(完整版)利用导数求函数单调性题型全归纳

利用导数求函数单调性题型全归纳

一.求单调区间

二.函数单调性的判定与逆用 三.利用单调性求字母取值范围 四.比较大小 五.证明不等式 六.求极值 七.求最值 八.解不等式

九.函数零点个数（方程根的个数） 十.探究函数图像

一.求单调区间 例1. 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，求函数)(x f 的单调区间

解：

()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++.

则令()()g x f x '=，因为当0,1a a >≠，所以2

()2ln 0x

g x a a '=+>

所以()f x '在R 上是增函数,又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+, 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+ 减区间为：(0)-∞， 变式：已知()x

f x e ax =-，求()f x 的单调区间

解：'

()x

f x e a =-，当0a ≤时，'

()0f x >，()f x 单调递增

当0a >时，由'

()0x

f x e a =->得：ln x a >，()f x 在(ln ,)a +∞单调递增 由'

()0x

f x e a =-<得：ln x a <，()f x 在(ln )a -∞，单调递增

综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为：-∞+∞（，），无单调递减区间 当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(ln ,)a +∞，递减区间为：(ln )a -∞，

二.函数单调性的判定与逆用

例2.已知函数32

()25f x x ax x =+-+在1132

（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减

函数，求正整数a 的取值集合 解：2

()322f x x ax '=+-

因为函数32

()25f x x ax x =+-+在11

32

（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数 所以2

()322=0f x x ax '=+-在1132

（，）上有解 所以'

'

11()()0

3

2

f f <，

又*

a N ∈，解得：

55

42a <<

，

所以正整数a 的取值集合{2} 三.利用单调性求字母取值范围 例3. 已知函数()ln x

f x ax x

=-，若函数()y f x =在

1+?（，）上是减函数，求实数a 的最小值. 解：因为()ln x

f x ax x

=-在

1+?（，）上是减函数 所以'

2ln 1()0(ln )x f x a x -=

-?在1+?（，）上恒成立，即2

ln 1

(ln )

x a x -3在1+?（，）上恒成立 令ln ,(1)t x x =>，则0t >，21

()(0)t h t t t -=

>，

则max ()a h t 3 因为222

111111()=()()24t h t t t t t -=

-+=--+，所以max 1()=(2)4h t h =，所以1

4

a 3 变式：若函数32

11()(1)132

f x x ax a x =-+-+在区间

1,4（）上为减函数，在区间(6,)+?上为增函数，试求实数a 的取值范围.

解：2'()=1f x x ax a -+-

因为函数()y f x =在区间1,4（）上为减函数，在区间(6,)+?上为增函数

所以''()0(1,4)

()0,(6,)f x x f x x ì????í

??????

，恒成立，即2210(1,4)10,(6,)

x ax a x x ax a x ì-+-????í?-+-?????， 所以221

1,(1,4)111,(6,)

1

x a x x x x a x x x ì-???+"???

-í

?-??+"????-

??

，

所以4161a a ì???í

????，

所以57a ＃

四.比较大小

例4. 设a 为实数，当ln 210a x >->且时，比较x e 与2

21x ax -+的大小关系.

解：令2

()21(0)x f x e x ax x =-+->，则'()=22x f x e x a -+

令'()()g x f x =

则'()e 2x g x =-，令'()0g x =得：ln 2x = 当ln 2x >时，'()0g x >；当ln 2x <时，'()0g x < 所以

ln2min ()()=(ln 2)2ln 2222ln 22

g x g x g e a a ==-+=-+极小值，

因为

ln 21a >-，所以'()()0g x f x =>，所以()f x 在

0+?（，）上单调递增 所以()(0)0f x f >=，即2

210x

e x ax -+->，所以2

21x

e x ax >-+

变式：对于R 上的可导函数()y f x =，若满足'(3)()0x f x ->，比较(1)(11)f f +与

2(3)f 的大小关系.

解：因为'(3)()0x f x ->

所以当3x >时，'

()0f x >，()f x 单调递增，故(11)(3)f f > 当3x <时，'

()0f x <，()f x 单调递减，故(1)(3)f f > 所以(1)(11)2(3)f f f +> 五.证明不等式

例5.已知函数|ln |)(x x f =，()(1)g x k x =- (R)k ∈.

证明：当1k <时，存在01x >，使得对任意的0(1,)x x ∈，恒有()()f x g x >. 证明：令()|ln |(1)=ln (1),(1,)G x x k x x k x x =----∈+∞ 则有'

11(),(1,)kx

G x k x x x

-=

-=∈+∞ 当01k k ≤≥或时，'

()0G x >，故 ()G x 在1+∞（，）上单调递增，()G(1)0G x >=.故任意实数 (1,)x ∈+∞ 均满足题意.

当 01k << 时，令'

()=0G x ，得1

1x k

=

>. 当1(1,)x k ∈时，'

()0G x >，故 ()G x 在1(1,)k 上单调递增

当1()x k ∈+∞，时，'()0G x <，故 ()G x 在1()k +∞，上单调递减 取01x k

=，对任意0(1,)x x ∈，有'

()0G x >，故()G x 在0(1,)x 上单调递增

所以()G(1)0G x >=

即()()f x g x >，综上所述：当1k <时，存在01x >，使得对任意的0(1,)x x ∈，恒有()()f x g x >. 变式：已知关于x 的方程2

(1)x

x e ax a --=有两个不同的实数根12x x 、.求证：120x x <+

证明：因为2

(1)x

x e ax a --=，所以2(1)1x x e a x -=+，令2(1)()1

x x e f x x -=+

则222222

(23)[(1)2]()11x x

x x x e x x e f x x x --+--+'==++（）（）

当0x >时()0f x '<，()f x 单调递减，当0x <时()0f x '>，()f x 单调递增 因为关于x 的方程2

(1)x

x e ax a --=有两个不同的实数根12x x 、 所以不妨设12(,0),(0,)

x x ∈-∞∈+∞，

要证：120

x x <+，

只需证：21x x <-

因为210x x -∈+∞（，），且函数()f x 在0+∞（，）

上单调递减 所以只需证：21()()f x f x >-，又因为21()=()

f x f x ，

所以只需证：11()()f x f x >-

即证：11

1122

11(1)(1)11

x x x e x e x x --+>++ 即证：(1)(1)0x

x

x e x e

---+>对0x ∈-∞（，）

恒成立 令g()(1)(1)x x

x x e x e -=--+，0x ∈-∞（，），则g ()()x

x x x e e -'=-

因为0x ∈-∞（，），所以0x

x e e -->

所以g ()()0x

x x x e

e -'=-<恒成立

所以g()(1)(1)x

x

x x e x e -=--+在0-∞（，）上单调递减，所以g()(0)0x g >= 综上所述：120x x <+ 六.求极值

例6.已知函数2

()()x

f x x ax a e =++，是否存在实数a ，使得函数()f x 的极大值为3？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.

解：'

2

2

()(2)()[(2)2]=()(2)x

x

x

x

f x x a e x ax a e x a x a e x a x e =++++=+++++ 令'

()=0f x 得：2x a x =-=-或

当2a =时，'

()0f x ≥恒成立，无极值，舍去

由表可知：

2()=(2)(42)3f x f a a e --=-+=极大值

解得：2432a e =-< 当2a >时，2a -<-

由表可知：

22()=()()3a f x f a a a a e --=-+=极大值，即3a ae -=，所以：=3a a e

令()3(2)a

g a e a a =->，则'

2

()31310a

g a e e =->-> 所以()y g a =在2+∞（，）上单调递增，又2

(2)320g e =-> 所以函数()y g a =在2+∞（，）

上无零点，即方程=3a

a e 无解 综上所述：存在实数a ，使得函数()f x 的极大值为3，此时2

43a e =- 七.求最值

例7. 已知函数2

()ln (0,1)x

f x a x x a a a =+->≠，若存在]1,1[,21-∈x x ,使得12()()e 1f x f x -≥-（其中e 是自然对数的底数),求实数a 的取值范围.

解：因为存在12,[1,1]x x ∈-,使得12()()e 1f x f x --≥成立, 而当[1,1]x ∈-时,12max min ()()()()f x f x f x f x --≤, 所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可 又因为x ,()f x ',()f x 的变化情况如下表所示:

所以()f x 在[1,0]-上是减函数,在[0,1]上是增函数,所以当[1,1]x ∈-时,()f x 的最小值

()()min 01f x f ==,()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值.

因为1

1

(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a

a

--=--=--+++, 令1()2ln (0)g a a a a a =-->,因为22121

()1(1)0g a a a a '=-=->+,

所以1

()2ln g a a a a

=--在()0,a ∈+∞上是增函数.

而(1)0g =,故当1a >时,()0g a >,即(1)(1)f f >-; 当01a <<时,()0g a <,即(1)(1)f f <-

所以,当1a >时,(1)(0)e 1f f --≥,即ln e 1a a --≥,函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数,解得e a ≥;

当01a <<时,(1)(0)e 1f f ---≥,即1ln e 1a a +-≥,函数1

ln y a a

=+在(0,1)a ∈上是减函数,解得1

0e

a <≤.

综上可知,所求a 的取值范围为1(0,][e,)e

a ∈∞+U 变式：已知函数()ln()(0)x a

f x e x a a -=-+>在区间0+∞（，）

上的最小值为1，求实数a 的值. 解：1()=x a

f x e

x a -'-

+，

令()()g x f x '=，则2

1()=0(x a

g x e x a -'+>+） 所以()y g x =在区间0+∞（，）单调递增，所以存在唯一的00x ∈

+∞（，），使得0001()0x a g x e x a -=-

=+，

即001

=x a e x a -+ 所以当0(0,)x x ∈时，()()0g x f x '=<，()y f x =单调递减

当0()x x ∈+∞，

时，()()0g x f x '=>，()y f x =单调递增 所以0min 00()()ln()

x a

f x f x e

x a -==-+，

由001

=

x a

e

x a

-+得：00=ln()x a x a --+

所以0min 00001

()()ln()=

x a

f x f x e

x a x a x a

-==-++-+

001

=

()2222x a a x a

a a

++-+≥=- 当且仅当

001

=x a x a

++即0=1x a +，min 0()()22f x f x a ==- 由22=1a -得12a =，此时01=2x ，满足条件，所以12

a = 八.解不等式

例8. 函数2)0())((=∈f R x x f ，，对任意1)()('

>+∈x f x f R x ，，解不等式：

1)(+>x x e x f e

解：令()()x

x

g x e f x e =-，则()()()(()()1)x

x

x

x

g x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+- 因为对任意1)()('

>+∈x f x f R x ，，所以()0g x '>， 所以()y g x =为R 上的单调递增函数，又(0)(0)11g f =-=

所以当1)(+>x

x

e x

f e 即()1x

x

e f x e ->，所以()(0)g x g >，所以0x > 即不等式：1)(+>x

x

e x

f e 的解集为0+∞（，）

变式：已知定义在R 上的可导函数()y f x =满足'()1f x <，若

(12)()13f m f m m -->-，求m 的取值范围.

解：令()()g x f x x =-，则()()1g x f x ''=-，因为'()1f x < 所以()()10g x f x ''=-<，所以()()g x f x x =-为R 上递减函数

由(12)()13f m f m m -->-，得：(12)()f m m f m m ---（1-2)

> 即(12)()g m g m ->，所以12m m ->，即1

3

m < 九.函数零点个数（方程根的个数）

例9. 已知2

()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值.若关于x 的方程()0f x b +=在

区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围. 解： '

2

()21f x x x a =

--+，

因为2()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值 所以'

2

(0)1=0f a

=

-，即2a =，检验知2a =符合题意. 令2

()()2ln(2)[1,1]g x f x b x x x b x =+=+--+∈-，

'52()

22()21(11)

x x g x x x +=--=--≤≤ 所以()=(0)2ln 2g x g b =+极大值

因为方程()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根

所以(1)0(0)0(1)0g g g -≤??>??≤?，即02ln 202ln 320b b b ≤??

+>??-+≤?

解得：2ln 222ln3b -<≤-

所以实数b 的取值范围是：2ln 222ln 3]--（，

变式：已知函数()y f x =是R 上的可导函数，当0x 1时，有'

()

()0f x f x x

+>，判断函数13

()()F x xf x x

=+

的零点个数 解：当0x 1时，有'

()

()0f x f x x +>，即

'()()0xf x f x x +>

令()()g x xf x =，则'()()()g x xf x f x ￠=+

所以当0x >时，'()()()0g x xf x f x ￠=+>，函数()y g x =在0+∞（，）单调递增 且()g(0)=0g x >，

所以当0x >时，13

()()0F x xf x x

=+

>恒成立，函数()y F x =无零点

当0x <时，'()()()0g x xf x f x ￠=+<，函数()y g x =在0∞（-，）单调递减 且()g(0)=0g x >恒成立

所以13

()()F x xf x x

=+在0∞（-，）上为单调递减函数 且当0x →时，()0xf x ?，所以13

()0F x x

?

当x →-∞时，1

0x

?，所以()()0F x xf x ?

所以13

()()F x xf x x =+在0∞（-，）

上有唯一零点 综上所述：13

()()F x xf x x

=+在0∞∞U （-，）（0,+）上有唯一零点 十.探究函数图像

例10.设函数在定义域内可导，()y f x =的图像如图所示，则导函数()y f x '=的图像可能为下列图像的 .

解：由()y f x =的图像可判断出：()f x 在(,0)-∞递减，在(0)+∞，上先增后减再增

所以在(,0)-∞上()0f x '<，在(0)+∞，上先有()0f x '>，后有()0f x '<，再有()0f x '>. 所以图（4）符合. 变式：已知函数ln(2)()x f x x

=，若关于x 的不等式2

()()0f x af x +>只有两个整数解，求实数a 的取值范围.

解：2

1ln(2)()=

x f x x -'，令()=0f x '得2e

x = 所以当02e

x <<时，()0,()f x f x '>单调递增

当2e

x >时，()0,()f x f x '<单调递减

由当12x <时，()0f x <，当1

2

x >时，()0f x >

作出()f x 的大致函数图像如图所示： 因为2

()()0f x af x +>

（1）若0a =，即2

()0f x >，显然不等式有无穷多整数解，不符合题意；

（2）若0a >，则()()0f x a f x <->或，由图像可知，()0f x >，有无穷多整数解（舍）

（1） （2） （4）

（3）若0a <则()0()f x f x a <>-或，由图像可知，()0f x <无整数解，

所以()f x a >-有两个整数解，因为(1)(2)ln 2f f ==，且()f x 在(,)2

e +∞上单调递减 所以()

f x a >-的两个整数解为：1,2x x == 又ln 6(3)3f =，所以ln 6ln 23a ≤-<，

所以ln 6

ln 23a -<≤-