五年级奥数重难点：等差数列
五年级奥数重难点：等差数列
什么叫做等差数列？数列中每相邻两个数的差是一个固定值，这样的数列就是等差数列。这个固定的差值叫做公差，数列中的第一项叫做首项，最后一项叫做末项，数字的个数叫做项数。
知识点一：等差数列求项数
公式：项数=（末项-首项）÷公差+1
【例1】求下列数列共有多少项？
2，5，8，11，...，98，101
边学边练：
求下列数列共有多少项？
①1，4，7，10，...，100 ②4，9，14，19，...，109
知识点二：等差数列求末项
公式：末项=首项+（项数-1）×公差
【例2】等差数列2，7，12，17，22，···的第100项是多少？
边学边练：
1、有一列数：5，8，11，14，···它的第100项是多少？
2、数列：3，8，13，18，···的第80项是多少？
知识点三：等差数列求和
①基本公式：等差数列和=（首项+末项）×项数÷2
②特殊公式：等差数列和=中间项×项数
【例3】计算1+2+3+4+…+78+79+80
边学边练：
1、计算：3+6+9+…+2001
2、计算：5+10+15+20+? +190+195的和。
【例4】计算：（1+3+5+...+1997+1999）-(2+4+6+...+1996+1998)
边学边练：
1、计算：1+3+5+7+...+97+99+97+...+7+5+3+1
2、计算：1÷1999+2÷1999+3÷1999+...+1998÷1999+1999÷1999
知识点四：在很多的问题中，通常都可以转化为等差数列来解决。
【例5】小王和小胡两人比赛赛跑，限时时间为10秒，谁跑的距离长谁就获胜，小王第一秒跑1米，以后每秒都比前一秒多跑0.1米，小胡自始至终每秒跑1.5米，谁能取胜？
边学边练：
1、四（2）班有45个同学矩形一词联欢会，同学们在一起一一握手，且每两人只能握一次，问同学们共握多少次手？
2、阳光影视城的一个放映厅设置了20排座位，第一排有30个座位，往后每一排都比前一排多2个座位。问这个剧场一共有多少个座位？
【例6】如图所示：有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层，第二层每边有两个点，第三层每边三个点，…，这个六边形点阵共100层，问：这个点阵共有多少个点？
边学边练：
1、黑、白两种颜色的珠子，一层黑、一层白排成正三角形的形状（如图4-2）。当白珠子比黑珠子多10颗时，共用了多少颗白珠子？
2、平面上有100条直线，其中没有两条直线互相平行，也没有三条直线或三条以上直线相交于一点，平面上这100条直线共有交点多少个？
课后练习：
1、有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少？
2、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?
3、计算：0.1+0.4+0.7+0.10+0.13+0.16+0.19+...+1.00
4、计算：9.1+9.2+9.3+...+10.7+10.8+10.9
5、计算：12.34+23.45+34.56+45.67+56.78+67.89+78.91+89.12+91.23
6、一个等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?
7、计算：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+...+0.97+0.99
8、一个物体从空中落下来，经过4秒落地，已知第一秒下落4.9米，以后每一秒下落的距离都比前一秒多9.8米，这个物体在下落前距离地面多少米？
9、一个剧院共有25排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多2个座位，第25排有70个座位，这个剧院共有多少个座位?
10、有一个六边形点阵，如下图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点……这个六边形点阵共100层，问，这个点阵共有多少个点？
五年级奥数-数列与数表
五年级奥数－数列与数表 1.计算：（2+5+8+......+194）÷（4+7+ (196) 2.一本600页的书，小明每天都比前一天多读一页，16天刚好读完这本书，那 么他最后一天读了多少页？ 3.有一列数，前两个数分别是0和1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数 的和：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。那么这个数列的第2005个数除以8所得的余数是多少？ 4.把自然数按照下列规则排列，那么2008应该排在左起第几列？ 1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14 18 19 20 21 25 24 23 22 26 27 28 29 …… …… 5.观察下面的一列有规律的算式：5+3，7+6，9+9，11+12，……则按照规律第 2008个算式的结果应该是多少？
五年级奥数－数列与数表答案 1.解析： 2，5，8，......，194是以3为公差的等差数列，共有（194-2）÷3+1=64项，则2+5+8+......+194=（2+194）×64÷2=98×64。4，7，10， (196) 每一项都比上面的等差数列中每一项多2，因此4+7+10+……+196=98×64+2×64=100×64。因此原式=98÷100=0.98。 2.解析： 设小明最后一天读了x页，则第一天读了x-15页，由题意可得方程：（x-15+x）×16÷2=600，解得，x=45。 3.解析： 这串除以8所得的余数依次是：0，1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0，1，1，2，……。余数数列从第1个开始，以0、1、1、2、3、5、0、5、5、 2、7、1这12个数为一组依次循环出现的，又2008=12×167+4，所以第2008 个数除以8所得的余数与第4个余数相同，即为2。 4.解析： 观察数列可知，除了前5个数之外，后面的数以8为周期，由2008=8×250=8+8×249，所以2008与8在同一列，即2008在左边第2列。 5.解析： 通过观察可以发现，题目中出现的算式的规律是：每一个算式的第一个加数比上一个算式的第一个加数多2，而每一个算式的第二个加数比上一个算式的第二个加数多3。以此推断，第2008个算式的两个加数分别是5+2×2007和3+3×2007，所以该算式的结果为5+2×2007+3+3×2007=10043。
高考数学重点难点讲解十二等差数列等比数列的性质运用
难点 12 等差数列、等比数列的性质运用
等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前 n 项和公式的引申. 应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解 决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.高考中也一直重点考 查这部分内容.
●难点磁场 (★★★★★)等差数列{an}的前 n 项的和为 30，前 2m 项的和为 100，求它的前 3m 项的 和为_________. ●案例探究
［例 1］已知函数 f(x)= 1 (x<－2). x2 4
(1)求 f(x)的反函数 f-－1(x);
(2)设 a1=1, 1 =－f－-1(an)(n∈N*),求 an; a n 1
(3)设 Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1－Sn 是否存在最小正整数 m,使得对任意 n∈N*,有 bn< m 25
成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由. 命题意图：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力，
属★★★★★级题目. 知识依托：本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单
调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题. 错解分析：本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，
(2)问以数列{
1 an2
}为桥梁求
an,不易突破.
技巧与方法：(2)问由式子 1 an1
1 an2
4得
1
a
2 n1
1 an2
=4,构造等差数列{
1 an2
},从而
求得 an,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想.
解：(1)设 y=
1 ,∵x<－2,∴x=－ x2 4
4
1 y2
,
即 y=f－-1(x)=－
4
1 y2
(x>0)
(2)∵ 1 an1
4
1 an2
,
1 an12
1 an2
4，
∴{
1 an2
}是公差为
4
的等差数列，
五年级奥数数列计算练习题及答案
数列计算 从第二项起，后一项与前一项的比值是同一个数，这样的数叫做等比数列。从1的立方开始的自然数的立方之和等于这些和的平方。 例题精讲 例1 计算:0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+…+0.97+0.99。 【思路点拨】在计算时如果把所有的数看成是一个等差数列,那就错了,因为前几个数相邻两数之间相差0.2,而后面的数相邻两数的差是0.02,所以在求和时要分开考虑,从0.1到0.9是一个等差数列,而从0.11到0.99又是一个等差数列。 【详细解答】 0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+…+0.97+0.99 (0.1+0.9)×5÷2+(0.11+0.99)×45÷2 =2.5+49.5÷2 =2.5+24.75 =27.25 【题后反思】首先观察时应该把小数分为两类:一位小数、两位小数。再分别求和,注意要理解并牢记等差数列求和公式。 例2计算:1+3+9+27+81+243+729+2187。
【思路点拨】加法算式中的数后一项总是前一项的3倍,构成一个等比数列。在求和时要根据等比数列的特点来做。把这些数的和用S来表示,如果把每项扩大3倍,则3S=3+9+27+81+243+729+2187+6561。把3S的每项与原来等比数列的每项比较,很多项是相 同的,3S比S多的就是6561-1=6560,3s是S的3倍,比S多2倍,所以S=6560÷2 =3280。 【详细解答】 设S=1+3+9+27+81+243+729+2187,则 3S=3+9+27+81+243+729+2187+6561 3S-S=6561-1,2S=6560 S=6560÷2=3280 【题后反思】扩倍法、缩倍法是等比数列求和的基本方法,扩的倍数就是公比。这远远比中学的公式法好理解。 同步练习 1.计算下列一组数的和：105，110，115，120…，195，200 2.有一列数:2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,…它的第2005项是几?前2005项的和是多少?
1-2-1-3 等差数列应用题.教师版【小学奥数精品讲义】
1 【例 1】 100以内的自然数中。所有是3的倍数的数的平均数是 。 【考点】等差数列应用题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第3题，5分 【解析】 100以内的自然数中是3的倍数的数有0，3,6,9,99共33个，他们的和是 ()09934 179916832 +?=?=，则他们的平均数为1683÷34=49.5。 【答案】49.5 【例 2】 一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了一个野果，第二只小猴摘了2个野果，第三只小猴摘了 3个野果，依次类推，后面的小猴都比它前面的小猴多摘一个野果。最后，每只小猴分得8个野果。这群小猴一共有_________只。 【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第7题 例题精讲 等差数列应用题
【解析】平均每只猴分8个野果，所以最后一只猴摘了821=15 ?-只果，共有15只猴. 【答案】15只猴子 【例 3】15位同学排成一队报数，从左边报起思思报10．从右边报起学学报12．那么学学和思思中间排着有位同学． 【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】填空 【关键词】学而思杯，1年级 【解析】因为从左边起思思报10，所以，思思的右边还有15105 -=（个）；又因为从右边起学学报12，所以，学学的左边还有15123 -=（个），15645 --=（个）学学和思思中间排着5位同学．<考点> 排队问题 【答案】5位 【例 4】体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？ 【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答 【解析】首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20 【答案】20 2
等差数列的定义及通项的重难点突破
等差数列 教学目标 1．理解等差数列的概念，明确“同一个常数”的含义． 2．掌握等差数列的通项公式及其应用． 3．会判定或证明等差数列；了解等差数列与一次函数的关系． 基础知识 1．等差数列 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的______，通常用字母d 表示． 名师点拨 (1)定义中“每一项与它的前一项的差”的含义有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻． (2)公差d ∈R ，当d ＝0时，数列为常数列；当d ＞0时，数列为递增数列；当d ＜0时，数列为递减数列． 【做一做1】 等差数列4,7,10,13,16的公差等于__________． 2．通项公式 等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则通项公式是a n ＝________. 归纳总结 (1)如果数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (p ，q 是常数)，那么数列{a n }是等差数列． (2)如果数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ＞1，n ∈N *)，那么数列{a n }是等差数列． 【做一做2】 已知等差数列{a n }中，首项a 1＝4，公差d ＝－2，则通项公式a n 等于( ) A ．4－2n B ．2n －4 C ．6－2n D ．2n －6 3．等差中项 如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么____叫做______的等差中项． 归纳总结 等差中项的性质： ①A 是a 与b 的等差中项，则A ＝a ＋b 2 或2A ＝a ＋b ，即两个数的等差中项有 且只有一个． ②当2A ＝a ＋b 时，A 是a 与b 的等差中项． 【做一做3】 13与－11的等差中项m ＝__________. 重点难点 1．对等差数列定义的理解
小学奥数等差数列
一、等差数列的定义 定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等 差数列． 譬如： 2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列 关键词： 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示 末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示； 公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ． 二、三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)?公差，11n a a n d =+-?（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)?公差，11n a a n d =--?（） 拓展公式：n m a a n m d -=-?（）， n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)； 11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 知识结构 等差数列的基本概念及公式
③ 求和公式：和=(首项+末项)?项数÷2 (思路1) 1239899100++++++ 11002993985051= ++++++++共50个101 （）（）（）（）101505050=?= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101 ++++ +++=++++ +++=++++ +++和=1+和倍和即，和 (1001)1002101505050=+?÷=?= 三、一个重要定理：中项定理 1、项数为奇数的等差数列，和=中间项×项数． 譬如：①4+8+12+…+32+36=（4+36）×9÷2=20×9=180， 题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209?； ② 65636153116533233331089++++++=+?÷=?=（）， 题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333?． 2、项数是偶数的等差数列，中间一项等于中间两项的平均数。和=中间项×项数． （1） 找出题目中首项、末项、公差、项数。 （2） 必要时调整数列顺序。 重难点
高中数学等差数列教案3篇
高中数学等差数列教案3篇 教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。下面是为大家收集等差数列教案，希望你们能喜欢。 等差数列教案一 【教学目标】 1. 知识与技能 (1)理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列： (2)账务等差数列的通项公式及其推导过程： (3)会应用等差数列通项公式解决简单问题。 2.过程与方法 在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊
到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。 3.情感、态度与价值观 通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。 【教学重点】 ①等差数列的概念;②等差数列的通项公式 【教学难点】 ①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差数列的通项公式的推导过程. 【学情分析】 我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生)，经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重
引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展. 【设计思路】 1.教法 ①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性. ②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性. ③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点. 2.学法 引导学生首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法. 【教学过程】 一：创设情境，引入新课
等差数列概念说课稿
课题§6.2.1 等差数列的概念说课稿 尊敬的各位领导各位老师 大家上午好！ 今天我说课内容是选自人教版数学（基础模块）下册第六章第二节《等差数列的概念》，本节是第一课时。下面我将从说教材、说学生、说教法与学法、说教学过程设计等方面来对本节课进行说明。 一、教材分析 1.教材的地位与作用 等差数列是数列这一章的重要内容之一，它在实际生活中有广泛的应用。本节内容是学生在学习了数列的有关概念的基础上，对数列的知识进一步深入学习和拓展。同时等差数列的学习也为今后继续学习等比数列提供了学习对比的依据。所以，本节课在知识结构上起着承上启下的作用。 2、教学目标 根据教学大纲与学生的实际情况我制定如下教学目标： 【知识目标】 a.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式。 b. 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题。 【能力目标】 通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力；提高学生分析问题解决问题的能力。 【情感目标】 a．让学生体验从特殊到一般的认知规律，培养学生勇于创新的
科学精神。 b. 让学生养成细心观察、认真分析问题的良好的思维习惯。 3.教学重难点 【教学重点】 等差数列的概念和通项公式。 【教学难点】 等差数列的通项公式推导过程及灵活应用。 二、学情分析 中职学生数学基础比较薄弱，但作为高中生他们本身具备一定的观察，思考，分析能力。前面已对数列的知识有了初步的接触与认识，对数学公式运用已具备一定的技能，针对学生的这些情况我在教学中从学生的生活经验和已有的知识背景出发，充分调动学生的积极性，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位。 三、教法与学法 【教法分析】 本节课我采用启发式、小组探究法以及讲练结合的教学方法。通过问题激发学生求知欲，在教师的启发引导下，使学生主动参与数学实践活动，让学生去分析、探索，得到结论。从而使学生既获得知识又发展智能。通过讲练结合法可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 【学法分析】 在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去观察分析，探索新知。同时鼓励学生大胆质疑，学会探究，把思路方法和需要解决的问题弄清。 四、教学过程设计
五年级奥数第02讲-等差数列(学)
学科教师辅导讲义 知识梳理 一、数列的概念 按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。 如：2、5、8、11、14、17、20、L从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、L从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列 二、等差数列与公差 一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。 三、常用公式 等差数列的总和=（首项+末项）?项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 末项=首项+公差?（项数-1） 首项=末项-公差?（项数-1） 公差=（末项-首项）÷（项数-1） 等差数列（奇数个数）的总和=中间项?项数 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．
典例分析 考点一：等差数列的基本认识 例1、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。 ①6，10，14，18，22， (98) ②1，2，1，2，3，4，5，6； ③1，2，4，8，16，32，64； ④9，8，7，6，5，4，3，2； ⑤3，3，3，3，3，3，3，3； ⑥1，0，1，0，l，0，1，0； 例2、把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？ 例3、已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？第19项是多少？ 例4、2、4、6、8、10、12、L是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个．例5、5、8、11、14、17、20、L，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？
奥数五年级等差数列练习题
奥数五年级（等差数列）姓名： 1、等差数列1、5、9、13、、、、、、中，201是第几项？ 1、在10与42之间插入3个数，使5个数成为等差数列，这3个 数各是多少？ 2、等差数列第1项是2，第2项是10，求它的第20项是多少？ 4、1+2+3+4+、、、、、、、、+2008+2009 5、2001-3-6-9-、、、、、、-57-60 6、20个小朋友排成一排玩报数游戏，后一个同学报的数都比前一个同学报的数多3，已知最后一个同学报的数是62，第一个同学报的数是多少？ 7、等差数列3、8、13、18、、、、、、中，188是第几项，第188项是多少？
8、一个等差数列的第一项是5，第六项是35，它的公差是多少？它的第十项是多少？ 9、某市举行数学竞赛前规定，前15名可以获奖，比赛结果第一名取1人，第二名并列2人，第三名并列3、、、、、、、，第十五名并列15人，用最简单的方法计算出得奖的一共有多少人？ 10、20个同学聚会，见面时每个人都和其余的人握手一次，那么一共握手多少次？
11、学校男教师进行乒乓球比赛，每个参赛选手都要和其他所有选手赛一场，一共进行了45场比赛，共有多少位男教师参加比赛？ 12、现有9个盒子，用下面的方法往盒中装小球，第一个盒里装1个，第2个盒装4个，第3个盒装7个、、、、、照这样的装法，则将9个盒都装完，共需多少个小球？ 13、已知有一个等差数列：32、32*2、32*3、32*4、、、、 （1）写出这个等差数列中的第2008项？ （2）64064是这个等差数列中的第几项？
14、自然数中所有两位数之和是多少？ 综合练习：1、四年级一班和二班的平均人数是48个人，二班和三班的平均人数是50人，一班和三班的平均人数是53人，四年级的三个班共有（）人？ 2、食堂有大米和面粉共351袋，如果大米增加20袋，面粉减少50袋，那么大米的袋数比面粉的袋数的3倍还多1袋，原来大米有（）袋，面粉有（）袋？ 3、王飞以每小时40千米的速度行了240千米，按原路返回时每小时行60千米，王飞往返的平均速度是每小时行（）千米。
等差数列问题与植树问题教案
一、授课目的：1、学习等差数列问题和植树问题。2、突破重点和难点，全面提高解题能力。 二、考点分析：本节课的重点是分析方法和解题思维的训练。 三、授课内容： （一）等差数列问题 1、数列和=（首项+末项）×项数÷2 2、末项=首项+(项数-1)×公差 3、项数=（末项-首项）÷公差+1 例1、10+12+14+---+98+100 例2、已知一数列2、5、8、11、14、、、问这个数列的第28项是哪个数？ 例3、已知一数列6、8、10、12、、、问88是这个数列的第几项？ 例4、小明看一本书，第一天看了3页，以后每天比前一天多看2页，10天刚好看完，这本书共有多少页？
【练习】 1．求等差数列1，6，11，16…的第20项是多少？第35项是多少？251是这个等差数列的第几项？ 2、已知等差数列2，5，8，11，14…，问47是其中第几项？ 3、已知等差数列的公差为4，末项为280，数列共25项，这个数列的首项是多少？这个数列的第16项是多少？ （二）植树问题 1路的两端都植树： 线路总长÷棵距+1=棵数（棵数-1）×棵距=线路总长 2路的两端都没有植树： 线路总长÷棵距-1=棵数（棵数+1）×棵距=线路总长
3路的一端植树，另一端不植树或者是封闭线路如长方形等： 线路总长÷棵距=棵数棵数×棵距=线路总长 例1、学校门口有条长100米的大道，每隔5米种一棵树，两头都要种，一边种要多少棵树？两边都种共要多少棵树？ 例2.一段公路两旁每隔5米种一棵白杨树，共372棵。这段公路长多少米？ 【练习题】1、从公园通往湖心的小岛有一条长900米的小路，在小路的两侧，从头到尾每隔15米栽1棵树，需要多少棵数？ 2、有12名小学生站成一排，要求在每两名小学生中间放2盆花，需要摆放几盆？
06小学五年级奥数练习及部分答案--1数列规律的应用--找规律(四)
最新小学五年级奥数练习题 一、数列规律的应用--找规律(四) (1) 二、等差数列求和的应用--数列(二) (7) 三、包含与排除(二) (14) 四、小数的巧算--巧算(四) (19) 五、行程问题(三) (25) 六、行程问题(四) (31) 七、牛吃草问题 (36) 八、平面图形的面积(二) (39) 九、计数问题 (45) 十、数的进位制(二) (50) 十一、简单抽屉原理(一) (54) 十二、简单的统筹规划问题 (60) 部分答案 (68)
一、数列规律的应用--找规律(四) 按一定的顺序排列的一串数，叫做数列，每一个数是数列的一项，排在第几个位置就叫第几项。 要找到数列的规律,必须善于观察，一般可以从以下几方面去观察数列： ①数列的每一项怎样随项数变化而变化； ②后面的项与前面的项有什么关系； ③数列分组后有什么规律。 注意：同一个数列，从不同的方面去观察，可以有不同的规律性。 如数列：1，4，9，16，25，36，…… 规律1：从第2项起每一项比前一项依次大3，5，7，9，11，…… 规律2：每一项=它的项数的平方。把这个数列看作：12 ，22 ，32 ，42 ，52 ，62 ，…… 例1、准备题，按规律填数。 (1) 2,9,16,23, , ; (2) 1,2,4,7,11, , ; (3) 2 1,3 2,4 3,5 4, , ; (4) 2,4,5,10,11,22,23, , ; 例2、把自然数中的偶数：2，4，6，8，……依次排成5列（如图）从上到下为列，从左到右为行，最左边的一列叫第一列，最上面一行叫第一行，那么数1994出现在第几行第几列？ 2 4 6 8 16 14 12 10 18 20 22 24 32 30 28 26 34 36 38 40 … … … …
五年级奥数重难点：等差数列
五年级奥数重难点：等差数列 什么叫做等差数列？数列中每相邻两个数的差是一个固定值，这样的数列就是等差数列。这个固定的差值叫做公差，数列中的第一项叫做首项，最后一项叫做末项，数字的个数叫做项数。 知识点一：等差数列求项数 公式：项数=（末项-首项）÷公差+1 【例1】求下列数列共有多少项？ 2，5，8，11，...，98，101 边学边练： 求下列数列共有多少项？ ①1，4，7，10，...，100 ②4，9，14，19，...，109 知识点二：等差数列求末项 公式：末项=首项+（项数-1）×公差 【例2】等差数列2，7，12，17，22，···的第100项是多少？ 边学边练： 1、有一列数：5，8，11，14，···它的第100项是多少？
2、数列：3，8，13，18，···的第80项是多少？ 知识点三：等差数列求和 ①基本公式：等差数列和=（首项+末项）×项数÷2 ②特殊公式：等差数列和=中间项×项数 【例3】计算1+2+3+4+…+78+79+80 边学边练： 1、计算：3+6+9+…+2001 2、计算：5+10+15+20+? +190+195的和。 【例4】计算：（1+3+5+...+1997+1999）-(2+4+6+...+1996+1998)
边学边练： 1、计算：1+3+5+7+...+97+99+97+...+7+5+3+1 2、计算：1÷1999+2÷1999+3÷1999+...+1998÷1999+1999÷1999 知识点四：在很多的问题中，通常都可以转化为等差数列来解决。 【例5】小王和小胡两人比赛赛跑，限时时间为10秒，谁跑的距离长谁就获胜，小王第一秒跑1米，以后每秒都比前一秒多跑0.1米，小胡自始至终每秒跑1.5米，谁能取胜？ 边学边练： 1、四（2）班有45个同学矩形一词联欢会，同学们在一起一一握手，且每两人只能握一次，问同学们共握多少次手？ 2、阳光影视城的一个放映厅设置了20排座位，第一排有30个座位，往后每一排都比前一排多2个座位。问这个剧场一共有多少个座位？
小学五年级奥数等差数列练习题
奥数五年级（等差数列） 1、等差数列1、5、9、13、、、、、、中，201是第几项？ 2、在10与42之间插入3个数，使5个数成为等差数列，这3个数各是多少？ 3、等差数列第1项是2，第2项是10，求它的第20项是多少？ 4、1+2+3+4+、、、、、、、、+2008+2009 5、2001-3-6-9-、、、、、、-57-60 6、20个小朋友排成一排玩报数游戏，后一个同学报的数都比前一个同学报的数多3，已知最后一个同学报的数是62，第一个同学报的数是多少？ 7、等差数列3、8、13、18、、、、、、中，188是第几项，第188项是多少？ 8、一个等差数列的第一项是5，第六项是35，它的公差是多少？它的第十项是多少？ 9、某市举行数学竞赛前规定，前15名可以获奖，比赛结果第一名取1人，第二名并列2人，第三名并列3、、、、、、、，第十五名并列15人，用最简单的方法计算出得奖的一共有多少人？ 10、20个同学聚会，见面时每个人都和其余的人握手一次，那么一共握手多少次？
11、学校男教师进行乒乓球比赛，每个参赛选手都要和其他所有选手赛一场，一共进行了45场比赛，共有多少位男教师参加比赛？ 12、现有9个盒子，用下面的方法往盒中装小球，第一个盒里装1个，第2个盒装4个，第3个盒装7个、、、、、照这样的装法，则将9个盒都装完，共需多少个小球？ 13、已知有一个等差数列：32、32*2、32*3、32*4、、、、 （1）写出这个等差数列中的第2008项？ （2）64064是这个等差数列中的第几项？ 14、自然数中所有两位数之和是多少？ 综合练习： 1、四年级一班和二班的平均人数是48个人，二班和三班的平均人数是50人，一班和三班的平均人数是53人，四年级的三个班共有（）人？ 2、食堂有大米和面粉共351袋，如果大米增加20袋，面粉减少50袋，那么大米的袋数比面粉的袋数的3倍还多1袋，原来大米有（）袋，面粉有（）袋？
等差数列中的三类难点问题解析
等差数列中的三类难点问题解析 一.等差数列确定特殊项的序号及和序号的问题 例1.已知{a n}为等差数列，公差d≠0，{a n}中的部分项所组成的数列，，，…，，…恰为 等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17. (1)求k n； (2)求证：k1＋k2＋k3＋…＋k n＝3n－n－1. 分析：(1)易知是等比数列中的第n项，于是有＝a1；另一方面，是等差数列中的第k n项，又有＝a1＋(k n－1)d。从而得a1q n－1＝a1＋(k n－1)d。 在上式中除了k n为所求外，a1、d和q均为待定系数。虽然a1、d和q不必都求出来，但从式子的结构看，需求出a1与d的关系和q的值。 从何入手呢？注意到k1＝1，k2＝5，k3＝17，我们可以利用等比数列的子数列，，，即a1，a5，a17也成等比数列，据此可以求出d与a1的关系和q的值。 (2)要证明k1＋k2＋k3＋…＋k n＝3n－n－1，实质上是求数列{k n}的前n项的和，而这可以由通项k n来确定。 解：(1)由题设知，，即a1，a5，a17成等比数列，所以a52＝a1a17，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)。因d≠0，所以a1＝2d，于是公比q＝＝3，所以＝q n－1＝a1?3n－1 又＝a1＋(k n－1)d＝a1＋(k n－1) ?，所以a1＋(k n－1) ?＝ a1?3n－1 因而k n＝2?3n－1－1 (2)k1＋k2＋k3＋…＋k n＝(2?30－1)＋(2?3－1)＋…＋(2?3n－1－1)＝2(1＋31＋32＋…＋3n－1)－n＝3n－n－1 说明：在求得d＝和公比q＝3后，还有如下更为简捷的解法： 因为. 所以{k n＋1}是首项为k1＋1＝2，公比为3的等比数列，于是k n＋1＝2?3n－1，即 k n＝2?3n－1－1。 二.等差数列求各项绝对值的和 例2．已知等比数列{a n}的各项均为正数，公比q≠1，数列{b n}满足b1＝20，b7＝5，且(b n －b n＋2)log m a1＋(b n＋2－b n)log m a3＋(b n－b n＋1)log m a5＝0。 ＋1 (1)求数列{b n}的通项公式； (2)设S n＝|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|b n|，求S n。
五年级奥数等差数列计算题教师版
五年级奥数等差数列计算题教师版 (1)三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)?公差,11n a a n d =+-?（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)?公差,11n a a n d =--?（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想,让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数,或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-?（）,n m >（ ） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法,其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 , 分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48),注意等差是3 ,那么每组有3个数,我们数列中的数都在每组的第1位,所以46应在最后一组第1位,4到48有484145-+=项,每组3个数,所以共45315÷=组,原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法． ③ 求和公式：和=(首项+末项)?项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++ 11002993985051= ++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=?= (思路2)这道题目,还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101 ++++ +++=++++ +++=+++++++和=1+和倍和即,和 (1001)1002101505050=+?÷=?= (2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半；或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数． 譬如：① 48123236436922091800+++++=+?÷=?=（）, 知识点拨 等差数列计算题
高考数学重点难点复习等差数列
难点12 等差数列、等比数列的性质运用 等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n 项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.高考中也一直重点考查这部分内容. ●难点磁场 (★★★★★)等差数列{a n }的前n 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为_________. ●案例探究 ［例1］已知函数f (x )=4 12 -x (x <－2). (1)求f (x )的反函数f -－ 1(x ); (2)设a 1=1, 1 1+n a =－f －-1 (a n )(n ∈N *),求a n ; (3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有b n < 25 m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由. 命题意图：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力，属★★★★★级题目. 知识依托：本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题. 错解分析：本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{ 2 1n a }为桥梁求a n ,不易突破. 技巧与方法：(2)问由式子 4112 1 += +n n a a 得 2 2 1 11n n a a - +=4,构造等差数列{ 2 1n a },从而 求得a n ,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想. 解：(1)设y = 4 12-x ,∵x <－2,∴x =－214y + , 即y =f －-1 (x )=－2 1 4y + (x >0) (2)∵ 411,1412 2 1 2 1=- ∴+ =++n n n n a a a a ， ∴{ 2 1 n a }是公差为4的等差数列，
等差数列(教案)
等差数列（教案） 周起航 教学目标：高考资源网 1、知识目标： 理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式。 2、能力目标：高考资源网 培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会函数思想、归纳思想并加深认识；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力。 3、情感目标: 。w-w①通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。 ②体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。 教学重点： 理解等差数列概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决 一些简单的问题。 教学难点： 通项公式的概括、证明以及通项公式推导过程中体现出的数学思想方 法。 教学过程： 上一节咱们学习了数列的一些基本概念，下面咱们来看两个实例：打出幻灯片： w-w*k&s%5在过去的三百多年里，人们分别在下面的时间里观测到了哈雷慧星： 1682，1758，1834，1910，1986，（） 问题：你能预测出下一次的大致时间吗？ 打出幻灯片：珠穆朗玛峰的图片 问题：珠穆朗玛峰的高度是多少？ 另外我们知道随着高度的增加温度会越来越低，下表给出了温度与高度之间的关系（幻灯片），请估计珠穆朗玛峰顶端的温度大约是多少？ 这些温度可以构成一个数列：32, 25.5, 19,12.5,6, …, -20. 这样咱们就得到了两个数列： （1）1682，1758，1834，1910，1986，2062. （2）32, 25.5,19,12.5,6, …,-20. 下面再给一个数列： （3）1，4，7，10，13，16，… 思考： （1）这三个数列各自有什么特点？ （2）它们的共同特点是什么？
等差数列(小数数学 五年级奥数)
等差数列 知识与方法： 像（1）1，2，3，4，5，…；（2）10，20，30，40，50，…从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。在等差数列a1，a2，a3，…a n中，它的公差是d，那么a2=a1+d a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d … a n=a1+（n－1）×d（等差数列的通项公式） 由此可见，等差数列从第2项起，每一项都等于第一项加上公差的若干倍，这个倍数等于这项的项数减1的差，利用它可以求出等差数列的任何一项。 例题1：求等差数列3，8，13，18......的第38项和第69项。 练习1：求等差数列1，4，7，10，13.....的第20项和第80项. 练习2：超市工作人员在商品上依次编号，分别为4，8，12，16......，请问第34个商品上标注的是什么数字？第58个标注的是什么数字？
例题2：36个小学生排成一排玩报数游戏，后一个同学报的数总比前一个同学多报8，已知最后一个同学报的数是286，第一个同学报的数是几？ 练习1：仓库里有一叠被编上号的书，共40本，已知每下面一本书比上面一本书的号码多5，最后一本书的编号是225，请问第一本书的编号是多少？ 练习2：幼儿园给小朋友们发玩具，共32个小朋友，每人一个，每个玩具上都有编号，已知最后一个小朋友玩具编号是98，每一个玩具的编号比后一个玩具的编号少3，问第一个小朋友上玩具编号是多少？ 例题3：等差数列4，12，20......，中的580是第几项？ 练习1：等差数列3，9，15，21.....中381是第几项？ 练习2：糖果生产商为机器编号，依次为7，13，19，25......。问编号为433的机器是第几个？
等差数列重难点突破教学设计
2.3 等差数列的前n项和 一、教材分析 等差数列的求和是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。它是在前面研究了等差数列定义和通项公式的基础上对等差数列的进一步研究，公式的推导方法倒序相加法是数列求和常用的方法之一，等差数列求和公式是数列求和的最基本的方法，有广泛的实际应用。同时本节课的学习还为进一步研究等比数列提供了思想方法。 二、学情分析 教学对象是职业高中高二美术班学生。 1）学生已掌握等差数列的通项公式及基本性质，在初中已经了解了特殊的数列求和，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础. 2）学生学习数学的整体水平比较低，习惯于感性思维，模仿能力较好，独立思考能力差，高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍． 3）高二学生学习积极性较高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。 4）高二学生数学学习的个体差异比较明显。 三、教学目标 根据以上对教材和学生的分析及其课标要求，制定如下教学目标 1）知识与技能目标：掌握等差数列前n项和公式及其推导思路和方法；会初步应用公式解决相关问题。 2）过程与方法目标：经历公式的推导过程，体会数形结合、化归、函数与方程，联系等数学思想，体验从特殊到一般的研究问题的方法，学会观察、分析、归纳、反思。
3）情感态度与价值观：激发学生探究的兴趣，培养学生善于观察、勇于探索的学习精神和严谨的学习态度 教学重点、难点 教学重点：探索并掌握等差数列的前n 项和公式，学会用公式解决问题 教学难点： 等差数列前n 项和公式的推导思路的获取 四、教学方法 为了达到以上教学目标采取以下的教学方法 教法：采用问题启发教学法、合作探究教学法，分层次教学法,多媒体辅助教学法 学法：在教师的指导下，学生自主学习、合作学习、探究学习。 五、教学准备：PPT 相关课件 两个全等的等腰三角形模型、全等梯 形模型 六、教学过程 教学流程 1、创设情境，导入新课（2分钟） 2、由特殊到一般探索公式（13分钟） 3、公式运用，例题教学 （13分钟） 4、分层练习，形成技能（12分钟） 5、归纳小结，构成体系 （3分钟） 6、布置作业（2分钟） 学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程： （一）创设情境，引入课题 ①复习提问：等差数列的通项公式与性质。即：等差数列任意第k 项与倒数第k 项的和的和等于首末两项的和。1121a a a a a a n n n +==+=+-Λ ②创设情境，提出问题
高中数学优质课程《等差数列》教案
高中数学优质课程《等差数列》教案 等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。下面就是小编给大家带来的高中数学优质课程《等差数列》教案，希望能帮助到大家! 【教学目标】 1. 知识与技能 (1)理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列： (2)账务等差数列的通项公式及其推导过程： (3)会应用等差数列通项公式解决简单问题。 2.过程与方法 在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。 3.情感、态度与价值观 通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。 【教学重点】 ①等差数列的概念;②等差数列的通项公式 【教学难点】 ①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差数列的通项公式的推导过程. 【学情分析】 我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生)，经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展.