1977年江苏省高考数学试卷
1977年江苏省高考数
学试卷
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
1977年江苏省高考数学试卷
一、解答题(共15小题,满分100分)
1.(6分)(1977?江苏)计算:.
2.(6分)(1977?江苏)求函数的定义域.
3.(8分)(1977?江苏)解方程:
4.(8分)(1977?江苏)计算:.
5.(8分)(1977?江苏)把直角坐标方程(x﹣3)2+y2=9化为极坐标方程.
6.(8分)(1977?江苏)计算
7.(8分)(1977?江苏)分解因式x4﹣2x2y﹣3y2+8y﹣4.
8.(8分)(1977?江苏)过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为的直线,它与抛物线相交于A、B 两点.求A、B两点间的距离.
9.(8分)(1977?江苏)在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CD、CE分别为斜边AB上的高和中线,且∠BCD与∠ACD之比为3:1,求证CD=DE.
10.(8分)(1977?江苏)在周长为300cm的圆周上,有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周运动.甲球从A点出发按逆时针方向运动,乙球从B点出发按顺时针方向运动,两球相遇于C 点.相遇后,两球各自反方向作匀速圆周运动,但这时甲球速度的大小是原来的2倍,乙球速度的大小是原来的一半,以后他们第二次相遇于D点.已知AmC=40厘米,BnD=20厘米,求ACB的长度.
11.(8分)(1977?江苏)若三角形三内角成等差数列,求证必有一内角为60°.
12.(8分)(1977?江苏)若三角形三内角成等差数列,而且三边又成等比数列,求证三角形三内角都是60°.
13.(8分)(1977?江苏)在两条平行的直线AB和CD上分别取定一点M和N,在直线AB上取一定线段ME=a;在线段MN上取一点K,连接EK并延长交CD于F.试问K取在哪里△EMK与△FNK的面积之和最小最小值是多少
14.(1977?江苏)求极限
15.(1977?江苏)求不定积分.
1977年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、解答题(共15小题,满分100分)
1.(6分)(1977?江苏)计算:.
考点:有理数指数幂的运算性质.
专题:计算题.
分析:按照指数幂的简单化简方法,依次化简指数幂,进而可得答案.
解答:
解:原式==+100﹣1+=99.
故答案为:99
点评:本题考查指数幂的简单化简,难度不大,学生只要掌握运算公式,做题细心一点就行了2.(6分)(1977?江苏)求函数的定义域.
考点:函数的定义域及其求法.
分析:根据题意,写出三个部分的定义域,再求交集可得答案.
解答:
解:根据题意,得,
解可得,
故函数的定义域为2≤x<3和3<x<5.
点评:本题考查函数定义域的求法,是基本的题目,要牢记各种函数的定义域.
3.(8分)(1977?江苏)解方程:
考点:有理数指数幂的运算性质.
分析:根据125=53=,令指数相等即可.
解答:解:原方程即,
∴x2+2x=3∴x=﹣3或x=1.
故原方程的解为:x=﹣3或x=1.
点评:本题主要考查解指数函数型方程的问题.
4.(8分)(1977?江苏)计算:.
考点:对数的运算性质.
专题:计算题.
分析:利用根式分数指数幂化简,然后利用对数性质求解即可.
解答:解:
=.
点评:本题考查根式分数指数幂的化简,对数的运算性质,是基础题.
5.(8分)(1977?江苏)把直角坐标方程(x﹣3)2+y2=9化为极坐标方程.
考点:点的极坐标和直角坐标的互化.
专题:计算题.
分析:利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得.
解答:解:原方程可展开为x2﹣6x+9+y2=9,
x2﹣6x+y2=0→ρ2﹣6?ρcosθ=0
∴ρ=0或ρ=6cosθ
即ρ=6cosθ.
点评:本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.
6.(8分)(1977?江苏)计算
考点:极限及其运算;等差数列的前n项和.
专题:计算题.
分析:数列1,2,3,…,n为首项为1,公差为1的等差数列,则前n项的和为,代入极
限求出即可.
解答:
解:原式=
点评:考查学生掌握极限及其运算的能力,以及求等差数列前n项和的能力.
7.(8分)(1977?江苏)分解因式x4﹣2x2y﹣3y2+8y﹣4.
考点:有理数指数幂的化简求值.
专题:计算题.
分析:将﹣3y2变为y2+(﹣4y2),则原式变为6项,前三项结合,后三项结合分别利用完全平方公式的逆运算分解因式,然后再利用平方差公式分别因式即可.
解答:解:原式=(x4﹣2x2y+y2)﹣(4y2﹣8y+4)=(x2﹣y)2﹣(2y﹣2)2=(x2﹣y+2y﹣2)(x2
﹣y﹣2y+2)
=(x2+y﹣2)(x2﹣3y+2).
点评:此题的突破点是利用拆项法将﹣3y2进行变形,考查学生灵活运用完全平方公式和平方差公式进行因式分解.分解因式时,学生应注意将因式分解到底.
8.(8分)(1977?江苏)过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为的直线,它与抛物线相交于A、B
两点.求A、B两点间的距离.
考点:抛物线的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题.
专题:计算题.
分析:先根据抛物线方程确定焦点坐标,再根据倾斜角确定直线AB的方程,再与抛物线方程联立利用韦达定理确定A,B两点横坐标之和与横坐标之积,即纵坐标之和与纵坐标之积.最后
根据两点间距离公式求得A、B两点间的距离.
解答:解:抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0)
所作直线方程为,
它与抛物线之二交点坐标由下面方程组
确定,
解得(1﹣x)2=4x,x2﹣6x+1=0
由根与系数关系,得x1+x2=6,x1x2=1.
又解得y2=4(1﹣y),y2+4y﹣4=0,
y1+y2=﹣4,y1y2=﹣4.
由两点间距离公式
但(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1x2=36﹣4=32,
(y1﹣y2)2=(y1+y2)2﹣4y1y2=16+16=32
∴
故AB两点间距离为8.
点评:本题主要考查了抛物线与直线的关系问题.一般是把直线方程和抛物线方程联立,获得一元二次方程,再利用韦达定理来找到解决问题的突破口.
9.(8分)(1977?江苏)在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CD、CE分别为斜边AB上的高和
中线,且∠BCD与∠ACD之比为3:1,求证CD=DE.
考点:相似三角形的性质.
专题:证明题.
分析:欲求证CD=DE,在直角三角形CDE中,只须证明其中一个锐角为45度即可,利用CD、CE 分别为斜边AB上的高和中线可得:“∠B=∠ECB,∠ACD=∠ECB”,再利用∠BCD与
∠ACD之比为3:1即可求得∠ECD的大小,从而解决问题.
解答:证明:∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=90°,
∴∠ACD=∠B
又∵CE是直角△ABC的斜边AB上的中线
∴CE=EB
∠B=∠ECB,∠ACD=∠ECB
但∵∠BCD=3∠ACD,
∠ECD=2∠ACD=∠ACB
=×90°=45°,
△EDC为等腰直角三角形
∴CE=DE.
点评:本小题主要考查直角三角形中边角关系、三角形高和中线等基础知识,考查运算求解能力、转化思想.属于基础题.
10.(8分)(1977?江苏)在周长为300cm的圆周上,有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周
运动.甲球从A点出发按逆时针方向运动,乙球从B点出发按顺时针方向运动,两球相遇于C
点.相遇后,两球各自反方向作匀速圆周运动,但这时甲球速度的大小是原来的2倍,乙球速度的
大小是原来的一半,以后他们第二次相遇于D点.已知AmC=40厘米,BnD=20厘米,求ACB的长
度.
考点:函数模型的选择与应用;根据实际问题选择函数类型.
专题:应用题.
分析:本题考查的知识点是方程的构造与应用,要求ACB的长度,由AmC=40厘米,我们只要求
出BC长即可,我们不妨设BC=x厘米,甲球速度为v
甲,乙球速度为v
乙
.然后根据相遇问题
中时间相等,构造两次相遇时的方程,解方程组即可求出答案.解答:解:如图设BC=x厘米.
甲球速度为v
甲,乙球速度为v
乙
.
根据二次从出发到相遇二球运动的时间都相同,
可得第一次等候时方程
第二次等候时方程.
由此可得,
(x﹣40)(x﹣80)=0.
由于已知条件v
甲≠v
乙
,
∴x≠40,
x=80(厘米)
ACB=40+80=120(厘米).
点评:方程与函数思想是中学阶段的四大数学思想之一,在利用方程思想解决问题时,我们要解决两个问题:一是谁是未知数,一般由“求谁设谁”的原则来决定;二是找等量关系,如本题中
相遇问题的时间相等.并由些构造方程,进行求解.
11.(8分)(1977?江苏)若三角形三内角成等差数列,求证必有一内角为60°.