3白噪声序列 (1) 定义如果随机序列{() }w t 均值为0，并且是两两不相关的，对应的自相关函数为 ()2 ,0,1,2w l R l l σδ==±± 式中{1,0 0,0 l l l δ=≠=则称这种随机序列{()}w t 为白噪声序列。 2.4白噪声序列的产生方法 (1) （0，1）均匀分布随机数的产生在计算机上产生（0，1）均匀分布随机数的方法很多，其中最简单、最方便的是数学方法。产生伪随机数的数学方法很多，其中最常用的是乘同余法和混合同余法。 ①乘同余法。

数值计算_第6章曲线拟合的最小二乘法

第6章曲线拟合的最小二乘法 6.1 拟合曲线通过观察或测量得到一组离散数据序列，当所得数据比较准确时，可构造插值函数逼近客观存在的函数，构造的原则是要求插值函数通过这些数据点，即。此时，序列与是相等的。如果数据序列，含有不可避免的误差（或称“噪音”），如图6.1 所示；如果数据序列无法同时满足某特定函数，如图6.2所示，那么，只能要求所做逼近函数最优地靠近样点，即向量与的误差或距离最小。按与之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数，称为拟合函数。图6.1 含有“噪声”的数据图6.2 一条直线公路与多个景点插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。插值的目标是要插值函数尽量靠近离散点；拟合的目标是要离散点尽量靠近拟合函数。向量与之间的误差或距离有各种不同的定义方法。例如：用各点误差绝对值的和表示：用各点误差按模的最大值表示：用各点误差的平方和表示：或（6.1）

其中称为均方误差，由于计算均方误差的最小值的方法容易实现而被广泛采用。按均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。本章主要讲述用最小二乘法构造拟合曲线的方法。在运筹学、统计学、逼近论和控制论中，最小二乘法都是很重要的求解方法。例如，它是统计学中估计回归参数的最基本方法。关于最小二乘法的发明权，在数学史的研究中尚未定论。有材料表明高斯和勒让德分别独立地提出这种方法。勒让德是在1805年第一次公开发表关于最小二乘法的论文，这时高斯指出，他早在1795年之前就使用了这种方法。但数学史研究者只找到了高斯约在1803年之前使用了这种方法的证据。在实际问题中，怎样由测量的数据设计和确定“最贴近”的拟合曲线？关键在选择适当的拟合曲线类型，有时根据专业知识和工作经验即可确定拟合曲线类型；在对拟合曲线一无所知的情况下，不妨先绘制数据的粗略图形，或许从中观测出拟合曲线的类型；更一般地，对数据进行多种曲线类型的拟合，并计算均方误差，用数学实验的方法找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。例如，某风景区要在已有的景点之间修一条规格较高的主干路，景点与主干路之间由各具特色的支路联接。设景点的坐标为点列；设主干路为一条直线，即拟合函数是一条直线。通过计算均方误差最小值而确定直线方程（见图6.2）。 6.2线性拟合和二次拟合函数线性拟合给定一组数据，做拟合直线，均方误差为（6.2）是二元函数，的极小值要满足整理得到拟合曲线满足的方程：

用最小二乘法计算拟合曲线系数

用最小二乘法计算拟合曲线系数的MATLAB 程序（1）输入数据点m k y x k k ,,2,1),,( = 选择逼近函数类：)}(,),(),({10x x x span D n ??? = （2）求解法方程y A Ac A T T =* （3）得出拟合函数)()(0* *x c x n j j j ∑==?? clear all %% 清除了所有的变量，包括全局变量global load('F:\XX\XXX\datafile.mat') %%加载数据（mat 数据格式是matlab 的数据存储的标准格式） [r,c]=size(data); %%data 数据第一列为点序号，第二列为x 坐标，第三列为y 坐标 m=20; %%假设其运行次数 for n=1:m; for i=1:r/2 %%用数据的前半部分计算系数 x1=data(i,2); %%把数据的第i 行第2列赋值给x1 y1=data(i,3); %%把数据的第i 行第3列赋值给y1 for j=1:n; B1(i,j)=x1^(j-1); %%B1矩阵计算 end l(i,1)=y1; %%l 矩阵 end X=inv(B1'*B1)*B1'*l; %%系数矩阵 V=B1*X-l; [r1,c1]=size(B1); m0(n,1)=sqrt((V'*V)/(r1-c1)); %%单位权中误差 if n>2&&m0(n,1)>=m0(n-1,1); %%判断单位权中误差 disp(n) xsgs=n-1; %%单位权中误差最小时其系数的个数 zgcs=n-2; %%单位权中误差最小时其x 的最高次数 break %%如果找到了最优值时跳出循环 end end for i=1:r x2=data(i,2); y2=data(i,3); for k=1:xsgs; B2(i,k)=x2^(k-1); end

最小二乘法

浅谈加权最小二乘法及其残差图 ——兼答孙小素副教授何晓群刘文卿 ABSTRACT The paper introduces some problems in relation to weighted least square regression ,and answers a question about weighted residual plots. 关键词：异方差；加权最小二乘法；残差图；SPSS 一、引言好几年没有翻《统计研究》了。最近，有一同行朋友打电话告诉我《统计研究》2005年第11期上刊登了一篇有关我与刘文卿合作编著的《应用回归分析》（2001.6.中国人民大学出版社）教材的文章。赶紧找到这期的《统计研究》，看到其中孙小素副教授的文章《加权最小二乘法残差图问题探讨——与何晓群教授商榷》一文，以下简称《孙文》。认真拜读后感触良多。首先衷心感谢孙小素副教授阅读了我们《应用回归分析》拙作的部分章节，同时感谢《统计研究》给我们提供这样一个好的机会，使我们能够借助贵刊对加权最小二乘法的有关问题谈谈更多的认识。《孙文》谈到《应用回归分析》教材中有关加权最小二乘法残差图的问题。摆出了与加权最小二乘法相关的三类残差图，指出第三类残差图的局限性。直接的问题是三类残差图的作用，而更深层的原因应该是对加权最小二乘法统计思想的理解和认识上的差异。二、对加权最小二乘法的认识 1. 加权最小二乘估计方法拙作《应用回归分析》中对加权最小二乘法有详尽的讲述，这里仅做简要介绍。多元线性回归方程普通最小二乘法的离差平方和为： ∑=----=n i ip p i i p x x y Q 1 211010)(),,,(ββββββ （1）普通最小二乘估计就是寻找参数p βββ,,,10 的估计值p βββ?,,?,?10 使式（1）的离差平方和Q 达极小。式（1）中每个平方项的权数相同，是普通最小二乘回归参数估计方法。在误差项i ε等方差不相关的条件下，普通最小二乘估计是回归参数的最小方差线性无偏估计。然而在异方差的条件下，平方和中的每一项的地位是不相同的，误差项i ε的方差2i σ大的项，在式（1）平方和中的取值就偏大，在平方和中的作用就大，因而普通最小二乘估计的回归线就被拉向方差大的项，方差大的项的拟合程度就好，而方差小的项的拟合程度就差。由式（1）求出的p βββ?,,?,?10 仍然是p βββ,,,10 的无偏估计，但不再是最小方差线性无偏估计。加权最小二乘估计的方法是在平方和中加入一个适当的权数i w ，以调整各项在平方和

最小二乘法原理

最小二乘法最小二乘法是一种在误差估计、不确定度、系统辨识及预测、预报等数据处理诸多学科领域得到广泛应用的数学工具。最小二乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。最小二乘法公式：设拟合直线的公式为 , 其中：拟合直线的斜率为：；计算出斜率后，根据和已经确定的斜率k，利用待定系数法求出截距b。

在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1),(x2, y2).. (xm , ym)；将这些数据描绘在x -y 直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。 Y计= a0 + a1 X (式1-1) 其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)²〕最小为“优化判据”。令: φ= ∑(Yi - Y计)² (式1-2) 把(式1-1)代入(式1-2)中得: φ= ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3) 当∑(Yi-Y计)²最小时，可用函数φ对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。 (式1-4) (式1-5) 亦即 m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)

(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7) 得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出： a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8) a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9) 这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于0 越好。 R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) * 在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。微积分应用课题一最小二乘法从前面的学习中, 我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据, 可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系, 这种函数关系称为经验公式. 本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求与之间近似成线性关系时的经验公式. 假定实验测得变量之间的个数

基于最小二乘法的系统参数辨识

基于最小二乘法的系统参数辨识研究生二队李英杰 082068 摘要：系统辨识是自动控制学科的一个重要分支，由于其特殊作用，已经广泛应用于各种领域，尤其是复杂系统或参数不容易确定的系统的建模。过去，系统辨识主要用于线性系统的建模，经过多年的研究，已经形成成熟的理论。但随着社会、科学的发展，非线性系统越来越受到人们的关注，其控制与模型之间的矛盾越来越明显，因而非线性系统的辨识问题也越来越受到重视，其辨识理论不断发展和完善本。文重点介绍了系统参数辨识中最小二乘法的基本原理，并通过热敏电阻阻值温度关系模型的辨识实例，具体说明了基于最小二乘法参数辨识在Matlab中的实现方法。结果表明基于最小二乘法具有算法简单、精度较高等优点。 1. 引言所谓辨识就是通过测取研究对象在人为输入作用下的输出响应，或正常运行时的输入输出数据记录，加以必要的数据处理和数学计算，估计出对象的数学模型。这是因为对象的动态特性被认为必然表现在它的变化着的输入输出数据之中，辨识只不过是利用数学的方法从数据序列中提炼出对象的数学模型而已[1]。最小二乘法是系统参数辨识中最基本最常用的方法。最小二乘法因其算法简单、理论成熟和通用性强而广泛应用于系统参数辨识中。本文基于热敏电阻阻值与温度关系数据，介绍了最小二乘法的参数辨识在Matlab中的实现。 2. 系统辨识一般而言，建立系统的数学模型有两种方法：激励分析法和系统辨识法。前者是按照系统所遵循的物化（或社会、经济等）规律分析推导出模型。后者则是从实际系统运行和实验数据处理获得模型。如图1 所示，系统辨识就是从系统的输入输出数据测算系统数学模型的理论和方法。更进一步的定义是L.A.Zadeh 曾经与1962 年给出的，即“系统辨识是在输入和输出的基础上，从系统的一类系统范围内，确立一个与所实验系统等价的系统”。另外，系统辨识还应该具有3 个基本要素，即模型类、数据和准则[5]。被辨识系统模型根据模型形式可分为参数模型和非参数模型两大类。所谓参数模型是指微分方程、差分方程、状态方程等形式的数学模型；而非参数模型是指频率响应、脉冲响应、传递函数等隐含参数的数学模型。在辨识工程中，模型的确定主要根据经验对实际对象的特性进行一定程度上的假设，如对象的模型是线性的还是非线性的、是参数模型还是非参数模型等。在模型确定之后，就可以根据对象的输入输出数据，按照一定的辨识算法确定模型的参数[4]。图1 被研究的动态系统 3. 最小二乘法（LS）参数估计方法对于参数模型辨识结构，系统辨识的任务是参数估计，即利用输入输出数据估计这些参数，建立系统的数学模型。在参数估计中最常用的是最小二乘法(LS)、

最小二乘法--计算方法

生活中的计算方法应用实例——— 最小二乘法，用MATLAB实现1. 数值实例下面给定的是某市最近1个月早晨7：00左右（新疆时间）的天气预报所得到的温度天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 温度9 10 11 12 13 14 13 12 11 9 天数11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 温度10 11 12 13 14 12 11 10 9 8 天数21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 温度7 8 9 11 9 7 6 5 3 1 下面用MATLAB编程对上述数据进行最小二乘拟合，按照数据找出任意次曲线拟合方程和它的图像。 2、程序代码 x=[1:1:30]; y=[9,10,11,12,13,14,13,12,11,9,10,11,12,13,14,12,11,10,9,8,7,8,9,11,9,7, 6,5,3,1]; a1=polyfit(x,y,3) %三次多项式拟合% a2= polyfit(x,y,9) %九次多项式拟合% a3= polyfit(x,y,15) %十五次多项式拟合% b1= polyval(a1,x) b2= polyval(a2,x) b3= polyval(a3,x) r1= sum((y-b1).^2) %三次多项式误差平方和% r2= sum((y-b2).^2) %九次次多项式误差平方和% r3= sum((y-b3).^2) %十五次多项式误差平方和% plot(x,y,'*') %用*画出x,y图像% hold on plot(x,b1, 'r') %用红色线画出x,b1图像% hold on plot(x,b2, 'g') %用绿色线画出x,b2图像% hold on plot(x,b3, 'b:o') %用蓝色o线画出x,b3图像% 3、数值结果不同次数多项式拟合误差平方和为： r1=67.6659