八年级初二数学 平行四边形练习题附解析
八年级初二数学 平行四边形练习题附解析
一、解答题
1．如图，在Rt ABC ?中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F
（1）求证：四边形ADCF 是菱形
（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积
2．在四边形ABCD 中，90A B C D ∠∠∠∠====，10AB CD ==，
8BC AD ==．
()1P 为边BC 上一点，将ABP 沿直线AP 翻折至AEP 的位置(点B 落在点E 处) ①如图1，当点E 落在CD 边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形(不写作法，保留作图痕迹，用2B 铅笔加粗加黑).并直接写出此时DE =______； ②如图2，若点P 为BC 边的中点，连接CE ，则CE 与AP 有何位置关系？请说明理由； ()2点Q 为射线DC 上的一个动点，将ADQ 沿AQ 翻折，点D 恰好落在直线BQ 上的点
'D 处，则DQ =______； 3．在数学的学习中，有很多典型的基本图形．
（1）如图①，ABC 中，90BAC ∠=?，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为D 、E ．试说明ABD CAE ≌；
（2）如图②，ABC 中，90BAC ∠=?，AB AC =，点D 、A 、F 在同一条直线上，BD DF ⊥，3AD =，4BD =．则菱形AEFC 面积为______．
（3）如图③，分别以Rt ABC 的直角边AC 、AB 向外作正方形ACDE 和正方形ABFG ，连接EG ，AH 是ABC 的高，延长HA 交EG 于点I ，若6AB =，8AC =，求AI 的长度．
4．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．
（1）如图（1），当90GOD ∠=?，
①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>；
（2）如图（2），当45GOD ∠=?，边长4AB =，25HG =，求DE 的长．
5．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，AE =AD ，作DF ⊥AE 于点F ． （1）求证：AB ＝AF ；
（2）连BF 并延长交DE 于G ．
①EG ＝DG ；
②若EG ＝1，求矩形ABCD 的面积．
6．如图，在Rt ABC ?中，90,40,60B AC cm A ∠=?=∠=?，点D 从点C 出发沿CA 方向以4/cm 秒的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2/cm 秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个地点也随之停止运动.设点,D E 运动的时间是t 秒（010t <≤）.过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接,DE EF .
（1）试问四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；
（2）当t 为何值时，90FDE ∠=?？请说明理由.
7．如图，在长方形ABCD 中，8,6AB AD ==． 动点P Q 、分别从点、D A 同时出发向点C B 、运动，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位，当点P 运动到点C 时，两个点都停止运动，设运动的时间为()t s ．
（1）请用含t 的式子表示线段PC BQ 、的长，则PC ________，BQ =________． （2）在运动过程中，若存在某时刻使得BPQ ?是等腰三角形，求相应t 的值．
8．如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，∠A 的角平分线交边CD 于点E ．点P 从点A 出发沿射线AE 以每秒2个单位长度的速度运动，Q 为AP 的中点，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，在射线AE 的下方作平行四边形PQHM （点M 在点H 的右侧），设P 点运动时间为t 秒．
（1）直接写出AQH 的面积（用含t 的代数式表示）．
（2）当点M 落在BC 边上时，求t 的值．
（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的t 的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）．
9．已知如图1,四边形ABCD 是正方形，45EAF ?∠= ．
()1如图1,若点,E F 分别在边BC CD 、上,延长线段CB 至G ,使得BG DF =,若3,2BE BG ==，求EF 的长；
()2如图2，若点,E F 分别在边CB DC 、延长线上时，求证： .EF DF BE =-
()3如图3,如果四边形ABCD 不是正方形，但满足
,90,45,AB AD BAD BCD EAF ??=∠=∠=∠=且7, 13,5BC DC CF ===，请你直接写出BE 的长．
10．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线EF ，GH 分别交边AB 、CD ，AD 、BC 于点E 、F 、G 、H ．
（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD 是正方形，且EF ⊥GH ，易知S △BOE ＝S △AOG ，又因为S △AOB ＝14
S 四边形ABCD ，所以S 四边形AEOG ＝ S 正方形ABCD ； （2）类比探究：如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝14
S 矩形ABCD ，若AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）； （3）拓展迁移：如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且S 四边形AEOG ＝
14S ?ABCD ，若AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，则AG ＝ ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）见解析（2）10
【分析】
（1）先证明AFE DBE ???，得到AF DB =，AF CD =，再证明四边形ADCF 是平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到12
AD DC BC ==，即可证明四边形ADCF 是菱形。
（2）连接DF ，证明四边形ABDF 是平行四边形，得到5DF AB ==，利用菱形的求面积公式即可求解。
【详解】
（1）证明： ∵//BC AF ，∴AFE DBE ∠=∠，
∵E 是AD 的中点，AD 是BC 边上的中线，∴,AE DE BD CD ==，
在AFE ?和DBE ?中， AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠??∠=∠??=?
，
∴()AFE DBE AAS ???，∴AF DB =．
∵DB DC =，∴AF CD =．
∵//BC AF ，∴四边形ADCF 是平行四边形，
∵090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点， ∴12
AD DC BC ==
，∴四边形ADCF 是菱形； （2）如图，连接DF ，
∵//,AF BD AF BD =，
∴四边形ABDF 是平行四边形，∴5DF AB ==，
∵四边形ADCF 是菱形，∴11451022ADCF S AC DF =
=??=菱形． 【点睛】
本题主要考查全等三角形的应用，菱形的判定定理以及菱形的性质，熟练掌握菱形的的判定定理和性质是解此题的关键。
2．（1）①6；②结论：//P EC A ；（2）为4和16．
【分析】 ()1①如图1中，以A 为圆心AB 为半径画弧交CD 于E ，作EAB ∠的平分线交BC 于点P ，点P 即为所求.理由勾股定理可得DE ．
②如图2中，结论：EC//PA.只要证明PA BE ⊥，EC BE ⊥即可解决问题． ()2分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
解：()1①如图1中，以A 为圆心AB 为半径画弧交CD 于E ，作EAB ∠的平分线交BC 于点P ，点P 即为所求．
在Rt ADE 中，90D ∠=，10AE AB ==，8AD =，
22221086DE AE AD ∴-=-=，
故答案为6．
②如图2中，结论：//P EC A ．
理由：由翻折不变性可知：AE AB =，PE PB =，
PA ∴垂直平分线段BE ，
即PA BE ⊥，
PB PC PE ==，
90BEC ∠∴=，
EC BE ∴⊥，
//EC PA ∴．
()2①如图31-中，当点Q 在线段CD 上时，设DQ QD'x ==．
在Rt AD'B 中，AD'AD 8==，AB 10=，AD'B 90∠=，
22BD'AB AD'6∴=-=， 在Rt BQC 中，
222CQ BC BQ +=， 222(10x)8(x 6)∴-+=+，
x 4∴=，
DQ 4∴=．
②如图32-中，当点Q 在线段DC 的延长线上时，
DQ //AB ，
DQA QAB ∠∠∴=，
DQA AQB ∠∠=，
QAB AQB ∠∠∴=，
AB BQ 10∴==，
在Rt BCQ 中，CQ BQ 6==，
DQ DC CQ 16∴=+=，
综上所述，满足条件的DQ 的值为4或16．
故答案为4和16．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
3．（1）见解析；（2）24；（3）5AI =．
【分析】
（1）证∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证明△ABD ≌△CAE 即可； （2）连接CE ，交AF 于O ，由菱形的性质得∠COA ＝∠ADB ＝90°，同（1）得△ABD ≌△CAO （AAS ），得OC ＝AD ＝3，OA ＝BD ＝4，由三角形面积公式求出S △AOC ＝6，即可得出答案；
（3）过E 作EM ⊥HI 的延长线于M ，过点G 作GN ⊥HI 于N ，同（1）得△ACH ≌△EAM （AAS ），△ABH ≌△GAN （AAS ），得EM ＝AH ＝GN ，证△EMI ≌△GNI （AAS ），得EI ＝GI ，证∠EAG ＝90°，由勾股定理求出EG ＝10，再由直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】
（1）证明：∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，
∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°，
∵∠BAC ＝90°，
∴∠BAD +∠CAE ＝90°
∵∠BAD +∠ABD ＝90°，
∴∠CAE ＝∠ABD
在△ABD 和△CAE 中，
ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠??∠=∠??=?
， ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）；
（2）解：连接CE ，交AF 于O ，如图②所示：
∵四边形AEFC 是菱形，
∴CE ⊥AF ，
∴∠COA ＝∠ADB ＝90°，
同（1）得：△ABD ≌△CAO （AAS ），
∴OC ＝AD ＝3，OA ＝BD ＝4，
∴S △AOC ＝12OA ?OC ＝12
×4×3＝6， ∴S 菱形AEFC ＝4S △AOC ＝4×6＝24，
故答案为：24；
（3）解：过E 作EM ⊥HI 的延长线于M ，过点G 作GN ⊥HI 于N ，如图③所示： ∴∠EMI ＝∠GNI ＝90°，
∵四边形ACDE 和四边形ABFG 都是正方形，
∴∠CAE ＝∠BAG ＝90°，AC ＝AE ＝8，AB ＝AG ＝6，
同（1）得：△ACH ≌△EAM （AAS ），△ABH ≌△GAN （AAS ），
∴EM ＝AH ＝GN ，
在△EMI 和△GNI 中，
EIM GIH EMI GNI EM GN ∠=∠??∠=∠??=?
，
∴△EMI ≌△GNI （AAS ），
∴EI ＝GI ，
∴I 是EG 的中点，
∵∠CAE ＝∠BAG ＝∠BAC ＝90°，
∴∠EAG ＝90°，
在Rt △EAG 中， EG
10，
∵I 是EG 的中点，
∴AI ＝12EG ＝12
×10＝5．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
4．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）103DE =
． 【分析】
（1）过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，
①由正方形的性质可得//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=?，即可证明四边形DGHM 是平行四边形，可得DM=GH ，由90GOD ∠=?可得∠EDM=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质可得12∠=∠，利用ASA 可证明△ADE≌△CDM，可得DE=DM ，即可证明DE=GH ；
②由①得DM=DE ，根据勾股定理可得2，利用三角形三边关系即可得结论； （2）过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，可证明四边形GHND 为平行四边形，可得DN HG =，GD HN =，根据勾股定理可求出CN 的长，利用AAS 可证明ADM CDN ??≌，可得AM NC =，DM DN =，根据平行线的性质∠EDN=45°，根据角的和差故选可得∠MDE=∠EDN ，利用SAS 可证明MDE NDE ??≌，即可证明AE CN EN +=，设AE x =，利用勾股定理可求出x 的值，进而利用勾股定理求出DE 的值即可得答案．
【详解】
（1）如图（1），过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，EM ， ①∵四边形ABCD 为正方形，
∴//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=?
∴四边形DGHM 为平行四边形，
∴DM=GH ，GD HM =，
∵90GOD ∠=?，
∴90EDM EOH ∠=∠=?，
∴290EDC ∠+∠=?，
∵90ADC ∠=?，
∴190EDC ∠+∠=?，
∴12∠=∠，
在ADE ?和CDM ?中12A DCM AD DC ∠=∠??=??∠=∠?
，
∴ADE CDM ??≌，
∴DE DM =，
∴DE GH =．
②在DEM ?中，∠EDM=90°，
∴222DE DM EM +=，
∵DE DM =，
∴222DE EM =， ∴2EM DE =，
在EHM ?中，HM EH EM +>，
∵GD HM =， ∴2GD EH GH +≥．
（2）如图（2），过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，则四边形GHND 为平行四边形， ∴DN HG =，GD HN =，
∵90C ∠=?，4CD AB ==，25HG DN == ∴222CN DN DC =-=，
∴422BN BC CN =-=-=，
作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，
在ADM ?和CDN ?中90C MAD CDN ADM DC AD ∠=∠=???∠=∠??=?
，
∴ADM CDN ??≌，
∴AM NC =，DM DN =，
∵45GOD EOH ∠=∠=?，
∴45EDN ∠=?，
∴45ADE CDN ∠+∠=?，
∴45ADE ADN MDE ∠+∠=?=∠，
在MDE ?和NDE ?中MD ND MDE EDN DE DE =??∠=∠??=?
，
∴MDE NDE ??≌，
∴EM EN =，即AE AM AE CN EN +=+=，
设AE x =，则BE=4-x ，
在Rt BEN ?中，2222(2)x x +=+， 解得：43x
=， ∴2
222441043DE AD AE ??=+=+= ???
．
【点睛】
本题考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理，并正确作出辅助线是解题关键．
5．（1）见解析；（2）①见解析；②2+2
【分析】
（1）根据矩形的性质，结合角平分线的定义可证明△ABE ≌△AFD （AAS ），进而证得结论；
（2）①通过求解∴∠EFG=∠AED=67.5°，∠DFG=∠FDG=22.5°，进而可得EG=FG=DG ；
②AB=x ，则x ，DF=AF=x ，x-x ，利用勾股定理可求解x 值，再根据矩形ABCD 的面积=△AED 面积的2倍可求解．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD 为矩形，
∴AD ∥BC ，∠DAB=∠ABE=90°，
∴∠DAE=∠AEB ，
∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠BAE=∠AEB=45°，
∴AB=EB ，
∵DF ⊥AC
∴∠AFD=90°，
∴∠ABE=∠AFD=90°，
∵AE=AD ，
∴△ABE ≌△AFD （AAS ），
∴AB=AF ；
（2）①证明：∵AE=AD ，∠EAD=45°，
∴∠AED=∠ADE=67.5°，
∴∠FDG=22.5°，
∵AB=AF ，∠BAF=45°，
∴∠AFB=67.5°，
∴∠EFG=67.5°，
∴∠EFG=∠AED ，
∴FG=EG ，∠DFG=22.5°，
∴∠DFG=∠FDG ，
∴FG=DG ，
∴EG=DG ；
②∵EG=1，
∴DG=2，
设AB=x ，则x ，DF=AF=x ，
∴x-x ，
x-x ）2+x 2=22，
解得x 2，
∴矩形ABCD 的面积=2×
12
×AE×DF x 2． 【点睛】
本题主要考查勾股定理，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等腰
三角形的性质与判定，灵活运用定理是解题的关键．
6．（1）四边形AEFD 能够成为菱形，理由见解析；（2）5t =，理由见解析.
【分析】
（1）能；首先证明四边形AEFD 为平行四边形，当AE ＝AD 时，四边形AEFD 为菱形，即40﹣4t ＝2t ，解方程即可解决问题；
（2）当∠FDE ＝90°时，AEFD 为矩形，再根据线段的长度关系列方程求得.
【详解】
解：（1）四边形AEFD 能够成为菱形，
理由如下：在DFC ?中，90,30DFC C ∠=?∠=?，4DC t =，
∴2DF t =，
又∵2AE t =，∴AE DF =，
∵,AB BC DF BC ⊥⊥，∴//AE DF ，
又∵AE DF =，∴四边形AEFD 为平行四边形，
如图1，当AE AD =时，四边形AEFD 为菱形，即4042t t -=，解得203t =.
∴当203
t =
秒时，四边形AEFD 为菱形. （2）
如图2，当90FDE ∠=?时，四边形EBFD 为矩形，
在Rt AED ?中，60A ∠=?，则30ADE ∠=?，∴2AD AE =，
即4044t t -=，
解得5t =.
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是方程思想，学会构建方程解决问题.
7．（1）8-2t ，8-t ；（2）83或74
【分析】
（1）根据P 、Q 的运动速度以及AB 和CD 的长即可表示；
（2）分PQ=PB 、BP=BQ 和QP=QB 三种情况进行分析即可．
【详解】
解：（1）由题意可得：
DP=2t ，AQ=t ，
∴PC=8-2t ，BQ=8-t ，
故答案为：8-2t ，8-t ；
（2）当PQ=PB 时，
如图①，QH=BH ，
则t+2t=8，
解得，t=83
， 当PQ=BQ 时，
（2t-t ）2+62=（8-t ）2，
解得，t=74
， 当BP=BQ 时，
（8-2t ）2+62=（8-t ）2，
方程无解；
∴当t=83或74
时，△BPQ 为等腰三角形． 【点睛】
本题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定，掌握性质并灵活运用性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
8．（1）214
t ；（2）t =；（3）存在，如图2（见解析），当AHQ HBM ?时，
t =3（见解析），当ADE AHE ?时，t =4（见解析），当
EGQ HBF ?时，t = 【分析】 （1）先根据线段中点的定义可得12AQ AP =
，再根据矩形的性质、角平分线的定义可得45HAQ ∠=?，从而可得AQH 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得AH 的长，最后根据等腰直角三角形的面积公式即可得；
（2）先根据平行四边形的性质可得//HQ MP ，从而可得//HQ BP ，再根据三角形中位线定理可得HQ 是ABP △的中位线，从而可得122
AH AB ==，然后与（1）所求的
2
AH =建立等式求解即可得； （3）分①当点H 是AB 的中点时，AHQ HBM ?；②当点Q 与点E 重合时，ADE AHE ?；③当EG HB =时，EGQ HBF ?三种情况，分别求解即可得．
【详解】
（1）由题意得：2AP t =，
点Q 为AP 的中点，
12
AQ AP t ∴==， 四边形ABCD 是矩形，
90B D BAD ∴∠=∠=∠=?，
AE ∵是BAD ∠的角平分线，
1452
HAQ DAE BAD ∴∠=∠=∠=?， QH AB ⊥，
AQH ∴是等腰直角三角形，
22
AH HQ AQ t ∴===， 则AQH 的面积为
21124AH HQ t ?=； （2）如图1，四边形PQHM 是平行四边形，
//HQ MP ∴，
点M 在BC 边上，
//HQ BP ∴，
点Q 为AP 的中点，
HQ ∴是ABP △的中位线，
122
AH BH AB ∴===，
由（1）知，AH =
，
2=，
解得t =；
（3）由题意，有以下三种情况：
①如图2，当点H 是AB 的中点时，则AH
HB =，
四边形PQHM 是平行四边形， //HM PQ ∴，
HAQ BHM ∴∠=∠，
在AHQ 和HBM △中，90HAQ BHM AH HB AHQ HBM ∠=∠??=??∠=∠=??
，
()AHQ HBM ASA ∴?，
由（2）可知，此时2
2t =；
②如图3，当点Q 与点E 重合时，
在ADE 和AHE 中，9045D AHE DAE HAE AE AE ∠=∠=???∠=∠=???=?
，
()ADE AHE AAS ∴?，
3AD AH ∴==， 则232
=，
解得
32t =；
③如图4，当EG HB =时，
四边形ABCD 是矩形，四边形PQHM 是平行四边形，
//,//CD AB HM PQ ∴，
,90GEQ HAQ BHF EGQ AHQ B ∴∠=∠=∠∠=∠=?=∠，
在EGQ 和HBF 中，GEQ BHF EG HB EGQ B ∠=∠??=??∠=∠?
，
()EGQ HBF ASA ∴?， 2,42
AH AB ==， 242
HB AB AH ∴=-=-， 在Rt ADE △中，45,3DAE AD ∠=?=，
Rt ADE ∴是等腰直角三角形，232AE ==
32EQ AQ AE t ∴=-=-，
在Rt GEQ 中，45GEQ HAQ ∠=∠=?， Rt GEQ ∴是等腰直角三角形，22622t EG EQ -=
=， 则由EG HB =2624t -=-， 解得722
t =
综上，如图2，当AHQ HBM ?时，22t =；如图3，当ADE AHE ?时，32t =4，当EGQ HBF ?时，722
t =
【点睛】 本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分三种情况讨论并画出图形是解题关键．
9．（1）5EF =；（2）见解析；（3）5BE =
【分析】
（1）先用SAS 证ABG ≌ADF ，可得AG=AF ，∠BAG=∠DAF ，又可证∠EAG=∠EAF ，故可用SAS 证GAE ≌FAE ，EF=GE ，即EF 长度可求；
（2）在DF 上取一点G ,使得DG=BE , 连接AG ，先用SAS 证ABE ≌ADG ，可得AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，又可证∠EAF=∠GAF ，故可用SAS 证AEF ≌AGF ，可得EF=GF ，且DG=BE ，故EF=DF-DG=DF-BE ；
（3）在线段DF 上取BE=DG ，连接AG ，求证∠ABE=∠ADC ，即可用SAS 证
ABE ≌ADG ，可得AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，又可证∠EAF=∠GAF ，故可用SAS 证AEF ≌AGF ，可得EF=GF ，设BE=x ，则CE= 7+x ，EF=18-x ，根据勾股定理：
222CE CF =EF +，即可求得BE 的长度．
【详解】
解：（1）证明：如图1所示，在正方形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=90°， 在ABG 和ADF 中，
AB=AD ABG=ADF BG=DF ??∠∠???
∴ABG ≌ADF （SAS ），
∴AG=AF ，∠BAG=∠DAF ，
又∵∠DAF+∠FAB=∠FAB+∠BAG=90°，且∠EAF=45°，
∴∠EAG=∠FAG-∠EAF=45°=∠EAF ， 在GAE 和FAE 中，
AG=AF GAE=FAE AE=AE ??∠∠???
∴GAE ≌FAE （SAS ），
∴EF=GE=GB+BE=2+3=5；
（2）如下图所示，在DF 上取一点G ,使得DG=BE , 连接AG ，
∵四边形ABCD 是正方形，故AB=AD ，∠ABE=∠ADG=90°， 在ABE 和ADG 中，
AB=AD ABE=ADG=90BE=DG ??∠∠????
∴ABE ≌ADG （SAS ），
∴AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，
∵∠BAG+∠DAG=90°，故∠BAG+∠BAE=90°，
∵∠EAF=45°，故∠GAF=45°，∠EAF=∠GAF=45°， 在AEF 和AGF 中，
AE=AG EAF=GAF=45AF=AF ??∠∠????
∴AEF ≌AGF （SAS ），
∴EF=GF ，且DG=BE ，
∴EF=DF-DG=DF-BE ；
（3）BE=5，
如下图所示，在线段DF 上取BE=DG ，连接AG ，