基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计

自动控制原理课程设计说明书

基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控

制系统设计

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2018年 1月

目录

1 任务概述 (3)

1.1设计概述 (3)

1.2 要完成的设计任务： (3)

2系统建模 (4)

2.1 对象模型 (4)

2.2 模型建立及封装 (4)

3仿真验证 (9)

3.1 实验设计 (9)

3.2 建立M文件编制绘图子程序 (9)

4 双闭环PID控制器设计 (12)

4.1内环控制器的设计 (13)

4.2外环控制器的设计 (14)

5 仿真实验 (15)

5.1简化模型 (15)

5.2 仿真实验 (17)

6 检验系统的鲁棒性 (18)

6．1 编写程序求系统性能指标 (18)

6.2 改变参数验证控制系统的鲁棒性 (19)

7 结论 (22)

附录 (22)

1 任务概述

1.1设计概述

如图1 所示的“一阶倒立摆控制系统”中，通过检测小车位置与摆杆的摆动角，来适当控制驱动电动机拖动力的大小，控制器由一台工业控制计算机(IPC)完成。

图1 一阶倒立摆控制系统

这是一个借助于“SIMULINK封装技术——子系统”，在模型验证的基础上，采用双闭环PID控制方案，实现倒立摆位置伺服控制的数字仿真实验。

1.2 要完成的设计任务：

(1)通过理论分析建立对象模型（实际模型），并在原点进行线性化，得到线性化模型；将实际模型和线性化模型作为子系统，并进行封装，将倒立摆的振子质量

m和倒摆长度L作为子系统的参数，可以由用户根据需要输入；

(2)设计实验，进行模型验证；

(3)一阶倒立摆系统为“自不稳定的非最小相位系统”。将系统小车位置作为“外环”，而将摆杆摆角作为“内环”，设计内化与外环的PID控制器；

(4)在单位阶跃输入下，进行SIMULINK仿真;

(5)编写绘图程序，绘制阶跃响应曲线，并编程求解系统性能指标：最大超调量、调节时间、上升时间；

(6)检验系统的鲁棒性：将对象的特性做如下变化后，同样在单位阶跃输入下，检验所设计控制系统的鲁棒性能，列表比较系统的性能指标（最大超调量、调节时间、上升时间）。

倒摆长度L不变，倒立摆的振子质量m从1kg分别改变为1.5kg、2kg、2.5kg、0.8kg、0.5kg；

倒立摆的振子质量m不变，倒摆长度L从0.3m分别改变为0.5m、0.6m、0.2m、0.1m。

2系统建模

2.1 对象模型

一阶倒立摆的精确模型的状态方程为：

若只考虑θ在其工作点 = 0附近的细微变化，这时可以将模型线性化，这时可以近似认为：

一阶倒立摆的简化模型的状态方程为：

2.2 模型建立及封装

上边的图是精确模型，下边的是简化模型。

图2 模型验证原理图

2、由状态方程可求得：

Fcn:(4/3*u[1]+4/3*m*l*sin(u[3])*power(u[2],2)-10*m*sin(u[3])*cos(u[3] ))/(4/3*(1+m)-m*power(cos(u[3]),2))

Fcn1:(cos(u[3])*u[1]+m*l*sin(u[3])*cos(u[3])*power(u[2],2)-10*(1+m)*s in(u[3]))/(m*l*power(cos(u[3]),2)-4/3*l*(1+m))

Fun2:(4*u[1]-30*m*u[3])/(4+m)

Fun3:(u[1]-10*(1+m)*u[3])/(m*l-4/3*l*(1+m))

（其中J =，小车质量M=1kg，倒摆振子质量m，倒摆长度2L，重力加速度

g=10m/）

将以上表达式导入函数。

3、如下图框选后选择create subsystem

图3 封装

4、封装之后如下图

图4 子系统建立

5、将精确模型subsystem和简化模型subsystem1组合成以下系统以供验证，注意add的符号是++，不是+-，网上其他的课设都是错的。（输入信号是由阶跃信号合成的脉冲，幅值为0.05，持续时间(step time)为0.1s）。

图5 系统模块封装

6、鼠标右击子系统模块，在模块窗口选项中选择Mask->edit mask，则弹出如下窗口。

图6 添加参数

7、点击左边菜单栏的edit，添加参数m和L，注意prompt中的m和L意思是之后对话框中的提示词，而name中的m和L是要被prompt中输入的值导入的变量，如果name中填错了，那么之后的值将无法导入。

图7 编辑参数

8、在系统模型中，双击子系统模块，则会弹出一个新窗口，在新窗口中可以输入m和L的值，之后将会输入，如图8所示。

图8 输入参数

3仿真验证

3.1 实验设计

假定使倒立摆在(θ=0，x=0）初始状态下突加微小冲击力作用，则依据经验知，小车将向前移动，摆杆将倒下。

3.2 建立M文件编制绘图子程序

图9 绘图子程序

(提示：附录中有子程序方便大家Ctrl+c (＾＿＾)，上边只是为了方便对照)。

1、在系统模型中，双击子系统模块，则会弹出一个新窗口，在新窗口中输入m

和l值，点击OK并运行，如图10所示。

图10 输入参数

2、如图设置to file模块的参数，Variable name的名字就是M程序中的函数

名，这里如果不是signals的话程序是无法运行的。Save format要选择Array，因为程序是按数组形式调取变量的，没有选择Array的话运行程序会出现“索引超出矩阵维度”的错误。

图11 to file参数设置3、运行M文件程序，执行该程序的结果如图8所示。

图12 模型验证仿真结果

从中可见，在0.1N的冲击力下，摆杆倒下（θ由零逐步增大），小车位置逐渐增加，这一结果符合前述的实验设计，故可以在一定程度上确认该“一阶倒立摆系统”的数学模型是有效的。同时，由图中也可以看出，近似模型在0.8s以前与精确模型非常接近，因此，也可以认为近似模型在一定条件下可以表达原系统模型的性质。

4 双闭环PID控制器设计

一级倒立摆系统位置伺服控制系统如图13所示。

图13 一级倒立摆系统位置伺服控制系统方框图

内环采用反馈校正进行控制。

图14 内环系统结构图

反馈校正采用PD控制器，设其传递函数为，为了抑制干扰，在前向通道上加上一个比例环节 = K

控制器参数的整定：

设的增益K = -20，则内环控制系统的闭环传递函数为

令ξ= 0.7

内环控制器的传递函数为：

内环控制系统的闭环传递函数为：

外环系统前向通道的传递函数为：

图12 外环系统结构图

对外环模型进行降阶处理，若忽略的高次项，则近似为一阶传递函数为：

对模型进行近似处理，则的传递函数为：

外环控制器采用PD形式，其传递函数为：

采用单位反馈构成外环反馈通道，则，则系统的开环传递函数为：

采用基于Bode图法的希望特性设计方法，得，τ= 0.87，取τ= 1，则外环控制器的传递函数为

图13 系统仿真结构图

5 仿真实验

5.1简化模型

1、根据已设计好的PID控制器，可建立图14系统，设置仿真时间为10ms，单

击运行。这个仿真是为了便于理解。

2、

图14 SIMULINK仿真框图

3、新建M文件，输入以下命令并运行

%将导入到PID.mat中的仿真试验数据读出

load PID.mat

t=signals(1,:);

q=signals(2,:);

x=signals(3,:); %drawing x(t) and thera(t) response signals

%画小车位置和摆杆角度的响应曲线

figure(1)

hf=line(t,q(:));

grid on

xlabel ('Time (s)')

axis([0 10 -0.3 1.2])

ht=line(t,x,'color','r');

axis([0 10 -0.3 1.2])

title('\theta(t) and x(t) Response to a step input')

gtext('\leftarrow x(t)'),gtext('\theta(t) \uparrow')

执行该程序的结果如图15所示

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

012345678910

图15 仿真结果

5.2 仿真实验

注意，图中子系统为简化模型而不是精密模型(MMP网上的写的精密模型，调了

好久才发现)。

图16 SIMULINK仿真框图

012345678910 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

图17系统仿真结果图

6 检验系统的鲁棒性

检验系统的鲁棒性：将对象的特性做如下变化后，同样在单位阶跃输入下，检验所设计控制系统的鲁棒性能，列表比较系统的性能指标（最大超调量、调节时间、上升时间）。

6．1 编写程序求系统性能指标

新建pid.m文件，输入以下命令并保存

load PID.mat

clc

t=signals(1,:);

x=signals(2,:);

q=signals(3,:);

figure(1)

hf=line(t,q(:));

grid on

axis([0 10 -0.3 1.2])

ht=line(t,x,'color','r');

r=size(signals); e=r(1,2);

C=x(1,e); %得到系统终值

y_max_overshoot=100*(max(x)-C)/C %超调量计算

r1=1;

while (x(r1)<0.1*C)

r1=r1+1; end r2=1;

while (x(r2)<0.9*C)

r2=r2+1;

end

x_rise_time=t(r2)-t(r1) %上升时间计算

s=length(t);

while x(s)>0.98*C&&x(s)<1.02*C

s=s-1;

end

x_settling_time=t(s) %调整时间计算

C1=q(1,e);

[max_y,k]=max(q);

q_max_overshoot=max(q)-C1 %超调量计算

q_rise_time=t(k) %上升时间计算

s=length(t);

while q(s)>-0.02&&q(s)<0.02

s=s-1;

end

q_settling_time=t(s) %调整时间计算

6.2改变参数验证控制系统的鲁棒性

倒摆长度L不变，倒立摆的振子质量m从1kg分别改变为1.5kg、2kg、2.5kg、0.8kg、0.5kg；倒立摆的振子质量m 不变，倒摆长度L 从0.3m 分别改变为0.5m、0.6m、0.2m、0.1m。在单位阶跃输入下，检验所设计系统的鲁棒性

。

1、改变输入参数并运行，再运行pid.m文件，得到响应曲线及性能指标，记录

表1

图18 改变输入参数

x θ

x θx θ10.314.11550.1251 5.6095 4.01 1.2605 1.33331.50.310.24580.1649 4.1058 3.33380.773 1.485720.38.35060.1962 5.7144 4.75580.6862 1.51692.50.315.45010.11967.4006 4.0793 1.2632 1.32770.80.317.27280.11668.0565 4.3415 1.3468 1.31540.50.311.98320.1551 5.2784 3.8402 1.1323 1.428610.512.02450.1693 5.6026 3.5867 1.2342 1.475210.615.16320.11027.1334 4.1097 1.3124 1.336310.216.23280.09737.5863 4.2172 1.2786 1.326410.1 5.17990.6149

4.1058 3.3338

0.773 1.4857

振子质量倒摆长度

对象参数

性能指标最大超调量

调节时间

上升时间

表1 性能坐标比较

2、 仿真实验的结果如图19所示：