抽象函数题型大全例题含答案
高考抽象函数技巧总结
由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难,学好这部分知识,能加深学生对函数概念的理解,更好地掌握函数的性质,培养灵活性;提高解题能力,优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下:
一、求表达式:
1.换元法:即用中间变量表示原自变量x 的代数式,从而求出()f x ,这也是证某些公式或等式常用的方法,此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1:已知 (
)211
x f x x =++,求()f x . 解:设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 2.凑合法:在已知(())()f g x h x =的条件下,把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式,再利用代换即可求()f x .此解法简洁,还能进一步复习代换法。
例2:已知331
1()f x x x x
+=+,求()f x 解:∵2221
1111()()(1)()(()3)f x x x x x x
x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23
()(3)3f x x x x x =-=-,(|x |≥1)
3.待定系数法:先确定函数类型,设定函数关系式,再由已知条件,定出关系式中的未知系数。
例3. 已知()f x 二次实函数,且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .
解:设()f x =2ax bx c ++,则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=??=?===??=?∴213()22
f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.
例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x
解:∵()f x 为奇函数,∴()f x 的定义域关于原点对称,故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴
()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,
∵()f x 为奇函数,∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴
lg(1),0()lg(1),0
x x f x x x +≥?=?-- 例5.一已知()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,且有()f x +1()1
g x x =-, 求()f x ,()g x . 解:∵()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,
不妨用-x 代换()f x +()g x =
11
x - ………①中的x , ∴1()()1
f x
g x x -+-=--即()f x -1()1g x x =-+……② 显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1x g x x =- 5.赋值法:给自变量取特殊值,从而发现规律,求出()f x 的表达式
例6:设()f x 的定义域为自然数集,且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x 解:∵()f x 的定义域为N ,取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++
∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+
以上各式相加,有()f n =1+2+3+……+n =
(1)2n n +∴1()(1),2
f x x x x N =+∈ 二、利用函数性质,解()f x 的有关问题
1.判断函数的奇偶性:
例7 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立,且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
证明:令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①
在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。
2.确定参数的取值范围
例8:奇函数()f x 在定义域(-1,1)内递减,求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。 解:由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--,∵()f x 为函数,∴2(1)(1)f m f m -<- 又∵()f x 在(-1,1)内递减,∴221111110111m m m m m -<-?-<-<?->-?
3.解不定式的有关题目