数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章(20200511214800)

第六章 微分中值定理及其应用

2?若 lim

1 acosx -bsin ^

1

，则 a = X T 0 x 2

3.曲线y = e x

在x = 0点处的曲率半径 R = _______ 4?设y =4x J —2，则曲线在拐点处的切线方程为 ___________________

x

6?设f(x) =x(x 2 —1)(x —4)，则f (x) = 0有 ______________ 个根，它们分别位于 __________

区间；

7.函数f (x) =xln x 在1,2 ］上满足拉格朗日定理条件的? = _________________

8?函数f(x)=x 3与g(x)=1+x 2在区间b,2】上满足柯西定理条件的 E = ____________

9.

函数y =sinx 在0,2】上满足拉格朗日中值定理条件的

?= ______ ;

x

e 10. _________________________________________ 函数f(x) 2的单调减区间是 ;

x

3

11. ________________________________ 函数y = x -3x 的极大值点是 ，极大值是 。 12. _________________________________________ 设f(x)=xe x ，则函数f (n)(x)在X 二 处取

得极小值 ________________________________________ 。

3 2

13. 已知f(x)二x ax bx ，在x =1处取得极小值- 2，则a = _________________ , b = _____

2 2

一、填空题

1若a 0,b

0均为常数，贝

U

5. lim

(1 x )x -e

x —.Q

x

2

X

a

H X

X

14. 曲线y =k(x -3)在拐点处的法线通过原点，

则k= _______ 。

15 ?设 f (x)二 n (1 - x)

n

(n =1,2 ) , M n 是 f (x)在〔0,1 上的最大值，则

lim M n = ________ 。

n —.::

16.设f (x)在x 0可导，则f "(x 0)=0是f (x)在点x 0处取得极值的 ________________ 条件;

17.函数 f (x) = aln x + bx 2 +x 在 x = 1 及 x = 2取得极值，则 a = ____ , b =

3 3

18. 函数f(x) =x

x 3的极小值是 2

ln x

19.

函数f (x) 的单调增区间为

x

3

21.设点(1,2)是曲线y=(x —a) +b 的拐点，则a= __________ , b= ______

22?曲线y=e 、x 的下凹区间为 ___________ ，曲线的拐点为 _________ ;

2

3

23. 曲线y=3x -x 的上凹区间为 ________________ ; 24. 曲线y=ln(1+x 2)的拐点为 __________________ ;

25. _____________________ 曲线y =ln x 在点 处曲率半径最小。

1

26. _____________________________________ 曲线y=xln(e + —)的渐近线为 。

x

二.选择填空

5

1. 曲线y =(x -5)3 2的特点是()。

A.有极值点x = 5，但无拐点

B.有拐点

(5,2)，但无极值点

c. x = 5是极值点，

(5,2)是拐点

D.既无极值点，又无拐点

2. 奇函数f (x)在闭区间〔—1,1】上可导，且f'(x)兰M ，则()。 A. f (x) >M B.|f (x)|》M C. f(x)| 兰 M D.|f(x)|

2 2

20. 函数 f (x)二 x - 2cosx 在

0,1上的最大值为 -2

________ ，最小值为

3. 已知方程x y y = 1( y 0)确定y为x的函数，贝U ()。

C. y(x)即有极大值又有极小值

D.无极值

4 若 f(x)在区间［a,：：)上二阶可导，且f(x)=A .O , f'(ah：： 0, f (x) ： 0 (x a), 则方程

f (x) =0在a, *内()

A.没有实根

B.有两个实根

C.有无穷多个实根

D.有且仅有一个实根

f ( x)

5?已知f (x)在x=0处某邻域内连续，lim 2，则在x = 0处f (x)()。

71 —COSX

A.不可导

B.可导且f'(0)=2

C.取得极大值

D.取得极小值

6 ?设函数f (x)在区间1,= 内二阶可导，且满足条件f(1) = f (1^0 , x 1时f (x) ：：0，则g(x) = f(x^ 在1,：：内()

x

A ?必存在一点；，使f ( ；) =0

B .必存在一点；，使f ( ；) = 0

C.单调减少

D.单调增加

f 7x)

7?设f(x)有二阶连续导数，且「(0)=0, lim —=1，则()

—0 x

A . f(0)是f (x)的极大值 B. f (0)是f (x)的极小值

C. 0, f (0)是曲线y二f (x)的拐点

D. f(0)不是f (x)的极值，0, f (0)也不是曲线y= f (x)的拐点

&若f (x)和g(x)在X =X0处都取得极小值，则函数F (x) = f (x) g(x)在X = X0处

( )

A .必取得极小值 B.必取得极大值

C.不可能取得极值

D.是否取得极值不确定

3 2 2 3

9.设y =y(x)由方程x-ax y by =0确定，且y(1) =1, x = 1是驻点，贝U ()

2 2

10. 曲线y =(x 「1) (x -3)的拐点的个数为() A.0

B.1

C.2

D.3

11. f (x), g(x)是大于 0 的可导函数，且 f'(x)g(x) - f (x)g'(x) ：：：0 ,则当 a x b 时 有()

A . f(x)g(b) f(b)g(x) B. f (x)g(a) f (a)g(x) C. f(x)g(x) ■ f (b)g(b) D. f (x)g(x) ■ f (a)g(a)

1 2 .

2

x x ：： 1 12.

曲线y =e x arctan 的渐近线有(

)

(x -1'(x +2)

A . 1条 B.2条 C.3条 D.4条

3

13. f (x) = x 3 2x q 的O 点的个数为( )

A . 1

B.2

C.3

D.个数与q 有关

x

14.曲线《

b A ?只有垂直渐近线 B.只有水平渐近线

C .无渐近线

D.有一条水平渐近线和一条垂直渐近线

15.设 y 二 f(x)为 y ” ? y ：e sinx =0 的解，且 f (x °) =0，则 f (x)有(

)

A . x 0的某个邻域内单调增加

B . x 0的某个邻域内单调减少

C . x 0处取得极小值

D . x 0处取得极大值

16.罗尔定理中的三个条件 ；f(x)在［a,b ］上连续，在(a,b)内可导，且f(a) = f(b)是

f(x)在(a,b)内至少存在一点 ：使得f 「)=0成立的(

).

A. a = b = 3

B. a

4-5

c.afbJ

2 2

D. a - -2,b - -3

_ 1 t 则曲线(

_t 1

(A)必要条件(B)充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要

17. 下列函数在［1,e］上满足拉格朗日中值定理条件的是().

1

(A) In (l nx); (B) In x ；(C) (D) In 2-x)；

In x

18. 若f (x)在开区间(a,b)内可导，且X i,X2是(a,b)内任意两点，则至少存在一点?使得下

式成立().

(A) f(X2) - f (xj =(X1 -X2) f () :;三(a,b);

(B) f (x1^ f (x2^ (x^x2) f () 论：：：：x2

(C) f (捲)一 f (x2) = (x2-捲)f () 为：■匚：■x2

(D) f (x2 f (x1 ^ (x2-x1) f () 捲：：::x2

19. 设y=f(x)是(a,b)内的可导函数，x,x*=x是(a, b)内的任意两点，则()?

(A) =y = f (x) =x

(B) 在x,x—x之间恰有一个?，使得勺=

(C) 在x，x?=x之间至少存在一点，使得y = f ( )

(D) 对于x与x x之间的任一点'，均有迥二f ()丄x

20. 若f (x)在开区间(a，b)内可导，且对(a，b)内任意两点x1，x2恒有f(X2) — f (xj 乞(X2 — xj2，则必有().

(A) f(x)=O (B) f(x)=x

(C) f(x)二x (D) f(x)二c (常数)

21. 已知函数f(x) =(x_1)(x _2)(x _3)(x_4)，则方程f (x)=0有( ).

(A) 分别位于区间(1,2)，(2,3)，(3,4)内的三个根;

(B) 四个根，它们分别为X1 = 1, X2 = 2, X3 = 3, X4 =4;

(C)四个根，分别位于(0,1),(1,2),(2,3),(3,4);

(D)分别位于区间(1,2),(1,3),(1,4)内的三个根

22.若f(x)为可导函数「为开区间(a,b)内一定点，而且有 在闭区间［a,b ］上必总有(

).

25.设lim 但为未定型,则lim 丄凶存在是lim 少也存在的(

).

g(X)

g "(X )

X T X o

g(x)

x

26.

指出曲线y

2的渐近线( ).

3-x 2

(A) 没有水平渐近线，也没有斜渐近线；

(B) x 二3为垂直渐近线，无水平渐近线;

(C) 既有垂直渐近线，又有水平渐近线； (D)

只有水平渐近线.

X 2 + X + 1 27曲线y = e x arctan 的渐近线有( ). (x-1)(x+2)

(A)

1 条

(B)

2 条

(C)

3 条

(D)

4 条

f ( ) . 0,(x- )f (x) _ 0,则

(A) f (x) ::: 0 (B) f(x) ^0

(C) f(x)_0

(D) f (x) ■ 0

23.若 a 2

-3b ：：：0,则方程 3 2

f (x) = x ax bx c = 0 (

).

(A)无实根 (B)有唯一实根 (C)有三个实根

(D)有重实根

24.若f (x)在区间［a, ?：：］上二次可微 ，且 f(a) = A ? 0, f (a) ：：： 0, f (a)乞 0 (x ? a ),则 方程 f (x) =0在［a,二］上().

(A)没有实根

(B)有重实根 (C)有无穷多实根 (D)有且仅有一个实根

(A)必要条件

(B)充分条件

(C)充要条件

(D)既非充分也非必要条件

丄

(11)

x^-s^);

(12)

匹(竽F.

3. 求下列不定式极限

28. 1 兀

函数fgXCOSXpCS 在取得极值，则a =(

(A) 0 ；

(B)二；

(C)

1 ；

(D) 2

29. 下列曲线集邮水平渐近线， 乂有垂直渐近线的是( )°

…、 s i r2x

x 2 3

(A) f(x) 3

(B) f (x)

;

x x

X -1

(C) f(x) =1 n3-e

);

(D) f(x) -x 2

二 xe °

x

1

30. lim x 1

」=( )°

X 1

(A) 1 ; (B) e 」； (C) e

；

(D)::

o

o

二、计算题 1?试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点 E 使得 f ' (E )=0 :

I . 1 n (1) f(x)= xsin

x" 0, X 二 0;

(2) f(x)=|x|, —1< x w |. 2.求下列不定式极根： x e —1

(1) lim

x

sin x

1-2s inx

lim ----------- x 芒 cosx 6

1n (1 x) -x

lim x —° cosx-1

lim 型比

x7x - sinx

lim 皿2 x x

secx 5

sinx

凹」tgx)

(8)

(9)

1

蚁+x 2)x

; (10) lim sinxlnx ；

x T 十

⑴ lim^cos —1)；

X —1

x

1 -s in -

2

⑵\\mj(冗 -2arctgx)l nx ；

sin x

lim x

x 0亠

ln (1 x)(1 x) 1 2~

x

1

^(ctgx —?;

1

(1 x)： -e lim x 0

l x m 0 4. 5.

6.

(8) JI

lim (— -arctgx)

1 lnx

求下列函数在提定点处带拉格朗日型余项的泰勒公式

3

2

(1) f(x)=x +4x +5,在 x=1 处； 1

(2) f(x)= -------- ,在 x=0 处；

1 +x

(3) f(x)=cosx 的马克林公式.

求下列函数带皮亚诺型余项的马克劳林公式： (1) f(x)=arctgx 到含 x 5 的项； (2) f(x)=tgx 到含 x 5 的项.

..e x si nx-x(1+x) ⑴ ------------------- -----

；(2)x m x ，|n (i *)；

1 1

⑶x im o x(「c tgx).

7?估计下列近似公式的绝对误差

x3 1

(1) sin x ： x ，当| x | ;

6 2

______ 2

(2) .1 x T 一—一,当x € [0,1].

2 8

8. 计算：(1)数e准确到10-9;

(2)lg11 准确到10-.

1. 确定下列函数的单调区间：

x 2 -1

⑷ f(x)=-

x

9.

求下列函数的极值.3

4

(1) f(x)=2x -x ;

2x

⑵ f(x)=p

(4) f(x)=arctgx- - In(1+x 2).

2

10. 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值

5

4

3

(1) y=x -5x +5x +1,[-1,2]; 2

兀

(2) y=2tgx-tg x, [0,—];

2

⑶ y= . x lnx, (0,+ g ).

11. 把长为1的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大

12. 一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为 V 时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与 容器的高的比例应该怎样 ？

13. 设用某仪器进行测量时，读得n 次实验数据为a 1,a 2,…,a n .问以怎样的数值x 表达所要测量 的真值，才能使它与这 n 个数之差的平方和为最小？ 14. 求下列函数的极值:

(2) f(x)=

少 21

[ ; (3) f(x)=(x-1) 2

(x+1)3

.

x -x +1

2

12

15. 设f(x)=alnx+bx +x 在x =1,x =2处都取得极值；试定出a 与b 的值并问这时f 在X 1与X 2 是取得极大值还是极小值

？

16. 求正数a,使它与其倒数之和为最小.

17. 要把货物从运河边上 A 城运往与运河相距为 BC=a 千米的B 城(见图7-1).轮船运费的单 价是a 元/千米.火车运费的单价是 3元/千米(3 > a ),试求运河边上的一点 M,修建铁路 MB, 使总运费最省. 18. 确定下列函数的凸性区间与拐点

：

3

2

(1) y=2x -3x -36x+25;

2

1 (3) y=x + -

x

19. 问a 和b 为何值时,点(1,3)为曲线y=ax 3+bx 3的拐点? 四、证明题 1. 证明：

3

(1) f(x)=3x-x ;

2

(2) f(x)=2x -lnx;

⑶ f(x)= 2x - x 2

(3)f(x)=曲;

x

1

⑵ y=x+ ;

x

2

(1) f(x)=|x(x -1)|;

(4) y=ln(x 2+1);

3

(1)方程x —3x+c=0 (这里C为常数)在区间［0, 1］内不可能有两个不同的实根;

(2)方程x n +px+q=O(n 为自然数，p , q 为实数)当n 为偶数时至多有两个实根；当 为奇数时至多有三个实根。

2. 证明：(1)若函数 f 在［a, b ］上可导，且 f (x) > m,则 f(b) >f(a)+m(b-a);

(2)若函数 f 在［a,b ］上可导，且 |「(x)| w M ，则 |f(b)-f(a)| < M(b-a); (3)对任意实数 x i ,X 2都有 |sinx i -sinX 2|w |x i -X 2|. 3. 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：

/八 b _a ‘ b b_a "亠 (1) 1n

，其中 0

b a a

(2)

h

—0.

1 h 2

4. 设函数f 在［a,b ］上可导。证明：存在 E €( a,b )，使得

2 2

2E ［f(b)-f(a)］=(b -a)f (E ).

5. 设函数在点a 具有连续的二阶导数。证明：

6. 试讨论函数f(x)=x 2,g(x)=x 3在闭区间［-1，1］上能否应用柯西中值定理得到相应的结论, 什么？

sin a -sin :

, A

co^-cosa =Ctg 0 .

8. 设h>0，函数f 在［a-h,a+h ］上可导。证明：

(1)

f(a h)

一

f(a

7)二f (a rh)_f'(a7h)，0 €( 0，1)；

h

(2) f(a h)-f (a) f (a

-h) =fQ f )_f'(a“h )，0€( 0,1).

h

9. 以S(x)记由(a,f(a)) ,(b,f(b)),(x,f(x))三点组成的三角形面积，试对 S(x)应用罗尔中值定理

证明拉格朗日中值定理。

10. 若函数f, g 和h 在［a,b ］上连续，在(a,b )内可导，证明存在实数E € (a,b)，使得

再从这个结果导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

11. 设f 为［a,b ］上二阶可导函数，且 f(a)=f(b)=0,并存在一点c €( a,b )使得f(c)>0.证明至少 存在一点 E € (a,b),使得 f ”( E )<0.

12. 证明达布定理：若 f 在［a,b ］上可导，且「⑻工f (b),k 为介于「(a)与「(b)之间的任一实 数，则至少存在一点E € (a,b),使得f'(E )=k.

f (a h) f(a -h) -2f (a)

f''(a).

7.设 0< a < 3 <2，试证明存在

0 € (a,b)，使得

f(a) f(b) f()

g(a) h(a) g(b) h(b) g'(E h'(E

=0.

13.设函数f 在(a,b )内可导，且f /单调。证明f /在(a,b )内连续。

14. 证明：设f 为n 阶可导函数，若方程 f (x ) =0有n+1个相异实根，则方程f (n)

(x)=0至少 有一个实根。 15. 设p(x)为多项式，a 为p(x)=O 的r 重实根。证明 ：a 必定是p / (x)=0的r-1重实根。 16.证明： (1)设 f 在(a,+s)上可导，若 lim f(x)和 lim f (x)都存在贝U lim f (x) =o ； ⑵设f 在(a,+s )上n 阶可导 若Jim f(x)

和lim f k (x)都存在，则 x _ .

k

lim f (x) =0,(k=1,2,…,n)。

x _. 17.设函数f 在点a 的某个邻域内具有连续的二阶导数 试应用罗比塔法则证明 f(a h) f(a - h) - 2f(a)

l im j ----------------------- 门 ---------- =f (a) 18.对函数f 在区间 f(x)-f(0)=f 试证对下列函数都有

h 2 [0,x]上应用拉格朗日中值定理有 / ( 0 x)x, 0 € (0,1).

1 lim ; x ：o 2

x (2) f(x)=e . 19. (1) f(x)=l n(1+x); 设f(0)=0,f /在原点的某邻域内连续，且f / (0)=0.证明: lim

x f(x) =1. X 0亠 20. 证明定理6.5中lim f(x) =0, lim g(x) = 0情形时的罗比塔法则 若

x —

(i)

lim fx = 0, lim (x) =0

鈕

x —

(ii) 存在M °>0,使得f 与g 在(M0,+ )内可导，且 g z (x)丰

0; (iii) f (x) f (x) 區丽巳咛xr A (A

为实数，也可为

w 或^

),则

21. 证明：f(x) = x 3

e^为有界函数. 22. 应用函数的单调性证明下列不等式 3

x - / c n

(1) tgx>x- ,x (0,—)；

3

3

2x

s n

(2)

sinx ::: x,x (0,—)； n 2

2 2

n

x

(3) x | n(1 x) ：：： x ,x 0 2 2(1 +x)

23. 设

x 4sin 2 —, x 式 0,

f(x)二 x .

0,

x =0

(1) 证明:x=0是函数f 的极小值点；

(2) 说明在f 的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件

24. 证明：设 f(x)在(a,b)内可导,f(x)在 x=b 连续，则当 f (x) >0(a f(b). 25. 证明:若函数f 在点X 0处有f +(x °)<0(>0),

f "_(X 0)>0(<0),则X 0为f 的极大(小)值点?

26. 证明：若函数f,g 在区间［a,b ］上可导 且f (x)> g (x), f(a)=g(a),则在a,b 】内有f(x)>g(x).

28. 证明：

(1) 若f 为凸函数，入为非负实数，则入f 为凸函数； (2) 若f 、g 均为凸函数，贝U f+g 为凸函数；

⑶若f 为区间I 上凸函数,g 为J 二f(I)上凸的递增函数，则gof 为I 上凸函数.

29. 设f 为区间I 上严格凸函数 证明若X °€ I 为f 的极小值点，同X 。为f 在I 上唯一的极小值 占 八、、-

30. 应用凸函数概念证明如下不等式

：

a b “

1a

b

(1) 对任意实数 a,b,有e 2 " (e e );

2

(2) 对任何非负实数a,b,有

'a + b L

.

2arctg

|>arctga+arctgb.

31. 证明若 f.g 均为区间I 上凸函数，则F(x)=max{f(x),g(x)}也是I 上凸函数. 32. 证明:

(1)f 为区间I 上凸函数的充要条件是对

I 上任意三点X 1

27.

证明:巫丄

x si nx

0 ::

x

1 X ! f(xj

△ = 1 X 2 f(x 2 ) > 0.

1

X 3

f(X 3)

(2)f 为严格凸函数的充要条件是对任意 X 10.

33. 应用詹禁不等式证明：

(1)设 a>0(i=1,2,…n)，有

a n

1 1 1

一 + 一 + …+ 一

1

2

n

a a a

⑵设 a i ,b i >0(I=1,2,…,n),有

n

n

1 m 1

二 ab _ (二 3卩)—(二 b i ) i Ji =4 P i 三 8 1 1

P>0,q>0, =1.

p q

五、考研复习题

1. 证明:若f(X)在有限开区间(a,b)内可导,且 lim f(X)

X T + a,b)，使 f (E )=0. 2. 证明若x>0,则

6. 证明若函数f 在区间［a,b ］上恒有f (x)>0,则对(a,b)内任意两点X 1 ,X 2,都有

f(xj +f(X 2)二 f 匸1 +X 2 ]

其中 二lim f(x)，则至少存在一点

x —b -

1

2 A r(x)

，其中 1 1

廿⑴込；

1

(

2)li

m 「(x )s,!

im

j (x )

3. 设函数f 在［a,b ］上连续，在(a,b)内可导，且ab>0?证明存在E € (a,b),使得

a -

b f(a)

b

f(b)

★( )- f( )■

4. 设f 在[a,b]上三阶可导，证明存在E € (a,b),使得

1 1

f(b) =f(a) -(b -a)[f (a) f (b)p-(^ a)3f ().

2 12

5. 对f(x)=ln(1+x)应用拉格朗日中值定理，证明対x>0有

1 In (1 x)

一丄“

1

其中等号仅在X i =X 2时才成立?

7. 证明:第 6题中对(a,b)内任意n 个点x i ,X 2…,X n 也成立

其中等号也仅在 X i =X 2=???=X n 时才成立。

8. 应用第7题的结果证明：对任意 n 个正数X 1,X 2，…,X n 恒成立

即算术平均值不小于几何平均值。 9. 设a i ,a 2,…,a n 为

n

个正实数，且

f(X )

(ii ) lim f(x) =max"0,a 2

a ：

x _

10. 求下列极限:

1

(1) lim (1 —x 2)ln(1 "; x T

—

2

1 x sin (3) lim x

. X T sinx

11. 证明：若函数f 在点a 二阶可导,且 f (a)工0,则对拉格朗日公式

f(a+h)-f(a)= f (a+ 0 h)h,0< 0 <1

1

中的0有lim 0 =—

h -j p 2

12. 设h>0,函数f 在U(a,h)内具有n+2阶连续导数，且f (n+2)(a)丰0,f 在U(a,h)内的泰勒公式为

证明：”叫

丄J f(Xk)—f n

—

x1 x2 卷 u Xn

n

-:

X 1X2…X n

证明：(i ) limf (X )

X —JOO

(2) lim XeX -ln(1 X)

^_0

X 2

f(a+h)=f(a)+ f (a)h+ …

+吗n.

n!

f (n p (a 汕)

(n 1)!

n 1

h ,p< 0 <1.

n

X k

k 」

n

i

=广a X +a 2 + …+a n 匚

n

」

13. 设函数f在［a,b］上二阶可导，f(a) =f(b) =0.证明存在一点E € (a,b),使得

X 2 ? 1 n x sin , x = 0, f(x)= 2 x ]o,x =0,

(1)在x=0点是否可导？

⑵在x=0的任何邻域内函数是否单调

？

设函数f 在［0,a ］上具有二阶导数，且|f”(x)| < M,f 在(0,a)内取得最大值 证明：

|f (0)|+|f (a)| w Ma.

设 f 在

上可微且 O w f (x) w f(x),f(O)=O.证明:在 0上 f(x) = 0.

21. 设 f(x)满足 f (x)+ f (x)g(x)-f(x)=0,其中 g(x)为任一函数.证明:若 f(X 0)=f(x 1)=0(X 0

22. 证明:f 为I 上凸函数的充要条件是对任何 X 1,X 2€ I,函数「(入)=f(入X 1+(1 -入)X 2)为

［0,1］上 的凸函数.

f ( J

- (b 4a)2 f(b)

-f(a)

3

14. 设a,b>0，证明方程x +ax+b=O 不存在正根 15. 设k>0,试问k 为何值时，方程arctgx-kx=O 16. 证明：对任一多项式 p(x)来说,一定存在点 格单调.

17.

存在正根.

X 1与

x

2,使 p(x)在

(X 1,+ )与(-g ,X 2)上分别为严

18. 证明:当 x € ［0,1］时有不等式 1

w X p +(1+x)p w 1(其中实数 p>1).

讨论函数

19. 20.