滑铁卢大学数学优化运筹学本科

系统工程与运筹学基本概念与理论

第1章系统科学方法论与系统 1、现代系统科学方法论的基本原则（1）整体论与还原论相结合。（2）定性描述与定量描述相结合。（3）局部描述与整体描述相结合。（4）分析与综合相结合。（5）确定性描述与非确定性描述相结合。 2、系统思想就是系统思维方法，它是指唯物辩证法所体现的物质世界普遍联系及整体性的思想，是“以近乎系统的形式描绘出自然界相互联系的清晰图画”的思维方法，是关于事物整体性的观念、相互联系的观念和演化发展的观念。 3、系统是由相互联系、相互依赖、相互制约、相互作用的若干部分，是按照一定的方式、为了一定的目的组合而成的存在于特定环境之中并具有一定功能的有机整体。这个整体本身又是它所从属的更大整体的组成部分。 4、系统的属性：（1）整体性。（2）有序性（结构性）。（3）集合性。（4）关联性。（5）目的性。（6）环境适应性。 5、系统的运行模式：系统由输入、处理、输出三部分组成。第 2 章系统科学与系统工程 1、系统工程是一门新兴的工程技术学科，是应用科学。它不仅定性，而且定量地为系统的规划与设计、试验与研究、制造与使用和管理与决策提供科学方法的方法论科学，它的最终目的是使系统运行在最优状态。 2、系统工程的基本观点（1）整体性观点。所谓整体性观点即全局性观点或系统性观点，也就是在处理问题时，采用以整体为出发点、以整体为归宿的观点。（2）综合性的观点所谓综合性的观点就是在处理系统问题时，把研究对象的各部分、各因素联系起来加以考查，提炼出事物规律性和共同性的研究方法。该方法可避免片面性和主观性。（3）科学性的观点。科学性的观点就是要准确、严密、有充足科学依据地去论证一个系统发展和变化的规律性。不仅要定性，而且必须定量地描述一个系统，使系统处于最优运行状态。（4）关联性的观点。所谓关联性的观点是指从系统各组成部分的关联中探索系统的规律性的观点。（5）实践性的观点。实践性的观点就是要勇于实践，勇于探索，要在实践中丰富和完善以及发展系统工程学理论。

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最优化方法及其应用作者：郭科出版社：高等教育出版社类别：不限出版日期：20070701 最优化方法及其应用的图书简介系统地介绍了最优化的理论和计算方法,由浅入深,突出方法的原则,对最优化技术的理论作丁适当深度的讨论,着重强调方法与应用的有机结合,包括最优化问题总论,线性规划及其对偶问题,常用无约束最优化方法,动态规划,现代优化算法简介,其中前八章为传统优化算法,最后一章还给出了部分优化问题的设计实例,也可供一般工科研究生以及数学建模竞赛参赛人员和工程技术人员参考, 最优化方法及其应用的pdf电子书下载最优化方法及其应用的电子版预览第一章最优化问题总论1.1 最优化问题数学模型1.2 最优化问题的算法1.3 最优化算法分类1.4

组合优化问題简卉习题一第二章最优化问题的数学基础2.1 二次型与正定矩阵2.2 方向导数与梯度2.3 Hesse矩阵及泰勒展式2.4 极小点的判定条件2.5 锥、凸集、凸锥2.6 凸函数2.7 约束问题的最优性条件习题二第三章线性规划及其对偶问题3.1线性规划数学模型基本原理3.2 线性规划迭代算法3.3 对偶问题的基本原理3.4 线性规划问题的灵敏度习题三第四章一维搜索法4.1 搜索区间及其确定方法4.2 对分法4.3 Newton切线法4.4 黄金分割法4.5 抛物线插值法习题四第五章常用无约束最优化方法5.1 最速下降法5.2 Newton法5.3 修正Newton法5.4 共轭方向法5.5 共轭梯度法5.6 变尺度法5.7 坐标轮换法5.8 单纯形法习題五第六章常用约束最优化方法6.1外点罚函数法6.2 內点罚函数法6.3 混合罚函数法6.4 约束坐标轮换法6.5 复合形法习题六第七章动态规划7.1 动态规划基本原理7.2 动态规划迭代算法7.3 动态规划有关说明习题七第八章多目标优化8.1 多目标最优化问题的基本原理8.2 评价函数法8.3 分层求解法8.4目标规划法习题八第九章现代优化算法简介9.1 模拟退火算法9.2遗传算法9.3 禁忌搜索算法9.4 人工神经网络第十章最优化问题程序设计方法10.1 最优化问题建模的一般步骤10.2 常用最优化方法的特点及选用标准10.3 最优化问题编程的一般过程10.4 优化问题设计实例参考文献更多最优化方法及其应用相关pdf电子书下载

运筹学与最优化方法习题集

一．单纯性法 1.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 12 2121212max 2515 6224..5 ,0 z x x x x x s t x x x x =+≤??+≤??+≤??≥? 2.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 12 121212max 2322 ..2210 ,0 z x x x x s t x x x x =+-≥-??+≤??≥? 3.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 1234 123412341234max 24564282 ..2341 ,,,z x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+-+-+≤? ?-+++≤??≥ ? 4.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 123 123123123123max 2360 210..20 ,,0 z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++≤??-+≤??+-≤??≥? 5.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 123 12312123max 224 ..26,,0 z x x x x x x s t x x x x x =-++++≤??+≤??≥? 6.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）

12 121212 max 105349..528 ,0z x x x x s t x x x x =++≤??+≤??≥? 7.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 16 分） 12 121212max 254 212..3218 ,0 z x x x x s t x x x x =+≤??≤??+≤??≥?

运筹学与优化教学大纲

《运筹学与优化》课程教学大纲一课程说明 1.课程基本情况课程名称：运筹学与优化英文名称：Operations research and optimization 课程编号：2411222 开课专业：数学与应用数学开课学期：第6学期学分/周学时：3/3 课程类型：专业方向选修课 2．课程性质（本课程在该专业的地位作用）《运筹学与优化》是数学与应用数学专业的专业选修课程，它广泛应用现有的科学技术知识和数学方法，解决实际工作中提出的专门问题，为决策者选择满意方案提供定量依据。 3．本课程的教学目的和任务目的：通过这门课程的学习，使学生掌握整体优化的基本思想，培养学生的逻辑思维能力和创新素质；使学生掌握运筹学的工作步骤，培养学生运用模型和算法并借助计算机手段解决实际问题的能力；使学生了解本领域的发展动态。任务:使学生获得系统最优化的基本知识、必要的基础理论和常用的思维方式及运算方法，培养学生的分析思维能力和比较熟练的运算能力，为提高学生的基本素质和后继课程的学习以及进一步扩大应用数学知识解决实际问题奠定良好的基础。 4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求运筹学是数学建模和数学实验的先修课程，运筹与优化需要学院具有数学分析和高等代数的基础。

5．教学时数及课时分配二教材及主要参考书 1.于春田.运筹学.科学出版社.2006年出版.版本：第二版. 2.运筹学教材编写组.运筹学.清华大学出版社.2003年出版.版本：第三版. 三教学方法和教学手段说明教学以课堂理论讲授为主，配合实验教学、课后作业、撰写论文等教学形式，总授课时54学时。四成绩考核办法

最优化方法及应用

陆吾生教授是加拿大维多利亚大学电气与计算机工程系 (Dept. of Elect. and Comp. Eng. University of Victoria) 的正教授, 且为我校兼职教授，曾多次来我校数学系电子系讲学。陆吾生教授的研究方向是：最优化理论和小波理论及其在1维和2维的数字信号处理、数字图像处理、控制系统优化方面的应用。现陆吾生教授计划在 2007 年 10－11 月来校开设一门为期一个月的短期课程“最优化理论及其应用”（每周两次，每次两节课），对象是数学系、计算机系、电子系的教师、高年级本科生及研究生，以他在2006年出版的最优化理论的专著作为教材。欢迎数学系、计算机系、电子系的研究生及高年级本科生选修该短期课程，修毕的研究生及本科生可给学分。上课地点及时间：每周二及周四下午2:00开始，在闵行新校区第三教学楼326教室。（自10月11日至11月8日）下面是此课程的内容介绍。 ----------------------------------- 最优化方法及应用 I. 函数的最优化及应用 1.1 无约束和有约束的函数优化问题 1.2 有约束优化问题的Karush-Kuhn-Tucker条件 1.3 凸集、凸函数和凸规划 1.4 Wolfe对偶 1.5 线性规划与二次规划 1.6 半正定规划 1.7 二次凸锥规划 1.8 多项式规划 1.9解最优化问题的计算机软件 II 泛函的最优化及应用 2.1 有界变差函数 2.2 泛函的变分与泛函的极值问题 2.3 Euler-Lagrange方程 2.4 二维图像的Osher模型 2.5 泛函最优化方法在图像处理中的应用 2.5.1 噪声的消减 2.5.2 De-Blurring 2.5.3 Segmentation ----------------------------------------------- 注：这是一门约二十学时左右的短期课程，旨在介绍函数及泛函的最优化理论和方法，及其在信息处理中的应用。只要学过一元及多元微积分和线性代数的学生就能修读并听懂本课程。课程中涉及到的算法实现和应用举例都使用数学软件MATLAB 华东师大数学系

运筹学试题与答题

一、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）： 1．图解法只能解决包含两个决策变量的线性规划问题．（是） 2．线性规划具有无界解，则可行域无界．（是） 3．若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一个凸集．（是）4．单纯形法求解线性规划问题时每换基迭代一次必使目标函数值下降一次．（错）每迭代一次，目标函数的值都会增加，即增量大于0 5．用单纯形法求解线性规划问题时，如果表中所有的检验数0≤ σ，则表 j 中的基可行解为最优解．（是）0≤ σ，则非基变量都<=0 j 6．对偶问题的对偶就是原问题．（恩） 8．互为对偶问题，原问题有最优解，对偶问题也有最优解．（恩）且目标函数的值也一样 9．任意一个运输问题一定存在最优解．（是的）运输问题一定存在最优解10．线性规划问题的最优解只能在极点上达到．（错） 11．对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种方法．（错）有区别的。通过判断b列的正负来进行迭代的。 12．原问题具有无界解，对偶问题无可行解．（恩）

13．可行解是基解．（错） 14．标准型中的变量要求非正．（恩）大于0 15．线性规划的基本最优解是最优解．（恩） 16．对产销平衡运输问题，各产地产量之和等于各销地销量之和．（恩）18．用单纯形法求解线性规划问题时，一定要将问题化为标准型．（恩）19．匈亚利解法是求解运输问题的一种方法．（错）匈牙利（康尼格）法是求解及小型（优化方向为极小）指派问题的一种方法 20．运输问题必存在有限最优解．（错）当非基变量为0时有无穷多最优解（关于其退化问题）二、填空题： 1．规划问题的数学模型由目标函数、约束条件、决策变量三个要素组成。 2．满足变量非负约束条件的基解称为基可行解。 3．线性规划的约束条件个数与其对偶问题的决策变量个数相等；4．如原问题有可行解且目标函数值无界，则其对偶问题无可行解；反之，对偶问题有可行解且目标函数值无界，则其

运筹学最优化

Matlab在最优化问题中的应用 ** (**大学*学院**班) 摘要：通过对最优化问题的研究可知，在解最优化问题时的运算量非常大，并且很复杂，运用MATLAB工具编程并解决一些实际问题（生产计划安排、指派问题）关键词：最优化 MATLAB 生产计划安排指派问题引言：在实际生活中有很多问题，需要运用到最优化，以达到我们的要求。例如求最大利润、最佳安排等。 1.提出问题： ⑴某制造厂利用金属薄板生产4种产品，其生产系统有5个车间：冲压、钻孔、装配、喷漆和包装。它们的生产数据和产品利润及市场销售量如表1和表2所示。现已知下月制造乙和丁产品的金属板的最大供应量为2000㎡，产品乙每个需2㎡.产品丁每个需1.2㎡.现要求拟定下月实现最大利润的产品搭配计划。

⑵ 4个工人分派做4项工作，规定每人只能做1项工作，每项工作只能1个人做。现设每个工人做每项工作所消耗的时间如表3所示，求总耗时最少的分派方案。 2. 建立模型： ⑴设1x 、2x 、3x 、4x 分别为产品甲、乙、丙、丁的月生产数，则从表1、表2可得问题的数学模型： Max z=4*1x +10*2x +5*3x +6*4x s.t.????? ??????? ?? ???≤≤≤≤≤≤≤≤≤+≤+++≤+++≤+++≤++≤+++1000 1003000 50050006000100020002.1240005.002.006.002.045012.003.02.004.050012.005.01.005.0400 1.01 2.006.04001.005.015.00 3.043 21424321432143214214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⑵ 本题是一个平衡的分配问题。设指派问题的效益矩阵为4*4)(ij c ，其元素ij c 表示指派第i 个人去做第j 项工作是的效率（耗时）。设问题的决策变量为 ij x ，是0-1变量，即 ?? ?=项工作人去做第当不指派第，项工作人去做第当指派第j i 0j i ,1ij x 则其数学模型为：

运筹学

一、解决管理决策中实际问题的一般程序：明确问题→将问题归类-→构建数学模型-→求解模型-→结果分析与模型检验-→实施二、现代优化算法与传统优化算法 1、现代优化算法又称智能优化算法或现代启发式算法，是一种具有全局优化性能、通用性强、且适合于并行处理的算法。这种算法一般具有严密的理论依据,而不是单纯凭借专家经验，理论上可以在一定的时间内找到最优解或近似最优解。主要有：禁忌搜索算法模拟退火算法遗传算法人工神经网络蚁群算法粒子群算法混合算法 ①待解决的问题离散性、不确定性、大规模 ②现代的优化方法启发式算法（heuristic algorithm ）追求满意（近似解）实用性强（解决实际工程问题） ③现代的评价方法算法复杂性共同特点：都是从任一解出发，按照某种机制，以一定的概率在整个求解空间中探索最优解。由于它们可以把搜索空间扩展到整个问题空间，因而具有全局优化性能。 2.传统优化方法主要有：线性与非线性规划、动态规划、多目标规划、整数规划、排队论、库存论、对策论、决策论 ①待解决的问题连续性问题，以微积分为基础，规模较小 ②传统的优化方法理论上的准确与完美，主要方法：线性与非线性规划、动态规划、多目标规划、整数规划等；排队论、库存论、对策论、决策论等。 ③传统的评价方法算法收敛性、收敛速度三、遗传算法 1.概念 Darwin(1859): “物竟天择，适者生存” GA 主要采用的进化规则是“适者生存” 较好的解保留，较差的解淘汰特点：基于客观世界中的一些自然现象；建立在计算机迭代计算的基础上；具有普适性，可解决实际应用问题。特点： 1)不依赖于初始条件； 2)不与求解空间有紧密关系,对解域无可微或连续的要求;容易实现，求解稳健。 3)但收敛速度慢,能获得全局最优;适合于求解空间不知的情况。 4)SA,GA 可应用于大规模、多峰多态函数、含离散变量等全局优化问题;求解速度和质量远超过常规方法。

最优化方法及其Matlab程序设计

最优化方法及其Matlab程序设计 1.最优化方法概述在生活和工作中，人们对于同一个问题往往会提出多个解决方案，并通过各方面的论证，从中提取最佳方案。最优化方法就是专门研究如何从多个方案中科学合理地提取出最佳方案的科学。最优化是每个人，每个单位所希望实现的事情。对于产品设计者来说，是考虑如何用最少的材料，最大的性能价格比，设计出满足市场需要的产品。对于企业的管理者来说，则是如何合理、充分使用现有的设备，减少库存，降低能耗，降低成本，以实现企业的最大利润。由于优化问题无所不在，目前最优化方法的应用和研究已经深入到了生产和科研的各个领域，如土木工程、机械工程、化学工程、运输调度、生产控制、经济规划、经济管理等，并取得了显著的经济效益和社会效益。用最优化方法解决最优化问题的技术称为最优化技术，它包含两个方面的内容： 1）建立数学模型。即用数学语言来描述最优化问题。模型中的数学关系式反映了最优化问题所要达到的目标和各种约束条件。 2）数学求解。数学模型建好以后，选择合理的最优化算法进行求解。最优化方法的发展很快，现在已经包含有多个分支，如线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、多目标规划等。 2.最优化方法（算法）浅析最优化方法求解很大程度上依赖于最优化算法的选择。这里，对最优化算法做一个简单的分类，并对一些比较常用的典型算法进行解析，旨在加深对一些最优化算法的理解。最优化算法的分类方法很多，根据不同的分类依据可以得到不同的结果，这里根据优化算法对计算机技术的依赖程度，可以将最优化算法进行一个系统分类：线性规划与整数规划；非线性规划；智能优化方法；变分法与动态规划。 2.1 线性规划与整数规划线性规划在工业、农业、商业、交通运输、军事和科研的各个研究领域有广泛应用。例如，在资源有限的情况下，如何合理使用人力、物力和资金等资源，以获取最大效益；如何组织生产、合理安排工艺流程或调制产品成分等，使所消耗的资源（人力、设备台时、资金、原始材料等）为最少等。线性规划方法有单纯形方法、大M法、两阶段法等。整数规划有割平面法、分枝定界法等。 2.2 非线性规划 20世纪中期，随着计算机技术的发展，出现了许多有效的算法——如一些非线性规划算法。非线性规划广泛用于机械设计、工程管理、经济生产、科学研究和军事等方面。

最优化方法及其应用课后答案

1 2 ( ( 最优化方法部分课后习题解答 1.一直优化问题的数学模型为：习题一 min f (x ) = (x ? 3)2 + (x ? 4)2 ? g (x ) = x ? x ? 5 ≥ ? 1 1 2 2 ? 试用图解法求出： s .t . ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 ≥ 0 ?g (x ) = x ≥ 0 ? 3 1 ??g 4 (x ) = x 2 ≥ 0 （1）无约束最优点，并求出最优值。（2）约束最优点，并求出其最优值。（3）如果加一个等式约束 h (x ) = x 1 ? x 2 = 0 ，其约束最优解是什么？ * 解：（1）在无约束条件下， f (x ) 的可行域在整个 x 1 0x 2 平面上，不难看出，当 x =（3，4）时， f (x ) 取最小值，即，最优点为 x * =（3，4）：且最优值为： f (x * ) =0 （2）在约束条件下， f (x ) 的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是在约束集合即可行域中找一点 (x 1 , x 2 ) ，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可以看出，当 x * = 15 , 5 ) 时， f (x ) 所在的圆的半径最小。 4 4 ?g (x ) = x ? x ? 5 = 0 ? 15 ?x 1 = 其中：点为 g 1 (x ) 和 g 2 (x ) 的交点，令 ? 1 1 2 ? 2 求解得到： ? 4 5 即最优点为 x * = ? ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 = 0 15 , 5 ) ：最优值为： f (x * ) = 65 ?x = ?? 2 4 4 4 8 （3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。 2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题. 解：列出这个优化问题的数学模型为： max f (x ) = x 1x 2 x 3 ?x 1x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1x 3 ≤ S

运筹学课程设计-个人学习时间优化分配

个人学习时间优化分配设计总说明（摘要）合理的安排时间方案，采取最优化的时间组合，有利于我们充分发挥各个时间阶段的学习效益。同时可以使我们的学习符合日常行为及自身特点，不仅使时间得到有效安排，也使得我们的身心得到和谐。此次，研究分配一天中四个阶段四门课程的学习时间，就是根据学生的身心特点，和各阶段对各课程学习的收获程度，采取获得程度量化的方法，设计出一个最优的时间组合方案，从而获得最大的收获效益。即获得学习的最大价值。在这个过程中要将运筹学的各种理论知识与具体实际情况相结合。首先是确定所要研究的问题，考虑所需要的各种数据，根据实际需求确定所需要的数据和模拟量化的数据。将数据整理形成分析和解决问题的具体模型。其次对已得模型利用计算机进行求解，得出方程的最优解。最后结合所研究问题的实际背景，对模型的解进行评价、分析以及调整，并对解的实施与控制提出合理化的建议。关键词：时间优化，线性规化，最优解，获得效益最大目录 1.绪论 1.1研究的背景 (3) 1.2研究的主要内容与目的 (3) 1.3研究的意义 (3) 1.4研究的主要方法与思路 (3) 2.理论方法的选择 2.1所研究的问题的特点 (4) 2.2拟采用的运筹学理论方法的特点 (4) 2.3理论方法的适用性及有效性论证 (5) 3.模型的建立 3.1 基础数据的确定 (5) 3.2变量的设定 (6) 3.3目标函数的建立 (6) 3.4限制条件的确定 (6) 3.5模型的建立 (7) 4.模型的求解及解的分析 4.1模型的求解 (7) 4.2解的分析与评价 (9) 5.结论与建议 5.1研究结论 (11)

运筹学与最优化方法线性规划案例分析报告

案例：连续投资的优化问题一、题目：某企业在今后五年内考虑对下列项目投资，已知：，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末收回本利115%。项目A，但规定最大投资额不超B，第三年年初需要投资，到第五年末能收回本利125%项目40万元。过，但规定最大投资额不超，第二年年初需要投资，到第五年末能收回本利140%项目C 30万元。过6%。项目D，五年内每年年初可购买公债，于当年末归还，并加利息问它应如何确定给这些项目的每年投100万元，该企业5年内可用于投资的资金总额为资使得到第五年末获得的投资本利总额为最大？二、建立上述问题的数学模型的投资额，它们都是待定的年初给项目A,B,C,D, X （i=1.2.3.4.5）为第i设X,X , X iDiB1AiC每年年初均可投资，年末收回本利，固每年的投资额应该等于手中拥未知量。由于项目D 有的资金额。建立该问题的线性规划模型如下： +1.06X+1.40X+1.25XMax Z=1.15X5D 2C4A3B X+X=1000000 (1) 1D1A X+X+X=1.06X (2) 1D2C2A2D X+X+X=1.15X+1.06X (3) 3A 3B 3D 1A 2D s.t. X+X=1.15X+1.06X(4) 3D 4A 4D 2A X=1.15X+1.06X (5)5D 3A4D X<=400000 (6) 3B X<=300000 (7) 2C X , X , X, X>=0 i=1,2,3,4,5 iD1AiCiB 经过整理后如下： Max Z=1.15X+1.40X+1.25X+1.06X5D 2C4A3B X+X=1000000 1D1A-1.06X+ X+X+X =0 2D2A2C1D-1.15X-1.06X+ X+X+X=0 3D3A1A3B2D s.t. -1.15X-1.06X +X+X=0 4D3D4A2A-1.15X-1.06X+ X=0 5D4D3A X<=400000 3B X<=300000 2C i=1,2,3,4,5 , X , X, X>=0 X iDiBiC1A 求解过程以及相应的结果三、Excel中进行布局并输入相应的公式）在Excel1 （

运筹学课后习题答案

第一章线性规划1、由图可得：最优解为 2、用图解法求解线性规划： Min z=2x1+x2 ? ? ? ? ? ? ? ≥ ≤ ≤ ≥ + ≤ + - 10 5 8 24 4 2 1 2 1 2 1 x x x x x x 解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4

Max z=5x 1+6x 2 ? ?? ??≥≤+-≥-0 ,23222212 121x x x x x x 解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞

Maxz = 2x 1 +x 2 ????? ? ?≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x 由图可得：最大值?????==+35121x x x ，所以?????==2 3 21x x max Z = 8.

12 12 1 2 5.max23 28 416 412 0,1,2 maxZ. j Z x x x x x x x j =+ ?+≤ ? ≤ ? ? ≤ ? ?≥= ? 如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为2 6将线性规划模型化成标准形式： Min z=x1-2x2+3x3 ? ? ? ? ? ? ? ≥ ≥ - = + + - ≥ + - ≤ + + 无约束 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ,0 ,0 5 2 3 2 7 x x x x x x x x x x x x 解：令Z’=-Z,引进松弛变量x4≥0，引入剩余变量x5≥0，并令x3=x3’-x3’’,其中x3’≥0,x3’’≥0 Max z’=-x1+2x2-3x3’+3x3’’ ? ? ? ? ? ? ? ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ - = + + - = - - + - = + - + + ,0 ,0 '' ,0 ' ,0 ,0 5 2 3 2 '' ' 7 '' ' 5 4 3 3 2 1 3 2 1 5 3 3 2 1 4 3 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

运筹学学习指南

. .. . 运筹学-学习指南一、名词解释 1松弛变量为将线性规划问题的数学模型化为标准型而加入的变量。 2可行域满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。 3人工变量亦称人造变量.求解线性规划问题时人为加入的变量。用单纯形法求解线性规划问题，都是在具有初始可行基的条件下进行的,但约束方程组的系数矩阵A中所含的单位向量常常不足m个，此时可加入若干(至多m)个新变量，称这些新变量为人工变量。 4对偶理论每一个线性规划问题都存在一个与其对偶的问题，在求出一个问题解的同时，也给出了另一个问题的解。研究线性规划中原始问题与对偶问题之间关系的理论 5灵敏度分析研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。 6影子价格反映资源配置状况的价格。影子价格是指在其他资源投入不变的情况下,每增加一单位的某种资源的投入所带来的追加收益。即影子价格等于资源投入的边际收益。只有在资源短缺的情况下,每增加一单位的投入才能带来收益的增加 7产销平衡运输一种特殊的线性规划问题。产品的销售过程中，产销平衡是指工厂产品的产量等于市场上的销售量。 8西北角法是运筹学中制定运输问题的初始调运方案（即初始基可行解）的基本方法之一。也就是从运价表的西北角位置开始，依次安排m个产地和n个销地之间的运输业务，从而得到一个初始调运方案的方法。 9最优性检验检验当前调运方案是不是最优方案的过程。 10动态规划解决多阶段决策过程优化问题的方法：把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解 11状态转移方程从阶段K到K+1的状态转移规律的表达式 12逆序求解法在求解时，首先逆序求出各阶段的条件最优目标函数和条件最优决策，然后反向追踪，顺序地求出改多阶段决策问题的最优策略和最优路线。 13最短路问题最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。 14最小费用最大流在一个网络中每段路径都有“容量”和“费用”两个限制的条件下，此类问题的研究试图寻找出：流量从A到B，如何选择路

运筹学最优化方法复习

第1章最优化问题的基本概念 §1.1最优化的概念最优化就是依据最优化原理和方法，在满足相关要求的前提下，以尽可能高的效率求得工程问题最优解决方案的过程。 §1.2最优化问题的数学模型 1.最优化问题的一般形式 ??? ????===≤q v x x x h p u x x x g t s x x x f x x x f i n d n v n u n n ,,2,10),,,(,,2,10),,,(..),,,(m i n ,,,21212121 2.最优化问题的向量表达式 ??? ? ???=≤0)(0)(..)(m i n X H X G t s X f X f i n d 式中：T n x x x X ],,,[21 = T p X g X g X g X G )](,),(),([)(21 = T p X h X h X h X H )](,),(),([)(21 = 3.优化模型的三要素设计变量、约束条件、目标函数称为优化设计的三要素！设计空间：由设计变量所确定的空间。设计空间中的每一个点都代表一个设计方案。 §1.3优化问题的分类按照优化模型中三要素的不同表现形式，优化问题有多种分类方法： 1按照模型中是否存在约束条件，分为约束优化和无约束优化问题 2按照目标函数和约束条件的性质分为线性优化和非线性优化问题 3按照目标函数个数分为单目标优化和多目标优化问题 4按照设计变量的性质不同分为连续变量优化和离散变量优化问题第2章最优化问题的数学基础 §2.1 n 元函数的可微性与梯度

一、可微与梯度的定义 1.可微的定义设)(X f 是定义在n 维空间n R 的子集D 上的n 元实值函数，且D X ∈0。若存在n 维向量L ，对于任意n 维向量P ，都有 0)()(lim 000=--+→P P L X f P X f T P 则称)(X f 在0X 处可微。 2.梯度设有函数)(X F ，T n x x x X ],,,[21 =，在其定义域内连续可导。我们把)(X F 在定义域内某点X 处的所有一阶偏导数构成的列向量，定义为)(X F 在点X 处的梯度。记为： T n k x F x F x F X F ????????????=?,,,)(21 梯度有3个性质： ⑴函数在某点的梯度方向为函数过该点的等值线的法线方向； ⑵函数值沿梯度方向增加最快，沿负梯度方向下降最快； ⑶梯度描述的只是函数某点邻域内的局部信息。 §2.2极小点及其判别条件一、相关概念 1.极小点与最优解设)(X f 是定义在n 维空间n R 的子集D 上的n 元实值函数，若存在D X ∈*及实数 0>δ，使得)(),(**X X D X N X ≠?∈?δ都有)()(*X f X f ≤，则称*X 为)(X f 的局部极小点；若)()(*X f X f <，则称*X 为)(X f 的严格局部极小点。若D X ∈?，都有)()(*X f X f ≤，则称*X 为)(X f 的全局极小点，若)()(*X f X f <，则称*X 为)(X f 的全局严格极小点。对最优化问题??? ? ???=≤0)(0)(..)(min X H X G t s X f X find 而言满足所有约束条件的向量T n x x x X ],,,[21 =称为上述最优化问题的一个可行解，全体可行解组成的集合称为可行解集。在可行解集中，满足： )(m i n )(*X f X f =的解称为优化问题的最优解。

运筹学(第五版)习题(答案)

运筹学习题答案第一章（39页） 1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。（1）max 12z x x =+ 51x +102x ≤50 1x +2x ≥1 2x ≤4 1x ，2x ≥0 （2）min z=1x +1.52x 1x +32x ≥3 1x +2x ≥2 1x ，2x ≥0 （3）max z=21x +22x 1x -2x ≥-1 -0.51x +2x ≤2 1x ，2x ≥0 （4）max z=1x +2x 1x -2x ≥0 31x -2x ≤-3 1x ，2x ≥0 解：（1）（图略）有唯一可行解，max z=14 （2）（图略）有唯一可行解，min z=9/4 （3）（图略）无界解（4）（图略）无可行解 1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。

（1）min z=-31x +42x -23x +54x 41x -2x +23x -4x =-2 1x +2x +33x -4x ≤14 -21x +32x -3x +24x ≥2 1x ，2x ，3x ≥0，4x 无约束（2）max k k z s p = 11 n m k ik ik i k z a x ===∑∑ 1 1(1,...,)m ik k x i n =-=-=∑ ik x ≥0 (i=1…n; k=1,…,m) （1）解：设z=-z ',4x =5x -6x , 5x ,6x ≥0 标准型： Max z '=31x -42x +23x -5(5x -6x )+07x +08x -M 9x -M 10x s. t . -41x +2x -23x +5x -6x +10x =2 1x +2x +33x -5x +6x +7x =14 -21x +32x -3x +25x -26x -8x +9x =2 1x ,2x ,3x ,5x ,6x ,7x ,8x ,9x ,10x ≥0

最优化方法在计算机专业的应用

动态规划方法在计算机专业的应用科目：最优化方法姓名：*** 专业：计算机科学与技术学号：201320405 指导老师：*** 日期：2014/1/9

动态规划方法在计算机专业的应用摘要：最优化方法是一门很有用的学科，本文结合计算机专业，讨论了用动态规划方法解决计算最长公共子序列、最大字段和、背包问题的过程，并对比其它算法以说明动态规划方法的高效、实用。关键词：动态规划，最优化，算法分析 Abstract: The optimization method is a useful discipline, this paper, a computer professional, discusses the process used to calculate the dynamic programming method to solve the longest common subsequence, the maximum field and, knapsack problem, and compared to other algorithms to illustrate the dynamic programming method efficient and practical. Keywords: dynamic programming, optimization, algorithm analysis 动态规划（dynamic programming）是通过结合子问题的解而解决整个问题的。（此处“programming”是指一种规划，而不是指写计算机代码。）动态规划适用于子问题不是独立的情况，也就是各子问题包含公共的子子问题。在这种情况下，若用分治法则会做很多不必要的工作，即重复地求解公共的子子问题。动态规划算法对每个公共的子子问题只求解一次，将其结果保存在一张表中，从而避免了每次遇到各个子问题时重新计算答案。一、算法设计与优化动态规划通常应用于最优化问题。此类问题可能有很多可行解。

运筹学与最优化理论教学大纲doc - 三峡大学计算机与信息学院

硕士研究生课程大纲课程名称（中文）：运筹学与最优化理论课程名称（英文）：Operations Research and Optimization Theory 课程编码：Y04020B 开课单位：电气信息学院授课对象：管理科学与工程、控制理论与控制工程、电力系统及其自动化专业硕士研究生任课教师：游文霞学时：48 学分： 3 学期：2 考核方式: 撰写论文先修课程：线性代数、高等数学、概率论、数理统计课程简介：运筹学是以定量分析为主来研究经济管理与生产实践等问题。它将工程思想和管理思想相结合，应用系统的、科学的、数学分析的方法，通过建模、检验和求解数学模型获得最优决策方案。一、教学目的与基本要求：（150字以内）通过讲授和各种实践环节(作业、讨论)，使学生掌握运筹学整体优化的思想和若干定量分析的优化技术，能正确应用各类模型分析、解决各种实际问题，培养和提高学生科学思维、科学方法、实践技能和创新能力。二、课程内容与学时分配 1、课程主要内容：（200字以内）主要讲授线性规划，单纯形法，线性规划的对偶理论及灵敏度分析，非线性规划，整数规划，目标规划，动态规划，网络模型，决策理论等与经济、管理、控制领域密切相关的运筹学分支的基本模型、方法和应用。 2、课程具体安排：（按教学章节编写，重点章节下划线）

三、实验、实践环节及习题内容与要求针对每个章节的内容，结合实际应用，布置相应的习题作业，要求学生在大量做练习题的过程中，学习如何采用定量的分析方法来分析、求解相关的实际问题，掌握相关的优化方法的基本思想与求解算法。四、教材及主要参考文献（顺序为：文献名，作者，出版时间，出版单位）：教材名称： Frederick S. Hillier, Gerald J. Lieberman. Introduction to Operation Research (8e) (运筹学导论，第八版). McGraw-Hill Press, 2005. 参考书： [1]Wayne L. Winston.《运筹学：数学规划》（影印版）[M]. 北京：清华大学出版社，2004. [2]Wayne L. Winston.《运筹学：决策方法》（影印版）[M]. 北京：清华大学出版社，2004. [3]V.G..Kulkarni.《运筹学：应用数学模型》（影印版）[M]. 北京：清华大学出版社，2006. [4]胡运权，郭耀煌. 运筹学教程（第二版）[M]. 北京：清华大学出版社，2003. [5]运筹学教材组编. 运筹学(修订版) [M]. 北京：清华大学出版社，2004. [6]徐渝，贾涛. 运筹学[M]. 北京：清华大学出版社，2005. [7]熊伟.运筹学[M].北京：机械工业出版社，2005. [8]胡运权.运筹学习题集[M].北京：清华大学出版社，2002. 撰写人：游文霞学位分委员会签字：学院主管研究生教学院长签字：

运筹学题库

运筹学A卷）一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，答案选错或未选者，该题不得分。每小题1分，共10分） 1．线性规划具有唯一最优解是指 A．最优表中存在常数项为零 B．最优表中非基变量检验数全部非零 C．最优表中存在非基变量的检验数为零 D．可行解集合有界 2．设线性规划的约束条件为则基本可行解为 A．(0, 0, 4, 3) B．(3, 4, 0, 0) C．(2, 0, 1, 0) D．(3, 0, 4, 0) 3．则 A．无可行解B．有唯一最优解medn C．有多重最优解D．有无界解 4．互为对偶的两个线性规划, 对任意可行解X 和Y，存在关系 A．Z > W B．Z = W C．Z≥W D．Z≤W 5．有6 个产地4个销地的平衡运输问题模型具有特征 A．有10个变量24个约束

B．有24个变量10个约束 C．有24个变量9个约束 D．有9个基变量10个非基变量 6.下例错误的说法是 A．标准型的目标函数是求最大值 B．标准型的目标函数是求最小值 C．标准型的常数项非正 D．标准型的变量一定要非负 7. m+n－1个变量构成一组基变量的充要条件是 A．m+n－1个变量恰好构成一个闭回路 B．m+n－1个变量不包含任何闭回路 C．m+n－1个变量中部分变量构成一个闭回路 D．m+n－1个变量对应的系数列向量线性相关 8．互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A．原问题无可行解，对偶问题也无可行解 B．对偶问题有可行解，原问题可能无可行解 C．若最优解存在，则最优解相同 D．一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解 9.有m个产地n个销地的平衡运输问题模型具有特征 A．有mn个变量m+n个约束…m+n-1个基变量 B．有m+n个变量mn个约束 C．有mn个变量m+n－1约束 D．有m+n－1个基变量，mn－m－n－1个非基变量 10．要求不超过第一目标值、恰好完成第二目标值，目标函数是

运筹学线性规划问题的食品搭配最优方案

运筹学课程案例分析设计题目：线性规划问题的食品搭配最优方案专业金融学班级金融112 学生卢雪贞学号

2012—2013 年第1 学期目录一．摘要............................................... 错误!未定义书签。 1.问题的提出.................................................................................................... 错误!未定义书签。 2.关键字............................................................................................................ 错误!未定义书签。二．正文............................................... 错误!未定义书签。 1.研究背景........................................................................................................ 错误!未定义书签。 2.研究目的........................................................................................................ 错误!未定义书签。 3.研究方法........................................................................................................ 错误!未定义书签。4．建立模型..................................................................................................... 错误!未定义书签。5．结果与分析................................................................................................. 错误!未定义书签。6．结论 ............................................................................................................. 错误!未定义书签。三．参考文献........................................ 错误!未定义书签。四．感想和体会 .................................... 错误!未定义书签。