三角形解答题第二问中范围问题
解三角形围问题总结
第一类 与三角形的边相关的围问题
点睛：和余弦定理有关的最值问题，常与三角形的面积结合在一起考查，解题时要注意对所得式子进行 适当的变形，女口 a 2 b 2
a b 2 2ab ，以构造出a b 和ab 的形式，为运用基本不等式创造条件?另
外，在应用基本不等式的过程中，要注意等号成立的条件.
1 ?在中，角的对边分别是, (1)求的值；
⑵若，求的最大值 2 ?设函数 4 x cos 2x 3
2
2cos x .
(1)求f x 的对称轴方程; A
⑵已知VABC 中，角
A, B,C 的对边分别是a,b,c ，若f —
2
1
一 ,b c 2，求a 的最小值.
2
4?在VABC 中，角A, B,C 的对边分别为a,b,c ，且2ccosB 2a b .
(1)求角C ; (2 )若VABC 的面积为S
c ，求ab 的最小值.
7.在△ABC中，角A, B, C 所对的边分别为a, b, c,已知cosC cosAcosB j3sinAcosB .
(i)求cosB的值；
(n)若a c 1,求b的取值围.
8.中，角的对边分别是，且一-
(1)求角；
(2)若，求的最大值.
9.在ABC中，角代B,C所对的边分别为a, b,c，满足：① ABC的外心在三角形部(不包括边)；
② b2 a2 c2 sin B C 73accos A C .
(1 )求A的大小；
b c
(2 )求代数式仝丄的取值围.
a
10..在中，角、的对边分别为、，且.
(i )求角的大小；
(n )若点满足，且，求的取值围.
(1) 求角B 的大小；
(2) 若a c 4，求b 的取值围?
12.已知△ ABC 的角A,B,C 的对边长分别为 a,b,c ,且 一3c
tanA tanB.
acos B (1)求角A 的大小；
⑵设AD 为BC 边上的高，a ,3，求AD 的围.
【总结】三角形中最值或围问题，一般转化为条件最值或围问题 ：先根据正、余弦定理及三角形面积公式结
合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值 .在利用基本不等式求最值时，
要特别注意 拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中
正”即条件要求中字母为正数 卜 定”不等式的另
一边必须为定值)、等”等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 .
第二类 与三角形的角相关的围问题
(i)求f x 的单调递增区间;
11.在 ABC 中，角A, B,C 的对边分别为a,b,c ，且tanA tanB
2sinC cosA
2.已知函数 sinxcosx sin 2x
(n)在V ABC 中，a,b,c为角A, B,C 的对边，且满足bcos2A bcosA asinB
0 A 求f B的取值围.
2
3?在MBC 中，角A,B,C 的对边分别是a, b, c,且、、3acosC 2b 3c cosA.
(1)求角A的大小；
⑵求cos 5n B 2sin2 C的取值围?
2 2
4 .已知在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足2acosB bcosA 0 .
(1 )若a 2c，求角B ；
(2 )求cosC的最小值?
5.已知锐角ABC的三个角A、B、C满足sinBsinC sin2B sin2C sin2A tanA .
(I)求角A的大小;
(H)若uuv uuv
ABC的外接圆的圆心是O，半径是1，求OA AB UJU/
AC的取值围.
6?设从BC三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,从BC的面积
⑴求角C的值；
(2)求sinB cosA的取值围.
7?在中，角，，的对边分别为，，，伽“眈二二0-Q 2-『).
(1)求的大小；
⑵求的取值围
8.在从BC中，角A, B, C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA
(1)求角C的大小；
⑵求u 3sinA cos B —的取值围.
4S 满足4?VS a2 b2 c2. acosC .
9. ABC 的角A、B、C所对的边分别为a, b, c,且asinA bsinB csinC J2asinB
1求角C；
2求，3sinA cos B 的最大值.
4
10.已知向量m sinB,1 cosB ,且与向量n 2,0所成角为一，其中A,B,C是ABC的角。
3
（1）求角B的大小；
（2）求sinA sinC的取值围.
第三类与三角形的面积相关的围问题
1. ABC的角A、B、C的对边分别为a b c，已知a bcosC J3csinB.
（1 ）求B ；
（2）若b 1，求ABC面积的最大值.
2.已知向量5 sinx,cosx ，b cosx, 、3cosx，函数f x a b .
（1 ）求f x的单调递增区间；
（2 ）在ABC 中，a，b，c 是角A，B，C 的对边，若fC 0，0 C —，c 1，求ABC
2
面积的最大值.
3.已知函数f x sin xcos x 3sin2 x 0的最小正周期为，将函数f x的图象向左平
2
1
移—个单位长度，再向下平移丄个单位长度，得到函数y g x的图象.
6 2
(I)求函数f x的单调递增区间；
⑴在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若gf 0，a 1
，求ABC面积的最大值
5.已知ABC的角代B,C的对边分别为a,b,c，若c 2.3，且 c
acosB bcosA
tanC
(1 )求C的值；
(2 )当ABC的面积取最大值时，求a的值.
6?在ABC中，角A, B, C所对的边分别为a , (I)求证：角A, C, B成等差数列；
sin B sinA sinC
(n)若c 3，求ABC面积的最大值
7.在ABC中，角A, B,C所对边分别是a,b,c，满足ccosB 2a b cosC 0
(1)求角C ；
(2)若c ，求ABC面积的最大值
8 ?已知 ABC 的角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，且a 2 ,
(1)求角A 的大小；
(2 )求ABC 的面积的最大值.
9. ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c .已知^2cosB j3sinB .
(1)求 B ;
(2)若a,b,c 成等比数列，求 1
1
的值；
tanA ta nC
(3)若AC 边上的中线长为 2,求 ABC 面积的最大值
(1 )求 ACB 的大小;
(2)若 ABC ACB ， D 为VABC 外一点， DB 2， DC 1，求四边形 ABDC 面积的最大值
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11. VABC 的角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知3bcosC bsinC 3a .
(I)求角B 的大小；
(n)若b 3，求 ABC 的面积的最大值.
sinC sinB sinA
10.如图，在VABC 中，角A ， B ， C 的对边分别为a ，
b ，
c ， a c sinB cosB
13.在A ABC 中，角代B,C 所对的边分别为a,b,c ,且a 2 c 2 b 2 -ac .
2
2 A C
(1)求 sin
cos2B 的值；
2
⑵若b 2，求 A ABC 面积的最大值.
15.已知在中，角的对边分别为，且满足 ?
(I )求；
(n )若，求面积的最大值.
【思路引导】(1)根据三角形的三角关系得到 -v p 八y ：二“圧，由正弦定理得到，即，再由余 弦定理得到结果；(2)根据余弦定理和均值不等式得到，再由面积公式得到最值
.
sinA sinB sinC
16.已知 ABC 的角A, B,C 满足 —— si nC
(1)求角A ;
(2)若 ABC 的外接圆半径为1，求 ABC 的面积S 的最大值. 【总结】
1?三角函数问题在求解时要注意结合正弦定理的边角互化关系快速转换求解, 结合基本不等式求解是借此题第二问的关键
? 2?解三角形问题不是孤立的，而
是跟其他相关知识紧密联系在一起，通过向量的工具作用，将条件集中到三 角形中，然后利用三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及其相关知识解题，是常见的解题思路，为此，熟 练掌握向量的基本概念和向量的运算，熟练进行三角变换和熟练运用正弦定理以及余弦定理及均值不等式 是解题的关键.
sin B sinA sinB sinC
涉及面积最值时明确面积公式
第四类与三角形的周长相关的围问题
2?的角为的对边分别为，已知.
(1 )求■■；；的最大值；
(2 )若，当的面积最大时，的周长；
【思路引导】(1)先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，在根据三角形角关系利用诱导公式化简得，解得B,代入丨’化简得.ZI ；-'■：/' I n. f-v./.'. 1 -
，根据三
角函数同角关系转化为二次函数，最后根据对称轴与定义区间位置关系确定最大值取法，
(2)
先根据余弦定理得，再根据基本不等式求最大值，此时的面积取最大，根据最大值等号取法确定值，
即得三角形周长?
3.已知在ABC中，角A, B, C所对的边分别为a,b,c，且满足a 2acosB c.
(I)求证：B 2A;
(n)若ABC为锐角三角形，且c 2，求a的取值围?
4.已知ABC的角代B,C的对边分别为a,b,c, a 2b cosC ccosA 0.
(1) 求角C ；
(2) 若c 2 3，求 ABC 的周长的最大值
(1)求角A ;
(2)若a 2 3，求ABC 周长的最大值.
7?在锐角 ABC 中，c 2, ,3a 2csinA .
(1 )若ABC 的面积等于,3，求a 、b ； (2)求ABC 的周长的取值围.
(i)求 A ;
(n)求 ABC 的周长的取值围
5?已知a,b,c 是 ABC 的三个角A,B,C 的对边，且满足
2c b a
cosB cosA
8?在 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
a 2 且 sinA sinB 2
b sinC sinB
c .
2
【总结】三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题
9?在 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，中线AD m ，满足a 2
(I)求 BAC ；
(n)若a 2，求 ABC 的周长的取值围?
2bc 4m . 10?中，三个角的对边分别为，若，，且. (I
)求角的大小； (n)
若，求周长的取值围. 11. △ ABC 的角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，且满足a 2, acosB
(1)求角A 的大小； (2 )求厶ABC 周长的最大值. 3 12. 在 ABC 中，a, b, c 分别是角 A, B,C 的对边，且 cosB , sinAcosB c 5 (1) 求边b 的值；
(2) 求ABC 的周长的最大值.
2c b cosA .
cosA sinB 0.
2 :先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条
件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”即（条件要求中字母为正数）、“定”不（等式的另一边必须为定值）、“等”等（号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.