怎样求圆的切点弦方程

一道课本习题告诉你——怎样求圆的切点弦方程

舒云水

下题是人教A 版必修2第133面的B 组第5题：

已知点)3,2(--P 和以Q 为圆心的圆9)2()4(22=-+-y x ﹒

⑴画出以PQ 为直径，Q '为圆心的圆，再求出它的方程；

⑵作出以Q 为圆心的圆和以Q '为圆心的圆的两个交点A ，B ﹒直线PA ，PB 是以Q 为圆心的圆的切线吗？为什么？

⑶求直线AB 的方程﹒

本题实质上告诉了我们求下面问题的一种简便方法：

问题：过⊙Q 外一点P ，作⊙Q 的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点﹒求过两切点A ，B 的直线方程﹒（本文将两切点的连线段称为切点弦，求切点弦方程即为求切点弦所在直线的方程）

思路方法：

1. 第一步，求出以线段PQ 为直径的圆的方程；

2. 第二步，将两圆方程相减便可得到所求直线的方程﹒

让学生解决上面第5问题时，不少学生都这样做：先求出两切线方程，再求出两切点坐标，最后求出直线方程﹒这样做，运算很复杂，不可取，上面课本上求出的方法很简便，我们应该掌握好，会用它解决相关问题﹒下面高考题是这类问题：

（2013年山东高考题）过点（3，1）作圆（x-1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为

（A ）032=-+y x （B ）032=--y x

（C ）034=--y x （D ）034=-+y x

解法1：用上面方法﹒

以点)1,3(和)0,1(为直径两端点的圆的方程为：4

5)21()2(22=-+-y x ﹒

将两圆标准方程化为一般方程得：

0222=-+x y x ，03422=+--+y x y x ﹒ 将两圆一般方程相减得直线AB 的方程为：032=-+y x ﹒选A ﹒ 解法2：易知点)1,1(为其中一切点，不妨设该点为点A ﹒过点)1,3(和圆心)0,1(的直线的斜率为2

1，所求直线AB 的斜率为-2，直线AB 的方程为：)1(21--=-x y ，即032=-+y x ﹒选A ﹒

下面给出一个结论，用它做更简单﹒

结论 过圆外一点),(00y x P ,作圆222)()(r b y a x =-+-的两条切线，则经过两切点的直线的方程为：

200))(())((r b y b y a x a x =--+--﹒ 特别地，当时0==b a ，直线方程为200r y y x x =+﹒

证：以点P 和圆心),(b a 为直径两端点的圆的方程为： ()()[]

202020204122y b x a y b y x a x -+-=??? ??+-+??? ??+-﹒ 展开得：0)()(002002=++-+++-by y y b y ax x x a x ①

将222)()(r b y a x =-+-展开得：

2222222r b by y a ax x =+-++- ②

②-①得：

2200200r b by by y y a ax ax x x =+--++--，

200))(())((r b y b y a x a x =--+--﹒

所以经过两切点的直线的方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--﹒

特别地，当时0==b a ，直线方程为200r y y x x =+﹒

解法3：根据上面结论可直接得所求直线方程为：y x ?+--1)1)(13(=1，即即032=-+y x ﹒选A ﹒

点评：上面结论不需记忆，作一个知识了解即可﹒解法2比解法1简单﹒解法2的关键是要根据点)1,3(的特殊位置，观察出其中一个切点坐标为)1,1(﹒若它的位置不特殊，用这种解法行不通，可以说是一种特殊方法﹒我们在平时学习解题时，一方面要重点扎实掌握通性通法，对一些问题作深入探究，得出一般性结论；另一方面，要具体问题具体分析，根据题目特点灵活运用不同的方法求解，方法越简单越好，可为考试赢得宝贵的时间！