高考平面向量公式(教师)
第七辑 平面向量专题
一,基本概念
1,向量的概念:有大小有方向的量称为向量。
2,向量的表示:几何表示为有向线段(如图);字母表示为a 或者AB 。 3,向量的大小:即是向量的长度(或称模)
4,零向量:长度为0的向量称为零向量,记为,零向量方向是任意的。
5,单位向量:长度为一个单位的向量称为单位向量,一般用、
1=
1=
6,平行向量(也称共线向量):方向相同或相反的向量称为平行向量,规定零向量与任意向量平行。若平行于,则表示为∥。
7,相等向量:方向相同,大小相等的向量称为相等向量。若与相等,记为=
8,相反向量:大小相等,方向相反的向量称为相反向量。若a 与b 是相反向量,则表示为=-;向量-=
二,几何运算
1,向量加法:
(1)平行四边形法则(起点相同),可理解为力的合成,如图所示:
(2)三角形法则(首尾相接),可理解为:位移的合成,如图所示,
(3)两个向量和仍是一个向量;
(4)向量加法满足交换律、结合律:a b b a +=+,)()(c b a
c b a ++=++ (5)加法几种情况(加法不等式):
= << = 2,减法:
(1)两向量起点相同,方向是从减数指向被减数,如图=- (2)两向量差依旧是一个向量;
(3)减法本质是加法的逆运算:CB CA AB CB AC AB =+?=- 3,加法、减法联系:
(1)加法和减法分别是平行四边行两条对角线,AC AD AB =+,=- (2=,则四边形ABCD 为矩形
B
A
a
C
B A
?
a
b
a b
a
b
b
a +
4,实数与向量的积:
(1)实数λ与向量a 的积依然是个向量,记作a λ,它的长度与方向判断如下:
当0>λ时,a λ与a 方向相同;当0<λ时,a λ与a 方向相反;当0=λ时,0=a λ;当0=a 时,0=a λ
;=λ(2)实数与向量相乘满足:)()(λμμλ= μλμλ+=+)( λλλ+=+)( 5,向量共线:
(1)向量b 与非零向量a 共线的充要条件是:有且只有一个实数λ,使得λ= (2)如图,平面内C B A ,,三点共线的重要条件是存在三个不为零的实数q n m ,,, 使得=++n m q ,且0=++q n m ,反之也成立。 (3)AC AB λ=,则λλ+-=)1((证明略) 6,向量的数量积
(1
)数量积公式:=
?=?θθcos cos (2)向量夹角θ:同起点两向量所夹的角,范围是[]
0180,0∈θ
(3)零向量与任一向量的数量积为0,即00=?a (4
)数量积与夹角关系:b a ≤?≤
00=θ 00900<<θ 090=θ 0018090<<θ 0
180=θ
=?
0>?> 0=?
>?>0
=?
(5
=
θcos 称为在
=
θcos 成为在的方向上的投影
(6)重要结论:直角三角形ABC 中,2
AB AB AC =? (7)向量数量积的运算律:
2
a
e =(向量e 为与a 方向相同的单位向量) ?=?
)()()(λλλ?=?=? =?+)(?+?
222
2)(+?+=+ 2222)(+?-=- 2
2)()(-=-?+
b
a
b a b
a
b
a b
a
三,坐标运算
1,平面向量基本定理:如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数μλ,,使得21e e μλ+=,我们把不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。(证明略)
2,坐标定义:如图,在直角坐标系内,我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,作为基底。任作一个向量,
由向量的基本定理可知,有且只有一对实数,使得:y x +=,我们把),(y x 叫做
向量的(直角)坐标,记作),(y x =,其中x 、y 分别为向量的横纵坐标。这个式子
叫做向量的坐标表示。
3,如图,已知点),(11y x A =,),(22y x B =,由向量的坐标定义可知,
),(11y x =,),(22y x =,),(1212y y x x --=-=由此可知,一个向量
的坐标表示等于此向量的终点坐标减去起点坐标,即,),(1212y y x x --=
4,向量的加减乘坐标运算:已知),(11y x =,),(22y x =
(1)加、减、乘:),(2121y y x x ++=+ ),(2121y y x x --=- 2121y y x x +=? (2)实数与向量乘积的坐标运算:),(11y x λλλ= (3
2
2222121,y x y x +=+=
(4)b a ,夹角余弦值22
22
21
2
1
2121cos y
x y x y y x x +?++=
θ
5,向量间关系的坐标形式,已知),(11y x a =,),(22y x b = (1))(,//≠的充要条件是,01221=-y x y x
(2)若,⊥则有0=?,即02121=+y y x x
6,柯西不等式的向量形式
设向量),(),,(d c b a ==,则有bd ac n m +=?,
222
2d c b
a ++=
,因为n m ≤?,所以有柯西不等
式的向量形式:2222d c b a bd ac ++≤+,化简得:))(()(22222d c b a bd ac ++≤+
y
x
B
A
平面向量的坐标运算(教案)
平面向量的坐标运算(一)(教案) 教学目标: 知识与技能:(1)理解平面向量的坐标概念;(2)掌握平面向量的坐标运算. 过程与方法:(1)通过对坐标平面内点和向量的类比,培养学生类比推理的能力; (2)通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生归纳、猜想、演绎的能力; (3)通过用代数方法处理几何问题,提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力. 情感、态度与价值观:(1)让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣,培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神,提高学生的数学素养; (2)使学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性,进而理解数学的本质; (3)让学生体会从特殊到一般,从一般到特殊的认识规律. 教学重点和教学难点: 教学重点:平面向量的坐标运算; 教学难点:平面向量坐标的意义. 教学方法:“引导发现法”、“探究学习”及“合作学习”的模式. 教学手段:利用多媒体动画演示及实物展示平台增加直观性,提高课堂教学效率. 教学过程设计: 一、创设问题情境,引入课题. 同学们,我们知道,向量的概念是从物理中抽象出来的,人们最初对向量的研究是从几何的的角度来进行的,但是随着问题的不断深入,我们发现用图形来研究向量有一些不便之处,那么,有没有一种更简洁的方式可以来表示向量呢? 我国著名数学家华罗庚先生说过:“数无形,少直观;形无数,难入微。”图形关系往往与某些数量关系密切联系在一起,数与形是互相依赖的,所以我们想到了用数来表示向量. 思路一:用一个数能否表示向量?(请学生回答) (不能,因为向量既有大小,又有方向)
思路二:用两个数能否表示向量?(引导学生思考) 在平面直角坐标系内,一个点和一对有序实数对之间有一一对应的关系,那么,向量是否也能找到与之对应的实数呢? 让我们先来探讨这样一个问题: 探究一:如图,为互相垂直的单位向量,请用,i j 表示图中的向量,,,.a b c d 使1122=a e e λλ+ ,其中的1e ,2e 称为平面的一组基底. 强调:基底不唯一,只要不共线,就可作为基底,而一旦基底选定,任一向量在基底方向的分解形式就是唯一的. 二、理解概念,加深认识. 根据平面向量基本定理,我们知道,在选定基底的情况下,所给,,,.a b c d 四 个向量在基底方向的分解形式是唯一的,也就是说,这几个向量用基底、来表示的形式是唯一的,每个向量对应的这对实数对我们就将其称之为向量的坐标. 推广到平面内的任意向量,我们怎样来定义向量的坐标?(引导学生思考,请学生尝试给出定义) 如图,在直角坐标系内,我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得 a xi yj =+ …………○ 1 我们把),(y x 叫做向量的(直角)坐标,记作
高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。
向量的坐标表示及其运算
资源信息表
(2)向量的坐标表示及其运算(2) 一、教学内容分析 向量是研究数学的工具,是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式,则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是向量的坐标及其运算的第二课时,一方面把“形”与“数、式”结合起来思考,以“数”入微,借“形”思考,体会并感悟数形结合的思维方式;另一方面通过例5的演绎推理教学,体会代数证明的严谨性,也为定比分点(三点共线)的教学提供基础. 二、教学目标设计 1.理解并掌握两个非零向量平行的充要条件,巩固加深充
要条件的证明方式; 2.会用平行的充要条件解决点共线问题; 3、定比分点坐标公式. 三、教学重点及难点 课本例5的演绎证明; 分类思想,数形结合思想在解决问题时的运用; 特殊——一般——特殊的探究问题意识. 五、教学过程设计: 复习向量平行的概念: 提问:(1)升么是平行向量方向相同或相反的向量叫做平行向
量。 (2)实数与向量相乘有何几何意义 (3)由此对任意两个向量,a b ,我们可以用怎样的数量关系来刻画平行对任意两个向量,a b ,若存在一个常数λ,使得 a b λ=?成立,则两向量a 与向量b 平行 (4)思考:如果向量,a b 用坐标表示为) ,(),,(2211y x y x ==能否用向量的坐标来刻画这个数量关系12 12 x x y y λλ=??=? 思考:如果向量,a b 用坐标表示为),(),,(2211y x y x ==,则 2 121y y x x =是b a //的( )条件. A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要 由此,通过改进引出 课本例5 若,a b 是两个非零向量,且1122(,),(,)a x y b x y ==, 则//a b 的充要条件是1221x y x y =. 分析:代数证明的方法与技巧,严密、严谨. 证明:分两步证明, (Ⅰ)先证必要性://a b 1221x y x y ?= 非零向量//a b ?存在非零实数λ,使得a b λ=,即
高中数学必修4知识点总结:第二章 平面向量
高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+ . ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+ ; ②结合律:()() a b c a b c ++=++ ;③00a a a +=+= . ⑸坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y +=++ . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y -=-- . 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1 212 ,x x y y A B=-- . 19、向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ . ①a a λλ= ; ②当0λ>时,a λ 的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ 的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ= . ⑵运算律:①()()a a λμλμ= ;②()a a a λμλμ+=+ ;③() a b a b λλλ+=+ . ⑶坐标运算:设(),a x y = ,则()(),,a x y x y λλλλ== . 20、向量共线定理:向量() 0a a ≠ 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ= . 设()11,a x y = ,()22,b x y = ,其中0b ≠ ,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、() 0b b ≠ 共线. 21、平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+ .(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B
(完整版)平面向量基本定理练习题
平面向量基本定理及坐标表示强化训练 姓名__________ 一、选择题 1.下列向量给中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 ( ) A .e 1=(0,0), e 2 =(1,-2) ; B .e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C .e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D .e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,2 1(- 2. 若AB u u u r =3a, CD u u u r =-5a ,且||||AD BC =u u u r u u u r ,则四边形ABCD 是 ( ) A .平行四边形 B .菱形 C .等腰梯形 D .不等腰梯形 3. 在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD → =2DB →, CD → =13CA →+λCB → ,则λ 等于() A. 23 B. 13 C. 13- D. 2 3- 4.已知向量a 、b ,且AB u u u r =a +2b ,BC u u u r = -5a +6b ,CD u u u r =7a -2b ,则一定共线的三点是 ( ) A .A 、 B 、D B .A 、B 、 C C .B 、C 、 D D .A 、C 、D 5.如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量,那么在下列各说法中错误的有 ( )①λe 1+μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量; ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1+μe 2的λ, μ有无数多对; ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2); ④若实数λ, μ使λe 1+μe 2=0,则λ=μ=0. A .①② B .②③ C .③④ D .仅② 6.过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ,若AD u u u r =x AB u u u r ,AE u u u r =y AC u u u r ,xy ≠0,则11 x y +的值 为 ( ) A .4 B .3 C .2 D .1 7.若向量a =(1,1),b =(1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A .-a +3b B .3a -b C .a -3b D .-3a +b 二、填空题 8.作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡,需加力F 3= ; 9.若A (2,3),B (x , 4),C (3,y ),且AB u u u r =2AC u u u r ,则x = ,y = ; 10.已知A (2,3),B (1,4)且12 AB u u u r =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2 π),则α+β= *11.已知 a =(1,2) , b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行,则实数k 的值为
高考数学数列知识点及题型大总结
20XX 年高考数学数列知识点及题型大总结 等差数列 知识要点 1.递推关系与通项公式 m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m n n n m n n n n --= --= --=-+=-+==-+1; )1()()1(1111变式:推广:通项公式:递推关系: 为常数) 即:特征:m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(), (1+==-+= ),为常数,(m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。 2.等差中项: 若c b a ,,成等差数列,则b 称c a 与的等差中项,且2 c a b +=;c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。 3.前n 项和公式 2 )(1n a a S n n += ; 2)1(1d n n na S n -+= ) ,()(,)2(22212为常数即特征:B A Bn An S Bn An n f S n d a n d S n n n +=+==-+= 是数列 {}n a 成等差数列的充要条件。 4.等差数列 {}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+,则若反之,不成立。 ⑵d m n a a m n )(-=- ⑶m n m n n a a a +-+=2
⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。 5.判断或证明一个数列是等差数列的方法: ①定义法: )常数)(*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列 ②中项法: )22 1*++∈+=N n a a a n n n (?{}n a 是等差数列 ③通项公式法: ),(为常数b k b kn a n +=?{}n a 是等差数列 ④前n 项和公式法: ),(2为常数B A Bn An S n +=?{}n a 是等差数列 练习:1.等差数列 {}n a 中, ) (3 1 ,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++ A .14 B .15 C .16 D .17 165 1203232)(32) 2(3 1 318999119=?==-=+-=-a d a d a a a a 2.等差数列 {}n a 中,12910S S a =>,,则前10或11项的和最大。 解:0912129 =-=S S S S , 003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ,又,, ∴ {}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。 3.已知等差数列{}n a 的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为-110 解:∵ ,,,,,1001102030102010S S S S S S S --- 成等差数列,公差为D 其首项为 10010=S ,前10项的和为10100=S 解
平面向量基本定理及经典例题
平面向量基本定理 一.教学目标: 了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐标概念,会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算,掌握向量坐标形式的平行的条件; 教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习 1.已知=(x,2),=(1,x),若//,则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 2 2.下列各组向量,共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-=r r ()B (2,3),(3,2)a b ==r r ()C (1,2),(7,14)a b =-=r r ()D (3,2),(6,4)a b =-=-r r 3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且?=?=2,3,则=MN ____ 4.已知点(1,5)A -和向量=(2,3),若=3,则点B 的坐标为 三.知识归纳 1. 平面向量基本定理:如果12,e e u r u u r 是同一平面内的两个___________向量,那么对于这一平面内的任意向量a r ,有且只有一对实数12,λλ,使1122a e e λλ=+r u r u u r 成立。其中12,e e u r u u r 叫做这一平面的一组____________,即对基底的要求是向量___________________; 2.坐标表示法:在直角坐标系内,分别取与x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量i ?,j ? 作基底, 则对任一向量a ?,有且只有一对实数x ,y ,使j y i x a ???+=、就把_________叫做向量a ? 的坐标,记作____________。 3.向量的坐标计算:O (0,0)为坐标原点,点A 的坐标为(x ,y ),则向量的坐标为=___________,点1P 、2P 的坐标分别为(1x ,1y ),2P (2x ,2y ),则向量21P P 的坐标为
平面向量的基本定理及坐标运算
平面向量的基本定理及坐标运算 【考纲要求】 1、了解平面向量的基本定理及其意义. 2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【基础知识】 一、平面向量基本定理 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数1λ、2λ,使得2211e e λλ+=,不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 二、平面向量的坐标表示 在直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底。由平面向量的基本定理知,该平面内的任意一个向量a 可表示成a xi y j =+,由于a 与数对(,)x y 是一一对应的,因此把(,)x y 叫做向量a 的坐标,记作(,)a x y =,其中x 叫作a 在x 轴上的坐标,y 叫作a 在y 轴上的坐标. 规定:(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量。 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无
关,只与其相对位置有关。 三、平面向量的坐标运算 1、设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a b +=1212(,)x x y y ++. 2、设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a b -=1212(,)x x y y --. 3、设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. 4、设a =()y x ,,R ∈λ,则λa =(,)x y λλ. 5、设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则b a //12210x y x y ?-=(斜乘相减等于零) 6、设a =()y x ,,则22a x y =+ 四、两个向量平行(共线)的充要条件 1、如果0a ≠,则b a //的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b a λ=(没有坐标背景) 2、如果a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则b a //的充要条件是12210x y x y -=(坐标背景) 五、三点共线的充要条件 1、A 、B 、C 三点共线的充要条件是AB BC λ= 2、设OA 、OB 不共线,点P 、A 、B 三点共线的充要条件是 (1,,)OP OA OB R λμλμλμ=++=∈. 特别地,当12 λμ==时,P 是AB 中点。