湖南省师大附中2019-2020学年上学期初中九年级第一次联考数学试卷
湖南省师大附中2019-2020学年上学期初中九年级第一次联考数学试卷
注意事项:
1.答题前,请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号;
2.必须在答题卡上答题,在草稿纸、试题卷上答题无效; 3.答题时,请考生注意各大题题号后面的答题提示; 4.请勿折叠答题卡,保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁; 5.答题卡不得使用涂改液、涂改胶和贴纸;
6.本学科试卷共26个小题,考试时量120分钟,满分120分。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分。在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的,请在答题卡中填涂符合题意的选项。)
1 A .1和2之间 B .2和3之间 C .3和4之间
D .4和5之间
2.下列运算正确的是 A .428a a a ?=
B .2242a a a +=
C .()2
22a b a b +=+
D .()2
3624a a -=
3.太阳与地球之间的平均距离纸业150000000km ,用科学记数法表示这一数据为 A .81.510km ?
B .71510km ?
C .91.510km ?
D .100.1510km ?
4.2019年全国高中数学联赛,湖南师大附中入选省队人数、签约清北人数、一等奖人数均为全省第一,其中一等奖获奖人数附中及其他三所兄弟学校从高到低依次为:20,17,12,12。这组数据的中位数是
A .17
B .12
C .14.5
D .15.5
5.如图,//AB CD ,EF 分别为交AB ,CD 于点E ,F ,50∠=?,则2∠的度数为
A .50°
B .120°
C .130°
D .150°
6.如图,O e 的直径AB 垂直于弦CD ,垂足为E ,22.5,4A OC ∠=?=的长为
A
. B .4
C
. D .8
7.如图,D ,E 分别是ABC ?中AB ,AC 边上的点,//DE BC ,下列结论错误的是
A .
AD AE
AB AC
= B .
AD AE DB EC =C .AB AC DB EC =D .DE AE
BC EC
= 8.12,x x 是一元二次方程2750x x -+=的两根,则实数12
11
x x +的值为
A .75
-
B .
7
5
C .57
-
D .
57
9.如图,菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,E 为边AD 中点,菱形ABCD 的周长为28,则OE 的长等于
A .3.5
B .4
C .7
D .14
10.化简22
422b a a b b a
+--的结果是 A .2a b -- B .2b a - C .2a b - D .2b a +
11.一次函数1y kx b =+与反比例函数2m
y x
=
的图象交于()()1,2,2,1A B --两点,使12y y >成立的自变量x 的取值范围是
A .12x -<<
B .10x -<<或2x >
C .1x <-或2x >
D .1x <-或02x <<
12.如图,在平行四边形ABCD 中,78,ABC AE BC ∠=?⊥于点E ,AE 交BD 于点F ,若
2DF AB =,则AFD ∠的大小是
A .62°
B .64°
C .66°
D .68°
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分) 13.因式分解:2818a b b -=________。
14.从大小形状完全相同,分别标有1,2,3数字的三张卡片中随机抽取两张,和为偶数的概率为________。
15.圆心角为120°的扇形的半径为3,则这个扇形的面积为________。
16.如图,AB 为O e 的直径,C ,D 是O e 上两点,若50ABC ∠=?,则D ∠的度数为________。
17.化简:22244
42x x x x x ??+--÷= ?+??
________。 18.已知关于x 的一元二次方程()2
140ax a x -+-=的两根分别为12,x x ,且
1210,23x x -<<<<,则实数a 的取值范围是________。
三、解答题(本大题共8个小题,第19、20题每小题6分,第21、22题每小题8分,第23、24题每小题9分、第25、26题每小题10分,共66分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19
((2
0112-??
?-- ???
。
20.解不等式组2723
2223
34x x
x x x --?≤???--?<-+
?
?。
21.为了解中考体育科目训练情况,某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行
了一次中考体育科目测试(把测试结果分为四个等级:A 级:优秀;B 级:良好;C 极:及格;D 极:不及格),并将测试结果绘制成了如下两幅不完整的统计图。请根据统计图中的信息解答下列问题:
(1)本次抽样的学生人数是________人;
(2)图1中α∠的度数是________,并把图2条形统计图补充完整;
(3)该县九年级有学生4500名,如果全部参加这次中考体育科目测试,请估计不及格的人数为________。
(4)老师想从4位同学(分别记为E 、F 、G 、H ,其中E 为小明)中随机选择两位同学了解平时训练情况,请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率。
22.如图,AD 是O e 的弦,AB 经过圆心O ,交O e 于点C ,30DAB B ∠=∠=?。 (1)求证:直线BD 与O e 相切; (2)连接CD ,若5CD =,求AB 的长。
23.某商店计划购进一批A ,B 两种型号的计算器,若购进A 型计算器10只和B 型计算器8只,共需要资金880元;若购进A 型计算器2只和B 型计算器5只,共需要资金380元。
(1)求A 、B 两种型号的计算器每只进价各是多少元?
(2)该商店计划购进这两种型号的计算器共50只,根据市场行情,销售一只A 型计算器可获利9元,销售一只B 型计算器可获利18元。该商店希望销售这50只计算器,所获利
润不少于购进总成本的25%,则该商店至少要采购B 型计算器多少只?
24.如图,四边形ABCD 中,,60,30AB AD BAD BCD =∠=?∠=?,将AC 绕着点A 顺时针旋转60°得AE ,连接BE ,CE 。
(1)求证:ADC ABE ???; (2)求证:222AC DC BC =+;
(3)若2AB =,点Q 在四边形ABCD 内部运动,且满足222AQ BQ DQ =+,求点Q 运动路径的长度。
25.四边形的一条对角线将这个四边形分成两个三角形,如果这两个三角形相似(不全等),那么我们将这条对角线叫做这个四边形的相似对角线。
(1)如图1,四边形ABCD 中,100,130DAB DCB ∠=?∠=?,对角线AC 平分DAB ∠,求证:AC 是四边形ABCD 的相似对角线;
(2)如图2,直线y x =分别为x ,y 轴相交于A ,B 两点,P 为反比例函数()0k
y k x
=
<上的点,若AO 是四边形ABOP 的相似对角线,求反比例函数的解析式; (3)如图3,AC 是四边形ABCD 的相似对角线,点C 的坐标为(3,1),//AC x 轴,
30BCA DCA ∠=∠=?,连接BD ,BCD ?的面积为
。过A ,C 两点的抛物线
()20y ax bx c a =++<与x 轴交于E ,F 两点,记1m AC =+,若直线y mx =与抛物线恰好
有3个交点,求实数a 的值。
26.如图,已知二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点A 和点()2,0B -,
与交y 轴于点()()00,4,C f x 表示当自变量为0x 时的函数值,对于任意实数m ,均有
()()13f m f m -=-。
(1)求该二次函数的解析式;
(2)点Q 是线段AB 上的动点,过点Q 作//QE AC ,交BC 于点E ,连接CQ 。当CQE ?的面积最大时,求点Q 的坐标;
(3)若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ,与直线AC 交于点F ,点D 的坐标为(2,0),是否存在这样的直线l ,使ODF ?是等腰三角形?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由。
参考答案
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分) 1.C
2.D
3.A
4.C
5.C
6.C
7.D
8.B
9.A
10.A 11.D 12.B
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分) 13.()()22323b a a -+
14.13
15.3π 16.40°
17.2x -
18.
3
32
a << 三、解答题(本大题共8小个题,第19、20题每小题6分,第21、22题每小题8分,第23、24题每小题9分,第25、26题每小题10分,共66分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19.解析:原式()2241=+-?-
281=-- 7=-。
20.解析:解不等式(1),得4x ≤, 解不等式(2),得2x >, 不等式的解集为24x <≤。 21.解析:(1)40
(2)162°,条形统计图中C 级为18人。 (3)450
(4)根据题意画树形图(列表略)如下:
共有12种情况,选中小明的有6种,则P (选中小明)61
122
==。 22.解析:(1)连接OD ,
30ODA DAB B ∠=∠=∠=?Q ,
18018030303090ODB ODA DAB B ∴∠=?-∠-∠-∠=?-?-?-?=?,
∴直线BD 与O e 相切。
(2)由(1)知,30ODA DAB ∠=∠=?,
60DOB ODA DAB ∴∠=∠+∠=?,
又,OC OD DOC =∴?Q 是等边三角形,
5OA OD CD ∴===,
又30,90,210B ODB OB OD ∠=?∠=?∴==Q 。
51015AB OA OB ∴=+=+=。
23.解析:(1)设A 、B 两种型号的计算器每只进价分别是x ,y 元,根据题意,得108880
25380x y x y +=??
+=?
, 解之,得40,60x y ==。
所以A 、B 两种型号的计算器每只进价分别是40、60元。 (2)设该经销商至少要采购B 型计算器m 只,根据题意,得 ()()1895060405025%m m m m +-≥+-?????,
解之,得12.5m ≥。
所以,该经销商至少要采购B 型计算器13只。 24.解析:
(1)60,CAE DAB DAC BAE ∠=∠=?∴∠=∠Q 。 在ADC ?和ABE ?中,
,,,AD AB DAC BAE AC AE ADC ABE =∠=∠=∴???Q 。
(2)在四边形ABCD 中,360270ADC ABC DAB DCB ∠+∠=?-∠-∠=?。
ADC ABE ???Q ,
,ADC ABE CD BE ∴∠=∠=,
270ABC ABE ABC ADC ∴∠+∠=∠+∠=?,
()36090CBE ABE ABBC ∴∠=?-∠+∠=?, 222CE BE BC ∴=+。
又,60AC CE CAE =∠=?Q ,
222,CE AE AC AC DC BC ∴==∴=+。
(3)如图,设Q 为满足条件的点,将AQ 绕着点A 顺时针旋转60度得AF ,连接QF ,BF ,QB ,DQ ,AF 。
可证,ADQ ABF AFQ ????为等边三角形, ,AQ FQ BF DQ ∴==,
222AQ BQ DQ =+Q , 222FQ BQ BF ∴=+, 90FBQ ∴∠=?。
()360150DQB AQD AQB ∴∠=?-∠+∠=?, ∴点Q 的路径为过B 、D 、C 三点的圆上?BD
。 设圆心为O ,则60,2BOD DO AB ∠=?==,
点Q 运动的路径长为:2
3
π。
25.解析:
(1)如图1,设ACD α∠=,则130ACB α∠=?-,
()180********B BAC ACB αα∴∠=?-∠-∠=?-?-?-=。 在ABC ?和ACD ?中,
,,B ACD BAC CAD ABC ACD ∠=∠∠=∠∴??Q :,
∴AC 是四边形ABCD 的相似对角线。
(2)如图2,可求得直线y =+与两坐标轴的交点分别为()4,0,A B ? ??
,进而可求得:30,60OAB OBA ∠=?∠=?。
当OA 是四边形OBAP 的相似对角线时,有如下三种情况:①30,60BAO PAO ABO AOP ∠=∠=?∠=∠=?,
此时,可求得点(1,P ,将P 点坐标代入k
y x
=
,得k =。 ②30,60BAO AOP ABO PAO ∠=∠=?∠=∠=?,
此时,可求得点(3,P ,将P 点坐标代入k
y x
=
,得k =- ③当30,60APO OAB AOP ABO ∠=∠=?∠=∠=?
此时,可求得点(4,P -,将P 点坐标代入k
y x
=,得k =-。
所以,反比例函数的解析式为y 或y =y =
(3)如图3,作BCD ?的底边CD 边上的高BH ,则30CBH ∠=?,
1
2
CH BC ∴=。
在Rt ΔCHB ,由勾股定理可求得BH =
。
1
2BCD S CD ?=Q BC ? 4CD BC ∴?=。
Q AC 是四边形ABCD 的相似对角线,
,
BC AC
BCA ACD AC DC
∴??=
:,即2AC CD BC =?, 24AC ∴=,即2AC =。
由点C 的坐标为(3,1)可知,点A 的坐标为(1,1)。
将A ,C 两点的坐标代入抛物线()20y ax bx c a =++<,得1931a b c a b c ++=??++=?
,
解之,得4,31b a c a =-=+,
所以,抛物线的解析式可化为2431y ax ax a =-++。 由1m AC =+,得直线y mx =的解析为3,3y x y x ==-,
Q 直线3y x =-与抛物线()24310y ax ax a a =-++<的交点必有两个,
∴直线3y x =与该抛物线的交点有且只有一个。
∴方程组2
3431y x
y ax ax a =??=-++?
有且只有一组解, 即关于x 的一元二次方程()243310ax a x a -+++=有两个相等的实数根, ()()2
434310a a a ∴?=+++=,解之,得1
2a =-或92
a =-。
26.解析:(1)当x m =与2x m =-时函数值相等,可知抛物线的对称轴为1x =,
由点B 的坐标(-2,0)可求得A 点的坐标为(4,0)。 该二次函数的解析式为()()24y a x x =+-,
将点()0,4C 代入,得12
a =-,
所以,二次函数的解析式为21
42
y x x =-++。
(2)设点Q 的坐标为(),0m ,过点E 作EG x ⊥轴于点G ,如图。
//,BE BQ
QE AC BC BA ∴
=
Q 。 又//,BE EG EG OC BC CO ∴=Q ,BE BQ CO BA ∴=,即224
,463EG m m EG ++==
, CQE CBQ EBQ S S S ???∴=-
11
22
BQ CO BQ EG =?-? ()1242423m m +??
=
+- ??
?
()2
1133
m =-
-+, 又24,m -≤≤∴Q 当1m =时,CQE S ?有最大值3,此时()1,0Q 。
(3)存在。①若DO DF =,则2,AD OD DF AFO ===?是直角三角形。 在Rt ΔAFO 中,可求得点F 的坐标为(2,2)。
由21
422
x x -++=,得1211x x ==-
此时,点P 的坐标为:()1P +或()
1P 。 ②若FO FD =,过点F 作FM x ⊥轴于点M 。
由等腰三角形的性质得:1
1,32
OM OD AM ==∴=。
可求得()1,3F 。
由21
432
x x -++=,得121,1x x ==
此时,点P 的坐标为:()1P 或()
1P 。
③若OD OF =,4OA OC ==Q ,且90,AOC AC ∠=?∴=
∴点O 到AC 的距离为
而2OF OD ==<,
∴AC 上不存在点F 使得2OD OF ==。
此时,不存在这样的直线l ,使得ODF ?是等腰三角形。
综上,存在这样的直线l ,使得ODF ?是等腰三角形,所求点P 的坐标为:()
1+
或()1或()1+或()
1。