中考数学大题类型分析

中考数学大题爱考题型解析

1、如图，形如量角器的半圆O 的直径DE=12cm ，形如三角板的⊿ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC= 30°，BC=12cm 。半圆O 以2cm/s 的速度从左向右运动，在运动过程中，点D 、E 始终在直线BC 上。设运动时间为t (s)，当t=0s 时，半圆O 在⊿ABC 的左侧，OC=8cm 。 （1） 当t 为何值时，⊿ABC 的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切？

（2） 当⊿ABC 的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切时，如果半圆O 与直线DE 围成的区域与

⊿ABC 三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。

解：

t=

重叠部面积为9πcm 2

t=7s t=16s

重叠部分面积为（93+6π）cm 2

在平面直角坐标系中,直线

11

()22y m k +-≤≤经过点A （）,且与y 轴相交于

点C.点B 在y 轴上,O 为为坐标原点,且7OB OA =+-.记ABC 的面积为S.

（1）求m 的取值范围;

（2）求S 关于m 的函数关系式; （3）设点B 在y 轴的正半轴上,当S 取得最大值时,将ABC 沿AC 折叠得到AB C ',求点B '的坐标.

解：⑴∵直线11()22y m k =

+-≤≤经过点A （,4）,∴4

m +=,

∴

114k m =-.∵11

22k -≤≤

,∴1111242m -≤-≤.解得26m ≤≤.

⑵∵A 的坐标是（）,∴OA=又∵7OB OA =+-,∴OB=7.∴B 点的坐标为(0,7)或(0,-7).

E

D

E

O

直线

23

y kx m

=+

与y轴的交点为C(0,m).

①①当点B的坐标是(0,7)时,由于C(0,m), 26

m

≤≤,故BC=7- m.

∴

1

233(7)

2

S BC m

==-

.

②当点B的坐标是(0,-7)时,由于C(0,m), 26

m

≤≤,故BC=7+m.

∴

1

233(7)

2

S BC m

==+

.

⑶当m=2时,一次函数373

S m

=-+取得最大值53,这时C(0,2).

如图,分别过点A、B′作y轴的垂线AD、B′E,垂足为D、E.则AD=23,CD=4-2=2.在

Rt ACD中,tan∠ACD=

3

AD

CD

=

,∴∠ACD=60°.由题意,得∠AC B′=∠ACD=60°,C B′

=BC=7-2=5,∴∠B′CE=180°-∠B′CB=60°.

在Rt B CE

'中,∠B′CE=60°,C B′=5,∴CE=

5

2,B′E=

53

.故OE=CE-OC=

1

2.

∴点B′的的坐标为（

531

,

2

-

）

2、如图，在平面直角坐标系中，已知A（－10，0），B（－8，6），O为坐标原点，△OAB

沿AB翻折得到△P AB．将四边形OAPB先向下平移3个单位长度，再向右平移m（m ＞0）个单位长度，得到四边形O1A1P1B1．设四边形O1A1P1B1与四边形OAPB重叠部分图形的周长为l．

（1）求A1、P1两点的坐标（用含m的式子表示）；

（2）求周长l与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．

解：（1）过点B作BQ⊥OA于点Q．（如图1）

∵点A坐标是（－10，0），

∴点A1坐标为（－10＋m，－3），OA＝10．

…………………………………………1分

O

y

B

x

A

O

y

－

B

x

A Q

α

又∵ 点B 坐标是（－8，6）， ∴BQ ＝6，OQ ＝8． 在Rt △OQB 中，

10OB ===． …

…2分

∴OA ＝OB ＝10，63

tan 84

BQ QO α=

==． 由翻折的性质可知，PA ＝OA ＝10，PB ＝OB ＝10， ∴四边形OAPB 是菱形， ∴PB ∥AO ，∴P 点坐标为（－18，6）， ……………………………

4分

∴P 1点坐标为（－18＋m ，3）． …………………………………………

5分

（2）①当0＜m ≤4时，（如图2）, 过点B 1作B 1Q 1⊥x 轴于点Q 1，则B 1 Q 1＝6-3＝3，

设O 1B 1 交x 轴于点F ，∵O 1B 1∥BO ，∴∠α＝∠β，

在Rt △FQ 1B 1中，11

1tan B Q Q F

β=， ∴

133

4Q F

=

，∴Q 1F ＝4， ∴B 1F

5，

∵AQ ＝OA －OQ ＝10－8＝2，

∴AF ＝AQ +QQ 1+ Q 1F ＝2+m +4＝

∴周长l ＝2（B 1F ＋AF ）

＝2（5＋6＋m ） ＝2

m

＋

22； ……………8分

②当4＜m ＜14时，（如图3）

设P 1A 1交x 轴于点S ，P 1B 1交OB 于点H ， 由平移性质，得 OH ＝B 1F ＝5， 此时AS ＝m －4，

∴OS ＝OA －AS

＝10－（m －4）＝14－m ， ∴周长l ＝2（OH ＋OS ）

＝2（5＋14－m ）

＝－2 m ＋

1

38． ……………11分

（说明：其他解法可参照给分）

3、已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3厘米，CB ＝4厘米．两个动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时按顺时针方向沿△ABC 的边运动．当点Q 运动到点A 时，P 、Q 两点运动即停止．点P 、Q 的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P 运动时间为t （秒）．

（1）当时间t 为何值时，以P 、C 、Q 三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米2；

（2）当点P 、Q 运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ 与△ABC 围成阴影部分面积为S （厘米2），求出S 与时间t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；

（3）点P 、Q 在运动的过程中，阴影部分面积S 有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．

解：（1）S △PCQ ＝

12PC ·CQ ＝1

(3)22

t t -?＝(3)t t -＝2， ………1分 解得 1t ＝1，2t ＝2 ………2分

∴当时间t 为1秒或2秒时，S △PCQ ＝2厘米2； ………3分

（2）①当0＜t ≤2时，S ＝2

3t t -+＝2

39

24

t ??--+ ???； ………5分

②当2＜t ≤3时， S ＝2418655t t -+＝2

4939

5420t ??-+ ???；………7分

③当3＜t ≤4.5时，S ＝232742555t t -+-＝2

3915

524

t ??--+ ???；…9分

（3）有；

………10分 ①在0＜t ≤2时，当t ＝

32，S 有最大值，S 1＝9

4

； (11)

分 ②在2＜t ≤3时，当t ＝3，S 有最大值，S 2＝12

5

； ………12分

③在3＜t ≤4.5时，当t ＝92，S 有最大值，S 3＝15

4； ………13分

∵S 1＜S 2＜S 3 ∴t ＝9时，S 有最大值，S 最大值＝15

． ………14分

4、已知⊙O的半径为1，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形

，0），顶点A在x轴上方，顶点D在⊙O上运动．ABCD，顶点B的坐标为（13

（1）当点D运动到与点A、O在一条直线上时，CD与⊙O相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；

（2）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求出S与x的函数关系式，并求出S的最大值和最小值．

解：（1）CD与⊙O相切。1分

因为A、D、O在一直线上，∠ADC=90°，

所以∠COD=90°，所以CD是⊙O的切线3分

CD与⊙O相切时，有两种情况：①切点在第二象限时（如图①），

设正方形ABCD 的边长为a ，则a 2＋（a ＋1）2=13，

解得a=2，或a=-3（舍去） 4分 过点D 作DE ⊥OB 于E ，则Rt △ODE ≌Rt △OBA ，所以OA

OE

BA DE OB OD =

=，所以DE=13132， OE=

13133，所以点D 1的坐标是（-13133，13

13

2） 5分

所以OD 所在直线对应的函数表达式为y=x 3

2

- 6分

②切点在第四象限时（如图②），

设正方形ABCD 的边长为b ，则b 2＋（b －1）2=13， 解得b=-2（舍去），或b=3 7分 过点D 作DF ⊥OB 于F ，则Rt △ODF ∽Rt △OBA ，所以

BA

DF

OA OF OB OD =

=，所以OF=13132，

DF=

13133，所以点D 2的坐标是（13132，-13

13

3） 8分 所以OD 所在直线对应的函数表达式为y=x 2

3

- 9分

（2）如图③，

过点D 作DG ⊥OB 于G ，连接BD 、OD ，则BD 2=BG 2＋DG 2=（BO －OG ）2＋OD 2

-OG 2

=()

x x x

1321411322

+=-+-- 10分

所以S=AB 2=

x BD 1372

1

2+= 11分 因为-1≤x ≤1，所以S 的最大值为137+，

S 的最小值为137- 12分

5、如图16，已知直线y = 2x(即直线1l )和直线42

1

+-

=x y (即直线2l )，2l 与x 轴相交于点A 。点P 从原点O 出发，向x 轴的正方向作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时点Q 从A 点出发，向x 轴的负方向作匀速运动，速度为每秒2个单位。设运动了t 秒. (1)求这时点P 、Q 的坐标(用t 表示).

(2)过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，与1l 、2l 分别相交于点O 1、O 2(如图16).

①以O 1为圆心、O 1P 为半径的圆与以O 2为圆心、O 2Q 为半径的圆能否相切？若能，求出t 值；若不能，说明理由.

②以O 1为圆心、P 为一个顶点的正方形与以O 2为中心、Q 为一个顶点的正方形能否有无数个公共点？若能，求出t 值；若不能，说明理由.(同学可在图17中画草图)