高一数学函数的应用测试题及答案17

模块质量检测(一)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设U ＝R ，A ＝{x|x>0}，B ＝{x|x>1}，则A ∩?U B ＝( ) A{x|0≤x<1} B ．{x|01}

【解析】 ?U B ＝{x|x ≤1}，∴A ∩?U B ＝{x|0

2．若函数y ＝f(x)是函数y ＝a x (a>0，且a ≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )

A ．log 2x B.1

2x C ．log 1

2x D ．2x －2

【解析】 f(x)＝log a x ，∵f(2)＝1， ∴log a 2＝1，∴a ＝2. ∴f(x)＝log 2x ，故选A. 【答案】 A

3．下列函数中，与函数y ＝1

x

有相同定义域的是( ) A ．f(x)＝ln x B ．f(x)＝1

x C ．f(x)＝|x| D ．f(x)＝e x 【解析】 ∵y ＝1

x

的定义域为(0，＋∞)．故选A. 【答案】 A

4．已知函数f(x)满足：当x ≥4时，f(x)＝? ????12x

；当x<4时，f(x)＝f(x ＋1)．则

f(3)＝( )

A.1

8 B ．8 C.1

16 D ．16

【解析】 f(3)＝f(4)＝(12)4＝1

16. 【答案】 C

5．函数y ＝－x 2＋8x －16在区间[3,5]上( ) A ．没有零点 B ．有一个零点 C ．有两个零点 D ．有无数个零点 【解析】 ∵y ＝－x 2＋8x －16＝－(x －4)2， ∴函数在[3,5]上只有一个零点4. 【答案】 B

6．函数y ＝log 12(x 2

＋6x ＋13)的值域是( ) A ．R B ．[8，＋∞)

C ．(－∞，－2]

D ．[－3，＋∞) 【解析】 设u ＝x 2＋6x ＋13 ＝(x ＋3)2＋4≥4

y ＝log 1

2u 在[4，＋∞)上是减函数，

∴y ≤log 1

24＝－2，∴函数值域为(－∞，－2]，故选C. 【答案】 C

7．定义在R 上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )

A ．y=x2+1

B ．y ＝|x|＋1

C ．y ＝??? 2x ＋1，x ≥0x 3＋1，x<0

D ．y ＝???

e x

，x ≥0

e －x ，x<0

【解析】 ∵f(x)为偶函数，由图象知f(x)在(－2,0)上为减函数，而y ＝x 3＋1在(－∞，0)上为增函数．故选C.

【答案】 C

8．设函数y ＝x 3

与y ＝? ??

??12x －2

的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是

( )

A ．(0,1)

B ．(1,2) C(2,3) D ．(3,4)

【解析】 由函数图象知，故选B.

【答案】 B

9．函数f(x)＝x 2＋(3a ＋1)x ＋2a 在(－∞，4)上为减函数，则实数a 的取值范围是( )

A ．a ≤－3

B ．a ≤3

C ．a ≤5

D ．a ＝－3

【解析】 函数f(x)的对称轴为x ＝－3a ＋1

2， 要使函数在(－∞，4)上为减函数， 只须使(－∞，4)?(－∞，－3a ＋1

2) 即－3a ＋1

2≥4，∴a ≤－3，故选A. 【答案】 A

10．某新品牌电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y 与投放市场的月数x 之间的关系的是( )

A ．y ＝100x

B ．y ＝50x 2－50x ＋100

C ．y ＝50×2x

D ．y ＝100log 2x ＋100 【解析】 对C ，当x ＝1时，y ＝100； 当x ＝2时，y ＝200； 当x ＝3时，y ＝400；

当x ＝4时，y ＝800，与第4个月销售790台比较接近．故选C. 【答案】 C

11．设log 32＝a ，则log 38－2 log 36可表示为( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a)2 C ．5a －2 D ．1＋3a －a 2

【解析】 log 38－2log 36＝log 323－2log 3(2×3) ＝3log 32－2(log 32＋log 33) ＝3a －2(a ＋1)＝a －2.故选A. 【答案】 A

12．已知f(x)是偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数．若f(lg x)>f(1)，则x 的取值范围是( )

A.? ????110，1

B.? ?

???0，110∪(1，＋∞) C.? ??

??

110，10 D ．(0,1)∪(10，＋∞) 【解析】 由已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上递减， 则f(x)在(－∞，0)上递增，

∴f(lg x)>f(1)?0≤lg x<1，或???

lg x<0－lg x<1

?1≤x<10，或???

0

lg x>－1?1≤x<10，

或110

10

∴x 的取值范围是? ????

110，10.故选C.

【答案】 C

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)

13．已知全集U ＝{2,3，a 2－a －1}，A ＝{2,3}，若?U A ＝{1}，则实数a 的值是________．

【答案】 －1或2

14．已知集合A ＝{x|log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a)，若A ?B ，则实数a 的取值

范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.

【解析】 A ＝{x|04，即a 的取值范围为(4，＋∞)，∴c ＝4.

【答案】 4

15．函数f(x)＝? ??

??23x 2

－2x 的单调递减区间是________．

【解析】 该函数是复合函数，可利用判断复合函数单调性的方法来求解，因为函数y ＝? ????

23u 是关于u 的减函数，所以内函数u ＝x 2－2x 的递增区间就是函

数f(x)的递减区间．令u ＝x 2－2x ，其递增区间为[1，＋∞)，根据函数y ＝? ????

23u

是定义域上的减函数知，函数f(x)的减区间就是[1，＋∞)．

【答案】 [1，＋∞) 16．有下列四个命题： ①函数f(x)＝

|x|

|x －2|

为偶函数； ②函数y ＝x －1的值域为{y|y ≥0}；

③已知集合A ＝{－1,3}，B ＝{x|ax －1＝0，a ∈R }，若A ∪B ＝A ，则a 的取值集合为{－1，1

3}；

④集合A ＝{非负实数}，B ＝{实数}，对应法则f ：“求平方根”，则f 是A 到B 的映射．你认为正确命题的序号为：________.

【解析】 函数f(x)＝

|x|

|x －2|

的定义域为(－∞，2)∪ (2，＋∞)，它关于坐标原点不对称，所以函数f(x)＝|x|

|x －2|

既不是奇函数也不是偶函数，即命题①不正确；

函数y ＝x －1的定义域为{x|x ≥1}，当x ≥1时，y ≥0，即命题②正确； 因为A ∪B ＝A ，所以B ?A ，若B ＝?，满足B ?A ，这时a ＝0；若B ≠?，由B ?A ，得a ＝－1或a ＝13.因此，满足题设的实数a 的取值集合为{－1,0，1

3}，即命题③不正确；依据映射的定义知，命题④正确．

【答案】 ②④

三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 2－3x －10的两个零点为x 1，x 2(x 1

【解析】 A ＝{x|x ≤－2，或x ≥5}．

要使A ∩B ＝?，必有???

2m －1≥－2，

3m ＋2≤5，

3m ＋2>2m －1，

或3m ＋2<2m －1， 解得????

?

m ≥－1

2，

m ≤1，

m>－3，

或m<－3，即－1

2≤m ≤1，或m<－3.

18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求f(x)的最大值和最小值；

(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数． 【解析】 (1)当a ＝－1时，

f(x)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]． 由于f(x)的对称轴为x ＝1，结合图象知， 当x ＝1时，f(x)的最小值为1， 当x ＝－5时，f(x)的最大值为37.

(2)函数f(x)＝(x ＋a)2＋2－a 2的图象的对称轴为x ＝－a ， ∵f(x)在区间[－5,5]上是单调函数， ∴－a ≤－5或－a ≥5.

故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.

19．(本小题满分12分)(1)计算：? ????2791

2＋(lg5)0＋(2764)－13；

(2)解方程：log 3(6x －9)＝3. 【解析】 (1)原式

＝? ????25912＋(lg5)0

＋??????? ????343－13 ＝53＋1＋4

3＝4.

(2)由方程log 3(6x －9)＝3得

6x －9＝33＝27，∴6x ＝36＝62，∴x ＝2. 经检验，x ＝2是原方程的解．

20．(本小题满分12分)有一批影碟机(VCD)原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售，甲商场用下面的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？

【解析】 设购买x 台，甲、乙两商场的差价为y ，则去甲商场购买共花费(800－20x)x ，由题意800－20x ≥440.

∴1≤x ≤18(x ∈N )．

去乙商场花费800×75%x(x ∈N *)． ∴当1≤x ≤18(x ∈N *)时

y ＝(800－20x)x －600x ＝200x －20x 2， 当x>18(x ∈N *)时，y ＝440x －600x ＝－160x ， 则当y>0时，1≤x ≤10； 当y ＝0时，x ＝10； 当y<0时，x>10(x ∈N )．

综上可知，若买少于10台，去乙商场花费较少；若买10台，甲、乙商场花费相同；若买超过10台，则去甲商场花费较少．

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lg(1＋x)－lg(1－x)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性；

【解析】 (1)由???

1＋x>0，

1－x>0，得－1

∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．

(2)定义域关于原点对称，对于任意的x ∈(－1,1)，

有－x ∈(－1,1)，

f(－x)＝lg(1－x)－lg(1＋x)＝－f(x) ∴f(x)为奇函数．

22．(本小题满分14分)设a>0，f(x)＝e x a ＋a

e x 是R 上的偶函数． (1)求a 的值；

(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

【解析】 (1)解：∵f(x)＝e x a ＋a

e x 是R 上的偶函数， ∴f(x)－f(－x)＝0. ∴e x a ＋a e x －e －x

a －a

e －x ＝0，

即? ????1a －a e x ＋? ????a －1a e －x

＝0 ? ??

??1a －a (e x －e －x

)＝0. 由于e x －e －x 不可能恒为0， ∴当1

a －a ＝0时，式子恒成立．

又a>0，∴a ＝1.

(2)证明：∵由(1)知f(x)＝e x ＋1

e x ， 在(0，＋∞)上任取x 1

－ex 2－1

ex 2

＝(ex 1－ex 2)＋(ex 2－ex 1)·1

ex 1＋x 2.

∵e>1，∴01， ∴ex 1＋x 2>1，(ex 1－ex 2)? ?

???1－1ex 1＋x 2<0， ∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．