2012南京二模试题及答案 数学

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江苏省南京市2012届高三3月第二次模拟考试数学试卷

数学试卷

一．填空题

1.已知集合}|{},,02|{2a x x B R x x x x A ≥=∈≤-=,若B B A =?,则实数a 的取值范围是_______________

2.已知

i b i

i

a -=+3，其中R

b a ∈,，i 为虚数单位，则b a +=_____________ 3.某单位从4名应聘者A,B,C,D 中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A,B 两人中

至少有1人被录用的概率是________________

4.某日用品按行业质量标准分为五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f 的分布表如下

：

则在所抽取的200件日用品中，等级系数X=1的件数为_______________

5.已知变量x,y 满足约束条件??

?

??≤≤-≥+.2,1,

2y y x y x 则目标函数y x z +-=2的取值

范围是_________

6.已知双曲线12

22=-y a

x 的一条渐近线方程为02=-y x ,则该

双曲线的离心率e=_______

7.已知圆C 经过直线022=+-y x 与坐标轴的两个交点,又经过抛物线x y 82

=的焦点,则圆C 的方程为________________ 8.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若

3

163=S S ,则=7

6

S S _____________ 9.已知函数)2

||,0,0)(sin(π

?ω?ω<

>>+=A x A y 的部分图像

如图所示，则ω的值为___

10.在如果所示的流程图中，若输入n 的值为11.则输出A 的值为______

11.一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x=6cm 时，该容器的容积为__________________3

cm .

12.下列四个命题：

（1）“01,2≤+-∈?x x R x ”的否定; (2)“若2,062>≥-+x x x 则”的否命题；

(3)在ABC ?中，“o

A 30>”是“2

1

sin >

A ”的充分不必要条件； (4)“函数)tan()(?+=x x f 为奇函数”的充要条件是“)(Z k k ∈=π?”.

其中真命题的序号是____________________(真命题的序号都填上)

13.在面积为2的ABC ?中，E,F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2

+?的最小值是______________

14.已知关于x 的方程03)2(log 22222=-+++a x a x 有唯一解，则实数a 的值为________ 二、解答题

15．（本题满分14分）

设向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，θ为锐角 （1）若a ·b =

6

13

,求sin θ+cos θ的值； （2）若a //b ,求sin(2θ+

3

π

)的值．

16. （本题满分14分）

如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC. （1） 求证：平面AEC ⊥平面ABE ； （2） 点F 在BE 上，若DE//平面ACF ，求BE

BF

的值。

2

17．（本题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xoy 中， 椭圆C ：

22

22

1(0)x y a b a b +=>>的离心率为23，以原点为圆心，椭

圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）已知点P(0,1),Q(0,2),设M,N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T 。求证：点T 在椭圆C 上。

18．（本小题满分16分）

某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l 上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC,CD 用一根5米长的材料弯折而成，边BA,AD 用一根9米长的材料弯折而成，要求A ∠和C ∠互补，且AB=BC,

(1) 设AB=x 米，cosA=()f x ,求()f x 的解析式，并指出x 的取值范围．

(2) 求四边形ABCD 面积的最大值。 ．

19．（本小题满分16分）

已知函数|,|)(bx e x f x -=其中e 为自然对数的底.

（1）当1=b 时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；

（2）若函数y=f(x)有且只有一个零点，求实数b 的取值范围；

（3）当b>0时，判断函数y=f(x)在区间（0，2）上是否存在极大值，若存在，求出极大值及 相应实数b 的取值范围. 20．（本小题满分16分）

已知数列{a n }

满足：),0(1*∈>N n n a λ其中常数

（1）求数列{a n }的通项公式；

（2）当λ=4时，是否存在互不相同的正整数r,s,t,使得t s r a a a ,,成等比数列？若存在，给出r,s,t 满足的条件；若不存在，说明理由；

（3）设S n 为数列{a n }的前n 项和，若对任意*

∈N n ，都有n n n a S λλλ2)1(≥+-恒成立，求

实数λ的取值范围。

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